2021届高考数学二轮总复习层级二专题五概率与统计第三讲随机变量及其分布列学案理含解析

第三讲随机变量及其分布列

1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.

解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

答案：1.96

2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18.

因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p·(1－p)17(1－10p)．

令f′(p)＝0，得p＝0.1.

当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；

当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的极大值点为0.1，且为f(p)唯一的极大值点，所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.

(2)由(1)知，p＝0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，则E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.

所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.

②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．

由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．

3．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1,2，…，

7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.

①证明：{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；

②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.

P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，

P(X＝1)＝α(1－β)．

所以X的分布列为

(2)

因此p i ＝0.4p i －1＋0.5p i ＋0.1p i ＋1， 故0.1(p i ＋1－p i )＝0.4(p i －p i －1)， 即p i ＋1－p i ＝4(p i －p i －1)．

又因为p 1－p 0＝p 1≠0，所以{p i ＋1－p i }(i ＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p 1的等比数列．

②由①可得

p 8＝p 8－p 7＋p 7－p 6＋…＋p 1－p 0＋p 0

＝(p 8－p 7)＋(p 7－p 6)＋…＋(p 1－p 0)＝48－1

3p 1.

由于p 8＝1，故p 1＝3

48－1

，

所以p 4＝(p 4－p 3)＋(p 3－p 2)＋(p 2－p 1)＋(p 1－p 0)＝

44－13

p 1＝

1

257

. p 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药

治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4＝1

257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非

常小，说明这种试验方案合理.

明 考 情

1．对概率的考查既有大题也有小题，选择题或填空题出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查几何概率，难度一般．

2．概率统计的解答题多在第18题或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与回归分析或独立性检验相交汇考查.

考点一 离散型随机变量的均值与方差

|析典例|

【例】 (2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空

调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利200元．

(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n (单位：台，

n ∈N )的函数解析式f (n )；

(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n (单位：台)，整理得下表：

周需求量n 18 19 20 21 22 频数

1

2

3

3

1

以1020台空调，

X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．

[思路分析] 第(1)问：

求什么，如何想 求f (n )想到依据题意确定解析式

给什么，如何用 给出以20台为分界点，列出分段函数解析式

求什么，如何想

求当周的利润的分布列与期望，想到分析利润的取值及发生的概率 给什么，如何用

根据条件求出X 各个取值的概率，写出分布列，再利用期望的定义求X 的数学期望

当n ≤19时，f (n )＝500×n －100×(20－n )＝600n －2 000，

∴f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧

200n ＋6 000n ≥20，

600n －2 000n ≤19

(n ∈N )．

(2)由(1)得f (18)＝8 800，f (19)＝9 400，

f (20)＝10 000，f (21)＝10 200，f (22)＝10 400，

∴P (X ＝8 800)＝0.1，P (X ＝9 400)＝0.2，P (X ＝10 000)＝0.3，P (X ＝10 200)＝0.3，

P (X ＝10 400)＝0.1，

X 的分布列为