第六章不定积分(1)
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
第六章 不定积分
可以证明有理真分式可以作如下分解：
P(x) A1 A2 Ak
Q(x) x a (x a)2
(x a)k
B1 B2 Bt
x b (x b)2
(x b)t
C1x D1 C2 x D2 Cl x Dl
x2 px q (x2 px q)2
x a 和 x2 px q ( p2 4q 0).
最简真分式只有如下四种：
A, xa
Ax B ,
x2 px q 其中p2 4q 0.
A (x a)m
(m 1),
Ax B (n 1),
(x2 px q)n
给出这四种类型的积分方法！
有理真分式的分解
Q(x) (x a)k (x b)t (x2 px q)l (x2 rx s)h ,
dx,
1 dx, 1 x2
cosh xdx,
sinh xdx,
dx . x2 a2
不定积分的线性性质
设函数f (x)和g(x)的原函数存在，则
k1 f (x) k2g(x)dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx,
其中k1, k2为任意常数。
例1.求不定积分。（拆项）
tan2 xdx,
如果我们求得
f ((t))d(t) G(t) C,
那么作逆变换t 1(x)就得到
f (x)dx G( 1(x)) C.
例8.
a2 x2 dx,
1 dx, x2 a2
1 dx. x2 a2
例9.
dx , x3x
x(2x 1)100 dx,
dx . x2 1 x2
分部积分法
d[u(x)v(x)] v(x)du(x) u(x)dv(x)
u(x)v '(x)dx u(x)v(x) v(x)u '(x)dx
数学分析不定积分 6-1
dx 说明： 说明： x > 0, ∫ = ln x + C , x 1 1 ( x )′ = , x < 0, [ln( x )]′ = x x dx dx ∫ = ln( x ) + C , ∴ ∫ = ln | x | + C , x x
1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x 1 ( 5) ∫ dx = arcsin x + C ; 2 1 x (6) ∫ cos xdx = sin x + C ;
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .
是常数， （ k 是常数 ， k ≠ 0 )
∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;
∴ 等式成立 （可推广到有限多个函数和） 等式成立. 可推广到有限多个函数和）
( 2)
3 2 )dx . 例3 求积分 ∫ ( 2 1+ x 1 x2
思考题解答
不存在. 不存在
x + C, x > 0 假设有原函数 F ( x ) F ( x ) = C , x=0 x + C , x < 0
但 F ( x ) 在 x = 0 处不可微， 处不可微，
故假设错误
内不存在原函数. 所以 f ( x ) 在 ( ∞ , + ∞ ) 内不存在原函数 结论 每一个含有第一类间断点的函数都 每一个含有第一类间断点的函数都 第一类间断点 没有原函数. 没有原函数
x+1 +C 根据积分公式（ ） 根据积分公式（2）∫ x dx = +1
7 x 2 2 = + C = x + C. 5 7 +1 2
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。
不定积分的定义和计算方法
不定积分的定义和计算方法不定积分，也称为原函数或者积分函数，是微积分中的重要概念之一。
它与定积分相对应，是求解函数的面积或者曲线长度的逆运算。
本文将介绍不定积分的定义和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握该概念。
一、不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx =F(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分的定义说明了不定积分与原函数之间的关系。
通过求某个函数的不定积分，我们能够得到该函数的原函数。
需要注意的是，不定积分有无穷多个解，因为对于一个函数而言，其原函数可以加上任意常数C而不改变。
二、常见的计算方法在求解不定积分时，我们需要掌握一些常见的计算方法。
下面将介绍一些常见的计算方法及其示例。
1. 基本积分法则基本积分法则是利用基本函数的导数公式反推不定积分。
以下是一些常见的基本积分法则及其示例：（1）常数函数积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
（3）指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C。
（4）三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。
2. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数不定积分的方法，它基于乘积公式（即(uv)' = u'v + uv'）。
以下是分部积分法的公式及其示例：∫u dv = uv - ∫v du示例：∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C3. 代换法代换法，也称为换元积分法，是通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
以下是代换法的公式及其示例：∫f(g(x)) * g'(x) dx = ∫f(u) du示例：∫x*sin(x^2) dx，令u = x^2，那么du = 2x dx，原积分变为∫sin(u) (1/2)du = (-1/2)cos(u) + C = (-1/2)cos(x^2) + C除了基本积分法则、分部积分法和代换法，还有一些特殊的计算方法，如三角函数公式、倒数公式、欧拉公式等。
《不定积分概念》课件
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
微积分第6章不定积分
如果被积函数是奇函数或偶函数，那么在不定积分时，我们需要注意奇偶性的性质，以 便简化计算过程。例如，如果被积函数是奇函数，那么其不定积分的结果将是偶函数；
反之，如果被积函数是偶函数，那么其不定积分的结果将是奇函数。
被积函数可积性问题
要点一
总结词
被积函数的可积性是解决不定积分问题的前提条件。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括 线性性质、可加性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有以下性质
02
01
可乘性
∫f(x) * g(x) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx， 即两个函数的乘积的不定积分等于它 们不定积分的乘积。
05
03
线性性质
∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b是常数，f(x)和 g(x)是可积函数。
详细描述
幂函数不定积分是微积分中一个重要的知识点，它涉及到 函数的积分和微分之间的关系，对于理解微积分的基本概 念和运算规则具有重要意义。
三角函数不定积分
总结词
三角函数不定积分是微积分中的重要内容，需要 掌握基本的积分公式和运算方法。
总结词
掌握三角函数不定积分的计算方法，对于解决与 三角函数相关的物理问题和工程问题具有重要意 义。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过求导数的逆运算，将原函数进行不定积分，得到不定积分的结 果。这种方法适用于一些简单的不定积分，但对于一些复杂的不定积分，可能需要结合其他方法一起 使用。
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化不定积分的方法。
《高数》不定积分》课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
数学分析第六章课件不定积分
x2
x a2
2
x2a2a2 (x2a2)
dxx2xa2
2I22a2I2
1x 1 I22a2x2a22a2I1
类似的
In ......
