七年级奥数题(有理数的巧算)
有理数的巧算含答案
2
=
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2
11
=2( - )
(3)
52003 5
4
提示:设 s=5+52+53+…+52002,则 5s=52+53+…+52003.
【例 4】(1)若按奇偶分类,则 22004+32004+72004+92004 是________数; (2)设 a=355,b=444,c=533,则 a、b、c 的大小关系是_______(用“>”号连接); (3)求证:32002+42002 是 5 的倍数. 思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算,解与乘方运算有关问题常用到以下知 识:①乘方意义;②乘方法则;③a2n≥0;④an 与 a 的奇偶性相同;⑤在 n4k+r 中(k,r 为非负整 数,n≠0,0≤r<4),当 r=0 时,n4k+r 的个位数字与 n4 的个位数字相同;当 r≠0 时,n4k+r的个 位数字与 nr 的个位数字相同. 解:(1)奇;(2)a>b>c. (3)因为 32002=34×500+2,42002=44×500+2,所以 32002 与 42002 的个位数字分别与 32、42 的个数 数字相同,即 9、6,从而 32002+42002 的个位数字为 5,因此,32002+42002 是 5 的倍数. 【例 5】有人编了一个程序:从 1 开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可 以是乘法),每次加法,将上次运算结果加 2 或加 3;每次乘法,将上次运算结果乘 2 或乘 3,
例题求题
【例 1】现有四个有理数 3,4,-6,10,将这 4 个数(每个数用且只用一次)进行加、减、
有理数的巧算(含答案)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3 计算 3001×2999的值．练习1 计算 103×97的值． 练习2 计算：练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．练习4 计算： )1011()311)(211(222-⋯⋯--3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯第一讲有理数的巧算答案例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．例3 计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1． ②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解 设S=1+5+52+…+599+5100， ①所以5S=5+52+53+…+5100+5101． ②②—①得4S=5101-1，例7 计算：201020091321211⨯+⋯⋯+⨯+⨯分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解 由于所以原式=)2010120091()3121()211(-+⋯⋯+-+-=20102009 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．。
七年级数学竞赛题：有理数的计算
七年级数学竞赛题：有理数的计算在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算， 当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的 计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算 每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理 数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地 算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵 活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法 有：1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等．例题与求解例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3， 则x 3一(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(一ab)2002的值等于_________． (2002年湖北省黄冈市竞赛题)解题思路利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算． 例2把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后 的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )． (A)6次 (B)7次 (C)8次 (D)9次 (2002年江苏省竞赛题)解题思路探索对折的规律，运用估算求解．例3计算： (1) ;100......3211......32112111+++++++++++(“祖冲之杯”邀请赛试题)(2);7 (77771998)432+++++(江苏省泰州市奥校竞赛题)(3).199919981997 (19521951195019492)222222+-++-+- (北京市竞赛题)解题思路对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不 妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比 都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联想到平方差公式．例4设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b ，a 的形式， 又可表示为0、ab 、b 的形式，求20001999b a +的值． (“希望杯”邀请赛试题)解题思路由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应 考虑对应分情况讨论．例5有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法(第一 次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加 3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+(1)证明：可以得到22；(2)证明：可以得到22297100-+．’ (全国初中数学竞赛题)解题思路要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的 程序即可．1．初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的 盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10 张盾牌如下所示：则盾牌后面的同学中，有女同学_____人，男同学______人．