4.2抛体运动(解析版)

4.2抛体运动
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动．
4.基本规律
如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y 轴正方向．
图1
(1)位移关系
(2)速度关系
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)
图2
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ
，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
平抛运动规律的基本应用
1．平抛(或类平抛)运动所涉及物理量的特点
物理量公式决定因素
飞行时间t＝2h
g
取决于下落高度h和重力加速度
g，与初速度v0无关
水平射程x＝v0t＝v02h
g
由初速度v0、下落高度h和重力
加速度g共同决定
落地速度
v t＝v2x＋v2y
＝v20＋2gh 与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关
速度改变量Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下
由重力加速度g和时间间隔Δt
共同决定
例题1.
如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以()
A．增大抛出点高度，同时增大初速度
B．减小抛出点高度，同时减小初速度
C．保持抛出点高度不变，增大初速度
D．保持初速度不变，增大抛出点高度
【答案】B
【解析】
设小球平抛运动的初速度为v 0，抛出点离桶的高度为h ，水平位移为x ，根据h ＝1
2gt 2，可得平抛运动的时间为：t ＝
2h
g ，则水平位移为：x ＝v 0t ＝v 0
2h g .增
大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移x 增大，不会抛进小桶中，故A 错误．减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x 减小，可能会抛进小桶中，故B 正确．保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x 增大，不会抛进小桶中，故C 错误．保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x 增大，不会抛进小桶中，D 错误．
某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照
片如图所示，每次曝光的时间间隔相等．若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A 、B 、C 和D 表示重心位置，且A 和D 处于同一水平高度．下列说法正确的是( )
A ．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B ．运动员在A 、D 位置时重心的速度相同
C ．运动员从A 到B 和从C 到
D 的时间相同 D ．运动员重心位置的最高点位于B 和C 中间
【答案】A 【解析】
由于运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，故可以利用斜抛运动规律分析，根据Δv ＝g Δt (其中Δt 为曝光的时间间隔)知，相邻位置运动员重心速度变化相同，所以A 项正确；A 、D 位置速度大小相等，但方向不同，所以B 项错误；A 到B 为5个时间间隔，而C 到D 为6个时间间隔，所以C 项错误；根据斜抛运动规律，当A 、D 处于同一水平高度时，从A 点上升到最高点的时间与从最高点下降到D 点的时间相等，所以C 点为轨迹的最高点，D 项错误．
一个物体以初速度v 0水平抛出，经过一段时间t 后其速度方向与
水平方向夹角为45°，若重力加速度为g ，则t 为( )
A．v0
2g B．v0 g
C．2v0
g D．
2v0
g
【答案】B 【解析】
将末速度分解为水平和竖直方向的分速度则有tan 45°＝v y
v0＝
gt
v0，解得：t＝
v0
g，
故B正确，A、C、D错误。

关于平抛(或类平抛)运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通
过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即x B＝x A 2。

