九年级数学竞赛培优专题及答案 20 直线与圆的位置关系1(含答案)
九年级 直线与圆的位置关系练习(含答案)
直线与圆的位置关系练习(含答案)一．选择题（共19小题）1．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是（）A．70°B．40°C．50°D．20°2．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．224．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定5．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P=20°，则∠B的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为（）A．1 B．C．D．7．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°9．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．1010．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A．12 B．C．D．11．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（）A．54°B．36°C．30°D．27°12．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°13．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．12cm B．24cm C．6cm D．12cm14．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（）A．B．C．5 D．15．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么（）A．0＜OP＜5 B．OP=5 C．OP＞5 D．OP≥516．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（）A．28°B．33°C．34°D．56°17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是（）A．20°B．25°C．40°D．50°18．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P=60°，那么∠AOB 等于（）A．60°B．90°C．120° D．150°19．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（）A．25°B．30°C．40°D．50°二．填空题（共16小题）20．如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，P 点在Q点的下方．若点P的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=．22．如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，则OA的长为．23．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为．24．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，﹣1），AB=2．若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点P的坐标为．25．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为．26．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M的坐标为．28．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为．29．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为．30．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），则△AOB的内心与外心之间的距离是．31．P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的平分线交AC于Q，则∠PQC=．32．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．33．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC=．34．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P=40°，则∠ABC的度数为．35．如图，已知⊙O的外切△PCD切⊙O于A、B、E三点，（1）若PA=5，则PB=；（2）若∠P=40°，则∠COD=度．三．解答题（共15小题）36．如图，CD是⊙O的直径，并且AC=BC，AD=BD．求证：直线AB是⊙O的切线．37．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．38．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．39．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE（1）证明OE∥AD；（2）①当∠BAC=°时，四边形ODEB是正方形．②当∠BAC=°时，AD=3DE．40．如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．41．如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．42．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．43．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．44．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．45．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D 作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．46．如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．47．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D 作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．48．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．49．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．（1）求证：BC是∠ABE的平分线；（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．50．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，求点A到CD所在直线的距离．直线与圆的位置关系练习参考答案一．选择题（共19小题）1．D；2．A；3．C；4．A；5．D；6．D；7．B；8．C；9．D；10．C；11．D；12．B；13．D；14．A；15．D；16．A；17．A；18．C；19．C；二．填空题（共16小题）20．（0，2.5）；21．1；22．10；23．50°；24．（3，2）；25．2；26．相离；27．（8，10）；28．5；29．80°；30．；31．45°；32．2；33．25°；34．25°；35．5；110；三．解答题（共15小题）36．；37．；38．；39．45；30；40．；41．；42．；43．；44．；45．；46．；47．；48．；49．；50．；。
九年级数学上册《直线与圆的位置关系》练习题及答案解析
九年级数学上册《直线与圆的位置关系》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．已知O 半径为3cm ，O 到直线l 的距离为3cm ，则O 与l 相切．( )2．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O 于点A ，长边与⊙O 相切于点B ，角尺的直角顶点为C ，已知6cm,8cm AC CB ==，则⊙O 的半径为_____cm ．3．如图，从点P 引⊙O 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，DE 切⊙O 于C ，交P A ，PB 于D ，E ．若⊙PDE 的周长为20cm ，则P A =________cm ．4．如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，I 是BCD △的内心，点O 与点I 关于直线BD 对称，则A ∠的度数是__________．5．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何?”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步?则此问题的答案是__________步．6．在平面直角坐标系中，以点A (﹣2，3)为圆心、r 为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r 的值为_____．7．已知Rt △ABC 中，090ACB ∠=，10AB =，8AC =，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有唯一的公共点，那么C 的半径R 的取值范围为____.二、单选题8．如图，已知Rt ⊙ABC ，AC =8，AB =4，以点B 为圆心作圆，当⊙B 与线段AC 只有一个交点时，则⊙B 的半径的取值范围是（ ）A ．rB =B ．4 < rB ≤C ．rB =或4 < rB ≤D ．rB 为任意实数9．如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（8，5），⊙A 与x 轴相切．点P 在y 轴正半轴上，PB 与⊙A 相切于点B ．若⊙APB ＝30°，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，9）B ．（0，10）C ．（0，11）D ．（0，12）10．O 的圆心到直线a 的距离为3cm ，O 的半径为1cm ，将直线a 向垂直于a 的方向平移，使a 与O 相切，则平移的距离是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．2cm 或4cm11．下列五个说法：⊙近似数3.60万精确到百分位；⊙三角形的外心一定在三角形的外部；⊙内错角相等；⊙90°的角所对的弦是直径；⊙函数y =x 的取值范围是2x ≥-且1x ≠．其中正确的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个12．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A．SAS B．AAS C．SSS D．HL13．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．无法确定B．相切C．相交D．相离三、解答题14．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊙OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为⊙O的切线；(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊙CD，连接AC，OD．(1)求证：⊙BOD＝2⊙A；(2)连接DB，过点C作CE⊙DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．参考答案与解析：1．√【分析】根据切线的定义即可判断.【详解】⊙O 半径为3cm ，O 到直线l 的距离为3cm ，⊙O 到直线l 的距离等于半径，故O 与l 相切，正确；故填：√.【点睛】此题主要考查切线的定义，解题的关键是熟知切线的性质特点.2．253##183【分析】设圆的半径为r cm ，连接OB 、OA ，过点A 作AD ⊙OB ，垂足为D ，利用勾股定理，在Rt⊙AOD 中，得到r 2＝（r −6）2＋82，求出r 即可．【详解】解：连接OB 、OA ，过点A 作AD ⊙OB ，垂足为D ，如图所示：⊙CB 与O 相切于点B ，⊙OB CB ⊥，⊙90CBD BDA ACB ∠=∠=∠=︒，⊙四边形ACBD 为矩形，⊙8AD CB ==，6BD AC ==，设圆的半径为r cm ，在Rt⊙AOD 中，根据勾股定理可得：222OA OD AD =+，即r 2＝（r −6）2＋82， 解得：253r =， 即O 的半径为253cm ． 故答案为：253． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r 的方程，是解题的关键．3．10【分析】由于P A 、PB 、DE 都是⊙O 的切线，可根据切线长定理将⊙PDE 的周长转化为切线PA 、PB 的长．【详解】解：⊙P A 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙P A =PB ，DA =DC ，EC =EB ；⊙C △PDE =PD +DE +PE =PD +DA +EB +PE =P A +PB =20(cm )；⊙P A =PB =10(cm )，故答案为10．【点睛】本题主要考查了切线长定理，能够发现⊙PDE 的周长和切线PA 、PB 长的关系是解答此题的关键． 4．72︒【分析】连接OB 、OD 、BI 、DI ，利用轴对称的性质证得四边形OBID 是菱形，得到⊙BOD =⊙BID ，⊙OBD =⊙BDO =⊙IBD =⊙IDB ，根据圆周角定理得到⊙BOD =2⊙A ，由圆内接四边形性质得到180A C ∠+∠=︒，求出⊙BID =180°-12A ∠，由此得到2⊙A =180°-12A ∠，求出⊙A =72︒． 【详解】解：连接OB 、OD 、BI 、DI ，⊙点O 与点I 关于直线BD 对称，⊙OB =BI ，OD =DI ，⊙OB =OD ，⊙OB =BI =OD =DI ，⊙四边形OBID 是菱形，⊙⊙BOD =⊙BID ，⊙OBD =⊙BDO =⊙IBD =⊙IDB ，⊙⊙BOD =2⊙A ，⊙BID =180°-（⊙IBD +⊙IDB ），⊙⊙IBD +⊙IDB =()11802C ︒-∠，180A C ∠+∠=︒, ⊙ ⊙IBD +⊙IDB =12A ∠，⊙⊙BID =180°-12A ∠， ⊙2⊙A =180°-12A ∠， 解得⊙A =72︒，故答案为：72︒．【点睛】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，三角形内心定义，菱形的判定及性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，熟记各知识点是解题的关键．5．6【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．＝17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r ＝815172+-＝3（步），即直径为6步， 故答案为：6．【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt⊙ABC 中，两直角边分别为为a 、b ，斜边为c ，其内切圆半径r ＝2a b c +-是解题的关键．6．3【分析】利用点A 的坐标得到点A 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，根据直线与圆的位置关系，当⊙A 与x 轴相切时，满足条件，易得此时r ＝3；当⊙A 经过原点时，满足条件，利用勾股定理计算出此时r 的值．【详解】解：⊙点A 坐标为（﹣2，3），⊙点A 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，当⊙A 与x 轴相切时，与y 轴有2个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r ＝3；当⊙A 经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r =综上所述，r 的值为3故答案为：3【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．7．68R <≤或245R =【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【详解】根据勾股定理求得，当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于245；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8，故半径r的取值范围是r=4.8或6＜r≤8，故答案为r=4.8或6＜r≤8．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．8．C【分析】作BD⊙AC于D，如图，利用勾股定理计算出BC＝BD＝当⊙B与AC相切时得到r＝AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，BA＜r≤CB．