2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1 至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除 四则运算，例如对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24(注意上述运 算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算)．现有四个有理数3，4， -6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24， 运算式如下：(2000年杭州市重点中学加试试题)3．计算：(1) ________;199919971 (9)71751531=⨯++⨯+⨯+⨯(2)([]._________)31()6()2(2)8()25.02434=-÷-÷-+--⨯- 4．将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，…，依此类推，直主最后减去余下的19971，最后的答数是_________．(“祖冲之杯”邀请赛试题)B 级4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学习”．已知2000年底，人类知识总量为以a．假如从2000年底到2009年底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番；2020 年是每73天翻一番．则：(1)2009年底人类知识总量是——；(2)2019年底人类知识总量是——；(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是——．(2002年北京市顺义区中考题)小关系是——；(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大(2002年福建省龙岩市中考题)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 8．三进位制数201可用十进位制数表示为；二进位制数1011可用十进位制法表示为．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a=221，二进位制数b=10111，则a 与b 的 大小关系为( )．(D)不能判定(2001年重庆市竞赛题)9．如果有理数a ．b 、c 、d 满足a+b>c+d ，则( )．(第十一届“希望杯”邀请赛试题)lO ．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为 3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为( )．(《学习报》公开赛试题)11．设n 为自然数，n n ns 223222132++++=比较n s 与2的大小. 12．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的 三数之和(1)大于9 (2)大于10? 若能，请在 图中标出来；若不能，请说明理由． (第十五届江苏省竞赛题)。
培优专题3 有理数的巧算(含答案)-
培优专题3 有理数的巧算有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1136+13107÷24107-1718）÷（-78）×1711．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝371317818 ()()362418711 -+-⨯-⨯=37398 (17)()2477 -+-⨯-=14878136206 77777777-+=．练习11．-292324×12=_________．2．1995减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…依次类推，一直减到余下的11995，•试求最后剩下的数．3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668•个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．3．计算：9999n 个×9999n 个+91999n 个．例3 计算：S n =222121+-+223131+-+…+2211n n +-+22(1)1(1)1n n +++-． 分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到： ①1(1)n n +=1n -11n +； ②1(1)(1)n n -+=12（11n --11n +）； ③1(1)(2)n n n ++=12[1(1)n n +-1(1)(2)n n ++]． 解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由2211n n +-＝1+221n -＝1+（11n --11n +）， 知：222121+-＝1+（1-13） 223131+-=1+（12-14） …因此S n =n+（1-13）+（12-14）+…+（11n --11n +）+（1n -12n +） =n+1+12-11n +-12n + =322992(1)(2)n n n n n ++++． 练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4 计算：（12+13+…+12005）（1+12+13+…+12004）-（1+12+13+…+12005）（12+13+…+12004）．分析四个括号中均包含12+13+…+12004，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设12+13+…+12004＝A，则：原式＝（A+12005）（1+A）-（1+A+12005）·A＝A+A2+12005+12005A-A-A2-12005A=12005．练习41．求S=1+3+32+33+ (32005)2．求1+12+212+312+…+200412．3．比较：S n=12+23448162nn++++（n是正整数）与2的大小．例5从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；B：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．问：哪个麦地的麦苗长得高．分析这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3•…x n的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，•得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，y n=x n-a，那么x1+x2+x3+…+x n=na+（y1+y2+y3+…y n）．这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．则A组数据的平均数为：110[85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]=110（850-10）=84．B组数据的平均数为：110[85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]=110（850-18）=83.2．∴A地麦苗长得高．练习51．已知如下数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…那么第200行所有数的和为__________．