数值分析课后习题及答案

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）

2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]3

72365)1(34)23(21)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)

)(())(())(())(())(()

)(()(2221202102

21012012010210

2-

+=-++--=+-+-⨯

+------⨯-+-+-+⨯

=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144

[解]若取5.00=x ，6.01=x ，

则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则

604752

.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(01011010

1-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，

从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。 若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，

693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097

.2068475.404115.2)

2.09.0(541

3.25)2

4.0(3147.69)3.01.1(8145

5.45)5.0

6.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()

6.05.0)(4.05.0()

6.0)(4.0()69314

7.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0)

)(())(())(())(())(()

)(()(22221202102

21012012010210

2-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯

-+----⨯

-+----⨯

-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，

从而

61531984

.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L

补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，

x

e x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(11101011010

1-+=+--=--⨯

+--⨯=--+--=---，

余项为()1,0),1(2

))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξ

x x e x x x x f x R ，

故8

141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤

≤≤-≤≤x x e x R x ξξ。

2、设4)(x x f =，试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!

4!

4)

)()()((!4)

()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ，

从而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=。 5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，

i x

1 2 4 6 7

)(i x f 4 1 0 1 1

求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 [解]

i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商

1 4

2 1

-3 4 0

21- 65

6 1

2

1 41 607-

7 1 0

6

1- 12

1- 180

1 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：

)6)(4)(2)(1(180

1)

4)(2)(1(60

7

)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(180

1)

4)(2)(1(60

7

)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为

()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!

5)

()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R 。

第三章 函数逼近与计算（80-82）

26、用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

i x 19

25 31 38 44

i y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8

[解]由()4.2718.973.730.493.320.19)(),(5

1

11=++++===∑=i i i i y x f x d ϕ。

()5

.3693218.1893402.105845470895.201876859448.97383.73310.49253.32190.19)(),(222225

1

2

22=++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i i i x y x f x d ϕ。 又()51)(),(5

1

11==∑=i i i x x ϕϕ，

()5327

193614449616253614438312519)(),(222225

1

221=++++=++++==∑=i i i i x x x ϕϕ，

()7277699374809620851369235213906251303214438312519)(),(4

44445

1

422=++++=++++==∑=i i i i x x x ϕϕ，

故法方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡5.3693214.27172776995327

5327

5

b a ，解得⎩⎨⎧==047.0578

.4b a 。