总结：
前面介绍了两种重要的积分方法，利用它们 可以求出许多初等函数的不定积分。但是要 灵活地运用这些方法，它不象求导数那样简 单和易掌握。另外，任一初等函数总可按一 定的步骤求得它的导函数，且导函数还是初 等函数。而求初等函数的积分不仅无一定的 步骤可循，更有所不同的是初等函数的原函 数有可能不再是初等函数，这时我们也说积 分积不出来。
dsinx dsinx
cos2x1sin2x
由例2得，
1lnsinx1c 2 sinx1
1lnsinx1clnsecxtanxc
2 sinx1
增加 tanxdxlncosxc
cotxdxlnsinxc
例5 求
dx x(1 x)
ห้องสมุดไป่ตู้
解法1：
x(d 1xx)
dx xx2
由例3得
d
x
1 2
1 4
x
1 2
2
对于 x2 a2 ，令 x a s e c t,0 t或 t
2
2
目的在于消去根号，因为它们比较典型， 故特别称之为三角代换。
2．分部积分法
由乘积的微商公式：
[ u ( x ) v ( x ) ] ' u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
u ( x ) v '( x ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x )
d x
x 2
d x
a 2 x 2
21-第21讲 不定积分及其计算(1)
该性质可推广至有限个 函数的和的形式 .
线性性质
17
基本积分表
(1) kdx kx C
( k为 常 数)
1 ( 2 ) x dx x 1 C ( 1), 1 1 ( 3) dx ln | x | C ( x 0) x ( 4 ) e dx e C ,
cos x ，所以sin x 是cos x 的原函数. 1 因为 ln x ( x 0) x 1 所以 ln x 是 在区间( 0, ) 内的原函数. 5 x
原函数存在性定理: 定理1 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函 数一定存在.简言之：连续函数一定有原函数. (证明略)
6
定理 设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数, 则
F(x) – G(x) ≡ C (常数) 证 ( F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0 由拉格朗日定理知 F ( x) G( x) C(常数)
由此可见: 若 F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C
得 C 2.
故所求曲线为 y = ln|x| + 2
13
二.不定积分的计算
利用不定积分的性质
换元法( 第一、第二 ) 分部积分法
部分分式法
14
1. 利用性质计算不定积分
首先介绍不定积分的基本性质.
