新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3

3.1.3 组合与组合数

第1课时 组合与组合数、组合数的性质

(教师独具内容)

课程标准：1.通过实例，理解组合的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式. 教学重点：理解组合的概念、组合数公式及组合数的性质. 教学难点：利用公式及性质解决一些简单的实际问题.

知识点一 组合的定义

一般地，从n 个不同对象中取出m (m ≤n )个对象□01并成一组，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的一个组合.

知识点二 组合与组合数公式

组合数定义

从n 个不同对象中取出m 个对象的□01所有组合的个数，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的组合数

表示法 □02C m n

组合数

乘积式

C m

n ＝□

03

公式

阶乘式

□

04

性质

1.C m

n ＝□

05C n －m

n ； 2.□

06C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1

n ＋1 备注

①n 和m 都是自然数，且m ≤n ； ②规定：C 0

n ＝□

071，C 1

n ＝□08n ，C n

n ＝□091

组合的定义包含两个基本内容：一是“取出对象”；二是“合成一组”，表示与对象的

顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同对象中任取m 个对象，不同点是组合是“不管对象的顺序合成一组”，而排列是要求对象按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的对象有无顺序．

组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n

2时，通常不直接计算C m

n 而改

为C n －m n ，对于性质2，C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1

n ＋1要会正用、逆用、变形用．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)从a ，b ，c 三个不同的对象中任取两个对象的一个组合是C 2

3.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 2

4个积．( ) (3)若组合C x n ＝C m

n ，则x ＝m 成立．( ) (4)C 3

5＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 3

99＋C 2

99＝________.

答案 (1)20 (2)190 (3)161700

题型一 组合的有关概念 例1 给出下列问题：

(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？

(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？

[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．

(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．

(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的对象，没有顺序，是组合问题．

(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．

教材

判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个对象的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．

[跟踪训练1]判断下列问题是排列问题，还是组合问题：

(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？

(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？

(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？

(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？

解(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的对象有关，与对象的顺序无关，故是组合问题．

(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与对象的顺序有关，是排列问题．

(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．

(4)四人互发电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题.

题型二组合数以及组合数性质的应用

例2 (1)计算：C410－C37A33；

(2)已知1

C m5－

1

C m6

＝

7

10C m7

，求C m8；

(3)求C38－n

3n

＋C3n21＋n的值；

(4)证明：m C m n＝n C m－1n－1.

[解] (1)原式＝C410－A37＝10×9×8×7

4×3×2×1

－7×6×5

＝210－210＝0.

(2)原方程可化为＝，即