2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．3．计算下列各数的和．49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．答案:练习11．-35912．原式=（-30+124）×12=360+12=35912． 2．1．原式=1995×（1-12）×（1-13）×…×（1-11995） =1995×12×23…×19941995 =1．3．2原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）=472 635×2-472 634×2=（472 635-472 634）×2=2．练习21．-2004．原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+•2002-•2003-2004） =-4×501=-2004．2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1） =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998=999+998=1997．3．21000n 个0原式=9999n 个×9999n 个+1000n 个0+9999n 个=9999n 个×(9999n 个+1)+ 1000n 个0=9999n 个×1000n 个0+1000n 个0=（9999n 个+1）×1000n 个0=1000n 个0×1000n 个0=21000n 个0． 练习31．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1 =201+197+…+1 =(2011)512+⨯ =5151．2．1n n + 原式=（1-12）+（12-13）+…+（1n -11n +） =1-11n +=1n n +． 3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=（22-1）（22+1）…（232+1）=（232-1）（232+1）=264-1．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5． 练习41．2006312-．3S=3+32+33+…+32006， ∴2S=32006-1，∴S=2006312-． 2．2-200412．设1+12+212+…+200412=A ． 则2A=2+1+12+212+…+200312，∴A=2-200412． 3．S n <2． 2S n =1+22+34+48+…+12n n -．∴2S n -S n =1+（22-12）+（34-24）+（48-38）+…+（12n n --112n n --）-2n n =1+12+14+18+…+112n --2n n 由练2知1+12+14+18+…+112n -=2-112n -． ∴S=2-112n --2n n <2． 练习51．159201．第200行的数为：200，201，202…598．方法1：200+201+…+598=(598200)3992+⨯=159201． 方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，故200+201+…+598=399×399+0=159201．2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11， 故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，• 故原数据和为：50×13-1.9=648.1．。
初一数学奥赛：有理数的运算
有理数的运算一、知识要点1、有理数的运算律：2、添、去括号，凑整，分组，拆项，等差数列求和公式。
3、巧算方法倒写相加法--------高斯求和 等差数列 通项公式： 1(1)n a a n d =+-，求和公式：1()2n n a a nS +=二、典型例题分析 类型一、合理分组例1：计算 85314)526(612)833(5312155---+--+--答案：19-变式练习：计算 201220117654321-+-+-+-+-答案：1006-类型二、巧用乘方的意义例2、913712)53()8()321()125.0(-⨯-⨯-⨯-答案：2572-类型三、反序相加----探索等差数列的求和公式 例3、计算 1+3+5+7+…+2011+2013变式练习、计算：11212312341259()()()()2334445555606060++++++++++++++提示：通项()2121n n n n a n =++=类型四：列项求和例4：计算 201320121431321211⨯++⨯+⨯+⨯变式练习：计算 201320111751531311⨯++⨯+⨯+⨯例5：（第15届五羊杯） 计算 333129117151311513111⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯提示：⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=⨯⨯1513113111411513111例6：化简 n+++++++++++++++32114321132112111【课后练习】 （要求认真详细书写出解题过程，送给自己的数学老师批改） 1、计算 4(123)(5)1251274755⨯-+-⨯-⨯-⨯； 2、()1110188⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭3、2008年希望杯 计算 03125.075.049113129530322÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-4计算：9019727185617424163015201941213652211+-+-+-+-5、计算： 99971252312321121191⨯+⨯+⨯+⨯6、计算 21856154213301120912731⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-7、 （第11届华罗庚杯邀请赛题）计 算⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+10098119997116411531142113111答案：原式=98.11009921100989999999798985316429314=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯8、已知n m ,互为相反数，b a ,互为倒数，x 的绝对值等于3， 求()()()20132011231ab n m x ab n m x -++++++-的值。
(完整版)七年级奥数题(有理数的巧算)
