连续信号的分析方法
第二章 连续信号的时域分析
第二章连续信号的时域分析所谓信号的时域分析，指的是整个分析过程都在时间域内进行，分析过程中所有的信号都用以时间t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示。
本章首先介绍几个典型的连续时间信号，以及对这些信号的基本运算。
此外，连续信号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算，本章将详细介绍卷积积分的定义及其运算方法。
2.1 基本要求1．基本要求♦了解基本的连续信号及其相关参数和描述；♦了解信号的基本运算；♦掌握阶跃信号和冲激信号的定义、性质及作用；♦掌握卷积积分的定义、性质及计算。
2．重点和难点♦冲激信号的定义及性质♦含有阶跃和冲激函数的信号的求导和求积分运算♦卷积积分的计算2.2 知识要点1．基本的连续信号了解正弦信号、实指数信号、复简谐信号、门信号及抽样函数信号的函数表达式、时间波形及其相关参数。
2．信号的基本运算从数学意义上看，系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算。
一个复杂的运算可以分解为一些基本运算的组合。
本章主要了解信号的加减乘除运算、翻转平移和尺度变换、微积分等几种基本的运算。
所有运算既可以利用信号的时间函数表达式进行，也可以在时间波形图上进行运算。
注意与数学上相关运算的区别。
这里强调，作为信号基本运算之一的积分运算，运算结果得到的是一个新的以t 为自变量的函数，具体表示符号和定义为⎰∞--=tf t fττd )()()1( （2-1）3．阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号是对实际系统中的某类信号进行理想近似后得到的两个特殊信号，这两种信号用于描述一类特殊的物理现象，对于信号特性和系统性能的分析，起着十分重要的作用。
阶跃信号和冲激信号的时间波形如图2-1所示。
在信号与系统的分析过程中，经常利用阶跃函数将分段信号的时间函数表达式统一为一个解析表达式，以简化信号的运算。
利用阶跃函数还可以方便地表示因果、非因果信号等。
由于阶跃函数和冲激函数是两个特殊的函数，因此在进行求导和求积分等运算时，必须根据其定义和性质对函数表达式进行分析，以便化为普通函数的运算。
§1.5 连续信号的分解 信号分析最重要的方法之一,是将一个复杂信号分解
t 上式中的 vC (t0 ) 或 vC (0 − ) 是电流 ic (t ) 在时刻 t = t0 、 = 0 −
以前的作用，是系统在该时刻的储能，称作系统的初 始状态或初始条件。 由电容与电感的对偶关系，不难得到
diL (t ) v L (t ) = L dt
1 t 1 t iL (t ) = ∫ v L (τ )dτ = iL (t0 ) + ∫ v L (τ )dτ L −∞ L t0
→ 响应。为简便也常表示为 f (t ) → y (t ) ，其中“ ” 表示
系统的作用。
2、初始状态 、 在讨论系统响应前，我们先讨论系统的初始状态。“初始” 实际是一个相对时间，通常是一个非零的电源接入电路 的瞬间，或电路发生“换路”的瞬间，为讨论问题方便， 习惯将“0” 记为“初始”时刻。 下面以电容、电感的电压、电流关系理解系统初始状态 的概念。
以及
1 t 1 t iL (t ) = ∫ v L (τ )dτ = iL (0 − ) + ∫ v L (τ )dτ L −∞ L 0−
与电容情况相同，表明电感也为动态、储能元件。iL (t0 )
t iL (0− ) 是电压在 t = t0 、 = 0 − 时刻以前作用的结果，是系
统在该时刻的储能，称作系统的初始状态或初始条件。 只有已知 t > t0 、（ t ≥ 0 ）时的 vL (t ) 以及系统的初始 状态 iL (t0 ) （ iL (0− ) ），才能求解 t > t0（ t ≥ 0 ）系统 的响应 iL (t ) 。
2∆t
k∆t
(k + 1)∆t
t
令窄脉冲宽度 ∆t →0，并对其取极限，得到
f (t ) = lim
连续周期信号的频域分析
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即 2π B
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
n=—4 4
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 / )内的各谐波平均功率为
2 2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /t)内
频谱的特性频谱的特性信号的有效带宽信号的有效带宽这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度有效频带宽度即信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
三、周期信号的频谱及其特点
三、周期信号的频谱及其特点
4. 相位谱的作用
幅频不变，零相位
幅频为常数，相位不变
四、周期信号的功率谱
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
