信息安全数学基础知识点

第六章 素性检验
6.1 拟素数
引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，则对任意整
数b,(b,n)=1,有
)(mod 11n b n ≡- 由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得
)(mod 11n b n ≡/-，则n 是一个合数。

定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11n b n ≡-成立，则n 叫做对于基b 拟素数。

引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 则
12-d 能整除12-n
定理1：存在无穷多个对于基2拟素数。

定理2：设n 是一个奇合数，则
(i)n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数当且仅当b 模n 指数整除n-1。

(ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),和基2b ，((2b ,n)=1),拟素数，则n 是
对于基21b b 拟素数。

(iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数，则n 是对于基1-b 拟素数。

(iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式)(mod 11n b n ≡-不成立，
则模n 简化剩余系中至少有一半数使得该同余式不成立。

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Fermat 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数t 。

1.随即选取整数b ,22-≤≤n b
；
2.计算()n b r n mod 1-=;
3.如果1≠r ，则n 是合数；
4.上述过程重复t 次；
定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有正整数b ，(b,n)=1, 都
有同余式
()n b n mod 11≡-成立 定理3：设n 是一个奇合数。

(i)如果n 被一个大于1平方数整除，则n 不是Carmichael 数。

(ii)如果k p p n 1=
是一个无平方数，则n 是Carmichael 数充要条件是 11--n p i ，k
i ≤≤1 定理4：每个Carmichael 数是至少三个不同素数乘积
注：1.存在无穷多个Carmichael 数
2.当n 充分大时，区间[]n ,2内Carmichael 数个数大于等于72n
6.2 Euler 拟素数
引例：设n 是奇素数，根据定理，我们有同余式
)(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡- 对任意整数b 成立
因此，如果存在整数b ，(b,n)=1,使得
)(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡/- 则n 不是一个素数。

定义1:设n 是一个正奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件： )(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡- 则n 叫做对于基b Euler 拟素数。

定理1：如果n 是对于基bEuler 拟素数，则n 是对于基b 拟素 数。

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Solovay-Stassen 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数t .
1.随即选取整数b ，22
-≤≤n b ； 2.计算);(mod 21n b r
n -= 3.如果1≠r 以及1-≠n r ，则n 是合数；
4.计算Jacobi 符号;⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b s
5.如果s r ≠，则你是合数；
6.上述过程重复t 次。

6.3 强拟素数 引例：设n 是正奇整数，并且有t n n 21=-，则我们有如下因数分解式：
)1)(1()1)(1(121221-+++=----t t t t n b b b b b n n
因此，如果有同余式 )(mod 11n b n ≡-
则如下同余式至少有一个成立：
)
(mod 1)
(mod 1)
(mod 1)
(mod 1122n b n b n b n b t t t t n -≡-≡-≡≡-
定义1：设n 是一个奇合数，且有表达式
t n n 21=-，其中t 为奇数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件：
)(mod 1n b t ≡ 或者存在一个整数，s r <≤0
使得 )(mod 12n b t r -≡
则n 叫做对于基b 强拟素数。

定理1：存在无穷多个对于基2强拟素数。

定理2:如果n 是对于基b 强拟素数，n 是对于基bEuler 拟素数。

定理3：设n 是一个奇合数，则n 是对于基b ，11-≤≤n b ，强拟素数可能性至多为25%。

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Miller-Rabin 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数k 。

写t n s 21=-，其中t 为奇整数。

1.随机选取整数22,-≤≤n b b 。

2.计算)(mod 0n b r t ≡；
3.(i)如果10=r 或10-=n r ，则通过检验，可能为素数。

回到1，继续
选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ;
(ii)否则，有10≠r 以及10-≠n r ，我们计算)(mod 201n r r ≡；
4.(i)如果11-=n r ，则通过检验，可能为素数。

回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ；
(ii)否则，有11-≠n r ，我们计算)(mod 2
12
n r r ≡； 如此继续下去，
S+2.(i)如果11-=-n r s ，则通过检验，可能为素数。

回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ; (ii)否则，有11-≠-n r s ，n 为合数。