微积分理论中的重要思想及其应用[文献综述]
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨
高数微积分作为数学中的一门重要学科，具有广泛的实际应用。
本文将从思想和实践
两个方面探讨高数微积分的应用。
一、高数微积分的思想
高数微积分的核心思想是极限和导数。
极限是指函数在某个点处趋近于某个值的情况，而导数是指函数在某个点的切线斜率。
通过极限和导数，我们可以求解函数的极限、导数、曲线的切线方程以及函数的最大值、最小值等等。
极限和导数的应用十分广泛，如在物理学中可以用来描述物体的运动、速度和加速度；在经济学中可以用来分析边际效应和成本效益；在工程学中可以求解最优化问题等等。
极
限和导数的思想在数学中也被广泛应用，例如在微积分的曲率问题、多元函数中的偏导数
和全微分等等。
1. 物理学
高数微积分在物理学中的应用很广泛，例如在牛顿第二定律中可以求解物体的加速度；在波动学中可以求解波函数；在热力学中可以分析物体的热量变化等等。
2. 经济学
高数微积分在经济学中的应用也很广泛，例如在边际效应分析中可以求解边际收益、
边际成本等；在成本效益分析中可以求解最优解等等。
3. 工程学
总之，高数微积分的思想和方法在实际应用中具有十分广泛的应用。
无论是在自然科学、工程学、经济学、医学还是社会科学等领域，都能看到它的身影。
因此，学好高数微
积分对于我们在实践中解决问题具有十分重要的作用。
微积分的基本原理与应用
微积分的基本原理与应用微积分作为数学的重要分支，以其独特的观点和强大的实用性，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍微积分的基本原理以及其在实际应用中的重要性。
一、微积分的基本原理微积分的基本原理可以概括为导数和积分两个部分，它们相互运用构成了微积分的核心思想。
1.1 导数导数是微积分的重要概念之一，它表示了一个函数在某一点上的变化率或斜率。
导数的计算方法有多种，其中最基本的是通过函数的极限来求导。
当我们求得了一个函数在某一点上的导数，就能够获得关于函数曲线在该点上的一些重要信息，如切线的斜率和凹凸性等。
1.2 积分积分是导数的逆运算，它表示了一个函数在给定区间上的累积变化量。
通过积分，我们可以计算函数曲线下的面积、弧长、体积等重要的几何量。
积分的计算方法也有多种，其中最基本的是定积分和不定积分。
定积分用于计算函数在某一区间上的总变化量，而不定积分则用于求得函数的原函数。
二、微积分的应用领域微积分的应用广泛涉及自然科学、工程技术、经济学、物理学等众多领域。
以下列举了一些常见的应用领域。
2.1 物理学微积分在物理学中的应用非常广泛，尤其在描述物体运动、力学、电磁学和流体力学等方面。
通过微积分，我们可以精确地描述物体的加速度、速度和位移之间的关系，进而推导出牛顿力学的基本定律。
此外，微积分还可用于解析几何、向量分析等物理学中的数学工具。
2.2 经济学微积分在经济学中的应用主要体现在计量经济学、边际效用和劳动经济学等方面。
通过微积分，我们可以研究市场供求关系、边际收益和效用最大化等经济学中的重要概念，为经济学家提供了强有力的工具。
2.3 生物学微积分在生物学中的应用主要涉及生物动力学、遗传学和生态学等方面。
通过微积分，我们可以建立生物系统的数学模型，研究生物种群的增长规律、遗传变异的传播和生态系统的平衡等问题，为生物学家提供了重要的分析手段。
2.4 工程学微积分在工程学中具有广泛的应用，尤其在电气工程、机械工程和土木工程等领域。
微积分理论与实践
微积分理论与实践微积分是现代数学的重要分支，它涵盖了很多应用领域，如物理学、工程学、经济学等。
本文将介绍微积分的基本理论和实际应用，并探讨如何将微积分应用于实践中。
一、微积分的基本概念与原理微积分的基本概念包括导数和积分。
导数描述了函数的变化率，即函数在某一点的斜率；积分则是导数的反向运算，描述了函数下的面积或曲线长度。
这两个概念是微积分的核心，也是其应用的基础。
导数的计算可以通过极限的概念来实现。
对于给定函数f(x)，它在点x处的导数可以通过计算该点的极限来得到。
导数可以帮助我们分析函数的增减性、极值点以及曲线的切线方程等问题。
积分的计算可以通过定积分和不定积分来实现。
定积分是求函数在一定区间上的面积，可以用反常积分的概念来推广。
不定积分则是求解函数的原函数，也就是求解导数等于给定函数的反函数。
二、微积分的实际应用领域微积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
以下列举几个实际应用的例子：1. 物理学中的运动学和动力学问题：微积分可以用于描述物体的运动状态和力的作用。
例如，通过求解速度函数的导数可以得到加速度函数，进而分析物体的加速度变化情况。
2. 工程学中的最优化问题：微积分可以帮助工程师在设计过程中寻找最优解。
例如，通过求解函数的极值点可以确定最佳设计参数或优化工程方案。
3. 经济学中的边际分析：微积分可以用于解决经济学中的边际分析问题。
例如，通过求解生产函数的边际效应可以评估企业的生产效率，从而进行管理决策。
4. 金融学中的期权定价：微积分可以用于解决期权定价模型中的偏微分方程。
例如，通过求解Black-Scholes方程可以计算期权的价格，从而进行金融衍生品的交易。
三、微积分在实践中的方法与技巧在实际应用中，微积分的方法和技巧对于解决问题至关重要。
以下是一些常用的方法与技巧：1. 利用导数进行函数分析：通过求解函数的导数可以获得函数的增减性、极值点和拐点等信息。
这有助于我们理解函数的性质并进行进一步的分析。
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨高等数学是自然科学和工程技术的基础学科，它贯穿于整个学科体系中，为其他学科提供了数学方法和工具。
微积分，作为高等数学的重要组成部分，是研究变化和积分的数学分支。
它的思想和方法不仅在理论上有重要意义，而且在实践中也有广泛应用。
高等数学微积分的思想主要包括极限思想、导数思想和积分思想。
极限思想是微积分的基础，它研究的是数列和函数序列的极限性质。
通过极限的概念，可以描述函数的趋势和变化规律。
导数思想是微积分的精髓，它研究的是函数的变化率和斜率。
导数可以用来解决最优化问题，如求解函数的最大值、最小值和切线方程等。
积分思想是微积分的重要工具，它研究的是曲线下的面积和变化量。
积分可以用来计算几何中的长度、面积、体积等量，以及物理中的位置、速度、质量等量。
微积分的应用广泛存在于自然科学和工程技术领域。
在物理学中，微积分的思想和方法被用来描述物体的运动和变化规律。
通过对位置、速度和加速度的微积分分析，可以研究物体的运动轨迹、速度和加速度的关系，从而解决实际问题。
在工程技术中，微积分的思想和方法被用来优化问题和建模问题。
在工程设计中，可以通过求解函数的导数来确定最优解，以达到最大的效益和最小的成本。
在电子电路设计中，可以通过积分电路的输入和输出关系来分析电路的响应特性和稳定性。