2 1 T P 2T f (t ) dt Cn T 2 n 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
信号与系统——连续时间系统的分析方法
信号与系统——连续时间系统的分析方法1、根据KCL，KVL及UI关系列出回路方程2、化简方程得出响应与激厉间的关系式（原方程）一、经典法：1、求齐次解：特征方程——特征根——含参齐次解，t>=0+。
2、求特解：将激励方程代入得自由项。
根据自由项高特解形式。
将所设特解代入原方程待系数得特解。
3、含参全解：含参齐次解+特解。
4、待定系数：法1：（时域法）根据电路基础知识得出响应及导数初始值代入含参全解得出参数值。
法2、（冲激函数匹配法）设激励为KU（t)，并求其导数，根据原方程右端形式依次从高向低求响应及各阶导数，从而得出响应及各阶导数的初始值，代入含参全解待定系数求参数。
法３、（奇异函数平衡法）对含参全解求各阶导数并代入原方程，待定系数求参数。
5、完全解：齐次解+特解。
二、双零法：1、零输入：令激励为0，求齐次方程。
<将初始储能看成激励源>特征方程—特征根—含参齐次解—待定系数—零输入zi。
2、零状态：初始值为0，求完全解。
(1）含参齐次解：特征方程—特征根—含参齐次解。
（2）特解：（3）含参全解：含参齐次解+特解。
（4）待定系数：法1、（时域法）法2、（冲激函数匹配法）法3、（奇异函数平衡法）法4、（卷积法）————————————————————————————————————————————————————三、变换域法：法1：写出时域方程，经ＬＴ变换得出S域方程，从而得出S域响应，再经LT逆变换得出时域响应。
法2：S域模型，S域方程，S域响应，经LT逆变换得出时域响应。
数字信号处理 利用DFT分析连续信号频谱
k
N 1 k 0
jk x [ k ] e
j 2 mk N
~ x [k ]e
问题的提出
有限长序列 x N [k ] 的傅立叶变换DFT
xN [k ] X N [m] xN [k ]e
k 0
N 1
j
2π mk N
0
π/2
信号特点：时域无限，频谱无限
问题的提出
如何利用数字方法分析连续信号的频谱？
x ( t ) X ( j )
x (t )e jt dt
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
x[k ] X ( e j )
xN [k ]
XN [m]
0
N-1
k
0
N-1
m
DFT看作对周期序列的DFS主值区间取值
问题的提出
可否利用DFT分析连续信号的频谱？
基本原理 利用信号傅立叶变换具有的信号时域与频 域之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信 号频谱之间的关系。
时域的离散化
时域的周期化
频域周期化 频域离散化
利用DFT分析连续信号的频谱
[m] X [m] 取主值[书75公式（2-62）] X N
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系 X(j) X[m]采样、周期、取主值
X ( j) X (e
j
) 采样 =T；T
[-m , m ] [ , ]
[m] 周期 X (e ) X N
x[k ] X ( e )
x[k]
j
k
2.1连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。 据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
E n Fn Sa T 2
连续信号的频域分析
Sa(x) 1
例如，可取 t0=0 ，t0=-T/2等等。显然， an 为 nw的偶函数， bn为nw的奇函数， 即
an a n bn bn
连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
例 2.2-1 求图示信号的傅里叶级数展开式。
图 2.2-1
连续信号的频域分析
解 据式(2.2-6)，在本题中我们取t0=0，则有
6
4 5°
n
4 5°
3 0°
3 0° 2 0° 1 0°
1 5°
图 2.3-1 例 2.3-1
3(b )o源自245
6
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
连续信号的频域分析 2
1 .5 1 0 .4 1
|Fn | 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2
2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a )
连续信号的频域分析
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
其余
3 45 6 30
0 A n
An 连续信号的频域分析 3 3 2
2
1 0 .4 o
0 .8
2
3
(a )
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
连续信号的频域分析
第四章 连续信号的频域分析将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。