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。

例题2.(多选)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心O等高且在同一竖直平面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法中正确的是()
A．两球抛出的速率之比为1∶3
B．若仅增大v1，则两球将在落在坑壁之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
【答案】AB
【解析】
由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，x1＝v1t，x2＝v2t，由几何关系可
知x2＝3x1，所以两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；由2R＝(v1＋v2)t可知，若仅增大v1，时间减小，所以两球将在落在坑壁之前相撞，故B正确；要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v1与v2之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误；由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误．
如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0拋出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是()
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．PQ间距是原来间距的3倍
【答案】B
【解析】
根据tan θ＝y
x＝1
2gt
2
v0t，解得t＝
2v0tan θ
g，初速度变为原来的2倍，则小球在空中
的运动时间变为原来的2倍，C错误；根据x＝v0t＝2v02tan θ
g知，初速度变为原
来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，PQ＝x
cos θ，PQ间距变为原来间距的4
倍，D错误；末速度与水平方向夹角的正切值tan β＝v y
v0＝gt
v0＝2tan θ，可知速度
方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α不变，与初速度大小无关，A错误，B正确．
如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面
上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计，物体可视为质点)()
A．tan φ＝sin θB．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θD．tan φ＝2tan θ
【答案】D
【解析】
物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向的夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确．
与斜面或圆弧面有关的平抛运动
已知条件情景示例解题策略
已知速度方向从斜面外平抛，垂直落在斜面上，
如图所示，即已知速度的方向垂直
于斜面分解速度tan θ＝
v0
v y＝
v0
gt
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞
地进入圆弧形轨道，如图所示，即
已知速度方向沿该点圆弧的切线方
向分解速度tan θ＝
v y
v0＝
gt
v0
已知位移方向从斜面上平抛又落到斜面上，如图
所示，已知位移的方向沿斜面向下分解位移tan θ＝y
x＝
1
2gt
2
v0t＝
gt
2v0
在斜面外平抛，落在斜面上位移最
小，如图所示，已知位移方向垂直斜面分解位移tan θ＝
x
y＝
v0t
1
2gt
2
＝
2v0
gt
利用位移关系从圆心处抛出落到半径为R的圆弧
上，如图所示，位移大小等于半径
R
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x＝v0t
y＝
1
2gt
2
x2＋y2＝R2
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径
为R的圆弧上，如图所示，水平位
移x与R的差的平方与竖直位移的
平方之和等于半径的平方
⎩⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎧x＝R＋R cos θ
x＝v0t
y＝R sin θ
＝
1
2gt
2
(x－R)2＋y2
＝R2
例题3. (多选)如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法正确的是()
A．小球从抛出到落在斜面上的运动时间为3v0 g
B．小球从抛出到落在斜面上的运动时间为3v0 3g
C．小球抛出时距斜面底端的高度为5v02 g
D ．小球抛出时距斜面底端的高度为5v 02
2g 【答案】AD 【解析】
小球恰好垂直打在斜面上，根据几何关系可得tan 60°＝v y v 0＝gt v 0，解得t ＝3v 0
g ，
故A 正确，B 错误；小球垂直打在斜面上，根据平抛运动规律，则有x ＝v 0t ，y ＝1
2gt 2，小球落在斜面上，根据几何关系得tan 30°＝h －y x ，将t ＝3v 0g 代入，联立解得h ＝5v 02
2g
，故D 正确，C 错误．
如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方
向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则A 、B 之间的水平距离为( )
A.v 02tan αg
B.2v 02tan αg
C.v 02g tan α
D.2v 02
g tan α
【答案】A
【解析】
由小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B 点时的速度方向与水平方向的夹角为α.由tan α＝gt
v 0，x ＝v 0t ，联立解得A 、B 之间的水平距离为x ＝
v 02tan α
g ，选项A 正确．
如图所示，科考队员站在半径为10 m 的半圆形陨石坑(直径水平)
边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P 与圆心O 的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m ．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小g ＝10 m/s 2，不计空气阻力．则石子抛出时的速度大小为( )
A．9 m/s B．12 m/s
C．15 m/s D．18 m/s
【答案】C
【解析】
由题意可知，小石子竖直方向的位移为h＝h1＋R sin 37°，根据公式可得h＝1 2
gt2，代入数据解得t＝1.2 s．小石子水平方向的位移为x＝R＋R cos 37°，又x＝v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小为v0＝15 m/s，故选C.
平抛运动的临界和极值问题
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
例题4.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。

水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。

发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。

不计空气的作用，重力加速度大小为g。

若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()
A．L1
2
g
6h<v<L1
g
6h
B．L1
4
g
h<v<
（4L21＋L22）g
6h
C．L1
2
g
6h<v<
1
2
（4L21＋L22）g
6h
D ．L 14g h <v <12
（4L 2
1＋L 22）g
6h
【答案】D 【解析】
设以速率v 1发射乒乓球，经过时间t 1刚好落到球网正中间。

则竖直方向上有3h －h ＝12gt 21 ①，
水平方向上有L 12＝v 1t 1 ②。

由①②两式可得v 1＝L 1
4g
h 。

设以速率v 2发射乒乓球，经过时间t 2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h ＝1
2gt 22 ③，在水平方向有 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫L 222
＋L 21＝v 2t 2 ④。

由③④两式可得v 2＝12
（4L 21＋L 2
2）g
6h
，则v 的最大取值范围为v 1<v <v 2，故D 正确。

如图所示，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h ，在圆筒侧
壁开一个小孔P ，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x ，小孔P 到水面的距离为y 。