微积分还有许多其他的应用。
在经济学中，微积分的思想和方法被用来分析经济增长和收益等问题。
在生物学中，微积分的思想和方法被用来研究生物体的生长和发展规律。
在计算机科学中，微积分的思想和方法被用来设计和优化算法。
在金融学中，微积分的思想和方法被用来分析金融衍生品的定价和风险管理问题。
高等数学微积分的思想和方法在实践中具有广泛的应用。
它不仅为其他学科提供了重要的数学工具，而且也帮助我们理解和解决实际问题。
学好微积分对于我们的学业和职业发展都有很大的帮助。
我们应该珍惜学习微积分的机会，不断提高自己的数学能力，并将所学运用到实践中去。
文献综述
文献综述极限思想的某些问题的应用1.引言微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]．极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学．要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想．极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一．2.国内外现状极限的概念最早诞生于中国的战国时期，在这时期的一个名家学者提出了一个著名的命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．因此有人认为位这名家提出了极限的概念，但是，他实际上并未指出无限分下去结果是什么．后来墨家学派从一维（线）入手对极限的概念更加清晰．而这句话在古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中引用过后，以及惠子从三维（体）入手研究极限，使得极限的概念定义方法与近代数学的方法相通．可见,中国古代的极限概念在先秦时就已相当精确了，诸子的极限表述方式完全超越了日常经验．尽管后来在中国从未诞生真正意义上的微积分，但极限概念(和观念)的影响是深远的．公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，他的极限思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”．第一个创造性地将极限思想应用到数学领域. 这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础．西方国家的极限概念的起源可追溯到2500年前的古希腊，那时古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明．如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”．而牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想，但是他们对后来的微积分影响很大．到了19世纪，法国数学家柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望．但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度．为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础．所谓 n a A =，就是指：“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n a A ε-<，恒成立”．而这就是我们所说的N ε-语言，现在的微积分课程中一直使用．3. 研究方向极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化.在辨证法中，有限与极限是对立统一的.无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限[]2.近似与精确是对立统一的关系,在一定条件下可相互转化,这种转化是理解数学运算的重要方法在唯物辨证法中，任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体.质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度，以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性[]3.量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系.量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用[]4.对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性，在事物量变过程中，保持事物本身质的稳定性.但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一.本文中这些思想都有所体现.4. 进展情况极限知识是微积分的基础，导数和积分都是建立在极限的概念之上的，“极限”概念承上启下是高等数学知识方法的核心.不管是从高中到大学的知识，极限都是作为基础桥梁，联通许多其他知识体系.如物理学中从“不变”的匀速运动到“变”的变速运动，代数中从有限的小数到无限小数化分数的认识以及经济生活中的市场营销稳定性模型、复利计息模型等.现在是信息化的社会，极限的应用领域会越来越广，所涉及的面也会越来越大.5.存在问题极限问题在生活中无处不在，知识人们没有细心的去观察，从而导致遇到极限问题时措手不及，无从下手.高中及大学阶段就把极限的概念引入课本，但是很多学生对于极限的概念的理解不透彻，对于极限也只有模糊的概念.哲理都是相通的，数学的极限概念中也蕴含着深刻的哲理.它告诉我们，不要小看一点点改变，只要坚持，终会有巨大收获.学完极限概念，我们至少要教会学生明白一件事，就是做事一定要坚持，每天我们能前进很小很小的一步，最终会有很多收获.这是学极限概念收获的最高境界，也是作为一名教师“教书育人’的最高境界[]5.大学学生的培养目标是应用性、高素质的人才，强调的是能力本位，能力的核心是创新，创新的核心是思想，对能力有着“遥控”作用的是思想.如果极限思想一旦被确立，便能从根本上提高素质,不仅是对微积分的学习起到决定性的作用，还将有助于将思维延伸到更多层面，甚至延伸到将平常的事做得更为极致.这就是在学习极限时为什么要注重极限思想渗透的意义.如果数学的极限学习只用于数学本身，就没有太多的价值了.参考文献[1]沈长华.微积分概念的发展及其哲学解析[D].兰州大学硕士学位论文.2007:10.[2]吴振英,陈湛本.论极限的思想方法[J].广州大学学报.2003,12（10）：410－412.[3]王娟.微积分教学中哲学思想的渗透[J].高等函授学报.2007,5（12）：8－10.[4]白淑珍.对极限思想的辨证理解[J].中国校外教育.2008,16（2）：39－40.[5]周瑞芳，高永良. 工科高等数学极限概念的趣味教学法探讨[J].中国电力教育.2010,(19):76.。