【详解】解：作CD⊙AB于D，如图，在Rt⊙ABC中，BC=⊙12BD•AC＝12AB•BC，⊙CD=当⊙C与AB相切时，r＝当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜，综上所述，当r＝4＜故选C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⊙d＜r；直线l和⊙O相切⊙d＝r；直线l和⊙O相离⊙d＞r．9．C【分析】利用根据圆的切线性质可知△P AB、△AOC为直角三角形，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．【详解】解：如图，过点A分别作AC⊙x轴于点C、AD⊙y轴于点D，连接AB，⊙AD⊙y轴，AC⊙x轴，⊙四边形ADOC为矩形．⊙AC＝OD，OC＝AD．⊙A与x轴相切，⊙AC为A的半径．⊙点A坐标为（8，5），⊙AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，⊙PB是切线，⊙AB⊙PB，⊙⊙APB＝30°，⊙P A＝2AB＝10，在Rt⊙P AD中，根据勾股定理，得6PD，⊙OP＝PD+DO＝11，⊙点P在y轴的正半轴上，⊙点P坐标为（0，11）．故选：C．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径．10．D【分析】根据直线与圆的位置关系,平移使直线a与O相切,有两种情况,一种是移动3-1=2厘米,第二种是移动3+1=4厘米.【详解】解:如图,当直线a 向上平移至a '位置时,平移距离为3-1=2厘米;当直线a 向上平移至a ''位置时,平移距离为3+1=4厘米.故答案选:D.【点睛】本题考查了平移,直线与圆的位置关系,熟练掌握知识点并结合图形是解答关键.11．B【分析】根据近似数3.60万精确到百位可判断⊙，根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点，锐角三角形在形内，直角三角形在斜边中点上，钝角三角形在形外可判断⊙，根据两直线平行，内错角相等可判断⊙； 90°的圆周角性质可判断⊙，函数y =式函数分母不为0，可判断⊙即可得出答案．【详解】解：⊙近似数3.60万精确到百位，故⊙近似数3.60万精确到百分位错误；⊙三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点，锐角三角形在形内，直角三角形在斜边中点上，钝角三角形在形外，故⊙三角形的外心一定在三角形的外部错误；⊙两直线平行，内错角相等；故⊙内错角相等错误；⊙90°的圆周角性质是90°的圆周角所对的弦是直径，故⊙90°的角所对的弦是直径不正确；；⊙函数y = 2010x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得2x ≥-且1x ≠，⊙函数y =x 的取值范围是2x ≥-且1x ≠正确． 正确的个数有一个⊙．故选择：B ．【点睛】本题考查基本技能，精确度，三角形外心，内错角，90°圆周角的性质，函数的自变量取值范围，熟练掌握精确度，三角形外心，内错角，90°圆周角的性质，函数的自变量取值范围是解题关键．12．D【分析】直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：⊙AB BC ⊥，CD BC ⊥，⊙ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =，⊙()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.13．C【分析】判断直线和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．⊙直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；⊙直线l 和⊙O 相切⇔d=r ；⊙直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．【详解】解：⊙⊙O 的半径为3，圆心O 到直线L 的距离为2，⊙r=3，d=2，⊙d ＜r ，⊙直线与圆相交，故选C ．【点睛】本题考查直线由圆位置关系，记住．⊙直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r⊙直线l 和⊙O 相切⇔d=r⊙直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r 是解题的关键．14．(1)证明见解析【分析】（1）连接OB ，证明⊙CAO ⊙⊙BAO （SSS ），由全等三角形的性质得出⊙OCA ＝⊙OBA ．由切线的性质得出⊙ABO ＝90°，则⊙OCA ＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD 的长，设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x ，得出方程(2227x x +=+，解方程可得出答案．（1）证明：连接OB ，则OC ＝OB ，如图所示：⊙OA ⊙BC ，⊙EC ＝BE ，⊙OA 是CB 的垂直平分线，⊙AC ＝AB ，⊙在⊙CAO 和⊙BAO 中AO AOAC AB OC OB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊙⊙CAO ⊙⊙BAO （SSS ），⊙⊙OCA ＝⊙OBA ．⊙AB 为⊙O 的切线，B 为切点，⊙⊙ABO ＝90°，⊙⊙OCA ＝90°，即AC ⊙OC ，⊙AC 是⊙O 的切线．（2）解：⊙OC ＝2，OD ＝5，⊙OB ＝2，CD ＝OC +OD ＝7，⊙⊙OBD ＝90°，⊙BD设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x ，⊙CD 2+AC 2＝AD 2，⊙(2227x x +=，解得x =⊙AC =⊙AD ＝AB +BD ＝AC +BD 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．15．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD ，首先利用垂径定理得BC BD =，知⊙CAB ＝⊙BAD ，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；（2）连接OC ，AD ，首先由点F 为AC 的中点，可得AD ＝CD ，则⊙ADF ＝⊙CDF ，再利用圆的性质，可说明⊙CDF ＝⊙OCF ，⊙CAB ＝⊙CDE ，从而得出⊙OCD +⊙DCE ＝90︒，从而证明结论．（1）证明：如图，连接AD ，⊙AB 是⊙O 的直径，AB ⊙CD ，⊙BC BD =，⊙⊙CAB ＝⊙BAD ，⊙⊙BOD ＝2⊙BAD ，⊙⊙BOD ＝2⊙CAB ；（2）证明：如图，连接OC ，AD ，⊙F为AC的中点，⊙DF⊙AC，⊙AD＝CD，⊙⊙ADF＝⊙CDF，⊙BC BD=，⊙⊙CAB＝⊙DAB，⊙OA＝OD，⊙⊙OAD＝⊙ODA，⊙⊙CDF＝⊙CAB，⊙OC＝OD，⊙⊙CDF＝⊙OCD，⊙⊙OCD＝⊙CAB，⊙BC BC=，⊙⊙CAB＝⊙CDE，⊙⊙CDE＝⊙OCD，⊙⊙E＝90︒，⊙⊙CDE+⊙DCE＝90︒，⊙⊙OCD+⊙DCE＝90︒，即OC⊙CE，⊙OC为半径，⊙直线CE为⊙O的切线．【点睛】本题属于圆的综合题，考查垂径定理、圆周角定理、切线的证明等知识点，难度一般，掌握同弧（或等弧）所对的圆周角相等是解题的关键．。
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ．解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由22131x y y x +==--⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x ay b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2． 解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b 取得=，解得b ＝2±6. 所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1， 则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3. ∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题20 直线与圆的位置关系_答案
专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接OD ，则~ODE CBE ∆∆例2、（1）AC =AB = （2）提示：若PA 是⊙O 的切线，则PA ⊥AO ，又BO ⊥AO ，得PA ∥BD ，PB AD BC DC∴=，9030AOD OAC ∠=︒∠=︒，， 120AOC ∠=︒，22AD OD DC ∴==，2PB BC ∴=，即当2PB BC =时，PA 是 ⊙O 的切线例3、 提示（1）证明~PFA PBE ∆∆ （2）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）题的 结论仍成立例4、（1）略 （2）AF AP AN AD ≠，理由如下：假设AF AP AN AD≠，则MN ∥CD 。
90D ∠=︒， CD ∴⊥AD ，MN ⊥AD ，A 与P 关于MN 对称，MN ∴⊥AP ，而P 与D 不重 合，这与“过一点（A ）”只能作一条直线与已知直线（MN ）垂直”矛盾，∴假设不成立，即AF AP AN AD≠ （3）证明ABM ∆≌MCP ∆，得4MC AB ==，设PD x =，则4CP x =-， 4BM PC x ∴==-，连接HO 并延长交BC 于J ，则四边形HDCJ 为矩形，OJ ∴ ∥CP ，~MOJ MPC ∴∆∆得12OJ MO CP MP ==，1(4)2OJ x ∴=--，12OH MP == 14(4)2OJ x -=+，222MC MP CP =-，22(4)(4)16x x ∴+--=，解得1x = 即1PD =，3PC =，7BC BM MC PC AB ∴=+=+=，由此画图例6 连切点半径IS ，IM 和ID ，得D A E O ，，，四点共圆，得SI DI MI ==，PSI ∠= 90IMC IMB ∠=∠=︒，设2B A C B α∠=∠=，则PCB α∠= ，SPI B PCB ∠=∠+∠ 3α=，则90903S I P S P I α∠=︒-∠=︒-，MD ∥AC ，2DMB ACB α∴∠=∠=， 90902IMD DMB IDM α∠=︒-∠=︒-=∠1804DIM IDM IMD α∴∠=︒-∠-∠=， 而9090MIC ICM α∠=︒-∠=︒-，180903DIP DIM MIC α∴∠=︒-∠-∠=︒-= SIP ∠，在PIS ∆与PID ∆中，PI PI =，SIP DIP ∠=∠，SI DI =，PIS ∆≌PID ∆， 90PDI PSI ∠=∠=︒，故PD 是⊙I 的切线A 级1、51︒或129︒2、AB AC =3、62︒或118︒4、D 提示：以AB 为直径的圆与DC 相交5、A6、D7、（1）略 （2）满足条件的点有两个：①过点C 作1CP ∥AB 交AE 于点P ，则1A PC ∆~ 1BCA ∆，这时18AP BC cm ==； ②过点C 作⊙O 的切线交AE 于点2P ，则2AP C ∆~CAB ∆，这时1252AP cm = 8、（1）提示：连接OE ，证明90OED ∠=︒，12OD AB =，2BC DE = （2）在R t A C B ∆中，2BC BE AB =，又2B C D E =，2(2)DE BE AB =，又AB =2OD ，2(2)2DE BE OD ∴=，22DE BE OD ∴=9、（1）由已知，得2(4)4(2)0x c x c -+++=，由两根关系得4a b c +=+，2ab c =+， 22222()2(4)8(2)a b a b ab c c c ∴+=+-=+-+=，ABC ∴∆是直角三角形（2）提示：连接OE ，则OE ∥BC ，6a =，8b =，10c =，5AE =10、（1）连接OD ，OE ，BD ，AB 是⊙O 的直径，90CDB ADB ∴∠=∠=︒， E 是BC 的中点，DE CE BE ∴==，OD OB =，OE OF =，ODE ∴∆≌OBE ∆，90ODE OBE ∴∠=∠=︒，∴直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH ⊥AC 于点H ，由（1）知BD ⊥AC ，EC =EB ．∵OA =OB ，∴OE ∥AC 且OE =12AC ，∴∠CDF =∠OEF ，∠DCF =∠EOF ．∵CF =OF ，∴△DCF ≌△EOF ，∴DC =OE =AD ，∴BA =BC ，∴∠A =45°． ∵OH ⊥AD ，∴OH =AH =DH ，∴CH =3OH ，故tan ∠ACO =13OH CH =． 11．（1）略 （2）连接DO 并延长与⊙O 相交于点E ，连接BE ．设AH =3k ．∵tan ∠ADB =34，P A AH ，AC ⊥BD 于点H ．∴DH =4k ，AD =5k ，P A =3)k ，PH =P A +AH =．∴tan ∠P =DH PH =P =30°，PD =8k ． ∵BD ⊥AC ，∴∠P +∠PDB =90°．∵PD ⊥DE ，∴∠PDB +∠BDE =90°．∴∠BDE =∠P =30°．∵DE 是直径，∴∠DBE =90°，DE =2r =50．∴BD =DE ·cos ∠BDE =50·cos30°=．（3）连接CE ．∵DE 是直径，∴∠DCE =90°．∴CD =DE ·sin ∠CED =DE ·sin ∠CAD =450=405⨯． ∵∠PDA =∠ABD =∠ACD ，∠P =∠P ，∴△PDA ∽△PCD ．∴PD DA PA PC CD PD==．∴8540k k PC ==．解得PC =64，k =3-．∴AC =PC －P A =64－23)3)7k ==+∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =1111253(79002222BD AH BD CH BD AC +==⨯+=+ B 级1．86° 2．45°3．连接BP ，MQ ，PC ，QN ，由PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，PQ ⊥BC 可得P ，Q ，C ，N 四点共圆，P ，Q ，B ，M 四点共圆． 由△MPQ ∽△QPN 得PQ 26MP NP =．4．C5．B 【提示】连接OB ，过C 作CH ⊥BD 交BD 于点H ．∴OBHC 是正方形，CH =1．∵∠ABC =30°，∴∠OAC =60°=∠D ．在Rt △CDH 中，=sin CH D CD ∠，∴CD=． 6．D7．提示：（1）连接OD ，由△BDO ∽△BCA ，得BD =12BC ，又BD 2=BP ·BC ． （2）由（1）可知BC =2BD ，BD =2BP ，得BC =4BP ，∴PC +BP =4BP ，∴PC =3BP ．8．（1）∵直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∴PD ∥QC ．∴当PD =QC 时，四边形PQCD 是平行四边形．由题意可知AP =t ，CQ =2t ， ∴8－t =2t ，3t =8，t =83时，四边形PQCD 为平行四边形． （2）设PQ 与⊙O 相切于点H ，过P 作PE ⊥BC 于E ．∵直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∴PE =AB ．有题意可知AP =BE =t ，CQ =2t ，∴BQ =BC －CQ =22－2t ，EQ =BQ －BE =22－2t －t =22－3t ．∵AB 为⊙O 的直径，∠ABC =∠DAB =90°，∴AD 、BC 为⊙O 的切线．∴AP =PH ，HQ =BQ ．∴PQ =PH +HQ =AP +BQ =22－t ．在Rt △PEQ 中，PE 2+EQ 2=PQ 2，∴122+(22－3t )2=(22－2t )2，即8t 2－88t +144=0，t 2－11t +18=0，∴t1=2，t2=9．∵P在AD边运动时间为8811ADs==，而t=9＞8，∴t=9舍去．∴当t=2时，PQ与⊙O相切．9．提示：AB=4，BC=CD=3，S△AOD=32．作BH⊥AC于H，则Rt△AOD∽Rt△ABH，得OD AO BH AB=．∴12,5BH=S△BCD=185．10．（1）过点O作OD⊥PB于点D，连接OC．∵P A切⊙O于点C，∴OC⊥P A．又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC=OD，∴PB与⊙O相切．（2）过点C作CF⊥OP于点F．在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP5，∵OC·PC=OP·CF=2S△POD，∴CF=125．在Rt△COF中，95 OF．∴EF=EO+OF=245，∴CE=11．（1）AC=165．（2）连接AC，则A，O’，C共线．设OC=a，则AC2=a2+42，又AC2=（a+3）2－52，即a2+42=（a+3）2－52，解得a=163，∴O’8 (2)3，．（3）如图，设⊙O’交x轴于点C，交BA的延长线于D．∵O’A平分∠OAD，∴∠OAC=∠DAC，∴CO CD=，∴OC=CD．∵∠AOC =90°，∴AC 是⊙O ’的直径．∴∠D =90°，∴△AOC ≌△ADC ，∴AD =AO =4．设OC =DC =a ，在Rt △BCD 中，BC =a +3，BD =9，CD =a ， ∴（a +3）2=a 2+92，解得a =12，∴AC 2=OA 2+OC 2=42+122=160，AC =∴⊙O ’的半径长为12．连接AD ，由△CDE ∽△CAD ，有CD CA DE AD =①． 又由△ADE ∽△BDA ，有AE AB DE DA=②． 由①②及AB =AC ，得AE =CD ．由∠DAE =∠EDC ，知CD 是△ADE 外接圆的切线． 故CD 2=CE ·CA ，即AE 2=CE ·CA ．设AE =x ，则CE =d －x ，∴2()x d d x =-，即x 2+dx －d 2=0，解方程并取正根得AE =x ．。