这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。
本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。
基本要求1．基本要求♦ 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ♦ 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ♦ 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ♦ 掌握傅里叶变换的常用性质；♦ 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。
2．重点和难点♦ 傅里叶变换的性质及其应用知识要点1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式三角形式：∑∑∞=∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ϕ（4-1） 指数形式： ∑∑∞-∞=+Ω∞-∞=Ω==n t n nn t n n n FF t f )j(j e e )(ϕ （4-2）其中⎰+Ω=Tt t n t t n t f Ta 00d cos )(2，n =0，1，2，? （4-3） ⎰+Ω=Tt t n t t n t f Tb 00d sin )(2，n =1，2，? （4-4）且nn n n n n a b b a A a A arctg, ,2200-=+==ϕ （4-5）⎰+Ω-=Tt t t n n t t f T F 00d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系0)( e 21j ≥=n A F n n n ϕ （4-7）并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即||||n n F F -=，||||n n -=ϕϕ （4-8）（3）傅里叶级数的物理含义通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。
周期信号和连续信号的分析
10－11学年第二学期《电工电子实验二》Multisim2001软件仿真实验实验二十五 周期信号的频谱分析P142 实验目的1．复习周期信号的频谱分析的基本概念2．掌握Multisim 软件用于频谱分析的基本方法3．加深理解周期信号时域参数变化对其频域分量的影响及变化趋势一．基本概念1．一个非正弦周期信号，运用傅氏级数总可以分解为直流分量和许多正弦分量之线性叠加。
基波：对应原周期信号频率0f 的正弦分量，也称一次谐波 谐波分量：基波分量的整数倍分量，角频率为0nf各谐波分量的振幅和相位不尽相同，这取决于原周期信号的波形。
周期为T 的信号()f t ，可用傅氏级数表示为离散谱0()∞-∞=∑jnw tn f t C e，T22T T 21()dt T π--=⎰jn t n C f t e2．非周期信号()f t ，其傅氏级数为连续谱，即其傅氏变换 ()()dt ωω∞--∞=⎰j t F f t e1()()d 2ωωωπ∞-∞=⎰j t f t F e3．周期信号的傅氏变换，是位于信号各谐波频率0，00,2ωω±±L 处的冲激函数组成，强度为相应谐波频率处的离散谱n C 的2π倍即0()2()ωπδωω∞-∞=-∑nF C n功率谱为 20()2||()ωπδωω∞-∞=-∑nP Cn4．门函数()Sa()2ωτωτ=F A Sa 函数零节点在2πτ±n 上。
周期矩形脉冲：0Sa()T 2ωττ=n n A C 00()2Sa()()T 2ωττωπδωω∞-∞=-∑n A F n 三角函数：2()Sa ()2ωτωτ=F A周期三角波：200()2Sa ()()T 2ωττωπδωω∞-∞=-∑n A F n二：实验步骤即数据1．电路2．Simulate\Analysis\Fourier Analysis…设定参数3．仿真结果kHz 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 矩形波10％ -4.0 1.96 1.86 1.71 1.51 1.27 1.01 0.74 0.47 0.23 0.0078 矩形波30％ -2.02 5.123.04 0.69 -0.89 -1.27 -0.65 0.24 0.74 0.59 0 矩形波50％ 0 6.36 0 -2.12 0 1.27 0 -0.91 0 0.705 0 正弦波50％ 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 三角波50％ 04.05 0 0.45 0 0.16 0 0.083 0 0.05 0 三角波70％ 0 3.90 1.147 0.166 0.177 0.193 0.078 0.03 0.072 0.0480 三角波90％0 3.48 1.65 1.01 0.67 0.45 0.297 0.186 0.10 0.043 0 =n 012345678910矩形波10％：10τμ=s ，零结点在1τ＝100kHz矩形波30％：30τμ=s ，零结点在33kHz 、67kHz 、100kHz矩形波50％：50τμ=s ，第一个零结点在20kHz ，其它偶数次谐波分量为0，相位为－90° 4．讨论题①非正弦周期信号(周期为0T )的谱线是离散的，其角频率间隔为2T π，且只存在于基波角频率谱线2T π的整数倍上。