本科毕业论文——微积分的基本思想及其在经济学中的应用
微积分的基本思想及其在经济学中的应用摘要：微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。
关键词：微分积分基本思想应用The basic thinking of calculus and its application in economic Abstract:Calculus is the greatest triumph of human wisdom, the basic thinking of its part, the limit for the accuracy of the is to further study of high mathematics. With continuing development of market economy, economic problems of mathematical knowledge becoming more and more important, the use of differential calculus and integral to the economic activities of the real problems on quantizing analysis for decision to provide the basis of scientific managers, this differential calculus and integral, the emphasis in economics application.Keywords: differential ,integral, basic ideas, application微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。
《微积分的发展简史综述6300字》
微积分的发展简史综述目录1 引言 (1)2 微积分简介 (1)3 微积分产生背景 (2)4 微积分酝酿时期 (2)5 微积分的发展历程 (3)5.1 牛顿的微积分 (3)5.2 莱布尼茨的微积分 (3)5.3 柯西与魏尔斯特拉斯的贡献 (3)5.4 外国其他人的贡献 (4)5.5 中国数学家的思想 (5)6 微积分创建的历史意义 (6)结论 (6)参考文献 (7)1 引言微积分是研究数学分支的微分，积分及相关概念和应用的函数，微积分的基本概念是函数，极限，实数，导数，积分等，其中极限是基础。
它与自然科学，社会科学和天文学，力学，化学，生物学，工程学，经济学等其他科学领域有着非常密切的联系，其应用非常广泛。
在许多国家，中学数学教育对于研究微积分学的发展具有重要意义，以适应科学技术发展的趋势。
2 微积分简介微积分是微分科学和积分科学的总称。
这是一个数学思想，“无限细分”是微分，“无限求和”是积分。
导数是从曲线的切线和函数的最大值和最小值的问题得出的。
古希腊学者已经进行了切线曲线尝试，比如阿基米德《论螺线》，用于确定切线方法给定点处的螺旋线；《圆锥曲线论》中的阿波里纽论述了圆锥曲线的切线等等。
关于差别法的第一个引人注目的先驱作品起源于费马特1629年声明的概念，他提出了确定最大值和最小值的方法。
随后，英国剑桥大学三一学院教授巴罗提出了一种找到切线的方法，并进一步推广了差别理论的概念。
与差别理论相比，整体论的起源要早得多。
积分的概念是由寻找一些面积，体积和弧长造成的。
古希腊数学家阿基米德使用排气法以《抛物线求积法》找到弧形抛物线的区域。
他的数学思想包含微积分的思想，但缺乏极限概念，但他的思想本质延伸到17世纪的无限小分析领域，它告诉微积分的诞生。
在十七世纪下半叶，根据前几代人的工作，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立研究并完成了本国微积分的建立。
自那时以来，Cauchy和Weiersterasi微积分等得到了完善。
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨高等数学微积分是一门关于变化的学科，它研究函数的变化，变化率以及积分等概念。
微积分的基本思想是把一个复杂的问题分解成无数个微小的部分，然后逐步求解这些微小部分的性质，最终推导出整体性质的过程。
微积分的核心概念是导数和积分，它们在现代科学技术中得到广泛应用。
高等数学微积分的核心思想是分析变化。
在实践中，许多事物的变化均可用数学模型进行表达。
例如，物理学中的运动轨迹、化学反应速率等现象，均可用微积分模型进行分析。
微积分也在生物学、经济学、金融学、计算机科学等领域得到广泛应用。
导数是微积分中最基本的概念之一。
它用来描述函数在某一点上的变化率。
对于任意一个可导函数而言，其导数表示这个函数在一点上的变化率并可以用来求出函数切线的斜率。
导数在实践中有许多应用，如运动物体的速度和加速度、经济学中的边际收益、变化率的研究等。
积分是微积分的另一个重要概念。
它用来描述曲线下方的面积。
积分的应用包括求解物体运动轨迹、规划路线、估算投资回报等方面。
应用积分的过程包括将连续的变化划分成无数个微小部分，求解每个部分的面积，并把它们加起来得到变化的总量。
微积分在现代科学技术中得到广泛应用。
举例来说，微积分在物理学中用于描述质点运动的轨迹和速度加速度的变化，数学模型的解析式一般为微积分模型。
微积分在工程中广泛应用，如在机械、电气、航空等工程领域，微积分被用来解决复杂的动力学问题，比如炮弹的弹道问题、航天器的轨迹控制、汽车和飞机的刹车和转弯等问题。
微积分在金融和经济学中也有广泛的应用，通过微积分的方法可以对繁复的金融模型进行建模和定量计算。
总之，微积分是数学中最具有实用性的分支之一，其核心思想是将复杂问题分解为若干小部分，逐步进行求解，并最终得出总体的精确结果。
微积分对于各个领域的工程、科技、学术研究都具有重要意义。
微积分的发展与应用
微积分的发展与应用微积分是数学的一个重要分支，是研究函数、曲线和面积等概念的工具。
它的发展和应用广泛影响到科学、工程以及经济等领域。
本文将对微积分的发展历程和应用进行探讨。
一、微积分的起源与发展微积分的起源可以追溯到古希腊时期的亚历山德里亚学派。
在中世纪，数学家们已经开始研究近似和极限的概念，但是微积分的确立还是在17世纪由牛顿和莱布尼茨等人完成的。
1. 牛顿的贡献牛顿是微积分的奠基人之一。
他提出了微积分的核心思想，即“无穷小量”的概念。
通过无穷小量的极限运算，牛顿建立了微积分的基本原理，并应用于力学、光学等领域的研究。
2. 莱布尼茨的贡献莱布尼茨也是微积分的奠基人之一。
他独立于牛顿发现了微积分学的基本原理，并提出了微分和积分的符号表示法，为微积分的发展和应用奠定了坚实的基础。
