最小2乘法公式
最小二乘法
最小二乘法设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。
如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。
因此称最小二乘法。
所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。
事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。
此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。
为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
最小二乘法行列式和特征值
左零空间 dim N(AT)=m-r
图中绘制空间成 90 度角，这是表示这两个空间正交。这张图是 GS 最得意的作 品之一，它反映了四个子空间的关系，在后面的课程中可以看到其两两形成正交补， 在 Rn 空间中的向量会向两个子空间射影，并向 Rm 空间形成映射，反之亦然。
正交向量 Orthogonal vectors
所以将两个方程式写成矩阵形式即为 AT(b- Axˆ )=0。这与一维投影的方程形式相同。
向量 e=b- Axˆ 存在于矩阵 AT 的零空间 N(AT)里，从上一讲讨论子空间的正交
性可知，向量 e 与矩阵 A 的列空间正交，这也正是方程的意义。
将方程 AT(b- Axˆ )=0 改写，可得 AT Axˆ =ATb。两侧左乘(ATA)-1，得到：
A 的列空间 p
b
e A 的左零空间
p+e=b，说明 b 由两部分组成： p=P b 为 A 的列空间中的部分； e=(I-P )b 为 A 的左零空间中的部分。 I-P 为左零空间的投影矩阵，可以验证 (I-P )T=(I-P )，并且(I-P )2=(I-P )。
最小二乘法 Least Squares 应用投影矩阵求方程组最优解的方法，最常用于“最小二乘法”拟合曲线。
题在于向量 Ax 一定在矩阵 A 的列空间之内，但是 b 不一定，因此我们希望将 b 投 影到 A 的列空间得到 p，将问题转化为求解 A =p。 在高维投影 Projection in higher dimensions
在 R3 空间内，如何将向量 b 投影到它距离平面最近的一点 p？ b
p
如果 a1 和 a2 构成了平面的一组基，则平面就是矩阵 A=[a1a2]的列空间。
=
最小二乘法&最小三乘法
最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... x m , y m)；将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Y i-Y计)的平方和｀〔∑(Y i - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Y i - Y计)2(式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Y i - a0 - a1 X i)2(式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)亦即：m a0+ (∑X i ) a1= ∑Yi (式1-6)(∑X i ) a0+ (∑X i2 ) a1= ∑(X i, Y i) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0= (∑Y i) / m - a1(∑X i) / m (式1-8)a1= [∑X i Y i - (∑X i∑Y i)/ m] / [∑X i2 - (∑X i)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、x2, y2...x m,y m),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。
R = [∑X i Y i - m (∑X i/ m)(∑Y i/ m)]/ SQR{[∑X i2 - m (∑X i / m)2][∑Y i2 - m (∑Y i / m)2]}(式1-10) ＊在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；X i、Y i分别任意一组实验X、Y的数值。
广义最小二乘法
4.5 广义最小二乘法（GLS ） GLS----Generalized Least Squares 1. 基本原理广义最小二乘法的基本思想在于引入一个所谓成形滤波器（白化滤波器），把相关噪声)(k ξ转化成白噪声)(k ε。
由方程（4-4）、（4-5），系统的差分方程可以表示为)()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=-- （4-114）式中n n z a z a z a z a ----++++=ΛΛ221111)(nn z b z b z b b z b ----++++=ΛΛ221101)(如果知道有色噪声序列)(k ξ的相关性，则可以把)(k ξ看成白噪声通过线性系统后所得的结果。
这种线性系统通常称为成形滤波器，其差分方程为)()()()(11_k z d k zc εξ---= （4-115）式中)(k ε是均值为零的白噪声序列，)()(11_---z d 、z c 是1-z 的多项式。