短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g ，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法正确的是( )
A ．水从小孔P 射出的速度大小为gy
B ．y 越小，则x 越大
C ．x 与小孔的位置无关
D ．当y ＝h
2时，x 最大，最大值为h 【答案】D 【解析】
取水面上质量为m 的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知mgy ＝1
2m v 2，解得v ＝2gy ，A 错误；水从小孔P 射出时做平抛运动，则x ＝v t ，h －y ＝12gt 2
，解得x ＝v
2（h －y ）
g
＝2y （h －y ），可知x 与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y ＝h －y ，即y ＝1
2h 时，x 最大，最大值为h ，并不是y 越小x 越
大，D 正确，B 、C 错误。

如图所示，窗子上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，竖直墙的厚度d ＝
0.4 m ，某人在距离墙壁L ＝1.4 m 、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P 点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v 水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2.则可以实现上述要求的速度大小是( )
A ．2 m/s
B ．4 m/s
C ．8 m/s
D ．10 m/s
【答案】B
【解析】
小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v 最大．此时有：L ＝v max t 1, h ＝1
2gt 12， 代入数据解得：v max ＝7 m/s ，
小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v 最小， 则有：L ＋d ＝v min t 2，H ＋h ＝12gt 22
，
代入数据解得：v min ＝3 m/s ，故v 的取值范围是3 m/s ≤v ≤7 m/s ，故B 正确，A 、C 、D 错误．
斜抛运动
(1)斜抛运动中的极值
在最高点，v y ＝0，由④式得到t ＝
v 0sin θg ⑤
将⑤式代入③式得物体的射高y m ＝v 02sin 2θ
2g ⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t
总＝
2v0sin θ
g⑦
将⑦式代入①式得物体的射程x m＝v02sin 2θ
g
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．(2)逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
例题5.
单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°.某次练习过程中，运动员以v M＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道．图乙为腾空过程左视图．该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30.求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L.
【答案】(1)4.8 m(2)12 m
【解析】
(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝v M sin 72.8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mg cos 17.2°＝ma1②
由运动学公式得d ＝v 12
2a 1③
联立①②③式，代入数据得 d ＝4.8 m ④
(2)在M 点，设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分速度为v 2， 由运动的合成与分解规律得v 2＝v M cos 72.8°⑤
设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分加速度为a 2，由牛顿第二定律得 mg sin 17.2°＝ma 2⑥
设腾空时间为t ，由运动学公式得 t ＝2v 1a 1
⑦
L ＝v 2t ＋1
2a 2t 2⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L ＝12 m ⑨
2022年2月18日，我国运动员夺得北京冬奥会自由式滑雪女子
U 形场地技巧赛冠军。

比赛场地可简化为如图甲所示的模型：滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道连接而成，轨道的倾角为θ。

某次腾空时，运动员（视为质点）以大小为v 的速度从轨道边缘上的M 点沿轨道的竖直切面ABCD 滑出轨道，速度方向与轨道边缘AD 的夹角为90θ︒-，腾空后沿轨道边缘AD 上的N 点进入轨道，腾空过程（从M 点运动到N 点的过程）的左视图如图乙所示。

重力加速度大小为g ，不计空气阻力。

下列说法正确的是（ ）
A ．运动员腾空过程中处于超重状态
B ．运动员腾空过程中离开AD 的最大距离为22sin 2cos v g θ
θ
C ．运动员腾空的时间为2cos sin v g θ
θ
D ．M 、N 两点的距离为24sin v g
θ
【答案】D 【解析】
A ．加速度方向向上则超重，加速度方向向下则失重，运动员腾空过程中加速度方向一直向下，运动员一直处于失重状态， A 错误；
B ．运动员在M 点时垂直AD 方向的速度大小
1sin(90)v v θ=-
设运动员在ABCD 面内垂直AD 方向的加速度大小为a 1，根据牛顿第二定律有
1cos mg ma θ=
设运动员腾空过程中离开AD 的最大距商为d ，根据匀变速直线运动的规律有
2112v a d =
解得
2cos 2v d g
θ=
B 错误；
C ． 可得运动员从M 点到离开A
D 最远的时间
101cos cos v v v t a g g
θθ=
== 根据对称性可知，运动员腾空的时间
022v t t g
==
C 错误；
D ．运动员在M 点时平行AD 方向的速度大小
2cos(90)v v θ=︒-
设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的加速度大小为a 2，根据牛顿第二定律有
2sin mg ma θ=
根据匀变速直线运动的规律可知，M 、N 两点的距离 D 正确。