15
性质 1
( f ( x) d x) f ( x), d f ( x) d x f ( x) d x,
1 sin x dx 2 cos x 1 sin x dx dx 2 2 cos x cos x
第6章 不定积分
第六章 不定积分引 言我们知道，函数是数学分析研究的主要对象，前面几章我们已经学习了函数的微分学理论，主要内容包括导数的计算和导函数的分析性质，而其基本问题是导数的计算——给定已知函数，求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个函数，使其导数恰好是某一个给定的函数——这就是所谓的积分问题。
看一个例子：例1 一个静止的物体，其质量为m=1， 在力()sin F t t = 的作用下沿直线运动，给出物体的运动速度()v t 所满足的方程。
解、由所给的条件，可以利用Newton 第二定理计算出物体的加速度为sin F a t m==,因而，若设其速度为()v t ，则()sin v t a t ¢==。
因此，这个问题本质就是：已知导函数()v t ¢， 求原来的函数()v t 。
这类问题在实际应用和工程技术领域中还有很多，如几何问题中常见的已知切线求曲线问题、自然界中广泛存在的反应扩散现象等，因而，这类问题有很强的应用背景。
特别是在17世纪，这类问题是当时物理和几何学中急待解决的问题，是摆在数学家面前的重要的问题，经过3百多年的努力，今天，这类问题不仅已经得到彻底的解决，而且已经形成了完整且完美的数学理论――积分学理论：称这类由导函数()f x ¢ 求 原来函数)(x f 的运算为积分运算，研究这类运算及其相关的理论就是积分学理论。
我们将在本章和下一章引入这种理论。
为了引入这种理论，先引入基本概念。
§1不定积分概念与基本积分公式 一 、 原函数与不定积分我们引入积分理论中的基本概念。
定义1.1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义且)(x F 可导，若)()(x f x F ='， Ix ∈，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
注、由定义，若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则从导数角度，)(x f 为)(x F 的导函数，这也反映了原函数何导函数的紧密关系。
不定积分课件
THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。
总结不定积分知识点
总结不定积分知识点一、不定积分的概念1.1 不定积分的定义在微积分中，不定积分是定积分的一个重要概念，它是函数的一个原函数。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x) dx =F(x) + C，其中C为积分常数。
1.2 不定积分的符号表示不定积分一般用∫f(x) dx表示，其中f(x)为被积函数，dx为积分变量的微元，∫表示积分的符号。
1.3 不定积分的意义不定积分的意义在于求解函数的原函数。
也就是说，通过不定积分，我们可以得到函数f(x)的原函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，并且这个原函数不唯一，因为在不定积分的结果中，需要加上一个常数C。
1.4 不定积分与定积分的关系不定积分与定积分是紧密相关的，它们之间的关系可以通过牛顿-莱布尼茨公式来描述。
牛顿-莱布尼茨公式表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为F(b) - F(a)。
二、不定积分的性质2.1 基本性质不定积分具有以下基本性质：（1）线性性质：即∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。
（2）积分的可加性：即∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。
（3）不定积分的性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数。
2.2 函数的原函数和不定积分在求解不定积分时，我们需要寻找函数的原函数。
要注意的是，不一定所有的函数都有原函数，而且对于一些函数，它的原函数不唯一。
2.3 被积函数的连续性与不定积分存在性要进行不定积分，被积函数需要满足一定的连续性条件，例如在不定积分的区间上是连续的。
2.4 替换积分变量法在不定积分中，有时会通过替换积分变量的方法来简化积分计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质思考题1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？ 答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0.2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？ 答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(.习 题1. 已知曲线)(x f y =过点（0，0）且在点（y x ,）处的切线斜率为132+=x k ，求该曲线方程.解：依题意，132+=='x k y ，故C x x x x y ++=+⎰=32d )13(，又0)0(=y ，故0=C ，从而曲线方程为x x y +=3.2. 计算下列不定积分：（1）x x d 5⎰, （2）x xd 2⎰, （3）xe x d 1+⎰, （4）x x x d )sin (cos -⎰,（5）x x d 122+⎰,（6）x xd 122--⎰,（7）x xe x d )(3+⎰,（8）x x x d )cos 1sin 1(22+⎰. 解：（1）C x C x x x +=++=⎰+651d 6515. （2）C x xx+=⎰2ln 2d 2. （3）C C x x x x x x +=+=⎰=⎰++11e ee d e e d e.（4）C x x x x x x x x x ++=-⎰+⎰=-⎰cos sin d )sin (d cos d )sin (cos . （5）C x x x x x +=+=+⎰⎰arctan 2d 112d 1222.（6）C x x xx x+-=--=--⎰⎰arcsin 2d 11)2(d 1222.（7）C x C xx x x x x xxxx++=+++=⎰+⎰=+⎰+3431131343e 311e d d e d )e (. （8）C x x x x x x x xx ++-=⎰+⎰=+⎰tan cot d sec d csc d )cos 1sin 1(2222.第二、三节 换元、分部积分法思考题1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数)()]([x x f ϕϕ'中的中间变量)(x ϕ作为新的积分变量，而后者将原积分变量x 替换成函数)(t ϕ，以t 作为新的积分变量.2. 应用分部积分公式u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是什么？对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按什么样的规律设u 和v d ？答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和v d ，对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按如下的规律去设u 和v d ：（1）由v d 易求得v ；（2）u v d ⎰应比v u d ⎰容易积出. 3. 第二换元法有何规律可寻？ 答: 一般地，若被积函数中含有22a x ±或22x a -，则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有n b ax +，则可令n b ax +=t ，将原积分化为有理函数的积分.习 题1. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7）C x x x x x x x x x +=⎰==⎰⎰2ln 21)2ln d(2ln )2(d 22ln d 2ln 2. （8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(61)32(d )32(21d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.（10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx⎰=C x +2arcsin .2. 计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x x d e 4,(4)⎰x x xd 4sin e5, (5)⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . （6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 3. 计算下列不定积分：（1）x x d 162-⎰, （2）⎰+232)4(d x x .解：（1）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,x于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故 C xx x x ++=+⎰223242)4(d .x2。