有理数的巧算考考你:1、2002)1(-的值 ( B )A. 2000B.1C.-1D.-20002、a 为有理数，则200011+a 的值不能是 （ C ） A.1 B.-1 C .0 D.-20003、()[]}{20072006200720062007----的值等于 （ B ）A.-2007B.2009C.-2009D.20074、)1()1()1()1()1(-÷-⨯---+-的结果是 （ A ）A.-1B.1C.0D.25、2008200720061)1()1(-÷-+-的结果是 （ A ）A.0B.1C.-1D.26、计算)2()21(22-+-÷-的结果是 （ D ） A.2 B.1 C.-1 D.07、计算：.21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯8、计算：.311212311999212000212001212002-++-+-Λ9、计算：).138(113)521()75.0(5.2117-⨯÷-÷-⨯÷-11、计算：.363531998199992000⨯+⨯-练习：.22222222221098765432+--------.2)12(2221n n n n =-=-+ 612、计算：)9897983981()656361()4341(21++++++++++ΛΛ 结果为：5.612249122121=⨯++⨯+Λ13、计算:.200720061431321211⨯++⨯+⨯+⨯Λ应用：)111(1)1(+-=+n n d n n d练习：.1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯Λ13、计算:35217106253121147642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 结果为5214、求21-++x x 的最小值及取最小值时x 的取值范围.练习:已知实数c b a ,,满足,01b a c <<<<-且,a c b >>求b a c a c ---+-1的值.答案：练习：1、计算2007200619991998)1()1()1()1(-+-++-+-Λ的值为 （ C ）A.1B.-1C.0D.102、若m 为正整数，那么()[])1(11412---m m 的值 （ B ） A.一定是零 B.一定是偶数C.是整数但不一定是偶数D.不能确定 3、若n 是大于1的整数，则2)(12)1(n n n p ---+=的值是 ( B ）A.一定是偶数B.一定是奇数C.是偶数但不是2D.可以是奇数或偶数4、观察以下数表，第10行的各数之和为 ( C ） 14 36 7 813 12 11 1015 16 17 18 1926 25 24 23 22 21…A.980B.1190C.595D.4905、已知,200220012002200120022001200220012⨯++⨯+⨯+=Λa 20022002=b ，则a 与b 满足的关系是 （ C ）A.2001+=b aB.2002+=b aC.b a =D.2002-=b a6、计算: .35217201241062531211471284642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯527、计算：.561742163015201412136121++++++83288、计算：.100321132112111+++++++++++ΛΛ9、计算: .999999999999999999999+++++10、计算)100011)(99911)(99811()411)(311)(211(10201970198019992000-------++-+-ΛΛ.610 11、已知,911,999909999==Q p 比较Q P ,的大小. Q p ==⨯⨯=⨯⨯=9099909999099119991199)911(12、设n 为正整数，计算：43424131323332312122211+++++++++++ .1112141424344nn n n n n n n n ++-++-+++++++++ΛΛΛ 2)1(21+=+++n n n Λ13、2007加上它的21得到一个数,再加上所得的数的31又得到一个数,再加上这次得到的41又得到一个数,… ,依次类推,一直加到上一次得数的20071,最后得到的数是多少?2005003)200211()311()211(2002=+⨯⨯+⨯+⨯Λ14、有一种“二十四点”的 游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的 自然数，将这四个（每个数用且只用一次）进行加减四则运算与)321(4++⨯应视作相同方法的运算，现有四个有理数3，4，-6，10.运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，运算式：（1）_______________________;(2)________________________;(3)________________________;15.黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添上0，等等。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——例题一、第1讲有理数的巧算(例题部分)1.计算:【答案】解:原式===0+0+0=0【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．2.计算【答案】解:原式===【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。
3.计算【答案】解:原式==【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．4.计算【答案】解：原式====……==1-=【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。
5.计算（1）1+2+3+4+ +2007+2008（2）1-2+3-4+ +2007-2008【答案】（1）解:令S=1+2+3+4+ +2007+2008则S=2008+2007 +2+1两式相加,得2S===2009 2008所以S=即原式=（2）原式===-1004【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：所以，本题也可用这个计算公式计算．有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．6.计算【答案】解：原式==1-= =【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。
有理数的巧算
有理数的巧算有理数运算中的几个技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－441=－2 ．解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127] = 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)] = 11＋(－73) = 1074．二、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例4 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．三、凑整求和例5 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1= (20＋300＋4000＋50000)－4= 54320－4= 54316．例6 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45= 2222222175．四、逆用运算律有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例7 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44= 17.48×(37＋19＋44)= 1748．五、巧拆项例8 计算2005×20042003－1001×10021001．