人教版 九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 培优训练(含答案)
人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是()A．1 B．2 C．3 D．43. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.88. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3二、填空题（本大题共8道小题）9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为.10. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.11. 设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. 如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，要使DE是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.14. 已知l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离是3 cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1 cm ，如果圆O 与直线l 1，l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为________cm.15. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．18. 如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．19. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB. (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线； (2)求证：∠CDF ＝∠EDC ；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．人教版 九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C[解析] 如图，连接AB ，BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，可得点A ，B ，C 所在的圆的圆心为O ′(2，0)．只有当∠O ′BF ＝∠O ′BD ＋∠DBF ＝90°时，BF 与圆相切， 此时△BO ′D ≌△FBE ，EF ＝DB ＝2， 此时点F 的坐标为(5，1)．作过点B ，F 的直线，直线BF 经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求． 即与点B 的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．5.【答案】B 【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠C OP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图6. 【答案】C[解析] 在Rt△BCM中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，∴∠BMC＝30°，∴BC＝12MC，即MC＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB＝2 3，∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O 的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.7. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.8. 【答案】D[解析] 设光盘的圆心为O，连接OA，OB，则OB⊥AB，∠OAB＝12×(180°－60°)＝60°.∵AB＝3，∴OA＝6，OB＝3 3，∴光盘的直径是6 3.故选 D.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】2[解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】219°[解析]连接AB ，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】BD ＝CD或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】10 33 如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.∴∠OBD ＝30°，∴OB ＝2OD.由垂径定理，得BD ＝12BC ＝52 cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋(52)2，解得OD ＝56 3 cm.∴OB ＝5 33cm ，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33 cm.14. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.15. 【答案】112.5[解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误． 如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确． 补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点， ∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：⊙A 与直线BC 相交． 理由：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则BD ＝CD ＝8. ∵AB ＝AC ＝10， ∴AD ＝6. ∵6＜7，∴⊙A 与直线BC 相交．18. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°. ∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°， ∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB 是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝1 2.在Rt△AOD中，∵∠BAC＝30°，∴OD＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(1 2)2，∴OD＝36，即点O到弦AB的距离为36.19. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.。
直线与圆的位置关系(含答案)
【知识清单】：
1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
2．圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
3．(2015·大连双基测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－ ， )．
法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝ ，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，
即 >1，
解得k∈(－ ， )．
答案：k∈(－ ， )
[谨记通法]：判断直线与圆的位置关系的2大策略
(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．
(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()
A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0D．2x＋y＋1＝0
解析：选A由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝ ＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.
2020—2021年浙教版九年级数学下册《直线与圆的位置关系》全章高频考点专训及答案解析.docx
专项训练一：直线与圆的位置关系名师点金：直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况，考查方向主要体现在：根据已知条件判断直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系求值或取值范围，有关直线与圆的位置关系的动态探究等．根据d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系1．(中考·江西)在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴、y轴都相切2．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线AB的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，试确定直线AB与⊙O的位置关系．根据直线与圆的位置关系求值或取值范围3．如图，⊙P的半径为2，圆心P是抛物线y＝12x2－1上的点，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．(第3题)4．如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB＝16 cm，cos∠OBH＝4 5 .(1)求⊙O的半径；(2)如果要将直线l向下平移到与⊙O相离的位置，平移的距离应满足什么条件？(第4题)有关直线与圆的位置关系的动态探究5．如图①，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝6，AD＝8.点P，Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB，BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t秒．(第5题)(1)动点P与Q哪一点先到达终点？此时t为何值？(直接写出结果)(2)当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图②)．(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若能，求出t的值或取值范围；若不能，请说明理由．专项训练二：证明切线的技巧名师点金：有关切线的证明分两种情况：一是直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”；二是直线和圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．已知半径，证明垂直1．如图，已知⊙O的半径OB＝1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长．(2)BC是⊙O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．(第1题)连半径，证垂直类型1：连一条半径证垂直2．如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE ⊥AC，垂足为点E.(1)求证：点D是AB的中点；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．(第2题)类型2：连两条半径证垂直3．(中考·玉林)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于点F，若AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝8，DF＝40，求⊙O的半径r.(第3题)作垂直，证半径4．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．(第4题)专项训练三：切线性质的应用名师点金：在应用切线的性质时，如果只有切线，没有半径，就要添加辅助线——连结过切点的半径，则此半径必垂直于切线．应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．利用切线的性质求线段的长度1．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB 于D.若PC＝4，⊙O的半径为3，求OD的长．(第1题)利用切线的性质求角的度数2．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE 的延长线交于F，且AF＝BF，求∠A的度数．(第2题)利用切线的性质证明线段相等3．如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E.求证：CD ＝CE.(第3题)利用切线的性质证明角相等4．如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，延长AB到C，使BC＝OB，过点C作⊙O的切线，E为切点，与BD交于点F，AE的延长线交BD于点D.求证：∠D＝∠DFE.(第4题)答案专项训练一1．A2．解：∵方程x 2－2x ＋d ＝0没有实数根，∴(－2)2－4d ＜0，即d ＞1.当1＜d ＜2时，直线AB 与⊙O 相交；当d ＝2时，直线AB 与⊙O 相切；当d ＞2时，直线AB 与⊙O 相离．3．(6，2)或(－6，2)点拨：当⊙P 与x 轴相切时，由⊙P 的半径为2，且圆的切线垂直于过切点的半径，可得P 点纵坐标为2；又P 在抛物线y ＝12x 2－1上，故将y ＝2代入得：2＝12x 2－1，解得：x 1＝6，x 2＝－ 6. 4．解：(1)∵直线l 与半径OC 垂直，∴HB ＝12AB ＝12×16＝8(cm)． ∵cos ∠OBH ＝HB OB ＝45，∴OB ＝54HB ＝54×8＝10(cm)，即⊙O 的半径为10 cm. (2)在Rt △OBH 中，OH ＝OB 2－HB 2＝102－82＝6(cm)．∴CH ＝OC －OH ＝10－6＝4(cm)．∴将直线l 向下平移到与⊙O 相离的位置时，平移的距离必须大于4 cm.5．(1)解：点P 先到达终点，此时t ＝5.(2)证明：如图，过点B 作BM ⊥AD ，垂足为M ，设圆与AB 交于N ，易得AM ＝2.(第5题)又∵AB＝4，∴∠A＝60°.连结QN，∵PQ为直径，∴∠QNP＝90°，∴∠NQA＝30°.∵AQ＝t，AP＝2t，∴AN＝12t，∴PN＝32t，NQ＝32t，∴PQ＝PN2＋NQ2＝3t.∴AQ2＋PQ2＝AP2.∴△APQ为直角三角形，且∠AQP＝90°.∴以PQ为直径的圆与AD相切．(3)解：能．设圆心为F，作FE⊥CD于E，PH⊥AD于H.∵CP＝10－2t，DQ＝8－t，∴EF＝12(CP＋DQ)＝12(18－3t)，PQ＝2EF＝18－3t.∵PQ2＝PH2＋HQ2，且PH＝AB·sin60°＝23，HQ＝(8－t)－(10－2t)＝t－2，∴(t－2)2＋(23)2＝(18－3t)2.解得t＝13－152或t＝13＋152(舍去)．故当t＝13－152时，以PQ为直径的圆与CD相切．专项训练二1．解：(1)连结BD，∵DE是直径，∴∠DBE＝∠ABD＝90°. ∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，∵C为AD的中点，∴BC＝12AD＝1，∴AD＝2.(2)是，理由如下：∵BC∥OD，BC＝OD，∴四边形BCDO为平行四边形．∵AD为⊙O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形．∴OB⊥BC.∴BC是⊙O的切线．2．(1)证明：连结CD.∵BC是⊙O的直径，∴CD⊥AB.又∵BC＝AC，∴点D是AB的中点．(2)解：DE与⊙O相切．证明如下：连结OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.又∵BC＝AC，D是AB的中点，∴∠BCD＝∠ACD.∵DE⊥AC，∴∠ACD＋∠CDE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°，∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．3．(1)证明：如图，连结OA，OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵D为BE 的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA＋∠OFD＝90°.∴∠OAD＋∠OFD＝90°，∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°.∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，∴∠OAD ＋∠FAC＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵BF＝8，OB＝r，∴OF＝8－r.∵在Rt△OFD中，OD2＋OF2＝DF2，∴r2＋(8－r)2＝(40)2，解得r＝2(舍去)或r＝6.点拨：圆中和中点有关的问题常常结合垂径定理寻找解题方法．(第3题)4．证法一：连结DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴点F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．证法二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．专项训练三1．解：连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴△OPC为直角三角形．∵PC＝4，r＝3，∴OP＝5.易得OC2＝OD·OP，即5·OD＝9，∴OD＝9 5 .2．解：连结OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵AF⊥CD，∴AF∥OC.∴∠A＝∠BOC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.∵AF＝BF，∴∠A＝∠B，∴∠BOC＝∠B＝∠OCB.∴∠B＝60°，则∠A＝60°.3．证明：连结OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠CDE＋∠ODA＝90°.∵CO⊥AB，∴∠A＋∠AEO＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠CDE＝∠AEO＝∠CED.∴CD＝CE.4．证明：连结OE，∵CE切⊙O于点E，∴OE⊥EC.∵OB＝BC，OB＝OE，∴在Rt△OEC中，OC＝2OE，∴∠C＝30°，∴∠COE＝60°.∴∠A＝12∠COE＝30°.∵BD切⊙O于点B，∴AB⊥BD.在Rt△ABD中，∠D＝90°－∠A＝60°.在Rt△FBC中，∠BFC＝90°－∠C＝60°.∴∠DFE＝∠BFC＝60°. ∴∠D＝∠DFE.。