实验三 连续信号与系统的频域分析
学号
0174280
同组人：无
实验项目
实验三连续信号与系统的频域分析
☑必修□选修
□演示性实验☑验证性实验□操作性实验□综合性实验
实验地点
H113
实验仪器台号
F0
指导教师
蒋娜
实验日期及节次
week14->2-12
一、实验目的及要求：
1、目的
1．掌握非周期信号的傅里叶变换：fourier函数和ifourier函数；
四、实验结果与数据处理：
1．利用fourier函数求下列信号的傅里叶变换F(jω)，并用ezplot函数绘出其幅度谱和相位谱。
（1）
syms t v w phase im re;%定义变量t,v,w,phase,im re
f=sym('Heaviside(t)-Heaviside(t-2)');%
Fw=fourier(f);
plot([07.0711],[0.7070.707],':');
axis([04001.1]);
grid;
xlabel('角频率(\omega)');
ylabel('幅度');
title('H(j\omega)的幅频特性');
subplot(212);
plot(w,h2*180/pi);
axis([0400200]);
（2）
syms t v w phase im re;%定义变量t,v,w,phase,im re
f=exp(-1*t)*sym('Heaviside(t)');%
Fw=fourier(f);
subplot(311);
用DFT(FFT)对连续信号进行频谱分析
电子信息工程系实验报告课程名称：数字信号处理Array实验项目名称：用DFT(FFT)对连续信号进行频谱分析实验时间：班级：通信姓名： xxp 学号：一、实验目的:1．掌握用DFT（FFT）对模拟信号进行谱分析的方法，理解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。
2．熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。
二、实验原理：1．用DFT（FFT）对连续信号进行频谱分析用DFT（FFT）对模拟信号做谱分析是一种近似的谱分析。
首先一般的模拟信号(周期信号除外)的频谱是连续谱，而用FFT做谱分析得到的是数字谱，因此应该取FFT的点数多一些，用它的包络作为模拟信号的近似谱。
另外，如果模拟信号不是严格的带限信号，会因为频谱混叠现象引起谱分析的误差，这种情况下可以预先将模拟信号进行预滤，或者尽量将采样频率取高一些。
最后要注意一般的模拟信号是无限长的，分析时要截断，截断的长度与对模拟信号进行频谱分析的分辨率有关。
如果要进行谱分析的模拟信号是周期信号，最好选择观测时间是信号周期的整数倍，如果不知道信号的周期，要尽量选择观测时间长一些，以减少截断效应的影响。
在运用DFT（FFT）对模拟信号进行谱分析的过程中主要可能产生以下三种误差：(1) 混叠现象对模拟信号进行谱分析时首先要对其采样，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原模拟信号的频谱。
避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
(2) 截断效应实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。
连续信号频谱分析及误差研究（论文）
连续信号频谱分析及误差研究黎小琴 乔闹生 曹斌芳（湖南文理学院物理与电子科学学院，湖南 常德 415000）【摘 要】实际中持续时间无限长信号或非带限信号，需要对信号进行预处理。
由预处理和离散傅里叶变换DFT 近似拟合得到连续信号频谱，会产生频谱混叠、栅栏效应和截断效应。
本文分析了DFT 进行连续信号频谱分析的原理和步骤，分析了上述过程产生误差的原理和相应的解决对策，用理论和实例论证了如何合理选择分析参数，平衡频率分辨率和误差效应。
【关键词】离散傅里叶变换 频谱分析 频谱混叠 栅栏效应 截断效应1前言离散傅里叶变换(DFT)是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，便于计算机处理。
另外，DFT 有多重快速算法FFT ，能够简化设备，实时处理信号。
工程实际中，经常遇到频谱函数也是连续函数的连续时间信号。
显然，直接使用傅里叶变换对这类信号进行谱分析不能直接用计算机进行计算。
而利用DFT 对连续信号和序列进行谱分析，为解决数字滤波和系统分析等问题打下基础。
事实是用DFT 进行谱分析必然是近似的，会出现频谱混叠、栅栏效应、泄露和谱间干扰等误差。
本文重点阐述利用DFT 进行连续信号频谱分析的原理、步骤，以及产生误差的原因和相应的解决办法。
2谱分析原理用DFT 对连续信号进行谱分析，就是要找到DFT 与信号傅里叶变换之间的关系。
设连续信号x a (t)持续时间为T P ，最高频率为fc 。
对信号进行DFT 谱分析的原理如下：（1）对x a (t)进行采样得x(n)=x a (nT),观察时间T p ，共采得M 个点。