二、微积分的应用领域微积分的应用广泛存在于科学、工程和经济等方面，以下将分别介绍其在这些领域的具体应用。
1. 科学应用在自然科学领域，微积分被广泛应用于物理学、化学以及生物学等学科。
在物理学中，微积分常被用于描述运动物体的加速度、速度和位移等概念，以及分析力学系统的动力学特性。
在化学领域，微积分可以用于反应速率及动力学方程的建模和求解。
在生物学中，微积分可以帮助研究细胞生长和变化过程等。
2. 工程应用在工程学领域，微积分是一个重要的工具。
它被应用于建筑、航空航天、电子工程等方面。
在建筑学中，微积分可以用于分析结构的变形、荷载等问题。
在航空航天领域，微积分可以帮助设计飞行器的动力学和控制系统。
在电子工程方面，微积分用于分析电路中的电流和电压变化，以及电子设备的稳定性等问题。
3. 经济应用微积分在经济学中也有广泛应用。
在经济学中，微积分用于建立数学模型，分析供求关系、价格弹性、利润最大化等问题。
通过微积分的方法，经济学家可以预测市场的变化趋势，进行经济政策的制定和评估。
三、微积分的未来发展微积分作为一门数学学科，在现代科学和工程领域的应用日益广泛。
大学数学微积分的基本原理与应用
大学数学微积分的基本原理与应用微积分是数学中的重要分支，是研究变化和运动的工具。
它在科学、工程以及经济学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍大学数学微积分的基本原理和常见的应用。
一、微积分的基本原理微积分包括微分学和积分学两大部分，下面将详细介绍它们的基本原理。
1. 微分学微分学主要研究函数的变化率，即函数的导数。
导数表示函数在某一点的瞬时变化率，用于描述函数在每个点上的斜率。
导数的求解可以通过求极限的方法来进行。
设函数f(x)在点x处可导，则该点的导数表示为f'(x)或者df/dx。
导数的求解公式包括常见函数的导函数公式、通过基本运算法则和链式法则求导、隐函数求导法、参数方程求导等。
2. 积分学积分学主要研究函数的面积、曲线长度和体积等问题，通过求函数的积分来实现。
积分的基本思想是将曲线或者曲面划分为一系列无穷小的部分，然后将这些部分相加来近似表示总体积或者总面积。
积分学中常见的积分包括不定积分和定积分。
不定积分用于求解函数的原函数，表示为∫f(x)dx。
而定积分则表示在一定区间上的面积或曲线长度，表示为∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx。
二、微积分的应用微积分在科学和工程中有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用领域。
1. 物理学中的应用微积分在物理学中具有重要的地位，用于描述物体的运动、变化以及力学等现象。
其中，速度、加速度和力的关系可以通过微积分中的导数来表示；位移、质心、功和能量等概念可以通过积分来求解。
2. 经济学中的应用微积分在经济学中用于分析经济规律和优化问题，如成本函数、收益函数、边际效应等。
微积分可以帮助经济学家理解市场的行为，优化资源配置，以及预测经济走势。
3. 工程学中的应用工程学中常用微积分来解决实际问题，如建筑物的结构分析、电路的分析与设计、流体力学以及信号处理等。
微积分可以帮助工程师优化设计，减少成本，并确保项目的安全性。
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨
高数微积分思想及其在实践中的应用探讨高数微积分是数学中一个重要的分支，在实际的应用中也经常用到。
微积分是研究极限、微分和积分的数学分支，具有非常强的可塑性和广泛的应用。
本文将探讨微积分思想及其在实践中的应用。
一、微积分思想微积分是一种极其重要的数学工具。
它的思想主要涉及两个方面：微分和积分。
微分是指求出函数在某一点的导数，而导数表示了函数在此点处的变化率。
积分是指求解函数的定积分，而定积分表示了函数在某一区间内的面积或体积。
微积分的核心思想是在“微”的层次上研究“大”的现象，这种“分而治之”的思想把复杂的数学问题分解成为简单的微元问题，进而用微积分的方法去解决。
微积分思想的应用非常广泛，例如，在物理学中，微积分可以用来描述物质的运动、变形及其它的物理现象；在工程学中，微积分可以解决各种工程中的设计和计算问题；在金融学中，微积分可以用来研究股票、衍生品和其它金融市场的运动规律和趋势；在医学领域，微积分可以用来研究医学图像、生理学、医疗器械等方面的问题等。
1.牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分最基本的公式之一，它的形式为：∫(a,b)f(x)dx=[F(x)]b a其中f(x)是函数，F(x)是其一个原函数（f(x)的一个不定积分）。
这一公式在解决复杂积分问题时非常有用。
例如，当我们需要求解一个弧长或者曲面积分时，这一公式可以大大简化计算过程。
2.求取极限在数学中，求取极限对研究各种问题非常重要。
微积分的极限思想可以帮助我们轻松地算出一些复杂的极限。
例如，当我们在分析一个物理量的运动趋势时，可以利用微积分中的极限思想，求出运动的极限状态，从而更好地确定物理量的运动情况。
3.微分方程微分方程是微积分中最重要的分支之一，它在物理学、生物学、化学等领域中被广泛应用。
微分方程描述的是未知函数的一个导数或偏导数与该函数之间的关系，从数学上讲，微分方程是一个包含了导数或偏导数的方程。
微分方程的解决方法是微积分，将方程两端积分，就可以得到相应的函数解。
微积分的应用论文（微积分在物理化学数学经济方面的应用）原创
微积分的应用论文（微积分在物理化学数学经济方面的应用）原创微积分的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。
有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。
航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。
微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。
微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。
从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。
从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。
“变”这个字是微积分最大的奥义。
因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。
微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
微积分基本理论与应用解析
微积分基本理论与应用解析微积分是数学中一门重要的学科，对于理工科学生来说，学习微积分是必不可少的。