令 _111212_1()()1()m m c z f z f z f z f z d z ------==+++L L （4-116）有 )()(1)()()()(11k z f k k k z f εξεξ--==或 （4-117）即1212(1)()()m m f z f z f z k k ξε---++++=L L （4-118）或)()()2()1()(21k m k f k f k f k m εξξξξ+-------=ΛΛ ()1,,n k n N =++L L（4-119）这一噪声模型（自回归模型）的阶m ，一般事先是不知道的，实际经验表明，若指定m为2或3，就可以获得令人满意的描述)(k ξ的模型。
把方程（4-119）看作输入为零的差分方程，并由此式来写出N 个方程。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+---+--+-=+++-+---+-=+++-+-----=+)()()2()1()()2()2()()1()2()1()1()1()()1(212121N n m N n f N n f N n f N n n m n f n f n f n n m n f n f n f n m m m εξξξξεξξξξεξξξξΛΛM ΛΛΛΛ写成向量矩阵形式为εξ+Ω=f （4-120）其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n ξξξM ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m f f f M 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n εεεM ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+--+--+--+--+----=Ω)()2()1()2()()1()1()1()(m N n N n N n m n n n m n n n ξξξξξξξξξM Λ(4-120)式所示的线性组合关系是辨识问题的基本表达形式,称作最小二乘格式。
2--5的乘法口诀
2--5的乘法口诀儿童教育从小就开始，学好乘法口诀是一项重要基础课程，孩子们只要记住乘法口诀便能够轻松熟记乘法公式，掌握数学基础知识。
因此，2—5的乘法口诀是孩子们一定要学会的。
2的乘法口诀是：2乘任何数，等于那个数本身。
口诀表达：2×1=1，2×2=4，2×3=6，2×4=8，2×5=10。
3的乘法口诀是：3乘任何一个数，等于它们之和。
口诀表达：3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，3×5=15。
4的乘法口诀是：4乘任何数，等于右边的数乘2。
口诀表达：4×1=4，4×2=8，4×3=12，4×4=16，4×5=20。
5的乘法口诀是：5乘任何数，等于右边数加5。
口诀表达：5×1=5，5×2=10，5×3=15，5×4=20，5×5=25。
家长在家教育孩子的时候，最好采用特别的方式，使孩子熟练掌握2—5的乘法口诀，以减缓孩子心理上的负担。
比如，可以通过家中比较多的物品，进行分组，然后以此来计算每一组物品个数。
通过这种直观的方式，孩子才能够更好地理解有关乘法口诀的数学原理。
此外，还可以利用绘画、唱歌、竞赛等活动，增加孩子们学习乘法口诀的乐趣，也能激发他们在学习上的积极性。
比如，可以与小伙伴一起做一首歌，歌词里穿插2—5的乘法口诀，让孩子们记住它，并且每个人都可以演唱。
2—5的乘法口诀非常重要，但是不能过分强调书本的学习，家长要结合孩子的兴趣爱好，借助多样化的活动，让数学学习更有乐趣。
这样，不仅可以培养孩子正确地掌握2—5的乘法口诀，而且大大提高孩子的自信心，起到调节孩子心理情绪的作用。
最小二乘法
1.什么时候用最小二乘法在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。
当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程.例如，在现实世界中，这样的情形大量存在着：两个变量X和Y（比如身高和体重）彼此有一些依赖关系，由X可以部分地决定Y的值，但这种关系又是不确定的.人们常常借助统计学中的回归模型来寻找两个变量之间的关系，而模型的建立当然是依据观测数据.首先通过试验或调查获得x和Y的一组对应关系(x1，Y1)，(x2，Y2)，…，(x n，Y n)，然后回答下列5个问题：1. 这两个变量是否有关系？(画出散点图，作直观判断)2. 这些关系是否可以近似用函数模型来描述？（利用散点图、已积累的函数曲线形状的知识和试验数据，选择适当的回归模型，如一元线性模型y=b0＋b1x，二次函数模型y=b0＋b1x＋b2x2等）3. 建立回归模型.4. 对模型中的参数进行估计，最小二乘法是这些参数的一种常用估计方法.5. 讨论模型的拟合效果.在上述第3步中，设所建立的回归模型的一般形式是，其中Y称为响应变量，x称为解释变量或协变量；是一个由参数决定的回归函数；是一个不可观测的随机误差.为了通过试验数据来估计参数的值，可以采用许多统计方法，而最小二乘法是目前最常用、最基本的.由的估计值决定的方程称为经验回归方程或经验方程.教科书中涉及的回归模型是最简单的一元线性模型Y=b0+b1x+，此时模型的拟合效果可以通过Pearson相关系数来描述。