222214sin 2v x v t a t g
θ
=+=
故选D 。

从某高处以6 m/s 的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石
子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g 取10 m/s 2)求：
(1)石子在空中运动的时间； (2)石子的水平射程；
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度； (4)抛出点离地面的高度．
【答案】(1)1.2 s (2)183
5 m (3)0.45 m (4)3.
6 m
【解析】
(1)如图所示：石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则v y
v x ＝tan 60°＝
3
即：v y ＝3v x ＝3v 0cos 30°＝3×6×3
2 m/s ＝9 m/s
取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则 －v y ＝v 0sin 30°－gt ，得t ＝1.2 s
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动：x ＝v 0t cos 30°＝6×1.2×32 m ＝183
5 m. (3)当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处 v 0y ＝v 0sin 30°＝6×1
2 m/s ＝
3 m/s. 由v 0y 2＝2gh 得
h ＝v 0y 22g ＝322×10
m ＝0.45 m.
(4)抛出点离地面的高度h 1＝|v 0sin 30°×t －12gt 2|＝|6×12×1.2 m －1
2×10×1.22 m|＝3.6 m.
1. 某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中．现制作一个为实际尺寸116的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
A.12
B.14
C.18
D.116 【答案】B 【解析】
由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变为原来的1
16，由h ＝1
2
gt 2，得t ＝2h g ，所以时间变为实际的14，水流出的速度v ＝x
t
，由于水平位移变为实际的116，时间变为实际的14，则水流出的速度为实际的1
4，故选B. 2. 如图，斜面上a 、b 、c 三点等距，小球从a 点正上方O 点抛出，做初速度为v 0的平抛运动，恰落在b 点．若小球初速度变为v ，其落点位于c ，则( )
A ．v 0<v <2v 0
B ．v ＝2v 0
C ．2v 0<v <3v 0
D ．v >3v 0
【答案】A 【解析】
根据平抛运动的规律可知，若小球落在b 点，有x ＝v 0t b ，t b ＝2h b
g ，若落在
c 点，则2x ＝v t c ，而t c ＝
2h c
g ，若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于
t c >t b ，所以v 0<v <2v 0，故A 正确．
3. 如图所示，小球甲从A 点水平抛出，小球乙从B 点自由释放，两小球先后经过C 点时的速度大小相等，速度方向夹角为45°，已知A 、C 高度差为h ，不计空气阻力，由以上条件可知B 、A 两点高度差为( )
A.14h
B.1
2h C ．h D ．2h 【答案】C 【解析】
小球甲做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，从A 到C ，由h ＝1
2gt 2可得，甲运动的时间为t 甲＝
2h
g ，竖直分速度v y ＝gt 甲＝2gh ，据运动的合成与分解
可知，甲在C 点的速度v 甲＝v y
cos 45°＝2gh ＝v 乙，乙球做自由落体运动，下落高度h ′＝v 乙2
2g ＝2h ，A 、B 两点高度差为2h －h ＝h ，故C 正确，A 、B 、D 错误． 4. 有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示，一个质量为m 的小球以速度v 从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)，不计空气阻力。

从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是( )
A ．小球下落时间与小球质量m 有关
B ．小球下落时间与小球初速度v 有关
C ．小球下落时间与水井井口直径d 有关
D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关
【答案】D
【解析】
因为小球与井壁做多次弹性碰撞，碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，则将小球的运动轨迹连接起来就是一条做平抛的抛物线，可知小球在竖
直方向做自由落体运动，下落时间由t＝2h
g可知，下落时间与小球的质量m、
小球初速度v以及井口直径均无关，只与井口到水面高度差h有关，D正确。

5. 如图所示，某一小球以v0＝10 m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)。

以下判断正确的是()
A．小球经过A、B两点间的时间t＝ 3 s
B．小球经过A、B两点间的时间t＝1 s
C．A、B两点间的高度差h＝10 m
D．A、B两点间的高度差h＝15 m
【答案】C
【解析】
根据平行四边形定则知，v yA＝v0＝10 m/s，v yB＝v0tan 60°＝3v0＝10 3 m/s，
则小球由A到B的时间间隔Δt＝v yB－v yA
g＝
103－10
10s＝(3－1) s，故A、B错
误；A、B的高度差h＝v2yB－v2yA
2g＝
300－100
20m＝10 m，故C正确，D错误。