本文将对微积分的基本理论以及应用进行解析，帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
一、微积分的基本理论微积分是研究函数的变化率和曲线与曲面的极限性质的数学分支。
主要包括导数和不定积分两个部分。
1. 导数导数是描述函数变化率的工具。
函数在某一点x处的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的定义是：\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]导数具有以下几个重要的性质：- 可加性：若f(x)和g(x)的导数都存在，则 (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x) - 常数倍法则：若c是常数，f(x)的导数存在，则 (cf(x))' = cf'(x)- 乘法法则：若f(x)和g(x)的导数都存在，则 (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 链式法则：若f(x)和g(x)都是可导的函数，则 (f(g(x)))' =f'(g(x))g'(x)2. 不定积分不定积分是导数的逆运算，也称为原函数。
给定函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx是微元。
不定积分的定义是：\[ \int f(x)dx = F(x) + C \]不定积分也具有以下几个重要的性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)都是可积函数，a和b是常数，则\(\int(af(x)+bg(x))dx = a \int f(x)dx + b \int g(x)dx\)- 代换法则：若函数u=g(x)是可导函数的反函数，则\(\intf(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\)二、微积分的应用微积分是一个非常强大和广泛应用的数学工具，几乎在所有科学与工程领域都有涉及。
数学中的微积分理论
数学中的微积分理论微积分是一门应用广泛、极具深度和丰富性的数学学科，它在物理学、工程学、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用。
既然微积分如此重要，那么它的实质是什么呢？在这篇文章中，我们将深入微积分的原理和理论，解释微积分与其他数学分支的关系，以及它在现实中的应用。
微积分的基本思想微积分的核心思想是研究变化，特别是研究变化的速率。
我们可以将一个任意复杂的现象分解为一系列连续相互关联的微小变化。
这些微小变化的组合，便形成了一个完整的过程。
微积分的核心思想是掌握这些微小变化的本质和规律。
微积分的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家将它称作“芝诺悖论”，即一条直线上无限缩短的步长。
这种思想可以用我们现在熟知的极限概念来解释。
极限是微积分理论的基石，它允许我们对连续性和无限性进行分析，并将微小变化的概念量化。
微积分的概念微积分的主要概念有导数和积分，它们在微积分的理论体系中起着核心作用。
导数导数是指一个函数在某点处的变化率，可以用下式表示：$f^\prime(x) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 。
它代表了函数的斜率，也可以解释为一个极限的概念。
导数是微积分理论中富有洞察力和优美的部分之一，因为通过导数我们可以研究变化的速率以及函数的极值和凸凹性质。
积分积分是导数的反运算，也就是说它是对函数在一段连续区间内的面积（或体积）的求解。
常见的积分分为定积分和不定积分，前者通常用来求曲线下的面积、体积等，后者用来求导数的原函数。
积分的应用非常广泛，包括微积分和其他学科中都有着广泛的应用。
微积分与其他数学分支的关系微积分与其他数学分支有着非常紧密的联系，其中数学分析、多元函数、微分方程以及复变量函数等领域都是微积分理论极其重要的组成部分。
事实上，微积分在数学中扮演着非常重要的角色，其他学科都会通过这门学科来解决大量的问题。
高数微积分思想及其在实践中的应用研究
高数微积分思想及其在实践中的应用研究
高数微积分的核心思想是研究函数的变化规律和极限性质。
在
实践中，高数微积分被广泛应用于科学、工程、经济和社会学等领域。
以下是高数微积分在实践中的应用研究：
1. 物理学中的应用：物理学中的很多概念，比如速度、加速度、力、功等，都是通过微积分来描述的。
例如，速度是位移对时间的
导数，加速度是速度对时间的导数，力是功的导数。
在物理学中，
微积分常常被用来研究物体的运动、力学、热力学、光学等问题。
2. 工程学中的应用：微积分在工程学中的应用非常广泛。
例如，建筑工程师需要使用微积分来计算建筑物的结构和荷载，机械工程
师需要使用微积分来设计机器和计算力学问题，电气工程师需要使
用微积分来分析交流电路和计算电力质量等。
3. 经济学中的应用：在经济学中，微积分被广泛应用于计量经
济学和微观经济学中。
例如，微积分可以用来计算生产函数、边际
效用和边际成本等关键概念，以及在数量经济学中进行预测和模拟等。
4. 社会学中的应用：微积分在社会学中的应用也很广泛。
例如，社会学家可以使用微积分来研究人口的增长率、人口迁移和地区变化，以及分析资本、劳动力和生产力在社会结构中的分配等。
总之，高数微积分作为一种数学工具，被广泛应用于各个领域
的实践中，为人类社会的进步做出了重要贡献。
关于微分发展的文献综述
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3.2.在微积分发展史上为什么我国长期发展缓慢
中国的地理环境对中华民族政治、经济和文化的形成与发展有重要影响,在一定程度 上阻碍了微积分的发展。高度中央集权的封建政治体系也严重阻碍了我国微积分发展
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4微积分发展史上的美学思考
4.1数与形的等同观念
毕达哥拉斯有句名言"万物皆数"；柏拉图也有句名言"上帝常以几何学家自居"。这表 示在公元前五世纪，数与形的研究都提到了相当显要的位置。数与形的等同观是美的 ，显示了大自然与人类知识既一致又和谐的信念，数较形抽象。尽管几何的形是实物 形状的抽象，而数已属第二次抽象，当数形等同观受到冲击后，迫使希腊数学家采取 迥避的态度，放弃了数形等同的企图。在那个时代，他们对无理数还很不理解
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3.从微积分发展史上看古代中国科学羁绊
中华民族以历史悠久、文化发达著称,中国人民的聪明才智誉满全球,时达两千五百年的微 积分发展史,中国应当作出比实际大得多的贡献,可是,为什么在古代中国,微积分的发明权 几乎是空白呢?