解：2005×20042003－100210011001? = (2004＋1)×20042003－(1002－1)×10021001 = (2003－1001)＋(20042003＋10021001) =100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、换元法通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例9 计算512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋323417512769+-)．解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则 512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋323417512769+-) = cab a +×(b ＋a c ) =c ab a +×a c ab + = 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，① 则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ，② ① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故 1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256 171．七、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例11 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)，② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885．评析：此题运等比数列求和也行有理数的巧算与速算有理数的计算题在大大小小的考试中都占有很重要的地位，而有理数的题目又变化多样，可以说是形形色色，怎样解决这类题目呢？当然，灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序，常可达到简化运算的效果。
初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算
初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算第一篇：初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算金苹果文化培训学校奥数学提高班第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．金苹果文化培训学校奥数学提高班3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．2399100例6 计算1+5+5+5+…+5+5的值．例7 计算：金苹果文化培训学校奥数学提高班(6)1+4+7+ (244)1111(7)1++2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2000333***9-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅＋－(8)1-+***99002．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．金苹果文化培训学校奥数学提高班再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．99100 解设S=1+5+52+…+5+5，①所以231001015S=5+5+5+…+5+5．②②—①得1014S=5-1，例7 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．第二篇：初一奥数提高班第03讲-绝对值_金苹果文化培训学校奥数学提高班第3讲绝对值（1）一主要知识点回顾1．有理数：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零2.数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数（符号相反且绝对值相等的两数）绝对值一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数二典型例题分析:例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．三.专项练习(一).填空题:1.a＞0时，|2a|=________；(2)当a＞1时，|a-1|=________；2.已知a++b-3=0，则a____b______3.如果a>0，b<0，a<b，则a，b，—a，—b这4个数从小到大的顺序是______________________(用大于号连接起来)4.若xy>0，z<0，那么xyz=______0．5.上山的速度为a千米/时，下山的速度为b千米/时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是_______________千米/时(二).选择题:6.值大于3且小于5的所有整数的和是（）A.7B.－7C.0D.57.知字母a、b表示有理数，如果a+b=0，则下列说法正确的是（）A.a、b中一定有一个是负数B.a、b都为0C.a与b不可能相等D.a与b的绝对值相等8.下列说法中不正确的是()Ａ．0既不是正数,也不是负数B．0不是自然数C．0的相反数是零D．0的绝对值是09.列说法中正确的是（）A、-a是正数B、—a是负数C、-a是负数D、-a不是负数10.x=3，y=2，且x>y，则x+y的值为（）A、5B、1C、5或1D、—5或—111.<0时，化简aa等于（）A、1B、—1C、0D、±112.若ab=ab，则必有（）A、a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、ab≥013.已知：x=3，y=2，且x>y，则x+y的值为（）A、5B、1C、5或1D、—5或—1(三).解答题:14.a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．15..若x-y+y-3=0，求2x+y的值.16.当b为何值时，5-2b-有最大值，最大值是多少？17.已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.4ab+c求式子的值.22-a+c+418.若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．《春雨的色彩》说课稿一、教材内容分析：春天里万物复苏，百花争艳、绿草如荫、一派迷人的景色。
初一奥赛培训01：有理数的巧算 甄选
