2021届高考数学二轮总复习层级二专题五概率与统计第三讲随机变量及其分布列学案理含解析

第三讲随机变量及其分布列1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案：1.962．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p·(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的极大值点为0.1，且为f(p)唯一的极大值点，所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，则E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．3．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)因此p i ＝0.4p i －1＋0.5p i ＋0.1p i ＋1， 故0.1(p i ＋1－p i )＝0.4(p i －p i －1)， 即p i ＋1－p i ＝4(p i －p i －1)．又因为p 1－p 0＝p 1≠0，所以{p i ＋1－p i }(i ＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p 1的等比数列．②由①可得p 8＝p 8－p 7＋p 7－p 6＋…＋p 1－p 0＋p 0＝(p 8－p 7)＋(p 7－p 6)＋…＋(p 1－p 0)＝48－13p 1.由于p 8＝1，故p 1＝348－1，所以p 4＝(p 4－p 3)＋(p 3－p 2)＋(p 2－p 1)＋(p 1－p 0)＝44－13p 1＝1257. p 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4＝1257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.明 考 情1．对概率的考查既有大题也有小题，选择题或填空题出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查几何概率，难度一般．2．概率统计的解答题多在第18题或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与回归分析或独立性检验相交汇考查.考点一 离散型随机变量的均值与方差|析典例|【例】 (2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利200元．(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n (单位：台，n ∈N )的函数解析式f (n )；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n (单位：台)，整理得下表：周需求量n 18 19 20 21 22 频数12331以1020台空调，X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．[思路分析] 第(1)问：求什么，如何想 求f (n )想到依据题意确定解析式给什么，如何用 给出以20台为分界点，列出分段函数解析式求什么，如何想求当周的利润的分布列与期望，想到分析利润的取值及发生的概率 给什么，如何用根据条件求出X 各个取值的概率，写出分布列，再利用期望的定义求X 的数学期望当n ≤19时，f (n )＝500×n －100×(20－n )＝600n －2 000，∴f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧200n ＋6 000n ≥20，600n －2 000n ≤19(n ∈N )．(2)由(1)得f (18)＝8 800，f (19)＝9 400，f (20)＝10 000，f (21)＝10 200，f (22)＝10 400，∴P (X ＝8 800)＝0.1，P (X ＝9 400)＝0.2，P (X ＝10 000)＝0.3，P (X ＝10 200)＝0.3，P (X ＝10 400)＝0.1，X 的分布列为X 8 8009 40010 00010 20010 400P 0.10.20.30.30.1∴E(X)＝0.1＝9 860.| 规律方法|1．求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验．2．期望与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．|练题点|1．(2019·唐山市高三摸底)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228](单位：mm)内的零件为一等品，其余为二等品．甲、乙两位工人当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：(1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；(2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品．所以抽取的2个零件等级互不相同的概率P ＝4×5＋6×510×10＝12.(2)X 可取0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130.X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望E (X )＝0×6＋1×2＋2×10＋3×130＝65.2．(2019·洛阳市第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：(1)当p ＝4时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p ＋13＋q ＝1.又p ＝14，∴q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A B －∪A －B ∪AB ，且A ，B 独立． 由题意可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，∴P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＋P (AB ) ＝12(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p . ∵P (C )＝12＋12p >45，∴p >35.又p ＋13＋q ＝1，q ≥0，∴p ≤23，∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为则E (X )＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， ∴随机变量Y 的分布列为Y 2 0 －1 P121316则E (Y )＝2×12＋0×13＋(－1)×6＝6.∵E (X )>E (Y )，∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．考点二 二项分布|析典例|【例】 (2019·河北承德市第一中学模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)(一题多解)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．[解] (1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40.