关于微分发展的文献综述
3.1我国微积分溯源及引进
古代刘徽之，祖冲之是伟大的实践家,首次计算出圆周率小数点后七位。后来，在《代数 积拾级》传入我国之前的17、18世纪之交,法国曾送给我国一批图书, 有笛卡尔的数 学和托里拆里的微积分.18世纪中期,俄国彼得堡科学院赠给我国的图书中,也有欧拉的微 积分
关于微分发展的文献综述
2.微积分的发展史
17世纪伊始，随着社会的进步和生产力的 发展，数学开始研究变化的量，逐步迈入 一个以"变量数学"为标志的时代，即微积 分渐渐从无到有、逐渐发展壮大进而不断 成熟和完善，最终成为一门独立学科
微积分的重要定理及其应用
微积分的重要定理及其应用微积分，是高等数学的一门重要分支，是描述变化率和累积变化的数学方法。
在科学、工程、经济、金融等领域有着广泛的应用。
微积分的发展源于17世纪，由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨同时独立发明，为现代数学的基石之一。
在微积分中，有一些基本定理和公式是必不可少的，特别是微积分的重要定理和应用更是具有重要意义。
一、微积分的重要定理微积分中的重要定理有很多，此处仅谈到了四个。
1. 中值定理中值定理是微积分中的重要定理之一，它是微分学的基石之一。
该定理由法国数学家罗尔于1691年首先发现并证明，后由德国数学家柯西和其他数学家给出不同的证明。
中值定理指出，在连续函数的满足一定条件的情况下，其必有一点处的导数等于该函数两端点之间的斜率，而这个点处的横坐标就是两个端点的平均值。
2. 定积分的定义和计算公式定积分是微积分中的重要定理之一，是求解曲线下方面积的方法。
定积分的定义是，将曲线下的区间分解成无限个短小的小区间，每个小区间的面积乘积后求和，并取极限就得到了定积分的值。
定积分的计算公式有基本积分公式、换元法、分部积分法、狄利克雷定理等。
3. 极值定理极值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在局部最值点处的导数为0、导数在局部最值点处的符号发生变化的性质。
极值定理的主要应用有：求曲线的拐点，求函数的最值，确定函数的单调性等。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理之一，是将一个不易计算的函数表达成某种易于计算的一般函数的方法。
泰勒公式可以由函数在某点附近展开成幂级数得到，此时，包含了函数的各阶导数，而达到泰勒公式中可以将函数在某一点展开成一个无穷级数的形式。
泰勒公式的应用有：在某一点展开求导数，求近似值、判断函数的奇偶性、判别函数的单调性等。
二、微积分的应用微积分在现代科学中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：1. 物理学微积分在物理学中起着至关重要的作用，如力学、电磁学、光学、统计物理学等。
微分中值定理及其应用文献综述研究现状
微分中值定理及其应用文献综述研究现状微分中值定理是微积分中一个重要的定理，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文通过对微分中值定理及其应用的相关文献进行综述，研究了当前微分中值定理的研究现状。
首先介绍了微分中值定理的基本内容和形式，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。
然后，本文分别从微积分、实分析、偏微分方程等多个角度出发，对微分中值定理的应用进行了详细阐述。
其中，微分方程的解析解、极值问题、曲线拟合等是微分中值定理的常见应用场景，同时还包括微分中值定理在李群、光滑函数、偏微分方程数值解等方面的应用。
此外，本文还对微分中值定理的研究动态进行了分析，发现当前微分中值定理的研究方向主要包括推广和应用等方面。
在推广方面，研究者们致力于推广微分中值定理的形式，并探讨其在实分析、复分析等领域的应用；在应用方面，研究者们则尝试将微分中值定理应用于更多的数学和工程问题中，以满足实际需求。
最后，本文总结了微分中值定理及其应用的研究现状，并提出了未来研究的方向和重点。
希望通过本文的综述，能够为微分中值定理及其应用的研究提供一定的参考和启示。
- 1 -。
微积分的基本思想方法及其应用
10 4
6.96 x(t ) 8e 4 x(10) 6.96 CO2 浓度下降到 4 0.0696% 10
t 10
6o 推广至多元情形 面密度 ( ) R 2 上分布物质 质量 m m(( )), 区域函数 m m(( )), ( ) {( )} 均匀分布 m(( )) (常数) —— 面密度
0 h
似乎
2kxx S 2k ( x x)x
| 2k ( x x)x 2kxx | 2kx o(x)
2
而
故
| S 2kxx | 0(x)
事实上
S 2k 1 k xx 2kx x 2kx ,
2 2
(k 0 | x | 1)
• 区域函数 • lim
(
( ) R 2 , ( ) ( ), F (( )), ( ) {( )}
dF d f ( P) 称为区域函数 F 在 P 点对
P
F (( ))
)P
区域(面积)的导数.