事实上，在线性回归模型中可以证明相关指数等于相关系数的平方.2.什么是最小二乘法思想简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在古汉语中“平方”称为“二乘”），“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小.例如，对于回归模型，若，…，为收集到的观测数据，则应该用来估计，这里是的估计值。
最小二乘法
数值分析作业最小二乘法最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一,它依据对某事件的大量观测而获得最佳”结果或最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y= a+ bx,对其进行n(n> 2)次观测而获得n对数据。
若将这n对数据代入方程求解a，b之值则无确定解。
最小二乘法提供了一个求解方法，其基本思想就是寻找最接近”这n 个观测点的直线。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策,不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。
正如美国统计学家斯蒂格勒(S.M. Stigler)所说,最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”最小二乘法创立的历史过程充满着丰富的科学思想,这些对今日的数学创造仍有着重要的启示意义。
本文旨在全面认识最小二乘法的历史系统发育过程以及创立者的思路。
一先驱者的相关研究天文学和测地学的发展促进了数理统计学及其他相关科学的发展。
丹麦统计史家哈尔德曾指出天文学在数理统计学发展中所起的作用。
“天文学自古代至18 世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子,在此种意义下,天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均,以及参数模型中的种种估计方法,以最小二乘法为顶峰。
” 这也说明了最小二乘法的显著地位。
有关统计计算思想记载的著作要首推天文学家罗杰柯茨的遗作,即1715年其所发论文中所蕴含的统计方法,亦即对各种观测值赋予加权后求其加权平均。
尽管当时得到认可,然而事实证明如此计算的结果不太精确。
1749年,欧拉(L. Euler,1707—1783)在研究木星和土星之间相互吸引力作用对各自轨道影响时,最后得到一个含8个未知量75个方程的线性方程组。
欧拉的求解方法繁杂而奇特,只能看作是一次尝试。
第四章参数的最小二乘法估计讲解
第四章 最小二乘法与组合测量§1概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了200多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。
§2最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某量x 测量一组数据n x x x ,,,21 ，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏差依次为：n σσσ ,,21记最可信赖值为x ，相应的残差x x v i i -=。
测值落入),(dx x x i i +的概率。
dx v P i i ii )2exp(2122σπσ-=根据概率乘法定理，测量n x x x ,,,21 同时出现的概率为n i ii ni i dx v P P )]()(21exp[)2(12∑-∏=∏=σπσ 显然，最可信赖值应使出现的概率P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即∑=iii Min v 22σ权因子：22o i i w σσ=即权因子i w ∝21iσ，则2[]i i wvv wv Min ==∑再用微分法，得最可信赖值x11ni ii nii w xx w===∑∑ 即加权算术平均值这里为了与概率符号区别，以i ω表示权因子。
最小二乘法求作拟合直线_解同信
收稿日期:2006-05-22作者简介:解同信(1949-),男,山西矿业学院煤矿机械化专业毕业,高级工程师,副教授。
最小二乘法求作拟合直线解同信(北京工业职业技术学院,北京100042)摘 要:静态测试中,检测系统可以在一定的区间内用一个线性函数表达测试数据的变化规律,确定此线性函数即拟合直线的方法常采用最小二乘法。
机械工程中,通过对应变测试可以分析与研究零件或结构的受力状况以及工作状态。
根据实验输入输出测试数据,用最小二乘法求解拟合直线方程,以此计算的测量误差,均未超出测试数据的极限偏差。
关键词:最小二乘法;拟合直线;输入输出特性;检测系统中图分类号:TH123 文献标识码:B 文章编号:1671-6558(2006)03-05-03Straight Line Fitted by Minimum Two MultiplicationsXie Tongxin(Beijing Vocational &T echnical Institute of Industry,Beijing 100042,China)Abstract:The linear function can ex press the transformation rule of test data in a definite range in check system.T he method of fitting the straight line or experience formula is usually the