高中数学综合法和分析法(课堂PPT)

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3．分析法 (1)定义：一般地，从要证明的 结论出发 ，逐步寻求使它成立 的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件( 已知条件 、 定理 、 定义 、 公理 等)为止，这种 证明方法叫做分析法． (2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示 为：
2.2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法和分析法
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【课标要求】 1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法． 2．理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法
证明数学问题． 【核心扫描】 1．综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤．(重点) 2．综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题．(难点)
从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证 的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证 的命题．综合法是一种由因导果的证明方法． 综合法的证明步骤用符号表示是： P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)
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2．分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分 条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述 为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的 书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……， 即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结 论成立”． 分 析 法 的 证 明 步 骤 用 符 号 表 示 是 ： P0( 已 知 )⇐…⇐Pn － 2⇐Pn － 1⇐Pn(结论) 分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．
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【变式 1】 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. 证明 法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4. 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1a＋1b≥2 a1b>0， ∴(a＋b)1a＋1b≥4. 又 a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.
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(2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝m2＋m3，∴n∈N*，n≥2 时， bn＝32f(bn－1)＝32·b2n－b1n＋－13⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒b1n－bn1－1＝13. ∴数列b1n为首项为 1，公差为13的等差数列．
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利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)， 分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公 式、结论，确定恰当的解题方法． (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的 语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程 时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行 调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选 取．
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[思路探索] 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证 明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键． 证明 (1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3 得 (3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3. 两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)， ∴aan＋n 1＝m2＋m3，∴{an}是等比数列．
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法三 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 当 a＝b 时，取“＝”号．
ba·ab＝4.当且仅
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题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
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证明 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立． 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥ 22a＋b2， 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
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题型一 综合法的应用 【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n
∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn＝32f(bn －1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
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3．综合法与分析法的优点 综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从 已知的知识中进一步获得新的知识．
分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然， 在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能 把分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没 有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立 的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据 分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法， 有时甚至交错使用．
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自学导引 1．直接证明
从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等， 通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接 证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．
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Hale Waihona Puke 课堂讲练互动2．综合法 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理 、公理 等， 经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
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想一想：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示 综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推 理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的， 不同于合情推理中的“猜想”．
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名师点睛 1．综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，