• F (( )) f ( P) o( ) 则称 f ( P)
“精 ”
( x) lim
m dm x 0 x dx
m ( k )x k “合”
“精”
m lim ( k ) x k ( x )dx
a d 0 k 1 b
n
k 1 n
l 不同类型的问题，解决的基本思想方法是一样的.
“局部均匀化求近似”，“利用极限得精确” l 导数与定积分分别是处理均匀量的除法和乘法在处理相应 的非均匀量中的发展
S OBB OAA
B
弧长 AA OA2 AA 2kx 即 kx
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毕业论文文献综述信息与计算科学微积分理论中的重要思想及其应用一．前言部分微积分又称“数学分析”，人们还常简单的称之为“分析学”。
事实上，“数学分析”是在微积分发展趋于成熟时期才比较通用的名称。
它主要包括实数理论、极限理论、微分学、积分学和无穷级数等部分。
微分学与积分学是以极限作为基础的，极限论是以实数理论作为基础的。
那么，什么是微积分的主题？答案很明确：微分学主要是处理函数变量（应变量）的变化率问题，即讨论微商（导数）的计算法则和有关问题。
积分学是处理微分学的反问题，即如何从变化率去寻求（包括分析、计算）原函数问题[1]。
微积分是一门变量数学，它是通过合理的抽象模式来表现变量间的种种普遍关系结构的。
在人们对微积分的不断探索中，形成了各式各样的理论：柯西的积分概念、积分中值定理、微分中值定理、洛必达法则、泰勒展式等等，其中最重要的灵魂核心是著名的牛顿-莱布尼茨公式，又叫做“积分学基本定理”，它表明了积分与微分互为反运算过程的基本关系。
在实际应用上，利用变化率来描写的数量是多不胜举。
例如曲线的斜率、变速运动的速度、交流电的电流强度、空间温度场的梯度以及现代经济学上的边际劳动生产率、边际税率等等，反过来，已知斜率、速度等变量来寻求满足的方程或函数等。
与此同时，微积分对其他学科以及人类物质文明也有着巨大的影响。
有了微积分就有了工业革命，就产生了现代化社会，同时现代的工程技术直接影响着人们的生产，而工程技术的基础就是微积分。
由此可见，微积分的重要性。
微积分也蕴含着一些哲学思想，它体现了对立与统一的规律，渗透着辩证法的思想，为解决芝诺悖论提供了新思路，这个悖论事实上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的，我们运用微积分中的极限来解决，无限是有限的发展，把它定义为“部分和”的极限，只有借助极限才可以认识无限，于是就得到了整体与部分相互转化的关系，同时微积分也蕴含着物质是无限可分的，物质世界是不断变化等真理[2]。
二．主题部分2.1 历史背景2.1.1 微积分思想的酝酿和产生古典意义下的微积分是微分学和积分学的总称，是马克思主义经典著作中所说的“变量数学”或“高等数学”的主体部分。
它作为一门学科，产生于17世纪后半期，以牛顿和莱布尼茨的工作为标志，经过18世纪的讨论、研究，于19世纪才用极限法改造、定型成今天的形式。
但是微积分中某些重要概念却萌芽于两千多年以前。
古希腊芝诺的“二分法”、“阿基里斯追龟”和我国《庄子》中“一尺之锤”等都是早期的极限思想。
我国古代用“割圆术”求圆的面积，以及希腊用“穷竭法”计算曲边图形的面积和体积，都是极限思想在数学中的应用。
今天的微分和积分思想虽然可以追溯到古代原子论学说，但是知道17世纪中期之前，二者却互不相干，各自独立而又平行地发展着。
从16世纪后半期到17世纪前半期，积分思想是围绕“求积问题”发展的。
它主要包括几何学和力学两个方面的问题。
几何学方面是求平面曲线包围的面积、空间曲面包围的体积以及求曲线的弧长；力学方面是计算非匀速运动物体经过的路程、物体的中心以及液体压力等。
求积法从最初修改穷竭法开始，到同维无穷小法，卡瓦列利得不可分元法，再到不可分元的算术化，中间经过许多人的工作，积聚了极其丰富的材料，诞生了现代的积分学。
在历史上，几何学中求曲线在其上一点之切线问题，力学中求质点运动的瞬时速度问题，以及求变量的极值问题，是产生微分学的基本问题。
在牛顿以前，求切线问题对微积分的产生有直接的影响。
马克思指出“全部微分学本来产生了求任意一条曲线上任何一点的切线的问题”，于是产生了笛卡尔用“重根法”作切线，费尔马借助微小增量作切线，罗伯尔瓦等借助合成运动速度作切线，巴罗等利用“特征三角形”作切线等等。
微积分经过大约一个半世纪的酝酿，以费尔马和巴罗的工作为结束。
2.1.2 微积分基本定理的历史早在中世纪时，某些经院哲学家对运动和变化曾进行过思辨式的研究，文艺复兴开始以后大约两个世纪的时期内，是微分学和积分学平行而又独立地迅速发展的时期，是微积分作为一门学科的酝酿时期，也是微积分基本定理的酝酿时期。
在微积分的先驱那里，已经意识到求非匀速运动的路程、求一直曲线下的面积以及求曲线的弧长等问题有某种统一性——都是无穷多个无穷小的总和；也认识到求非匀速运动在给定时刻的速度、求曲线在一点的切线以及求变量的机制等问题也有某种统一性——都是求变量的变化率问题。
但是都没有明确的提出微积分定理，直到在牛顿和莱布尼茨的工作中才比较明确地提了出来[3]。
基本定理的思想，牛顿在1666年已有。
他在1666年10月所写的《短论》一文中就讨论了如何借助反微分计算面积问题。
他说，反微分“总能做出可以解决的一切问题”。
如果设曲线()y f x =同x 轴之间的面积为()A x ，牛顿断定()'A x 就是()f x 。
这是微积分的历史上第一次用比较明确的形式提出的微积分基本定理。