minimum two multiplications.T he enduring and w orking state of the parts and its structure can be analyzed and researched by testing in mechanical eng ineering.T he ex periments can input and output testing data and we can get the result of the beeline equation by the m inim um tw o multiplications.T he deviation calculated this w ay does not overstep the limit w indage of testing data.Key words:minimum two multiplication;fitting straight line;input &output characteristics;examination sys -tem0引言许多工程问题,常常需要根据两个变量的几组实验数据,找出这两个变量的函数关系式,将这样得到的近似表达式称为经验公式。
最小二乘法探究
最小二乘法探究0. 前言最小二乘法发源于天体物理学，并广泛应用于其他各个学科。
最小二乘法（Least squares ）又称最小平方法，一元线性回归法，是一种数学优化技术，用于建立经验公式，利用它可以把生产或实验中所积累的某些经验提高到理论上加以分析。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合,是我们在建模竞赛中常用的一种手段。
一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法发源于天体物理学，并广泛应用于其他各个学科。
最小二乘法对于统计学具有十分重要的意义。
相关回归分析，方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础，正如美国统计学家斯蒂格勒（S.M,Stigler ）所说，“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。
故对最小二乘法做一番探究进而理解并掌握这一思想是十分有必要的。
1. 原理在古汉语中“平方”称为“二乘”，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。
根据教材中的描述（两个变量间的函数关系），其基本原理为： 根据已知的自变量与因变量数据做出散点图，进而观察判定出两者间的函数关系，本次探讨以一次函数关系为例，其他类型的函数关系也可通过两边取对数等方法转化为一次函数形式进行求解。
认定y =f (x )是线性函数：f (x )=ax +b a,b 即为待求的常数。
对于求的函数，我们希望它可以尽可能多的拟合到已知的数据点，或者说尽可能的靠近。
转化为量化形式即为使偏差y i −f (x i ) 都很小，对此经过综合分析我们用M =∑[y i −(ax i +b )]2imax i=0最小来保证每个偏差的绝对值都很小，即根据偏差的平方和为最小的条件来确定常数a,b 。
然后运用多远函数的极值求法知识来求解求M =(a,b ）的极小值，具体步骤为：{M a (a,b )=0M b (a,b )=0>>>>>>>>>>>>>>{ðM ða =−2∑[y i −(ax i +b )]x i =0imax i=0ðM ðb =−2∑[y i −(ax i +b )]=0imax i=0 >>>>{∑[y i −(ax i +b )]x i =0imax i=0∑[y i −(ax i +b )]=0imax i=0>>>>>>{a ∑x i 2+b ∑x i imax i=0=∑y i x i imax i=0imax i=0a ∑x i + 8b =∑y i imax i=0imax i=0 (1) 然后再列表计算∑x i 2,∑x i imax i=0,∑y i x i imax i=0imaxi=0,及 ∑y i imax i=0，代入方程组（1），即可求出a,b 。
最小二乘法及其应用
（3-2-4）
这就是书中例2-4-1中所得到的法方程 若使用配方法，则有：
g(x) xT AT Ax 2bT Ax bTb
( AT Ax ATb)T ( AT A)1( AT Ax ATb)
bTb bT A( AT A)1 ATb
min AT Ax ATb
可以看出，
gmin bT b bT A( AT A)1 AT b
本例中介绍的两个向量求导公式中，
提到了对于向量x求导的梯度算符 x ,我
们还可以引入对矩阵 A aij 求导的梯度算
符 A
：
a11
L
a12
a1n
L
A
L
L L L
L
L
L
（3-2-5）
an1 an2 L ann
需要说明的是，算符A 只有作用在关于 aij 的标量函数上才有意义。例如对于二次型
在上述解法中，卡享南-洛厄维变换被 选用并不是偶然的，因为这种变换消除了 原始信号x的诸分量间的相关性，从而使 数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。 上述数据压缩方法告诉我们应该压缩掉y 中那些方差大的分量，这称为数据压缩的 方差准则。
J1(A) || Y XA ||2 tr[(Y XA)T (Y XA)] min （3-3-12）
式（3-3-12）的形式与（3-3-9）类似，但 应注意在此处 J1(A)是标量函数。她可以