采样间隔，CF T 21≤采样频率。
CS F T F 21≥=（2）对x a (t )的傅里叶变换做零阶近似((t=nT ，dt=T)，得：式(1)（3）对X(jf)一个周期[0,fs]等间隔采样N 点，采样间隔为,F 又称为频域分辨率。
将f=kF 带入式(1)得：式(2)令)()(jkF X k X a =,有:式(3)式(3)说明，得到连续信号的频谱特征可以通过采集连续信号，并进行DFT 再乘以T 的近似方法。
连续信号的频域分析
T 2
T
2T
t
图 3.3-3 周期矩形脉冲信号
连续信号的频域分析
为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
连续信号的频域分析
一、 周期信号的频谱分析
1 三角形式的傅里叶级数
三角函数集｛cosnwt, sinnwt|n=0,1,2,… ｝是一个正交函数
集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2π/w是各个函数cosnwt，
sinnwt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：
连续信号的频域分析
小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
2Fn Fn趋于无穷小量，但 Fn T 可望趋于有限值，且为一
个连续函数，通常记为F(jω)，即
连续信号的频域分析
Fn jnt 1 f (t ) lim e T 2 n
非周期信号的傅里叶变换可简记为
E n Fn Sa T 2
连续信号的频域分析
Sa(x) 1
－3 －2
－
o
2
3
x
图 2.3-4 Sa(x)函数的波形
连续信号的频域分析
Fn E T 2 o 3
4
图 2.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱
连续信号的频域分析
由图 2.3-5 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率
连续时间信号的频域分析
实验二 连续时间信号的频域分析 实验内容：1、周期信号的傅里叶级数与GIBBS 现象给定如一个周期信号1()x t 如图所示：Q2-1： 分别手工计算x1(t) 的傅里叶级数的系数。
信号x1(t) 在其主周期内的数学表达式为：⎩⎨⎧≤≤-=其他,02.02.0,1)(1t t x计算x1(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下：解：首先，我们根据前面所给出的公式，计算该信号的傅里叶级数的系数。
⎰-=10011)(1T t jk k dt e t x T a ω⎰--=2.02.0021dt e t jk ω⎰--=-1000)(210t jk d e k j t jk ωωω 02.02.0200ωωωk j e e kj kj --=-ππk k )2.0s i n (=(ππω==T 120） 在MATLAB 命令窗口，依次键入：>> k = -10:10;>> ak = sin(0.2*(k+eps)*pi)./((k+eps)*pi)用MATLAB 帮助你计算出你手工计算的傅里叶级数的系数ak 从-10到10共21个系数。
t 22-12.02.0-从命令窗口上抄写x1(t)的21个系数如下：Columns 1 through 40.0000 -0.0208 -0.0378 -0.0432Columns 5 through 8-0.0312 0.0000 0.0468 0.1009Columns 9 through 120.1514 0.1871 0.2000 0.1871Columns 13 through 160.1514 0.1009 0.0468 0.0000Columns 17 through 20-0.0312 -0.0432 -0.0378 -0.0208Columns210.00000Q2-2：仿照程序Program2_1，编写程序Q2_2，以计算x1(t)的傅里叶级数的系数。
数字信号处理实验：利用FFT分析连续信号频谱
数字信号处理课程实验实验报告实验一 利用FFT 分析连续信号频谱一、 实验目的1、 进一步加深离散傅里叶变换DFT 原理的理解；2、 应用离散傅里叶变换DFT （实际应用FFT 计算）分析连续信号的频谱；3、 深刻理解利用DFT 分析连续信号的频谱的原理，分析工程中常出现的现象及解决方法。
二、 实验原理1、 利用DFT 分析连续时间周期信号的频谱周期为Tp 的周期性连续时间信号）（t x p 的频谱（傅里叶级数的系数））（Ωjk x p 是非周期离散谱，定义为）（Ωjk x p =dt e t x p1tjk p p 0Ω-⎰）（T T 其中f 2p2ππ==ΩT 为信号的基频，Ωk 为信号的谐频，谱线间隔为Ω。
通过时域采样就可以利用DFT 分析连续周期信号的频谱。
其步骤为： ① 确定周期信号的基本周期Tp ；② 计算一个周期内的采样点数N ，若周期信号的最高频谱为Ωp ，则频谱中有2p+1 根谱线；若周期信号的频谱无限宽，则认为集中信号90%以上（或根据实际需要）能量的前p+1 个谐波为近似的频谱范围，其余的谐波忽略不计。