牛顿意识到用反微分法代替求积法的重要性和普遍性，所以他强调了这个方法既可以“直接用”，也可以“反过来用”。
所谓“直接用”，就是切线法，即今天的由()F x 求它的导数()'F x ；所谓“反过来用”，就是积分法，即今天的由()f x 求()F x ，使得()()'F x f x =。
牛顿这一思想用今天的符号表示就是微积分基本定理：()()x d f t dt f x adx =⎰。
莱布尼茨也是微积分的重要奠基人之一，他的积分完全继承了先驱们求微元和的思想。
设给定的曲线是()Z f x =，为了求出该曲线在区间[],a b 上面积Zdx ⎰，必须求出另一条纵坐标为y 的曲线，即他所谓的割圆曲线，使得dy Z dx a=，a 为常数。
这时由于Zdx ady =，于是就有Zdx a dy ay ==⎰⎰，莱布尼茨通常假定曲线y 经过原点，于是在莱布尼茨的微积分中，求积问题就化归为反切线问题。
也就是说，为了求得纵坐标为Z 的曲线下的面积Zdx ⎰，只须求出一条纵坐标为y 的曲线，使得它的切线满足条件dy Z dx a =，设1a =，再由曲线()Z f x =在区间[],o b 上的面积减去在区间[],a o 上的面积，就得出公式()()()a f x dx y b y a b =-⎰。
在现在的微积分中，我们称这个式子为“牛顿——莱布尼茨公式”。
随后柯西又用极限理论定义了积分，设函数()f x 在区间[]0,x X 上连续，并用分点()1,2,3,,i n x i x X ==……对其分割，于是和式()()111nn i i i i S f x x x --==-∑，表示以()1i f x -为高，以()1i i x x --为底的n 个矩形面积之和，当n 很大，且1i i x x --很小时，和式n S 就同该曲线在曲线[]0,x X 上的面积S 近似，即()()111ni i i i S f x x x --=≈-∑，它最终到达某一个极限，这个极限仅仅依赖于函数()f x 的形式以及变量x 的两个端值0x 和X ，我们把这个极限称为定积分，用符号表示就是()()()1110lim ni i i n i x S f x dx f x x x x --→∞===-∑⎰，当柯西定义了闭区间上连续函数的定积分之后，又把这一定义应用到分段连续函数。
即设()f x 在区间[]0,x X 上有n 个有限间断点i x ，则()f x 在该区间上的定积分定义为()()101n i i i xx f x dx f x dx x x =-=∑⎰⎰[47]-。
之后黎曼和勒贝格等也为微积分定理做出了伟大的贡献。
2.2 现代微积分2.2.1 极限微积分是在极限得基础上建立起来的，那么什么是极限呢？定义1：设函数()f x 在点0x 的某一去新领域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<。
那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()f x A →（当0x x →） 我们指出，定义中00x x <-表示0x x ≠，所以0x x →时()f x 有没有极限，与()f x 在点0x 是否有定义并无关系。
定义2：设函数()f x 当x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞得极限，记作()lim x f x A →∞=或者()f x A →（x →∞）。
定理1：（函数极限的唯一性） 如果()0lim x x f x →存在，那么这极限唯一。
定理2：（函数极限的局部有界性） 如果()0lim x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤定理3：（函数极限的局部保号性） 如果()0lim x x f x A →=，而且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）定理3’：如果()0lim x x f x A →=()0A ≠，那么就存在着0x 的某一去心领域()0oU x ，当()0o x U x ∈时，就有()2A f x > 定理4： （函数极限与数列极限的关系）如果()0lim x xf x →存在，{}n x 为函数()f x 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：0n x x ≠()n N +∈，那么相应的函数值数列(){}n f x 必收敛，且()()0lim lim n x x f x f x →∞→=[811]-。
2.2.2 微积分的应用微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分及微积分方程从万有引力中导出了开普勒行星运动第三定理，此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学中各个分支中的发展，并在这些领域中有越来越广泛的应用，航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下完成的。
并且微积分在人类从农业社会跨入工业社会的过程中起到了决定性的作用。
微积分在物理学上，研究变力做功问题，圆周向心加速度的方向问题，等；在经济领域，研究边际需求与编辑供给问题，边际成本函数、边际利润函数等；在生物领域，研究生物种群数量问题[1215]-。