完全类似于式（3-3-10）那样来配方而求 解，也可体用求导法来求解。由于
J1( A) tr(Y TY ) 2tr(Y T XA) tr(AT X T XA) （3-3-13）
M
M
A
yT (m) xT (m)
或简记为
一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)
一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）要解决的问题在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。
比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+bf(x)=kx+b这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。
类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。
但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。
比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。
于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。
那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。
为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。
后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。
证明这个理论并不难。
我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。
相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。
最小二乘法小结分析
最小二乘法原理1. 介绍部分最小二乘法是获得物理参数唯一值的标准方法，具体是通过这些参数或者在已知数学模型中与这些参数相关的参数的多余观测值来求得。
最小二乘法最早是由高斯提出，用来估计行星运行轨道的。
1.1 数理统计和最小二乘法物理量总是不能被精确测定。
总是存在一个限定的测量精度，超过这个精度，相关的数学模型和测量仪器的分辨率这两者之一或者全部将会无能为力。
超出这个精度，多余观测值之间会产生差异。
我们常常希望获得超过该限定精度的测量值，在不知道真值的情况下我们只能估计真值。
一方面我们想要估计出唯一的值，另一方面，我们想要知道这个估计有多好。
最小二乘法就是这样一个估计，它基于最小化差值的平方和。
最小二乘法相比其他传统的方法有三个优点。
其一，它既可以应用在线性数学模型上也可以应用在非线性数学模型上；其二，它和统计量算术平均值有关；其三，最小二乘法在很多领域是通用的。
物理量的值的唯一统计估计称为点估计。
无论频率函数是否知道，我们都可以作物理量的点估计并且可以衡量它与真值趋近程度。
另外两种估计，区间估计以及假设检验，它们只能在相应的频率函数已经确定的情况下进行。
1.2 线性代数和最小二乘法（nontrivial=nonzero，非平凡解就是指非零解）现有线性方程组A X= L （1-1）X是未知数向量，L是常数向量，A是系数矩阵，[A:L]是增广矩阵。
该方程组有唯一非零解仅当L ≠ 0 （非齐次方程组），（1-2a）r (A) = X的维数，（1-2b）r ([A:L]) = r (A)。
（1-2c ）当没有多余等式时，准则（1-2b ）意味着A 是方阵且非奇异，它的逆矩阵是存在的，这样方程组的解就表达成X = A 1- L （1-3）当存在多余等式时，A 将不是方阵，但是A T A 是方阵且非奇异，这样方程组的解就表达成X = (A T A) 1- A TL 。
（1-4） L 的元素对应于物理量观测值，基于上述数学讨论，如果没有多余观测量（即没有多余的等式），则未知量将只有唯一的非零解。
必修三中的最小二乘法
必修三中的最小二乘法这种使用均方误差作为损失,并求得损失最小值的方法就叫做最小二乘法线性模型相信很多人遇到最小二乘法是在高中数学必修三里,那么让店铺来为大家介绍一下什么最小二乘法以及二乘法的运用和案例。
什么是最小二乘法最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法原理最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
示例：数据点(红色)、使用最小二乘法求得的最佳解(蓝色)、误差(绿色)。
某次实验得到了四个数据点：...(右图中红色的点)。
我们希望找出一条和这四个点最匹配的'直线，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组的和：最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值：最小值可以通过对分别求和的偏导数，然后使它们等于零得到。
如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出：也就是说直线是最佳的。