取N ≥2p+1； ③ 对连续周期信号以采样间隔NT T p=进行采样 ； ④ 利用FFT 计算采样信号的N 点DFT ，得到()k X ； ⑤ 最后求出连续周期信号的频谱为）（Ωjk x p =N1()k X 。
因为对连续周期信号按采样间隔NT T p=进行采样，每个周期抽取N 点时，则有 t=nT ，Tp=NT那么 ）（Ωjk x p =dt et x p 1tjk p p 0Ω-⎰）（T T =∑-=-10n n p 2jk e n x p N T T T T T π）（ =∑-=-1n n N 2jk e n x N 1N T π）（=）（k N 1X若能按照满足采样定理的采样间隔进行抽样，并且采取整周期为信号分析的长度，则利用FFT 计算得到的离散频谱值等于连续周期信号频谱）（Ωjk x p 的准确值。
连续时间信号的分析讲义
连续时间信号的分析讲义在信号与系统领域中，连续时间信号是一种在实数域上定义的信号，其取值在连续的时间范围内变化。
连续时间信号的分析是信号与系统学习的重要基础，本讲义将介绍连续时间信号的分析方法。
二、连续时间信号的基本概念1. 连续时间信号的定义：连续时间信号是在连续的时间范围上定义并取值的信号。
2. 连续时间信号的特性：- 幅度：信号在每个时间点的取值。
- 相位：信号波形相对于给定参考点（通常为时间轴原点）的相对位置。
- 周期性：信号在某个时间间隔内是否重复。
- 能量与功率：信号能量的大小及其在单位时间内消耗的能量。
三、连续时间信号的表示方法1. 数学表达：- 函数表达：通过一个函数来描述信号在每个时间点的取值。
- 积分表达：信号可以表示为另一个函数的积分形式。
2. 图形表示：- 时域图：横轴表示时间，纵轴表示信号幅度，用连续的曲线表示信号波形。
- 频谱图：横轴表示频率，纵轴表示幅度，用柱状图表示信号的频率分量及其幅度。
四、连续时间信号的常见类型1. 基本连续时间信号：- 典型脉冲信号：矩形脉冲、三角脉冲等。
- 正弦信号：包括正弦波、余弦波及其复合形式。
2. 周期性信号：具有重复性质的信号，可以表示为基本连续时间信号的线性组合。
3. 非周期性信号：不具有重复性质的信号，不能表示为基本连续时间信号的线性组合。
五、连续时间信号的分析方法1. 时域分析：分析信号在时间域上的特性，包括信号的幅度、相位和波形等。
- 平均值和均方值：描述信号的幅度特性。
- 时域波形图分析：通过观察信号的图像，了解信号的频率和幅度变化等特性。
2. 频域分析：分析信号在频率域上的特性，揭示信号的频率分量及其幅度。
- 傅里叶变换：将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱信息。
- 频率响应：用于描述系统对不同频率信号的响应特性。
3. 其他分析方法：包括奇偶性分析、对称性分析、函数积分等。
六、连续时间信号的实际应用连续时间信号的分析方法在信号处理、通信系统、音频处理等领域有着广泛的应用。
信号分析5-连续信号频域分析80s
A T0
tdt
0
an
2 To
To /2 A f (t) cos ntdt 0 T To / 2 o
bn
2 To
To /2 A f (t) sin ntdt T To / 2 o
A (1)n1
n
n 1,2,3
傅里叶级数展开式： f t 0 A sin t A sin 2t
2
直
基
谐
流
T n=
2
n=1
2
(A
/
T
)1
2Sa(n0
/
2)
cosn0t
n1
e jn0t cos(n0t) j sin(n0t) e jn0t cos(n0t) j sin(n0t)
Sa(x) sin x x
Sa(x) sin x Sa(x)
x
8
因
0
2
T
，若=T/2，则有
Sa( n0 ) sin(n0 / 2) sin(n / 2)
11
2、频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。
Cn
1 T
T 2 T
fT (t)e jn0t dt
2
Cn e jn
幅频特性
相频特性
12
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
f (t) A
-T
0
T
fT (t) Cn e jn0t
n =
t
Cn
1 T
T 2 T
1) 1 s, T 1 s
20
4
Fn
A 5
Sa
n 5
2) 1 s, 20
T 1s 2
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连续信号的分析方法
连续信号的分析方法一般包括以下几个方面：
1. 时域分析：时域分析是指对信号进行时间分解，将其表示为一系列时域函数的组合，例如用傅里叶级数、拉普拉斯变换、小波分析等方法。
2. 频域分析：频域分析是指对信号进行频率分解，将其表示为一系列频域函数的组合，例如用傅里叶变换、功率谱密度等方法。
3. 时频域分析：时频域分析是指将信号在时间和频域上同步分析，以获得信号的时间和频率特征，例如用短时傅里叶变换、小波变换等方法。
4. 动态系统分析：动态系统分析是指对信号进行数学建模，将其视为一种物理系统，通过分析系统的动态行为和特性，揭示信号的本质规律，以及预测其未来发展趋势。
以上方法中，时频域分析和动态系统分析是比较新的方法，它们可以更全面、更准确地描述信号的特征，也具有更广泛的应用前景。