6. 在同一水平线上相距L的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，且相遇位置距乙球抛出点的水平距离为L，其运动轨迹如图所示。

不计空气阻力，则下列说法正确的是()
A．相遇时甲球的竖直分速度较大
B．相遇时甲、乙两球的速度变化量相同
C．相遇时甲球的动能比乙球的大
D．相遇时甲、乙两球的动能变化量不相等
【答案】B
【解析】
相遇点距离两球的竖直高度相等，根据t＝2h
g可知，相遇时两球运动的时
间相同，根据v y＝gt可知，两球的竖直分速度相等，A错误；根据Δv＝gt可知，相遇时甲、乙两球的速度变化量相同，B正确；由题图可知，甲球的水平速度较大，两球竖直速度相等，可知相遇时甲球的合速度较大，但是两球的质量关系不确定，则不能比较两球动能关系，也不能比较甲、乙两球的动能变化量关系，C、D错误。

7. 某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为()
A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
【答案】C
【解析】
小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝1
2m v
2，从右端
出口飞出后小球做平抛运动，有x＝v t，h＝1
2gt
2，联立解得x＝2(H－h)h，根据
数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确．
8. 如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出。

(不计空气阻力，g取10 m/s2)
(1)设击球点在3 m 线正上方高度为2.5 m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m 线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。

【答案】(1)310 m/s<v <12 2 m/s (2)2.13 m
【解析】
(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x 1＝3 m ，竖直位移y 1＝h 2－h 1＝(2.5－2) m ＝0.5 m ，根据位移关系x ＝v t ，y ＝1
2gt 2，可得v ＝x
g
2y ，代入数据可得v 1＝310 m/s ，即所求击球速度的下限。

设球刚好
打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x 2＝12 m ，竖直位移y 2＝h 2＝2.5 m ，代入上面的速度公式v ＝x
g
2y
，可求得v 2＝12 2 m/s ，即所求击球速度的上限。

欲使球既不触网也不越界，则击球速度v 应满足310 m/s<v <12 2 m/s 。

(2)设击球点高度为h 3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示。

设此时排球的初速度为v ，击球点到触网点的水平位移x 3＝3 m ，竖直位移y 3＝h 3－h 1＝(h 3－2) m ，代入速度公式v ＝x g
2y 可得v ＝35
h 3－2
；同理对压线点有x 4＝12 m ，y 4＝h 3，代入速度公式v ＝x
g
2y 可得v ＝12
5
h 3。

两式联立解得
h 3≈2.13 m ，即当击球高度小于2.13 m 时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界。

9. 在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示．现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A 与竖直墙壁成53°角，飞镖B
与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d ，则刺客与墙壁的距离为(已知tan 37°＝34
，tan 53°＝43
)( )
A.97d B ．2d C.247d D.127
d 【答案】 C
【解析】
由平抛运动的推论知，把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x ，
x 2tan 37°－x 2tan 53°
＝d 解得x ＝247
d . 10. 海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤(贝类动物)后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳．一只海鸥叼着质量m ＝0.1 kg 的鸟蛤，在H ＝20 m 的高度、以v 0＝15 m/s 的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上．取重力加速度g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力．
(1)若鸟蛤与地面的碰撞时间Δt＝0.005 s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；(碰撞过程中不计重力)
(2)在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6 m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系．若海鸥水平飞行的高度仍为20 m，速度大小在15 m/s～17 m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围．
【答案】(1)500 N(2)[34 m,36 m]或(34 m,36 m)
【解析】
(1)设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v.竖直方向分速度大
小为v y，得H＝1
2gt
2，v y＝gt，v＝v02＋v y2
在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得－FΔt＝0－m v
联立解得F＝500 N.
(2)若释放鸟蛤的初速度为v1＝15 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x轴坐标值为x1，击中右端时，释放点的x轴坐标值为x2，得x1＝v1t，x2＝x1＋L
联立解得x1＝30 m，x2＝36 m
若释放鸟蛤的初速度为v2＝17 m/s，设击中岩石左端时，释放点的x轴坐标值为x1′，击中右端时，释放点的x轴坐标值为x2′，
得x1′＝v2t，x2′＝x1′＋L
联立解得x1′＝34 m，x2′＝40 m
综上得x坐标区间为[34 m,36 m]或(34 m,36 m)．。