人们对由某一变量或多个变量……构成的相关变量感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同之间的关系，便用不相关变量去构建，使用如下函数模型,个独立变量或个系数去拟合。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型称作函数模型(如抛物线函数或指数函数)。
参数b是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
(如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来)。
矩阵简介与最小二乘法
min f (a,b)
a ,b
2 ( ax b y ) i i i 1
n
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
最小二乘法
对自变量a,b求导，并令其为0：
n f a 2 (axi b y i ) xi 0 i 1 n f 2 (ax b y ) 0 i i b i 1
矩阵简介与最小二乘法
耿修瑞
中国科学院电子学研究所
gengxr@
2017.2
矩阵简介 最小二乘法
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
矩阵简介
历史
矩阵的雏形最早出现在东汉前期的《九章 算术》。从莱布尼茨1693年首次使用行列 式开始，到 1750 年 Gramer 法则问世，到 1820年高斯（Gauss）提出消元法。人们 还 没 有 矩 阵 的 概 念 。 直 到 1851 年 ， Sylvester 首先使用了矩阵一词， 1855 年 Cayley给出矩阵的乘法定义，矩阵才在英 国出现。在20世纪，当人们认为有限维度 的矩阵已经终结的时候，计算机的出现， 让矩阵代数获得新生。直到今天，矩阵代 数仍然是计算机科学家和控制科学家爱不 释手的工具。
矩阵简介
2. 反射变换： T x1, x 2 x1, x 2
1 0 T 0 1
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
矩阵简介
3. 旋转变换：T x , x cos x
1 2 1
sin x 2, sin x1 cos x 2
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
， ，
最小二乘法
最小二乘法的矩阵解法
最小二乘法--多特征（矩阵形式）
最⼩⼆乘法--多特征（矩阵形式）转：上篇⽂章中介绍了单变量线性回归，为什么说时单变量呢，因为它只有单个特征，其实在很多场景中只有单各特征时远远不够的，当存在多个特征时，我们再使⽤之前的⽅法来求特征系数时是⾮常⿇烦的，需要⼀个特征系数⼀个偏导式，⽽却最要命的时特性的增长时及其迅猛的，⼏⼗、⼏百、⼏千……单变量线性回归：多变量线性回归： 所以从这⾥我们开始将介绍线性回归的另⼀种更⽅便求解多变量线性回归的⽅式：最⼩⼆乘法矩阵形式；模型变换 线性回归的标量形式： 这⾥把上诉式⼦中的系数m与误差c转换为向量（为了统⼀从下⾯开始使⽤表⽰c与m）,把式⼦中c看成是1c，把1与特征x也转换为向量；所以有：损失函数 损失函数也可以变为：从第⼆步到第三步没看明⽩？ 根据矩阵乘积转置规则损失函数可以进⼀步化简为：（中间⼀项再转置下得第三步）偏导数 还是和之前⼀样求损失函数L的极⼩值，所以求上式L关于W的偏导数；向量微分常⽤等式补充下矩阵的微分运算？求L关于W的偏导数：因为则有：W则是通过矩阵形式求出来的最⼩乘法的解；⽰例 下⾯还是先使⽤上次的那组数据进⾏线性拟合，然后再使⽤多变量数据再次进⾏线性拟合已验证上诉算法：单变量线性回归⽰例：这⾥使⽤上⾯得到的最⼩⼆乘法矩阵形式公式对以下数据集进⾏线性拟合：n x y124268391241321x、y的矩阵为：根据公式求w以下⼦求整个式⼦不好求，我们可以先分解该公式；所以，也就是c=-0.23092,m=1.53092线性回归函数可以写成：y = 1.53092x -0.23092预测y的值：y = 1.53092 * 2 - 0.23092=2.83092y = 1.53092 * 6 - 0.23092=8.9546y = 1.53092 * 9 - 0.23092=13.54736y = 1.53092 * 13- 0.23092=19.67104 与上偏⽂章直接求关于m与c的偏导得出来的结果⼏乎⼀样（因为⼩数点不同所以精度有所差异）；下篇⽂章我们将使⽤本篇⽂章⾥的最⼩⼆乘法矩阵形式处理多变量的情况；参考资料：a first course in machine learning⽂章⾸发地址：。
最小二乘法拟合二次曲线公式
最小二乘法拟合二次曲线公式
最小二乘法是一种常用的统计分析和拟合算法的计算方法，用于最小化拟合曲
线与原始数据之间的差异。
它是指在一定的统计数据上，通过实验取得一组期望结果，对付詹迭乘法拟合二次曲线，能够更加准确地预测结果，从而达到更好的精度。
应用最小二乘法拟合二次曲线，只需进行简单的处理就可以计算出符合要求的
拟合曲线，且能够更加精准地拟合出原始数据，取得更加精确的预测结果。
最小二乘法拟合二次曲线的流程可大体分为以下几步：
（1）将给定的原始数据搭建成（x、y）形式，进行表格统计；
（2）由表格得出，进行拟合曲线系数计算，利用最小二乘法拟合出线性回归
方程；
（3）根据拟合曲线回归方程，计算出y值；
（4）将原始数据和y值画出拟合曲线，完成拟合结果。
最小二乘法通过不断迭代，找到最佳的线性拟合方程，从而取得更加精确的预
测结果。
因此，不管是应用到科学技术、经济管理和社会发展等各个领域，最小二乘法拟合二次曲线都具备极强的实用性和准确性。
二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明
二阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）和工具变量法（Instrumental Variables, IV）在计量经济学中被广泛应用，用于解决因果关系的内生性问题。
虽然这两种方法在形式上有所不同，但是它们在某些条件下可以得到相同的结果。
本文将就二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明展开探讨。
1. 二阶段最小二乘法的基本原理及公式我们需要了解二阶段最小二乘法的基本原理。
在计量经济学中，当自变量存在内生性问题时，我们无法直接使用最小二乘法进行回归分析。
这时，我们可以通过引入工具变量来解决内生性问题。
二阶段最小二乘法包括两个阶段，第一阶段是利用工具变量估计内生变量的值，第二阶段是利用第一阶段的估计值替代内生变量进行普通最小二乘法回归分析。
其公式为：[Y_i = _0 + _1X_i + _i][X_i = _0 + _1Z_i + _i]其中，(Y_i)代表因变量，(X_i)代表内生解释变量，(Z_i)代表工具变量，(_i)和(_i)分别为误差项。
通过两个阶段的回归分析，我们可以得到最终的估计结果。
2. 工具变量法的基本原理及公式工具变量法是一种处理内生性的方法，其基本原理是利用与内生解释变量相关但与误差项不相关的外生变量作为工具变量，通过工具变量的线性组合来替代内生变量进行估计。
工具变量法的回归模型可以表示为：[X_i = _0 + _1Z_i + _i] [Y_i = _0 + _1 + _i]其中，()是利用工具变量估计的内生变量的值。
3. 二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的条件现在让我们来探讨二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的条件。
事实上，当工具变量法满足一定条件时，其结果与二阶段最小二乘法是等价的。
具体而言，若工具变量满足外生性和相关性条件（即与内生变量相关），并且内生变量的影响能够完全通过工具变量进行替代，那么工具变量法的结果将与二阶段最小二乘法一致。
计算方法最佳平方逼近-最小二乘法
x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn
要求出一个比较简单的函数 y ( x)
不要求函数 ( x) 完全通过所有的数据点，只要
求所得的近似曲线 y ( x) 能反映数据的基
本趋势。
(2) 对于[a, b]上的非负连续函数g(x), 若
b g(x)ρ(x)dx 0, 则必有 a g(x) 0，x [a, b]；
权函数的 非0性质
就称ρ(x)为[a, b]上的权函数。
权函数的意义：强化或弱化某部分积分函数值的影响。
例如：在[0, 5]上，取 ρ(x) x3 则积分
5x3g(x)dx 0
a
s(x)Φ a
则称s * (x)为f(x)在Φ 上的最佳平方逼近函数。
【注】 若取0 1, 1 x, 2 x2 , … , n xn 则Φ span{0 , … , n} span{1, x, x2 , … , xn}
即为全体n次多项式的 集合。
n
问题归结为求s * (x) a*jj , 即求系数a*j , 使得
3) 由实验或观测提供的数据个数往往很多，如果用插 值法,势必得到次数较高的插值多项式，计算很烦琐。
最小二乘法的思想
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不 远处,所求的曲线称为拟合曲线,它 • 既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大
的波动； • 更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与
n
(k , j )aj (f, k ), k 0,1,...,n
证明完j毕0。
例6 求f(x) 1 x2 在[0,1]上的一次最佳平方 逼近多项式。取ρ(x) 1。
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最小2乘法公式
最小二乘法是一种数学方法，可以用来解决线性回归问题。
线性回归问题是指在给定一堆数据的情况下，寻找一个函数，使得这个函数能够最好地拟合这堆数据。
最小二乘法的目标是使得这个函数的预测值与实际值之间的误差平方和最小。
最小二乘法最早由法国数学家勒让德在19世纪提出，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。
通常，最小二乘法的公式可以用矩阵与向量的乘积来表示。
在这个公式中，我们需要用到一些符号：Y：实际值的向量（n行1列）
X：预测值的矩阵（n行p列）
b：回归系数的向量（p行1列）
e：误差的向量（n行1列）
其中，n表示数据的数量，p表示回归系数的数量。
最小二乘法的公式是：
b = (X^TX)^(-1)X^TY
在这个公式中，^T表示转置，^(-1)表示矩阵求逆。
这个公式的核心是矩阵求逆。
如果矩阵没有逆矩阵，我们就无法使用最小二乘法来解决线性回归问题。
此外，如果数据量很大，矩阵
的求逆操作也会变得非常耗时。
因此，在实际应用中，我们需要采用一些基于最小二乘法的变种算法来加速计算。
总体而言，最小二乘法是一个非常有用的数学工具，可以帮助我们解决许多实际问题。
当然，在使用最小二乘法的时候，我们需要注意数据的质量和数量，以及算法的适用范围和参数调整等问题，才能取得最好的效果。