中考数学直线与圆的位置关系专题含答案
【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。
九年级数学 直线与圆的位置关系 专题练习(含解析)
九年级数学直线与圆的位置关系专题练习一、选择题1.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是（）A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3答案：B解析：解答：因为直线l与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3，故选B．分析：当d=r时，直线与圆相切，直线l与圆有一个公共点；当d＜r时，直线与圆相交，直线l与圆有两个公共点；当d＞r时，直线与圆相离，直线L与圆没有公共点．2.在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定答案：A解析：解答：做AD⊥BC，∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙O，∴BC=5，∴AD×BC=AC×AB，解得：AD=2.4，2.4＜3，∴BC与⊙O的位置关系是：相交．故选A．分析：首先求出点A与直线BC的距离，根据直线与圆的位置关系得出BC与⊙O的位置关系．3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，则以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．外离解析：解答：根据题意得：点A到直线BC的距离=AC，∵AC=6cm，圆的半径=6cm，∴以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC相切．故选B．分析：点A到直线BC的距离为线段AC的长度，正好等于圆的半径，则直线BC与圆相切．4.⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定答案：B解析：解答：∵⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，∵8＞4，即：d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选：B．分析：根据圆O的半径和圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．5.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选B．分析：根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．6.已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相离解析：解答：根据圆心到直线的距离10等于圆的半径10，则直线和圆相切．故选B．分析：直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．7.圆O与直线L在同一平面上．若圆O半径为3公分，且其圆心到直线L的距离为2公分，则圆O和直线L的位置关系为（）A．不相交B．相交于一点C．相交于两点D．无法判别答案：C解析：解答：∵圆心到直线的距离是2小于圆的半径3，∴直线和圆相交，∴直线和圆有2个公共点．故选C．分析：根据圆心到直线的距离是2小于圆的半径3，则直线和圆相交，此时直线和圆有2个公共点．8.已知⊙O的半径r，圆心O到直线l的距离为d，当d=r时，直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上都不对答案：B解析：解答：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r时，则直线和圆相切．故选B．分析：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5 C．3 D．5答案：B解析：解答：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．10.⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案：C解析：解答：∵⊙O的直径为10∴r=5，∵d=6∴d＞r∴直线l与⊙O的位置关系是相离故选C分析：因为⊙O的直径为10，所以圆的半径是5，圆心O到直线l的距离为6即d=6，所以d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离．11.已知：⊙O的半径为2cm，圆心到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．1cm或3cm答案：D解析：解答：如图，当l经过点B时，OB=1cm，则AB=1cm；当l移动到l″时，则BC=3cm；故选D．分析：根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为1cm，可向上或向下平移，使l与⊙O相切，即可得出答案．12.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：解答：如图：根据题意知，当∠OAP取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP=OB，OB=AB，∴OA=2OP，∴∠OAP=30°．故选A．分析：根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值．所以在Rt△AOP中，利用直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得此时∠OAP的值．13.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交答案：D解析：解答：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选D．分析：根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d ＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．14.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A．2周B．3周C．4周D．5周答案：C解析：解答：圆在三边运动自转周数：6π÷2π =3，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；可见，⊙O自转了3+1=4周．故选：C．分析：该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数．15.同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定答案：C解析：解答：根据题意画出图形，如图所示：由已知得：BC=30cm，AC=40cm，AB=50cm，∵2222502500AB==，+=+=+=，22BC AC304090016002500∴222+=BC AC AB∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC为圆B的切线，则此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．故选C．分析：根据题意画出相应的图形，由三角形ABC的三边，利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据垂直定义得到AC与BC垂直，再利用切线的定义：过半径外端点且与半径垂直的直线为圆的切线，得到AC为圆B的切线，可得出此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．二、填空题16.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB 有且只有两个公共点，则r的取值范围是.答案：245＜r≤6解析：解答：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．根据勾股定理求得AB=10．圆与AB相切时，即r=CD=6×8÷5=24 5；∵⊙C与线段AB有且只有两个公共点，∴245＜r≤6．分析：根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．17.⊙O的直径为12，圆心O到直线l的距离为12，则直线l与⊙O的位置关系是. 答案：相离解析：解答：∵⊙O的直径为12∴r=6，∵d=12∴d＞r∴直线l与⊙O的位置关系是相离.分析：因为⊙O的直径为12，所以圆的半径是6，圆心O到直线l的距离为12即d=12，所以d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离．18.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移cm时与⊙O相切．答案：2解析：解答：∵直线和圆相切时，OH=5，又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2 =4，OA=5，∴OH=3．∴需要平移5-3=2cm．故答案为：2．分析：根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．19.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程2x-4x+m=0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为．答案：4解析：解答：∵d、R是方程-4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，∴方程有两个相等的实根，∴△=16-4m=0，解得，m=4，故答案为：4．分析：先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．20.已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（写出符合的一种情况即可）．答案：2解析：解答：∵2223425,525+==∴三角形为直角三角形，设内切圆半径为r，则1 2（3+4+5）r=12×3×4，解得r=1，所以应分为五种情况：当一条边与圆相离时，有0个交点，当一条边与圆相切时，有1个交点，当一条边与圆相交时，有2个交点，当圆与三角形内切时，有3个交点，当两条边与圆同时相交时，有4个交点，故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．故答案为2．分析：根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个．三、解答题21.已知⊙O的周长为6π，若某直线l上有一点到圆心O的距离为3，试判断直线l与⊙O的位置关系.答案：相切或相交解答：∵⊙O的周长为6π，∴⊙O的半径为3，∵直线l上有一点到圆心O的距离为3，∴圆心到直线的距离小于或等于3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切.解析：分析：首先根据圆的周长求得圆的半径，然后根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系得到两圆的位置关系即可．22.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA 的位置关系.答案：相切解答：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．解析：分析：利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可．23.已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为4.5cm，那么直线和圆有几个公共点．答案：2解析：解答：已知圆的直径为13cm，则半径为6.5cm，又∵圆心距为4.5cm，小于半径，∴直线与圆相交，有两个交点．答：直线和圆有2个公共点．分析：欲求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把直线和圆心的距离4.5cm与半径6.5cm进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d ＞r，则直线与圆相离．（d为直线和圆心的距离，r为圆的半径）24.圆心O到直线L的距离为d，⊙O半径为r，若d、r是方程2x-6x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，求m的值．答案：9解答：∵d、r是方程x2-6x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=r，∴方程有两个相等的实根，∴△=36-4m=0，解得，m=9．解析：分析：先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．25.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.答案：相切解答：如图：∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，∴∠CAD=∠CDA=30°．连接OC，∵AO=CO，∴△AOC是等腰三角形，∴∠CAO=∠ACO=30°，∴∠COD=60°，在△COD中，又∵∠CDO=30°，∴∠DCO=90°∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．解析：分析：已知点C在⊙O上，先连接OC，由已知CA=CD，∠CDA=30°，得∠CAO=30°，∠ACO=30°所以得到∠COD=60，根据三角形内角和定理得∠DCO=90°即能判断直线CD与⊙O的位置关系．。
初三数学中考复习直线与圆的位置关系专题训练题含答案