初一奥赛培训01：有理数的巧算（优选.)一、解答题（共16小初一奥赛培训01：有理数的巧算题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）2、计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．3、计算：S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n+1•n．4、在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“﹣”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？5、计算3001×2999的值．6、计算103×97×10 009的值．7、计算：8、计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．9、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=_________10、计算：11、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．12、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．13、计算1+5+52+53+…+599+5100的值．14、计算：+++…+．15、计算下列各式的值：（1）﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣1997+1999；（2）11+12﹣13﹣14+15+16﹣17﹣18+…+99+100；（3）1991×1999﹣1990×2000；（4）4726342+472 6352﹣472 633×472 635﹣472 634×472 636；（5）（6）1+4+7+ (244)（7）1+（8）116、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）考点：有理数的混合运算。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——练习题一、第1讲有理数的巧算(练习题部分)1.2.3.4. 3.825 ×−1.825+0.25×3.825+3.825×5.−7.2×0.125+0.375×1.1+3.6×−3.5×0.3756.7.8.9.10. 9+99+999+9999+99999+99999911.12.13.14.15.16.17.答案解析部分一、第1讲有理数的巧算(练习题部分)1.【答案】解：原式=（31+4）+（-22+11）=36-1125.【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.2.【答案】解：原式=（5-3-2）+（8-3.125）+（6-7-3），=0+5-5，=0.【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.3.【答案】解：原式=-××（-）×（-）××（-），=.【解析】【分析】根据有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，化成乘法之后，再根据乘法法则计算即可得出答案.4.【答案】解：原式=3.825×0.25-1.825+0.25×3.825+3.825×0.5，=3.825×（0.25+0.25+0.5）-1.825，=3.825×1-1.825，=3.825-1.825，=2.【解析】【分析】根据乘法分配律先计算再根据有理数减法法则计算即可得出答案.5.【答案】解：原式=3.6×（-2）×0.125+0.375×1.1+3.6×-3.5×0.375，=3.6×（-2×0.125+0.5）+0.375×（1.1-3.5），=3.6×（-0.25+0.5）+0.375×（-2.4），=3.6×0.25+0.375×（-2.4），=0.9-0.9，=0.【解析】【分析】根据乘法分配律先计算，再根据有理数乘法和减法法则计算即可得出答案.6.【答案】解：原式=，=，=.【解析】【分析】由里往外，逐层计算，根据分数除法和减法的法则计算即可.7.【答案】解：原式=1++3++5++7++9+，=（1+3+5+7+9）+（++++），=25+，=25.【解析】【分析】先将带分数化成整数+分数的形式，再利用加法交换律和结合律计算即可得出得出答案.8.【答案】解：原式=，=，=999.【解析】【分析】先根据分数加法法则：同分母的分数相加，分母不变，分子相加，再由高斯定理计算即可.9.【答案】解：原式=（7-5）+（9-7）+（11-9）+……+（101-99），=2+2+2 (2)=2×48，=96.【解析】【分析】利用加法交换和结合律得出有48个2，计算即可得出答案.10.【答案】解：原式=（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）+（1000000-1），=（10+100+1000+10000+100000+1000000）-（1+1+1+1+1+1），=1111110-6，=1111104.【解析】【分析】先将各数分拆，再利用加法交换、结合律计算即可得出答案.11.【答案】解：原式=3×31999-5×31999+2×31999，=31999×（3-5+2），=31999×0，=0.【解析】【分析】根据幂的运算性质拆分，再利用乘法分配律计算即可得出答案.12.【答案】解：原式=1-1+1-1，=0.【解析】【分析】根据负数的偶次幂为正，奇次幂为负，计算即可得出答案.13.【答案】解：原式=×（-）+×（-）+×（-）+……+×（-），=×（-+-+-+……+-），=×（-），=×，=.【解析】【分析】先把每一项裂项，之后抵消，计算即可得出答案.14.【答案】解：原式=2002+-2001-+2000+-1999-+……+2+-1-，=（2002-2001）+（-）+（2000-1999）+（-）+……+（2-1）+（-），=1++1++……+1+，=1×1001+×1001，=1001×（1+），=.【解析】【分析】先将带分数拆成整数+分数形式，再利用加法交换、结合律计算，之后利用乘法分配律计算即可.15.【答案】解：原式=，=，=.【解析】【分析】分子分母先提起公因式，再约分，即可得出答案.16.【答案】解：原式=1+2++3++4++5++6++7+，=（1+2+3+4+5+6+7）+（+++++），=28+（-+-+-+-+-+-），=28+（-），=28+，=28.【解析】【分析】先将带分数拆成整数+分数形式，再利用加法交换、结合律，利用裂项相消计算即可.17.【答案】解：∵，∴原式=2×（1-）+2×（-）+2×（-）+……+2×（-），=2×（1-+-+-+……+-），=2×（1-），=2×，=.【解析】【分析】由展开计算即可得出答案.。
有理数的巧算
有理数的巧算1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．例6计算103×97×10 009的值．例7计算：例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．例9计算：通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10 计算：3．观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．例14 计算：30129811071741411⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯练习1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。
七年级王牌竞赛 第一讲 有理数的巧算
第一讲有理数的巧算【趣题引路】(第6届“希望杯”竞赛试题改编)计算：2004×20032003＋2005×20042004－2003×20042004－2004×20052005解析原式＝2004×20032003－2003×20042004＋2005×20042004－2004×20052005＝(2004×2003×10001－2003×2004×10001)＋(2005×2004×10001－2004×2005×10001)＝0点评:abcabc型式子通常将它化成abc×1001型式子，有的问题还利用到1001＝7×11×13这一特点来进行考查，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。
