第六章不定积分(1)

第五章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

思考题

1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？ 答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0.

2. 思考下列问题：

(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3

x ，问)(x f 为何？ 答：233)()(x x x f ='=

(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？

答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(.

习 题

1. 已知曲线)(x f y =过点（0，0）且在点（y x ,）处的切线斜率为132

+=x k ，求该曲线方程.

解：依题意，132+=='x k y ，故C x x x x y ++=+⎰=32d )13(，又0)0(=y ，故

0=C ，从而曲线方程为x x y +=3.

2. 计算下列不定积分：

（1）x x d 5

⎰, （2）x x

d 2⎰, （3）x

e x d 1

+⎰, （4）x x x d )sin (cos -⎰,

（5）x x d 122+⎰

,（6）x x

d 122--⎰,（7）x x

e x d )(3

+⎰,（8）x x x d )cos 1sin 1(22+⎰. 解：（1）C x C x x x +=++=

⎰+651d 6

515

. （2）C x x

x

+=⎰2

ln 2d 2. （3）C C x x x x x x +=+=⎰=⎰++11

e ee d e e d e

.

（4）C x x x x x x x x x ++=-⎰+⎰=-⎰cos sin d )sin (d cos d )sin (cos . （5）

C x x x x x +=+=+⎰⎰arctan 2d 11

2d 1222.

（6）

C x x x

x x

+-=--=--⎰

⎰

arcsin 2d 11)2(d 122

2

.

（7）C x C x

x x x x x x

x

x

x

++=+++

=⎰+⎰=+⎰+34

3

113

13

43

e 3

11e d d e d )e (. （8）C x x x x x x x x

x ++-=⎰+⎰=+⎰tan cot d sec d csc d )cos 1

sin 1(222

2.

第二、三节 换元、分部积分法

思考题

1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？

答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数

)()]([x x f ϕϕ'中的中间变量)(x ϕ作为新的积分变量，而后者将原积分变量x 替换成函数

)(t ϕ，以t 作为新的积分变量.

2. 应用分部积分公式u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是什么？对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按什么样的规律设u 和v d ？

答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和v d ，对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按如下的规律去设u 和v d ：

（1）由v d 易求得v ；（2）u v d ⎰应比v u d ⎰容易积出. 3. 第二换元法有何规律可寻？ 答: 一般地，若被积函数中含有

22a x ±或22x a -，则可利用三角函数的平方关

系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有n b ax +，则可令n b ax +=t ，将原积分化为有理函数的积分.

习 题

1. 计算下列积分：

（1）)sin d(sin 5

x x ⎰, （2）x x d cos 3

⎰, （3）⎰

+

x x

x x d )sin (,

（4）x xe x d 2

⎰, （5）

⎰

-2

1d x

x x , （6）

⎰

-4

1d x

x x ,

（7）

⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2

+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）

⎰+x x x d arctan )1(1

2, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .

解：（1）C x

x x +=⎰6

sin )sin d(sin 65

. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰

=C x

x +-3

sin sin 3. （3）x x x x x x

x x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+

⎰

=C x x +-cos 22

2

. （4）C x x x x x x +=⎰=

⎰2

22

e 2

1)(d e 21d e 2. （5）

C x x x x x x

+--=--⎰-=--⎰

2221

2

2

1)1(d )1(21d 1.

（6）

C x x x x x

x +=-=-⎰⎰

22224arcsin 21)(1)(d 211d .

（7）C x x x x x x x x x +=⎰==⎰⎰2ln 2

1)2ln d(2ln )2(d 22ln d 2ln 2

. （8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰3

22)32(6

1)32(d )32(21d )32(.

（9）

C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.

（10）

C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1

d arctan )1(12.