2019 初三数学中考复习直线与圆的位置关系专题训练题1. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( B )A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．以点P(1，2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r应满足( A ) A．r＝2或 5 B．r＝2 C．r＝ 5 D．2≤r≤53．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为( C )A.32B.32C. 3 D．234．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( A )A．20° B．35° C．40° D．55°5. 如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于点P，O1O2＝8，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( B )A．3次 B．5次 C．6次 D．7次6. 如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处，若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( C )A．3 B．4 C．2＋ 2 D．227．如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为__123°__．8．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是．9．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d，我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m，如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：当d＝3时，m＝__1__；当m ＝2时，d的取值范围是__1＜d＜3__.10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为__122°__．11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为3．12．如图，直线y＝－34x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B；点Q是以C(0，－1)为圆心，1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是5．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)．动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为__(0，0)或(23，1)或(32． 14．如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证：DE ＝DB ；(2)若∠BAC＝90°，BD ＝4，求△ABC 外接圆的半径．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，∴BD ︵＝CD ︵.∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.(2)连结CD ，∵BD ︵＝CD ︵，∴CD＝BD ＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC 是直径，∴∠BDC＝90°，∴BC＝BD2＋CD2＝42，∴△ABC 外接圆的半径＝12×42＝2 2. 15．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG∥AE 交BA 的延长线于点G.(1)求证：CG 是⊙O 的切线；(2)求证：AF ＝CF ；(3)若∠EAB＝30°，CF ＝2，求GA 的长．解：(1)证明：连结OC ，可得OC⊥AE，又CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG 是⊙O 的切线．(2)证明：连结AC ，延长CD ，交⊙O 于Q ，∵CD⊥AB，∴AC ︵＝AQ ︵.又AC ︵＝CE ︵，∴AQ ︵＝CE ︵，∴∠ACD＝∠CAF，∴AF＝CF.(3)在Rt△ADF 中，∠DAF＝30°，FA ＝FC ＝2，∴DF＝12AF ＝1，∴AD＝3DF ＝3.∵AF∥CG，∴DA∶AG＝DF∶CF，即 3∶AG＝1∶2，∴GA＝2 3.16．如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连结BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM 平分∠ACD，且分别交AD ，BD 于点M ，N ，当DM ＝1时，求MN 的长．解：(1)证明：连结OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A＋∠ABD＝90°.又∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠CDB＋∠ODB＝90°.∵OD＝OB ，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM 平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.又∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM ＝1，∴DN＝DM ＝1，∴MN＝DM2＋DN2＝ 2.17．如图，已知BF 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上(异于B ，F)一点，⊙O 的切线MA 与FB 的延长线交于点M ；P 为AM 上一点，PB 的延长线交⊙O 于点C ，D 为BC 上一点且PA ＝PD ，AD 的延长线交⊙O 于点E.(1)求证：BE ︵＝CE ︵；(2)若ED ，EA 的长是一元二次方程x2－5x ＋5＝0的两根，求BE 的长；(3)若MA ＝62，sin∠AMF＝13，求AB 的长． 解：(1)证明：连结OA ，OE 交BC 于点T ，∵AM 是切线，∴∠OAM＝90°，∴∠PAD＋∠OAE＝90°.∵PA＝PD ，∴∠PAD＝∠PDA＝∠EDT.∵OA＝OE ，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠EDT＋∠OEA＝90°，∴∠DTE＝90°，∴OE⊥BC，∴BE ︵＝CE ︵.(2)∵ED，EA 的长是一元二次方程x2－5x ＋5＝0的两根，∴ED·EA＝5.∵BE ︵＝EC ︵，∴∠BAE＝∠EBD.∵∠BED＝∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴BE AE ＝DE EB，∴BE2＝DE·EA＝5，∴BE＝ 5. (3)作AH⊥OM 于点H ，在Rt△AMO 中，∵AM＝62，sin∠M＝13＝OA OM，设OA ＝m ，OM ＝3m ，∴9m2－m2＝72，∴m＝3，∴OA＝3，OM ＝9.易知∠OAH＝∠M，∴sin∠OAD＝OH AO ＝13，∴OH＝1，AH ＝22，BH ＝2，∴AB＝AH2＋BH2＝（22）2＋22＝2 3.。
【2020初三数学】直线和圆的位置关系 切线长定理含答案
直线和圆的位置关系切线长定理一．选择题1．关于下列四种说法中，你认为正确的有（）①垂直于弦的直线一定经过圆心；②经过直径外端的直线是圆的切线；③对角互补的四边形四个顶点共圆；④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．已知⊙O的半径r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上都不对4．如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（）A．2.5B．C．2D．35．如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（）A．25°B．28°C．30°D．35°6．如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠BCO＝α，则∠P的度数为（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣2αD．45°+2α7．如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P＝40°，则∠BAC＝（）A．40°B．80°C．20°D．10°8．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（）A．18°B．27°C．36°D．54°9．如图，AB是圆O的直径．点P是BA延长线上一点，PC与圆O相切，切点为C，连接OC，BC，如果∠P＝40°，那么∠B的度数为（）A．40°B．25°C．35°D．45°10．如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．12．如图，P A、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则P A＝cm．13．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是cm．14．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．15．如图示P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，直线EF也是⊙O的切线，Q是切点，交P A、PB于E、F点．若P A＝10cm，则△PEF的周长为cm；若∠APB＝50°，则∠EOF的度数为．三．解答题16．如图，△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，∠ABC的平分线交AC于点O，若⊙O与AB相切于点D．（1）判断BC与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求⊙O的半径长．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．18．如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥P A，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，P A＝AB，且CQ＝6，求BD的长．参考答案一．选择题1．解：①垂直平分弦的直线经过圆心，故①不符合题意；②经过直径外端切垂直于这条直径的直线是圆的切线，故②不符合题意；③对角互补的四边形四个顶点共圆；故③符合题意；④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分，故④符合题意；故选：B．2．解：如图，连接OA，OB，∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝130°，∴∠ABO＝40°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，故选：B．3．解：已知⊙O的半径r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O的位置关系是相交，故选：A．4．解：如图，连接BD交AC于点O′，作BF⊥CD于F，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵菱形ABCD的边长为10，面积为80，∴CD•BF＝80，∴BF＝8，∴FC＝＝＝6，∴DF＝CD﹣FC＝10﹣6＝4，∴BD＝＝＝4，∴O′D＝O′B＝BD＝2，∵∠AEO＝∠AO′B＝90°，∠OAE＝∠BAO′，∴△AOE∽△ABO′，∴＝，即：＝，∴OE＝，故选：B．5．解：连接OA，∵P A为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠AOP＝30°，故选：C．6．解：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC＝α，∴∠AOP＝2∠ABC＝2α，∵P A是⊙O的切线，∴P A⊥AB，∴∠P AO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣2α，故选：B．7．解：连接OB，∵P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝140°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝20°，故选：C．8．解：连接BC，∵BP是⊙O的切线，∴AB⊥BP，∴∠ABP＝90°，∴∠BAP＝90°﹣∠P＝54°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAP＝36°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝36°，故选：C．9．解：∵PC与圆O相切，切点为C，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣40°＝50°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵∠POC＝∠B+∠C，∴∠B＝POC＝25°．故选：B．10．解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴P A＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，P A＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．二．填空题11．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，故答案为：50．12．解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵P A、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴P A＝PB；同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝P A+PB＝10（cm）；∴P A＝PB＝5cm，故答案为：5．13．解：∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的直径6cm．故答案为：6．14．解：根据切线长定理，得AD＝AE，BC＝BE，所以梯形的周长是5×2+4＝14，故答案为：14．15．解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∵EF也是⊙O的切线，∴EA＝EQ，FB＝FQ，∴△PEF的周长＝P A+PB＝10+10＝20cm，∵∠APB＝50°，∴∠AOB＝130°，∴∠EOF＝65°．故答案为：20，65°．三．解答题16．解：（1）BC与⊙O相切，理由如下：连接OD，作OE⊥BC，垂足为E，∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB，∵BO平分∠ABC，OE⊥BC，OD⊥AB，∴OE＝OD，∴BC与⊙O相切；（2）∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，∴S△ABC＝×3×4＝6，∵OD⊥AB，OE⊥BC，∴S△ABC＝×3×OD+×4×OE，解得，OD＝OE＝，即⊙O的半径为．17．（1）证明：连接DE，如图1，∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，∴∠C＝∠E，∴∠E＝∠BAD，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠E+∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝90°，即∠BAE＝90°，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：如图2，作AH⊥BC，垂足为点H，∵AB＝AC，∴BH＝CH，∵∠B＝∠C＝∠BAD，∴△ABC∽△DBA，∴，即AB2＝BD•BC，又AB＝2，BD＝AD＝3，∴BC＝8，在Rt△ABH中，BH＝CH＝4，∴AH＝＝＝2，∵∠E＝∠B，∠ADE＝∠AHB，∴△AED∽△ABH，∴，∴＝3．18．（1）证明：连接OP．∵P A、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴P A＝PC，OA⊥P A，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OP A≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥P A，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4．。
浙教版九年级数学下册培优练习附答案：第二章直线与圆的位置关系复习