【知识延伸】一、巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。
例1 计算：(1)719998-×16；(2)11311()()63641248--+-÷-解析(1)原式＝1 (2000)8--×16＝－(3200－2) ＝－31998(2)原式＝－1131()48 636412--+-⨯＝－(－8－43＋36－4)＝－2 223.点评:(1)像719998、2003等数字在参与运算时，往往将其写成120008-、2000＋3的形式；(2)利用乘法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。
二、有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.例 2 (1992年“缙云杯”初中数学邀请赛试题)把199191199292,,,199292199393----四个分数按从小到大的顺序排列是.解析：1992192119931931 1,1,1,1, 199119919191199219929292 =+=+=+=+ 1111199319929392,, 199219919291199219919291 199219919291199219919291,. 199319929392199319929392 <<<∴<<<∴>>>∴-<-<-<-而是经常用到的方法.实际上，此类习题具有一般规律；11n n n n -<+(n 是正整数)，如12342345<<<<⋅⋅⋅。
七年级数学秋季竞赛第7讲 有理数的巧算
有理数的巧算姓名： 日期：【知识要点】有些有理数的计算题数值较大、项数较多、次数较高、计算形式十分复杂， 解题时要抓住题目的特征，掌握一些基本方法：拆项法;倒序相加法；错位相减法；换元法；分类讨论法等.（倒序相加法与错位相减法的实质是一样的） (1）()11+n n 型裂项公式：()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型裂项公式：⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1（3）)(k n n k +型裂项公式：kn n k n n k +-=+11)(． （4）)2)((1k n k n n ++型裂项公式：)2)((1k n k n n ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)2)((1)(121k n k n k n n k（5）)2)((2k n k n n k ++型裂项公式：()()()k n k n k n n k n k n n n 211)2)((++-+=++【典型例题】一：拆项法 例1、计算201120081191611613113101⨯--⨯-⨯-⨯-例2、1111232349899100+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯二：错位相减法 例3、求数列 ,81,41,21,1--的前8项的和. 例4、200743220071200712007120071200711++++++例5、比较2007200722007164834221+++++= S 与2的大小三：换元法 例6、计算3121()20071......31211()20071......3121()20061......31211(++⨯-----+++⨯----四：高次幂的运算 例7、设3344555,4,3===c b a ，比较a,b,c 的大小思考：将1，2，3，…，100这100个自然数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任意一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式)(21b a b a ++-中进行计算，50组都代入后可求得50个值，求这50个值得和的最大值.【练习与拓展】一：填空题 1、4213012011216121-----=________________ 2、20÷（0.30+0.31+0.32+…+0.69）的值得整数部分是_________3、12)12()12()12()12()12(3216842-+⨯+⨯+⨯+⨯+=_____________ 4、111111123456761220304256++++++=__________________ 二：计算（1）、3009200820082006200630092006200920074014200520064010200722⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯--（2）、111122424624620++++++++++（3）、++++3227252321共2007项的和.三：解答题 （1）、若n=7217561542133011209127311+-+-+-，求n 的负倒数（2）、已知+21+51+81+111+201+411+110116401=1，求--21-51+81+111+201+411+110116401的值(3)、将101014228,9,4,3由大到小排列.（附加）把2007的数1，11，111，1111，11111相加，所得和的末4位数是多少？有理数的巧算课后作业姓名： 家长签名：1、计算11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯2、计算：10001510512015105115105110511+++++++++++++++3、求和20073277771+++++= S4、⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++766554433276655443322112176655443322176655443322125、求证：200720062006543++是10的倍数.（附加）在数1，2，3，…，2007前添加符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的绝对值最小的数是多少？。
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七年级奥数题(有理数的巧算)
有理数的巧算
1.计算题
1.计算(1)2002的值。
答案：B。
1
2.a为有理数，则a+2000的值不能是什么？
答案：C。
0
3.计算2007{2006[2007(20062007)]}的值。
答案：B。
2009
4.计算(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)的结果。
答案：A。
-1
5.计算(-1)2006+(-1)2007÷(-1)2008的结果。
答案：A。
0
6.计算-2÷(-2)+(-2)的结果。
答案：D。
0
7.计算：3.825×(-1.825)+0.25×3.825+3.825×0.的结果。
答案：无
8.计算：2002-2001+2000-1999+。
+2-1的结果。
答案：无
9.计算：(-1)3÷2.5×(-0.75)×(-1)÷(-1)的结果。
答案：无
10.计算：-5×+6×的结果。
答案：无
11.练：
计算2-2+2-3+2-4+。
+2-29+2-10的结果。
答案：2n(2-1)=2n-1
12.计算：(1/3)1+(1/3)2+(1/3)3+。
+(1/3)10的结果。
答案：(1-1/3^10)/(1-1/3)=2.