又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)解法一：ξ的所有可能取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，340.P (ξ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫37402＝1 3691 600， P (ξ＝1)＝C 12×340×3740＝111800， P (ξ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫3402＝91 600， 故所求分布列为ξ的均值为E (ξ)＝0×1 600＋1×800＋2×1 600＝20，ξ的方差为D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3202×1 3691 600＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3202×111800＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3202×91 600＝111800. 解法二：求ξ的分布列同解法一．ξ的均值为E (ξ)＝2×340＝320， ξ的方差为D (ξ)＝2×340×⎝⎛⎭⎪⎫1－340＝111800.| 规 律 方 法 |1．求解二项分布问题的“四关”一是“判断关”，即判断离散型随机变量X 是否服从二项分布B (n ，p )．二是“公式关”，即利用P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，求出X 取各个值时的概率．三是“分布列关”，列出表格，得离散型随机变量的分布列．四是“结论关”，利用公式E (X )＝np 求期望，D (X )＝np ·(1－p )求方差． 熟记二项分布的概率、期望与方差公式，可以避免繁琐的运算过程．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以应用均值与方差的性质E (ax ＋b )＝aE (x )＋b ，D (ax ＋b )＝a 2D (x )求解．|练题点|(2019·河南洛阳三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能答对其中的4个，而乙能答对每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立的．(1)求甲、乙两位同学总共答对3题的概率；(2)若甲、乙两位同学答对题目的个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲、乙两人得分之和X 的期望．解：(1)由题意可知，甲、乙两位同学总共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题．故所求的概率P ＝C 14C 22C 36×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋C 24C 12C 36×C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 34C 36×C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝31135. (2)m 的所有可能取值有1,2,3.P (m ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (m ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (m ＝3)＝C 34C 36＝15，故E (m )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意可知n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，故E (n )＝3×23＝2.而X ＝15m ＋10n ，所以E (X )＝15E (m )＋10E (n )＝50.考点三 正态分布|析典例|【例】 (2018·广西三市联考)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1 000 人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求P (36<Z ≤79.5)；(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案． ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.X 的分布列及数学期望．附：210≈14.5，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 3.[解] (1)由题易得E (Z )＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，所以μ＝65，所以得分Z 服从正态分布N (65,210)，又σ＝210≈14.5，所以P (50.5<Z ≤79.5)＝0.682 7，P (36<Z ≤94)＝0.954 5，所以P (36<Z ≤50.5)＝(0.954 5－0.682 7)×12＝0.135 9，所以P (36<Z ≤79.5)＝P (36<Z ≤50.5)＋P (50.5<Z ≤79.5)＝0.135 9＋0.682 7＝0.818 6. (2)易知P (Z <μ)＝P (Z ≥μ)＝12，X 的所有可能取值为20,40,60,80.则P (X ＝20)＝12×34＝38，P (X ＝40)＝12×14＋12×34×34＝1332，P (X ＝60)＝12×34×14＋12×14×34＝316，P (X ＝80)＝12×14×14＝132.所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝20×8＋40×32＋60×16＋80×32＝752.| 规 律 方 法 |服从N (μ，σ2)的随机变量X 在某个区间内取值的概率的求法(1)利用P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值直接求． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这些特殊性质求解．|练题点|(一题多解)(2018·四川德阳二诊)为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了成语听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N (78,16)．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩大于90分的学生所占的百分比为( )A ．0.135%B ．1.35%C ．3%D ．3.3%附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 3.解析：选A 解法一：由题意可知，测试成绩X ～N (78,16)，所以σ＝16＝4.而90＝78＋12＝μ＋3σ，故所求的百分比的实质就是求P (X >μ＋3σ)． 由正态曲线的对称性可得P (X ≥μ)＝P (X ≤μ)＝0.5， 又P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 3，所以P (μ<X ≤μ＋3σ)＝12×0.997 3＝0.498 65，故P (X >μ＋3σ)＝P (X ≥μ)－P (μ<X ≤μ＋3σ)－P (X ＝μ)＝0.5－0.498 65＝0.001 35＝0.135%.故选A ．解法二：由题意可知，测试成绩X ～N (78,16)， 所以σ＝16＝4.而90＝78＋12＝μ＋3σ，故所求百分比实质就是求P (X >μ＋3σ)． 由已知P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 3，所以P (X ≤μ－3σ)＋P (X >μ＋3σ)＝1－P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 3＝0.002 7， 由正态曲线的对称性可得，P (X >μ＋3σ)＝12[P (X ≤μ－3σ)＋P (X >μ＋3σ)]＝12×0.002 7＝0.001 35＝0.135%.故选A ．。