第二章直线与圆的位置关系 复习、选择题（共20小题）1.已知圆的半径是£，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.内含2.如图，一中，■八 ，：=1，—「•'•，点和在■•上，以「为直径作-与厂相切于点上-，贝」二的长为4.设-的半径为丄，圆心门到直线的距离「' -小，且亠使得关于、的方 程有实数根，则直线•与-的位置关系为：■A.相离或相切B.相切或相交C.相离或相交D.无法确定5. 已知-的半径为=直线，上有一点满足，则直线：与 的位 置关系是 A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交6. 已知•的半径「一，设圆心卩到一条直线的距离为』，圆上到这条直线 的距离为：的点的个数为-,给出下列命题： ① 若、，则却“；②若” --,则儿■1 ;③若|」…，则-;④若丿:，则小；;⑤若八】，则川-.其中正确命题的个数是A 「B. 1C. 'D.-D.；3.在平面直角坐标系中，半径为 位置关系是A.相离B.相交的圆的圆心在C.相切「計，则这个圆与■■轴的D.无法确定n7.如图，在 .中，为直径，&为弦，「：为切线，连接厂心◎,贝S f ■-的度数为A. B.C.；D. ioo fl8.如图，点厂在 ■夕卜,分别与 相切于-,两点，•B. 150*C. I9.如图，■是的切线，K 为切点，：的延长线交 •于＜■丿,连接A.B. f10. 如图，在矩形“中，以4,…一：分别与 …三点，过点小作'的切线交1于点•'「，切点为、:, 长为相切于 则八「的—.注等于.A.-B.：C.11. 如图，正六边形 …A …:丁内接于 ，若直线「与•相切于点"，则与小圆相交，则弦长：二的取值范围是13.如图，」为-的直径，-■■■■切■于点「，过点交••于点"，连接.若"，贝S■-的度数是■■■ ■.■ - ；_ :，则」等于A. B. C.-12.如图，以点门为圆心的两个同心圆，半径分别为 三和1■，若大圆的弦' R 作U r 于点Is ,A. C.D. 14.如图, ?与 相切于点曲，―的延长线交■于点「连接 ,若LPAB = DB. A.0 > SA. ■■■B.C.-15. 在矩形中，.；-：• ,「：• ——4 ,有一个半径为1的硬币与边.：.? , 相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边：「・，「：，「•:滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是.:.A. \圈B.：圈C. 圈D. 4圈16. 在等腰直角三角形小：中，、-■ --1 ，点门为丁的中点，以心为圆心作oo 交-■■于点二，与相切，切点分别为八，止，则C.:，--的半径和me 的度数分别为17. 在平面直角坐标系中，以点「为圆心，］为半径的圆必定•：•A.与-轴相离、与：轴相切B.与■•轴、|轴都相离C.与■轴相切、与■轴相离D.与、轴、；轴都相切18. 已知门的半径一设圆心门到一条直线的距离为圆上到这条直线的距离为"的点的个数为小，给出下列命题：①若J '，则小* i ；②若S则| ；③若「—，则"「；④若"L，则“ -】；⑤若- 1，则"：1 . 其中正确命题的个数是A. 1B.-19. 如图，在矩形 心:川中m — 4，以—为直径作半圆"，过点.1 作半圆卩的切线交于点切点为I 贝y …的长为、填空题（共10小题）21. ____________________________________ 如图，•「是「的直径，点「在；、的延长线上，宀 与••相切，切点 为门.如果一一:,那么「等于 .22.已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在■轴的正半轴上并与直线' —■相切，设半圆I 、半圆L 、半圆㈡的半径分别是\ ,A. \20. 如图，半径为-的“内有一点C.D."i，-- ■■ 点屮在。
直线和圆的位置关系练习题(带答案)
直线和圆的位置关系练习题（一）班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案)1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直 线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70°B. 35°C. 20°D. 10°3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ， 下列结论中，错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B. PA=PBC. AB ⊥OPD. =2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B. 635 C. 10 D. 55．已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（ A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°8．内心与外心重合的三角形是（ ）A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形C. 不等边三角形D. 形状不确定的三角形9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD =20，则△ABC 的周长为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 2135二、填空题：(每小题5分，共30分)11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________． 12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD=_________．13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．B DAC EF3题图）4题图）DCBAP14．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____．15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________． 16．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、 DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P =35°，则∠Q=________．三、解答题：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，MN 为⊙O 的切线，A 为切点，过点A 作AP ⊥MN ，交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm ，PB=5cm ，PC=3cm ，求⊙O 的直径．18．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．APDBABCD EOABCDE OABCDQP19．AB 、CD 是两条平行弦，BE//AC ，交CD 于E ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ， 求证：AC 2=PC ·CE ．20．点P 为圆外一点，M 、N 分别为AB ⌒、CD ⌒的中点，求证：∆PEF 是等腰三角形．21．ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点，求证：BE ·AD=BC ·CD ．22．已知∆ABC 内接于⊙O ，∠A 的平分线交⊙O 于D ，CD 的延长线交过B 点的切线于E ．求证：CEDE BC CD 22=．E A B DC23．如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C ，直线CB 交⊙O 2于D ，直线DA 交⊙O 1于E ，求证：CD 2 =CE 2＋DA ·DE ．参考答案基础达标验收卷 一、选择题：二、填空题： 1. 相交或相切 2. 13. 54. 35°5.251+ 6. 667. 2 8. 109. 3 10. 6三、解答题：1. 解：如右图，延长AP 交⊙O 于点D . 由相交弦定理，知PC PB PD PA ··=. ∵P A =2cm ，PB =5cm ，PC =3cm ， ∴2PD =5×3. ∴PD =7.5. ∴AD =PD +P A =7.5+2=9.5.∵MN 切⊙O 于点A ，AP ⊥MN ， ∴AD 是⊙O的直径. ∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证明：如图，连结OP 、BP .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°.又∵CE =BE ，∴EP =EB . ∴∠3=∠1. ∵OP =OB ，∴∠4=∠2.∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠1+∠2=90°. ∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径， ∴PE 是⊙O 的切线.3.（1）△QCP 是等边三角形.证明：如图2，连结OQ ，则CQ ⊥OQ .N A∵PQ =PO ，∠QPC =60°， ∴∠POQ =∠PQO =60°. ∴∠C =︒=︒-︒603090.∴∠CQP =∠C =∠QPC =60°. ∴△QCP 是等边三角形. （2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形.4. 解：（1）PC 切⊙O 于点C ，∴∠BAC =∠PCB =30°. 又AB 为⊙O 的直径，∴∠BCA =90°. ∴∠CBA =90°.（2）∵PCB PCB CBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060，∴PB =BC .又362121=⨯==AB BC ，∴9=+=AB PB PA .5. 解：（1）连结OC ，证∠OCP =90°即可. （2）∵∠B =30°，∴∠A =∠BGF =60°. ∴∠BCP =∠BGF =60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C ，∴PD ·PE =48)34(22==PC . 又∵36=BC ，∴12=AB ，33=FD ，3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD 、PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .（3）当G 为BC 中点时，OD ⊥BC ，OG ∥AC 或∠BOG =∠BAC ……时，结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立，只要证明△BFC ∽△BGO 即可，凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都可以.能力提高练习1. CD 是⊙O 的切线；BA DB CD ·2；︒=∠90ACB ；AB =2BC ；BD =BC 等. 2. （1）①∠CAE =∠B ，②AB ⊥EF ，③∠BAC +∠CAE =90°，④∠C =∠F AB ，⑤∠EAB =∠F AB . （2）证明：连结AO 并延长交⊙O 于H ，连结HC ，则∠H =∠B . ∵AH 是直径，∴∠ACH =90°.∵∠B =∠CAE ，∴∠CAE +∠HAC =90°.∴EF ⊥HA . 又∵OA 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的平分线，其交点就是小亭的中心位置.5. 略.6.（1）假设锅沿所形成的圆的圆心为O ，连结OA 、OB . ∵MA 、MB 与⊙O 相切，∴∠OAM =∠OBM =90°.又∠M =90°，OA =OB ，∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA =MA .量得MA 的长，再乘以2，就是锅的直径.（2）如右图，MCD 是圆的割线，用直尺量得MC 、CD 的长，可求得MA 的长. ∵MA 是切线，∴MD MC MA ·2=，可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. （1）∵BD 是切线，DA 是割线，BD =6，AD =10，由切割线定理，得AB CDMDA DE DB ·2=.∴6.310622===DA DB DE .（2）设是上半圆的中点，当E 在BM 上时，F 在直线AB 上；E 在AM 上时，F 在BA 的延长线上；当E 在下半圆时，F 在AB 的延长线上，连结BE . ∵AB 是直径，AC 、BD 是切线，∠CEF =90°， ∴∠CAE =∠FBE ，∠DBE =∠BAE ，∠CEA =∠FEB . ∴Rt △DBE ∽Rt △BAE ，Rt △CAE ∽Rt △FBE . ∴AE BE BA DB =，AE BE AC BF =. 根据AC =AB ，得BD =BF .。
上海市初三数学复习专题及答案-直线与圆的位置关系
授课类型 直线与圆的位置基础 直线与圆的位置 综合教学内容直线与圆的位置关系一、知识要点1、直线与圆的位置关系（注意直线与圆相交时r d <≤0；其中d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径）。
问题：直线与圆的位置关系有几种？每种位置关系对应的直线与圆的交点个数如何？什么是割线？什么是切线？2、切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）说明：应用判定定理，需同时满足以下两个条件：（1）过半径外端，（2）与这条半径垂直 证明切线的方法：（1）如果已知直线过圆上某一点，则可作出这一点的半径证明直线垂直于该半径。
即为“连半径证垂直得切线”。
（2）若已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即为：“作垂直证半径得切线”。
二、知识应用题型一：切线的判定定理（1）下列说法中，一定正确的是（ ）（A ）切线与圆有公共点 （B ）与圆有公共点的直线是圆的切线 （C ）经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线 （D ）如果直线与圆不相切，那么就一定相交（2）下列命题中正确的个数是（ ）①与圆有一个公共点的线段是切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是切线 ③垂直于圆的半径的直线是圆的切线 ④过圆直径的端点，垂直此直径的直线是切线（13）如图：AB 是⊙O 的弦，AB=12，PA 切⊙O 于A ，PO ⊥AB 于C ，PO=13。
求PA 的长。
（14）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，点D 在边BC 上，过点A 、D 的圆的圆心O 在边AB 上①求证：BC 是⊙O 的切线 ②如果AC ＝3，AB ＝8，求⊙O 半径的长二、基础应用 1、选择题（1）如果直线l 与⊙o 至少有一个公共点，圆心到l 的距离d 与半径r 的关系为（ ）（A ）r d > （B ）r d = （C ）r d < （D ）r d ≤（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，AB=20，以C 为圆心,以35为半径的圆与AB 关系( )（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相切或相离 （3）下列命题中正确的个数是（ ）C BO PAOCBAD①与圆有公共点的直线是切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是切线 ③垂直于圆的半径的直线是圆的切线 ④过圆直径的端点，垂直此直径的直线是切线 （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个（4）已知AB 为⊙O 的弦，P 为⊙O 外一点，AB ⊥OP ，垂足为D ，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，AB=8cm ，OD=3cm ，则PA=（ ） （A ）5cm （B ）8cm （C ）320cm （D ）325cm 2、填空题（1）已知圆的直径为15cm ,直线与圆心的距离为d ，当d =9cm 时，直线与圆_____,若直线与圆相切，则d =____（2）⊙O 的半径为6cm,弦AB 长为36cm ，则以O 圆心以3cm 为半径的圆与AB 的关系是______ （3）已知点M 到直线L 的距离是3cm ，若⊙M 与L 相切。
初中数学竞赛：直线与圆(附练习题及答案)