13.计算：(1/2)+(2/3)+(3/4)+。
+(98/99)+(99/100)的结果。
答案：无
14.求x+1+x-2的最小值及取最小值时x的取值范围。
答案：最小值为-1/2，x的取值范围为[1/2，2]
15.练：
已知实数a,b,c满足-1c>a，求c-1+a-c-a-b的值。
答案：-2b
7年级奥数教案——有理数的巧算
1.计算 $(-1)^{1998}+(-1)^{1999}+\cdots+(-1)^{2007}$ 的值为（C）
A。
1
B。
$-1$
C。
0
D。
10
2.若 $m$ 为正整数，那么 $1-\dfrac{(-1)^{m^2-1}}{4}$ 的值为（B）
A。
一定是零
B。
一定是偶数
C。
是整数但不一定是偶数
D。
不能确定
3.若 $n$ 是大于1的整数，则 $p=n+\dfrac{(n-1)^2}{1-(-n/2)}$ 的值是（B）
A。
一定是偶数
B。
一定是奇数
C。
是偶数但不是2
D。
可以是奇数或偶数
4.观察以下数表，第10行的各数之和为（C）
1
4.3
6.7.8
13.12.11.10
15.16.17.18.19
26.25.24.23.22.21
A。
980
B。
1190
C。
595
D。
490
5.已知
$a=2002+2001\times2002+2001\times2002^2+\cdots+2001\times2 002^{2001}$，$b=2002^{2002}$，则 $a$ 与 $b$ 满足的关系是（C）
A。
$a=b+2001$
B。
$a=b+2002$
C。
$a=b$
D。
$a=b-2002$
6.计算
$1\times2\times3+2\times4\times6+4\times8\times12+7\times14\ti mes21$ 的值为（A）
1\times3\times5+2\times6\times10+7\times21\times35$
7.计算 $1+2+3+4+5+6+7.28$ 的值为（B）
1+2+3+4+5+6+7+0.28$
8.计算
$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{ 1}{3}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{100}+\cdots+\dfrac{1}{10 0}$ 的值为（D）
dfrac{1}{1}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{10}+\cd ots+\dfrac{100}{4950}$
9.计算 $9+99+999+9999++$ 的值为（C）
\times3$
10.计算$2000-1999+1980-1970+\cdots+20-10$ 的值为（A）
1000-990+970-960+\cdots+20-10$
11.已知 $p=\dfrac{99}{90}$，$q=\dfrac{91}{99}$，比较
$p$，$q$ 的大小。
（B）
p=\dfrac{11\times9}{19\times99}$，
$q=\dfrac{11\times9\times7}{19\times99\times91}$，$p<q$
1.修正格式错误，删除问题段落：
xxxxxxxxxxxxxxxx2n-1 n-1 1 +。
+ n = n(n+1)/2
1+2+。
+n = n(n+1)/2
2.小幅度改写：
第一段：这是一个常见的等差数列求和公式，其中n表示项数，+号中间是等差数列的公差。
第二段：这是一个常见的求前n个自然数和的公式。
3.改写：
题目描述：一个数不断地加上它自己再加上2007，然后再加上所得的数，以此类推，一直加到上一次得数的末尾。
求最后得到的数。
解题思路：设上一次得到的数为x，则下一次得到的数为2x+2007，再下一次得到的数为2(2x+2007)+2007=4x+6021，以此类推。
因此，第n次得到的数为2^(n-1)x+(2^n-1)2007.最后一次得到的数就是题目所求，代入n=23即可。
4.改写：
题目描述：计算1+1/2+1/3+。
+1/n的值。
解题思路：这是一个常见的调和级数，可以使用对数积分等方法求得它的极限值为ln(n)+γ，其中γ为欧拉常数，约为0.5772.当n很大时，这个值与ln(n)非常接近。
5.改写：
题目描述：给定四个有理数3，4，-6，10，使用加减乘除四则运算和括号，写出三种不同的运算式，使其结果为24.
解题思路：这是一个典型的数学游戏问题，需要灵活运用数学知识和逻辑思维。
一种可能的解法是：(3-4/10)*(-
6)+10=24；另一种可能的解法是：(10-4)*(3-(-6))/(-6)=24；第
三种解法留给读者自行思考。
6.改写：
题目描述：对1到1998这1998个自然数进行操作，每次
擦掉三个数并添加它们的个位数字，经过998次操作后，黑板上剩下两个数，一个是25，求另一个数。
解题思路：这是一个有趣的数字游戏问题，需要一定的数学技巧和耐心。
我们可以将1到1998这1998个数分成三组，
分别是1到XXX，1000到1997，1998.显然，对于任意一组，每次操作后它们的和都不会改变，因此最终剩下的两个数一定分别来自这三组中的两组。
又因为25是奇数，因此它对应的
三个数的和必须为偶数，而只有1000到1997这一组中有偶数个奇数，因此25对应的三个数一定来自这一组。
我们可以列
出所有可能的三个数的组合，然后逐个进行操作，最终得到剩下的两个数分别为25和1972.。