微积分理论中的重要思想及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述

信息与计算科学

微积分理论中的重要思想及其应用

一．前言部分

微积分又称“数学分析”，人们还常简单的称之为“分析学”。事实上，“数学分析”是在微积分发展趋于成熟时期才比较通用的名称。它主要包括实数理论、极限理论、微分学、积分学和无穷级数等部分。微分学与积分学是以极限作为基础的，极限论是以实数理论作为基础的。那么，什么是微积分的主题？答案很明确：微分学主要是处理函数变量（应变量）的变化率问题，即讨论微商（导数）的计算法则和有关问题。积分学是处理微分学的反问题，即如何从变化率去寻求（包括分析、计算）原函数问题[1]。

微积分是一门变量数学，它是通过合理的抽象模式来表现变量间的种种普遍关系结构的。在人们对微积分的不断探索中，形成了各式各样的理论：柯西的积分概念、积分中值定理、微分中值定理、洛必达法则、泰勒展式等等，其中最重要的灵魂核心是著名的牛顿-莱布尼茨公式，又叫做“积分学基本定理”，它表明了积分与微分互为反运算过程的基本关系。

在实际应用上，利用变化率来描写的数量是多不胜举。例如曲线的斜率、变速运动的速度、交流电的电流强度、空间温度场的梯度以及现代经济学上的边际劳动生产率、边际税率等等，反过来，已知斜率、速度等变量来寻求满足的方程或函数等。与此同时，微积分对其他学科以及人类物质文明也有着巨大的影响。有了微积分就有了工业革命，就产生了现代化社会，同时现代的工程技术直接影响着人们的生产，而工程技术的基础就是微积分。由此可见，微积分的重要性。

微积分也蕴含着一些哲学思想，它体现了对立与统一的规律，渗透着辩证法的思想，为解决芝诺悖论提供了新思路，这个悖论事实上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的，我们运用微积分中的极限来解决，无限是有限的发展，把它定义为“部分和”的极限，只有借助极限才可以认识无限，于是就得到了整体与部分相互转化的关系，同时微积分也蕴含着物质是无限可分的，物质世界是不断变化等真理[2]。

二．主题部分

2.1 历史背景

2.1.1 微积分思想的酝酿和产生

古典意义下的微积分是微分学和积分学的总称，是马克思主义经典著作中所说的“变量数学”或“高等数学”的主体部分。它作为一门学科，产生于17世纪后半期，以牛顿和莱布尼茨的工作为标志，经过18世纪的讨论、研究，于19世纪才用极限法改造、定型成今天的形式。但是微积分中某些重要概念却萌芽于两千多年以前。古希腊芝诺的“二分法”、“阿基里斯追龟”和我国《庄子》中“一尺之锤”等都是早期的极限思想。我国古代用“割圆术”求圆的面积，以及希腊用“穷竭法”计算曲边图形的面积和体积，都是极限思想在数学中的应用。今天的微分和积分思想虽然可以追溯到古代原子论学说，但是知道17世纪中期之前，二者却互不相干，各自独立而又平行地发展着。

从16世纪后半期到17世纪前半期，积分思想是围绕“求积问题”发展的。它主要包括几何学和力学两个方面的问题。几何学方面是求平面曲线包围的面积、空间曲面包围的体积以及求曲线的弧长；力学方面是计算非匀速运动物体经过的路程、物体的中心以及液体压力等。求积法从最初修改穷竭法开始，到同维无穷小法，卡瓦列利得不可分元法，再到不可分元的算术化，中间经过许多人的工作，积聚了极其丰富的材料，诞生了现代的积分学。

在历史上，几何学中求曲线在其上一点之切线问题，力学中求质点运动的瞬时速度问题，以及求变量的极值问题，是产生微分学的基本问题。在牛顿以前，求切线问题对微积分的产生有直接的影响。马克思指出“全部微分学本来产生了求任意一条曲线上任何一点的切线的问题”，于是产生了笛卡尔用“重根法”作切线，费尔马借助微小增量作切线，罗伯尔瓦等借助合成运动速度作切线，巴罗等利用“特征三角形”作切线等等。微积分经过大约一个半世纪的酝酿，以费尔马和巴罗的工作为结束。

2.1.2 微积分基本定理的历史

早在中世纪时，某些经院哲学家对运动和变化曾进行过思辨式的研究，文艺复兴开始以后大约两个世纪的时期内，是微分学和积分学平行而又独立地迅速发展的时期，是微积分作为一门学科的酝酿时期，也是微积分基本定理的酝酿时期。在微积分的先驱那里，已经意识到求非匀速运动的路程、求一直曲线下的面积以及求曲线的弧长等问题有某种统一性——都是无穷多个无穷小的总和；也认识到求非匀速运动在给定时刻的速度、求曲线在一点的切线以及求变量的机制等问题也有某种统一性——都是求变量的变化率问题。但是都没有明确的提出微积分定理，直到在牛顿和莱布尼茨的工作中才比较明确地提了出来[3]。

基本定理的思想，牛顿在1666年已有。他在1666年10月所写的《短论》一文中就讨论了如何借助反微分计算面积问题。他说，反微分“总能做出可以解决的一切问题”。如果

设曲线()y f x =同x 轴之间的面积为()A x ，牛顿断定()'A x 就是()f x 。这是微积分的历

史上第一次用比较明确的形式提出的微积分基本定理。牛顿意识到用反微分法代替求积法的重要性和普遍性，所以他强调了这个方法既可以“直接用”，也可以“反过来用”。所谓“直接用”，就是切线法，即今天的由()F x 求它的导数()'

F x ；所谓“反过来用”，就是积分法，即今天的由()f x 求()F x ，使得()()'

F x f x =。牛顿这一思想用今天的符号表示就是微积分基本定理：()()x d f t dt f x a

dx =⎰。 莱布尼茨也是微积分的重要奠基人之一，他的积分完全继承了先驱们求微元和的思想。设给定的曲线是()Z f x =，为了求出该曲线在区间[],a b 上面积Zdx ⎰

，必须求出另一条纵坐标为y 的曲线，即他所谓的割圆曲线，使得dy Z dx a

=，a 为常数。这时由于Zdx ady =，于是就有Zdx a dy ay ==⎰⎰

，莱布尼茨通常假定曲线y 经过原点，于是在莱布尼茨的微积分中，求积问题就化归为反切线问题。也就是说，为了求得纵坐标为Z 的曲线下的面积Zdx ⎰，只须求出一条纵坐标为y 的曲线，使得它的切线满足条件

dy Z dx a =，设1a =，再由曲线()Z f x =在区间[],o b 上的面积减去在区间[],a o 上的面积，就得出公式()()()a f x dx y b y a b =-⎰。在现在的微积分中，我们称这个式子为“牛顿——莱布尼茨公式”。

随后柯西又用极限理论定义了积分，设函数()f x 在区间[]0,x X 上连续，并用分点()1,2,3,,i n x i x X ==……对其分割，于是和式()()111n

n i i i i S f x x x --==-∑，表示以()

1i f x -为高，以()1i i x x --为底的n 个矩形面积之和，当n 很大，且1i i x x --很小时，和式n S 就同该曲线在曲线[]0,x X 上的面积S 近似，即()()11

1n

i i i i S f x x x --=≈-∑，它最终到达某一个极限，这个极限仅仅依赖于函数()f x 的形式以及变量x 的两个端值0x 和X ，我们把这个极限称为定积分，用符号表示就是()()()11

10lim n

i i i n i x S f x dx f x x x x --→∞===-∑⎰，当柯西定义