初中数学竞赛：直线与圆直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察．讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．【例题求解】【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为．思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半径．注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是( )A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50°思路点拨 略【例3】 如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论：DE 是⊙O 的切线．问：(1)若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；(2)如果AB=AC=5cm ，sinA=53，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切?思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解．【例4】 如图，已知Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)． (1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长；(2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由．思路点拨 对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围．注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；【例5】如图，在正方形ABCD 中，AB=1，︵AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作︵AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点．（1）当∠DEF=45°时，求证点G 为线段EF 的中点；（2）设AE=x ，FC=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图，当EF=65时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．思路点拨 图中有多条⊙B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出x 的值，确定E 点位置，这是解题的关键．注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互 助等思想方法，具有较强的选拔功能．专题训练1．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a， FM=a3，那么△PMB的周长为．2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB= ．3．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是．4．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，过点D作⊙O的切线交AC于E，要使DE ⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是．5．1l、2l表示直线，给出下列四个论断：①1l∥2l；②1l切⊙O于点A；③2l切⊙O于点B；④AB是⊙O的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( )1 B．2 C．3 D．46．如图，圆心O在边长为2的正方形ABCD的对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，则⊙O的半径是( )A．)12(2- B．)12(2+ C．122- D．122+7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC<DC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点( )A．不存在 B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个8．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列结论：①CH=CP；②A D=DB；③AP＝BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是( )A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③⌒⌒9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，(1)求弦AC、AB的长；(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．10．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半径；(3)求sin∠PCA的值．11．(1)如图a，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F(不与B重合)，直线l交⊙O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、 AD，求证：①∠BAD=∠CAG；②AC·AD=AE·AF．(2)在问题(1)中，当直线l向上平行移动与⊙O相切时，其他条件不变．①请你在图b中画出变化后的图形，并对照图a标记字母；②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则⊙O的半径等于．13．如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明．(2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是三角形．(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是 三角形．14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若AB=3，ED=2，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3．5D ．415．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 切点，直线OP 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，AF为⊙O 的直径，下列结论：(1)∠APB=∠AOP ；(2)BC=DF ；(3)PC ·PD=PE ·PO ，其中正确结论的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个16．如图，已知△ABC ，过点A 作外接圆的切线交BC 的延长线于点P ，22=PA PC ，点D 在AC 上，且21=CD AD ，延长PD 交AB 于点E ，则BE AE 的值为( ) A ．41 B ．42 C ．21 D ．2217．如图，已知AB 为半圆O 的直径，AP 为过点A 的半圆的切线． 在AB 上任取一点C(点C 与A 、B 不重合)，过点C 作半圆的切线CD 交AP 于点D ；过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．连结BD ，交CE 于点F ． (1)当点C 为AB 的中点时(如图1)，求证：CF ＝EF ；(2)当点C 不是AB 的中点时(如图2)，试判断CF 与EF 的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．⌒ ⌒ ⌒⌒18．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D 在AC 边上，以D 为圆心的⊙D 与AB 切于点E ．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)设⊙D 与BC 交于点F ，当CF=2时，求CD 的长；(3)设CD=a ，试给出一个a 值，使⊙D 与BC 没有公共点，并说明你给出a 的值符合的要求．19．如图，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ，交AB 于点D ．求证：BDADBC AC 22 20．如图，⊙O ˊ与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，圆心O ˊ的坐标是(1，一1)，半径是5，(1)求A 、B 、C 、D 四点的坐标； (2)求经过点D 的切线的解析式；(3)问过点A 的切线与过点D 的切线是否垂直?若垂直，请写出 证明过程；若不垂直，试说明理由．21．当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高处点P 距离地面a 米，最低处点Q 距离地面b 米，观赏者的眼睛点E 距离地面m 米，当过 P 、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．(1)设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m，x的关系式；(2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：(a)点E和墙壁距离x米；(b)最大视角∠PER的度数(精确到1度)．参考答案。
2021-2022学年九年级数学苏科版上册《直线与圆的位置关系》同步培优提升训练(附答案)
2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.5直线与圆的位置关系》同步培优提升训练（附答案）一．选择题（共8小题）1．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（）A．120°B．125°C．135°D．140°2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O 的半径为（）A．1B．C．2D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O 与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（）A．B．C．D．14．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（）A．30°B．35°C．45°D．55°5．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（）A．110°B．120°C．125°D．130°6．如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（）A．50°B．48°C．45°D．36°7．如图，P是⊙O外一点，射线P A、PB分别切⊙O于点A、点B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点D、点C，若PB＝4，则△PCD的周长（）A．4B．6C．8D．108．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4二．填空题（共8小题）9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交点为B，C，圆心M 的坐标是（4，5），则弦BC的长度为．10．如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为．11．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝度．12．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P 作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．13．如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点．过D向AC作垂线DE垂足为点E．若DE＝2CE＝4，则直径AB＝．14．在平面直角坐标系内，已知点A（3，4），如果圆A与两坐标轴有且只有3个公共点，那么圆A的半径长是．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G 三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值．三．解答题（共6小题）17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．18．如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC ∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．19．如图△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥BE于E点，EF与AB交于F点，△BEF的外接圆⊙O与BC交于D点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．20．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求线段OF的长度．21．已知：如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°，连接OD，AD．过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如果OD＝CD＝2，求AB的长．22．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC、BC，（1）求证：BC平分∠ABE．（2）若∠ACD＝30°，⊙O的半径为2，求CE的长．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝∠AOB，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+∠AOB，∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．∵∠AIB＝125°，∴∠AOB＝140°．故选：D．2．解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD＝OE＝OF，∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC+S△AOB＝BC•DO+AC•OE+AB•FO＝（BC+AC+AB）•OD，∵∠C＝90°，∴AC•BC＝（BC+AC+AB）•OD，∴OD＝＝1．故选：A．3．解：连接OD，过点O作OF⊥BC于F，则BF＝EF，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，OF⊥BC，∴OD∥BC，四边形ODCF为矩形，∴CF＝OD＝2，∴BC＝，∴BF＝BC﹣CF＝﹣2＝，∴BE＝2BF＝，∴CE＝BC﹣BE＝﹣＝，故选：B．4．解：连接OA，∵P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠P AO﹣∠P＝110°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°，故选：B．5．解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP、BP是⊙O切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．故选：C．6．解：连接AD，∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝6，AG＝AD＝3，∴AD＝AB，∴∠B＝30°，∴∠GAD＝60°，∵∠CDE＝18°，∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°，∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°，故选：B．7．解：∵P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝4，BC＝EC，AD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+BC+PD+AD＝PB+P A＝4+4＝8，即△PCD的周长为8，故选：C．8．解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二．填空题（共8小题）9．解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，则BH＝CH，∴BC＝2BH，∵⊙M与x轴相切于点A，∴MA⊥OA，∵圆心M的坐标是（4，5），∴MA＝5，MH＝4，∴MB＝MA＝5，在Rt△MBH中，由勾股定理得：BH＝＝＝3，∴BC＝2×3＝6，故答案为：6．10．解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EOD+∠OEC＝180°，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°∴∠EOD＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CFO＝90°，∴四边形OECF为矩形，∴FC＝OE，∵AD为直径，AD＝12，∴FC＝OE＝OD＝AD＝6，∵OC＝AB，CF⊥AD，∴OF＝OD＝3，在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2＝OF2+FC2＝32+62＝45，∴AB＝OC＝3，∴▱ABCD的周长为12+12+3+3＝24+6，故答案为：24+6．11．解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，连接OO′，如图，∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，∵OB＝OO′，∴△OO′B为等边三角形，∴∠OBO′＝60°，∴∠ABA′＝60°，∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．故答案为85．12．解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，∵等边三角形ABC的边长为4，∴AB＝CB＝4，∠BCH＝ACB＝60°＝30°，∴BH＝AB＝2，CH＝BC＝×4＝2，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ＝＝，∵点P是AB边上一动点，∴当点P运动到H点时，CP最小，即CP的最小值为2，∴PQ的最小值为＝3，故答案为：3．13．解：连接CD，BD，OD，过点D作DP⊥AB于点P，∵DE⊥AC，DE＝2CE＝4，∴CE＝2，∴CD＝＝2，∵AD是∠BAC的平分线，DP⊥AB，DE⊥AC，∴∠BAD＝∠DAC，DP＝DE＝4，∴BD＝CD＝2，∴PB＝＝2，在Rt△ODP中，设OD＝r，则OP＝r﹣2，∴r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AB＝2r＝10．故答案为：10．14．解：①如图，当圆心在（3，4）且与x轴相切时，r＝4，此时⊙A与坐标轴有且只有3个公共点．②当圆心在（3，4）且经过原点时，r＝5．此时⊙A与坐标轴有且只有3个公共点，故答案为：4或5．15．解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在R t△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3+＝．故答案为．16．解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣4，0）、B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵S△AOB＝，∴OP＝＝，∴PQ＝＝；故答案为：．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE＝OD＝5，∴CE＝OE﹣OC＝5﹣5．18．（1）证明：连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC∥MN，∴OD⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠COD；（2）∵E是OD的中点，∴OE＝DE＝2，在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．19．解：（1）连接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∵OB＝OE，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠CBE＝∠OEB，∴BC∥OE，∴∠AEO＝∠C，∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AE，∵OE为半径且E为半径的外端，∴AC为⊙O的切线．（2）连接DE，∵BE平分∠ABC，AC⊥BC，EH⊥AB，∴CE＝EH，DE＝EF，∴Rt△CDE≌Rt△HFE（HL），∴CD＝HF＝1，∵OE2＝OH2+EH2，∴OE2＝（OE﹣1）2+32，解得：OE＝5，∴OH＝4，∴BH＝9，∴BE＝．20．（1）证明：连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60o，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠CDO＝∠A＝60o，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠FDO＝∠AFD＝90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AB，OC＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，∴∠ADF＝30°，∵AF＝1∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，由勾股定理得：DF2＝3，在Rt△ODF中，OF＝，∴线段OF的长为．21．（1）证明：如图，连接OA，∵∠C＝45°，∴∠DOA＝90°，∴AO⊥OD，∵AB∥OD，∴OA⊥AB，∵OA是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OC，∵OD＝CD＝2，∴△OCD为等边三角形，∵∠CAD＝30°，∴∠DAB＝45°，∴∠CAB＝75°，∵∠C＝45°，∴∠B＝60°，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵DA＝2，△DAM为等腰直角三角形，∴AM＝2，DM＝2，MB＝，∴AB＝2+．22．（1）证明：连接OC，如图所示，∵CD是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥DE，∵BE⊥DE，∴CO∥BE，∴∠OCB＝∠EBC，又∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC；∴∠OBC＝∠EBC，∴BC平分∠ABE；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵∠OCB+∠ACO＝90°，∴∠ACD＝∠OCB，∴∠ACD＝∠OCB＝∠OBC＝∠CBE，∵∠ACD＝30°，∴∠ABC＝∠CBE＝30°，∵⊙O的半径为2，∴AB＝4，∴AC＝2，∴BC＝＝2，∵BC平分∠ABE，∵∠CBE＝30°，∴CE＝BC＝．。
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专题20 直线与圆的位置关系（1）阅读与思考圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有： 1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，交BA 的延长线于E .若AB ＝3，DE ＝2，则BC 的长为( ) （青岛市中考试题）A ．2B ．3C ．3.5D ．4例1题图 例2题图解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C 点看可应用切线长定理，从E 点看可应用切割线定理，又EC 为⊙O 的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.【例2】如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB ＝45°，∠ABC ＝120°，⊙O 的半径为1. (1) 求弦AC ，AB 的长;(2) 若P 为CB 的延长线上一点，试确定P 点的位置，使P A 与⊙O 相切，并证明你的结论.（哈尔滨市中考试题）解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB 与BC ，或PC 与BC 的关系，或求得PB 或PC 的长，点P 的位置即可确定.E【例3】已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点.过点P 作BC 的平行线交BT 于点E ，交直线AC 于点F .(1) 当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：P A •PB ＝PE •PF ；(2) 当点P 为线段BA 的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. （北京市中考试题）解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD 折叠，使得顶点A 与边DC 上的动点P 重合（P 不与点D ，C 重合），MN 为折痕，点M ，N 分别在边BC ，AD 上.连接AP ，MP ，AM ，AP 与MN 相较于点F ，⊙O 过点M ，C ，P .(1) 请你在图1中作出⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；(2)AF AN 与APAD是否相等？请说明理由； (3) 随着点P 的运动，若⊙O 与AM 相切于点M 时，⊙O 又与AD 相切于点H .设AB 为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.（宜昌市中考试题）解题思路：对于(3)，只依靠AB 的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C ＝90°，⊙O 过点M ，C ，P ，故将画出矩形的条件转化为求出CP （或MP ）的长.当矩形确定后，依据线段CP 的长，就可确定P 点的位置.TTC MNNN【例5】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AD ，BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于点E ，连接EO 并延长交BC 于点F .求证：BF ＝FC . （太原市竞赛试题）解题思路：要证明BF ＝FC ，只需证FO ⊥BC 即可，连接OA ，OB ，OD ，将问题转化为证明∠DAO ＝∠EFC .【例6】如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 交于点P ，M 是△ABC 的内切⊙I 与边BC 的切点，作MD ∥AC ，交⊙I 于点D ，求证：PD 是⊙I 的切线. （全国初中数学联赛试题）解题思路：设⊙I 切AB 于点S ，连接IM ，IS ，ID ，直接证明∠PDI ＝90°困难，不妨证明∠PDI ＝∠PSI ，即证明△PIS ≌△PID .能力训练A 级1. P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，∠APB ＝78°，点C 是⊙O 上异于A ，B 的任意一点，则∠ACB ＝__________.2.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .要使DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是__________. （武汉市中考试题）第2题图 第3题图3. 如图，P A 切⊙O 于点A ，C 是AB 上任意一点，∠P AB ＝62°，则∠C 的度数是__________.（荆门市中考试题）P4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＋BC ＜DC .若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点（ ）A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ，CB 是⊙O 的切线，D ，B 为切点，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点F ，连接AD ，BD ，给出以下四个结论：①AD ∥OC ；②E 为△CDB 的内心；③FC ＝FE .其中正确的结论是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．如图，ABCD 为⊙O 的内接四边形，AC 平分∠BAD 并与BD 相交于E 点，CF 切⊙O 于点C 并与AD 的延长线相交于点F .图中的四个三角形①△CAF ,②△ABC ,③△ABD ,④△BEC ，其中一定相似的是（ ） (连云港市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④第5题图 第6题图 第7题图7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ． (1) 求证：△ABC 是等腰三角形；(2) 设AB =10cm ，BC =8cm ，点P 是射线AE 上的点，若以A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，问这样的点有几个? (南昌市中考试题)8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点E ，OD ∥AB ． 求证：(1) ED 是⊙O 的切线；(2) 2DE 2＝BE •OD .ACB9．如图，在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的边，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋4(c ＋2)＝(c+4)x 的两个根. 点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ．(1) 求证：△ABC 是直角三角形；(2) 若tan A ＝34时，求AE 的长. (内蒙古中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 中点，连接DE .(1) 求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2) 连接OC 交DE 于点F ，若OF ＝CF ，求tan ∠ACO 的值． (武汉市中考试题)11．如图，⊙O 的半径r ＝25，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上一点，且∠PDA ＝∠ABD ．(1) 试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若tan ∠ADB ＝34，P A ＝43－33AH ，求BD 的长；(3) 在(2)的条件下，求四边形ABCD 的面积. (成都市中考试题)ABC BECB 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．若∠DAB ＝56°， ∠ABC ＝64°，则∠CED ＝__________.2．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AD ，AB ，BC 分别相切于点E ，F ，G ，P 是EG 上的一点，则∠EPF ＝__________. （广州市中考试题）第1题图 第2题图 第3题图3．如图，直线AB ，AC 与⊙O 分别相切于点B ，C 两点，P 为圆上一点，P 到AB ，AC 的距离分别为4cm ，6cm ，那么P 到BC 的距离为__________cm. （全国初中数学联赛试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，圆心O 在BC 上，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径等于（ ）A ．abB ．a ＋b 2C ．aba ＋bD ．a ＋b ab5．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC ＝30°，AC 的延长线与过点B 的⊙O 的切线相交于点D ．若⊙O 的半径OC ＝1，BD ∥OC ，则CD 的长为( )A ．1+33 B ．233 C ．33D ． 2第4题图 第5题图 第6题图6．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出以下四个结论：①CE ＝CF ；②∠ACB ＝∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④AD ＝BD ．其中正确的结论是( ) (苏州市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7．如图，已知AC 切⊙O 于点C ，CP 为⊙O 的直径，AB 切⊙O 于点D ，与CP 的延长线交于点B .若AC ＝PC .求证：(1) BD ＝2BP ；(2) PC ＝3BP . (天津市中考试题)8.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径.动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动. P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t (s).(1) 当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形?(2) 当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切? (呼和浩特市中考试题)9.如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°,O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的半圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1.求证：S △AOD ，S △BCD 是方程10x 2－51x ＋54＝0的两个根. (河南省中考试题)10.如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与P A 相切于点C . (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切;(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC ＝4，求弦CE 的长.(武汉市中考试题)CCABDE11.如图，直线y ＝43x ＋4交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，⊙O ′过A ，O 两点.(1) 如图1，若⊙O ′交AB 于点C ，当O ′在OA 上时，求弦AC 的长; (2) 如图2，当⊙O ′与直线l 相切于点A 时，求圆心O ′的坐标;(3) 当O ′A 平分△AOB 的外角时，请画出图形，并求⊙O ′的半径的长.12.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝d ，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC ＝AB ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E . 求AE 的长. (四川省竞赛试题)C专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接OD ，则~ODE CBE ∆∆例2、（1）AC =AB = （2）提示：若PA 是⊙O 的切线，则PA ⊥AO ，又BO ⊥AO ，得PA ∥BD ，PB ADBC DC∴=，9030AOD OAC ∠=︒∠=︒，， 120AOC ∠=︒，22AD OD DC ∴==，2PB BC ∴=，即当2PB BC =时，PA 是 ⊙O 的切线例3、 提示（1）证明~PFA PBE ∆∆ （2）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立例4、（1）略 （2）AF AP AN AD ≠，理由如下：假设AF APAN AD≠，则MN ∥CD 。