初中数学浙教版九年级上册第三章3.3垂径定理同步练习(解析版)

初中数学浙教版九年级上册第三章3.3同步练习一、选择题1. 如图，在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论错误的是( )A. AC =BCB. AN⏜=BN ⏜ C. AM⏜=BM ⏜ D. OC =CN2. 如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C.若AO =5，OC =3，则弦AB 的长为( )A. 10B. 8C. 6D. 43. 已知⊙O 的直径AB =40，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =32，则AE 的长为( )A. 12B. 8C. 12或28D. 8或324. 如图，已知在同心圆O 中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D ，若AB =4，CD =2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )A. 3:2B. √5:2C. √5:√2D. 5:45.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的半径为()A. 6.5mB. 9mC. 13mD. 15m6.如图，在⊙O中，AB是弦，OC⊥AB，垂足为C，若AB=16，OC=6，则⊙O的半径OA等于()A. 16B. 12C. 10D. 87.如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD等于()A. 5B. 8C. 2√10D. 4√58.如图所示，已知☉O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是()A. 5B. 7C. 9D. 119.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8m，最深处水深0.2m，则此输水管道横截面的直径是()A. 0.5mB. 1mC. 2mD. 4m10.一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD=6，则隧道的高(ME的长)为()A. 4B. 6C. 8D. 9二、填空题11.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长的弦长是，最短的弦长是．12.如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．13.已知⊙O的半径为5，弦AB//CD，AB=6，CD=8，则四边形ABDC的面积为．14.若点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦有条.15.如图是一个水平放置的圆柱形水管的横截面，已知水面高CD=16cm，水面宽AB为48cm，那么水管横截面圆的半径是cm．三、解答题16.如图，⊙A经过原点，平行于y轴的直线交圆于B，C两点.已知点B的坐标是(2,1)，求A和C的坐标．17.如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A，B两点，求证：AC=BD．18.如图，M为⊙O内一点，请你利用直尺和圆规作一条弦AB，使得M为AB的中点(不写作法，保留作图痕迹)．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解，掌握垂径定理内容即：垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧.并能够灵活运用是解题关键．【解答】解：根据MN 为⊙O 的直径，且MN ⊥AB ，垂足为C ，则MN 是垂直于弦AB 的直径，满足垂径定理．因而：A .AC =BC 是垂径定理的结论，该选项正确；B .AN⏜=BN ⏜是垂径定理的结论，该选项正确； C .AM⏜=BM ⏜是垂径定理的结论，该选项正确； D .OC =CN 不是垂径定理的结论，该选项错误．故选：D ．2.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用．在Rt △OAC 中，根据勾股定理易求得AC 的长；由垂径定理知AB =2AC ，由此可求得AB 的值．【解答】解：Rt △OAC 中，OA =5，OC =3，根据勾股定理，得AC =√OA 2−OC 2=4，所以AB =2AC =8，故选B ．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确理解应分两种情况讨论是解题关键．在直角△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长，则AE=OA+OE或AE=OB−OE，据此即可求解．【解答】解：如图，连接OC，∵弦CD⊥AB于点E∴CE=12CD=16，在直角△OCE中，OE=√202−162=12，则AE=20+12=32，或AE=20−12=8，故AE的长是8或32．故选D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，首先过O作OE⊥AB于E，连接OC，OA，则OA为大圆半径，OC为小圆半径，而弦心距OE等于1，根据垂径定理结合AB，CD的长可知CE=DE=12CD=1，AE=BE=12AB=2，分别用勾股定理求出中OA的长度，再求出中OC的长度，进而可求出本题结果．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，连接OC，OA，如图：∵AB的弦心距等于1∴OE=1∵OE⊥AB∴CE=DE=12CD=1，AE=BE=12AB=2在中，OA=√OE2+AE2=√12+22=√5在中，OC=√OE2+CE2=√12+12=√2∴OA:OC=√5:√2即两个同心圆的半径之比为：√5：√2故选C．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理的性质，能够运用到实际生活当中．由圆弧先假设一圆心，跨度AB=12m为已知量，设圆心半径为R，桥拱高CD=4m，则可利用勾股定理在△AOD中求解．【解答】解：设圆心为O，圆心半径为R，连接AO、OD，由题中已知条件可得，AB=12，CD=4，AD=12AB=6，∴OD=R−CD=R−4，∴R2=(R−4)2+62，∴R=6.5(m)，故选A．6.【答案】C【解析】【分析】本题是垂径定理和勾股定理的运用，属简单题目．本题用垂径定理和勾股定理即可解答．【解答】解：如图，连接OA．∵在⊙O中，AB是弦，OC⊥AB，垂足为C，AB=16，OC=6，∴AC=BC=12AB=12×16=8．在Rt△OAC中，AC=8，OC=6，∴OA=√OC2+AC2=√62+82=10，故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接OD，先根据垂径定理得出CD=2DE，再由AE=8，BE=2求出⊙O的半径，根据勾股定理求出DE的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OD，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CD=2DE．∵AE=8，BE=2，∴⊙O的半径=5，∴OE=5−2=3，在Rt△ODE中，∵OE=3，OD=5，∴DE=√52−32=4，∴CD=2DE=8．故选B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理.解决与弦有关的问题，一般是构造直角三角形，利用勾股定理解题.由题意知，OM的最大值是10，弦AB的弦心距是OM的最小值，利用垂径定理和勾股定理，可求出OM的最小值为8，因而答案中只有9符合条件.【解答】解：过点O作OM⊥AB，垂足为M，∵OM⊥AB，AB=12，∴AM=BM=6，在Rt△OAM中，OM=√OA2−AM2=√102−62=8，所以8≤OM≤10．故应选C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径(直径)，根据垂径定理和勾股定理求解即可．【解答】AB=0.4解：如图，设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，则AD=12米，设OA=r，则OD=r−DE=r−0.2，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+(r−0.2)2，解得r=0.5米，故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．故选B．10.【答案】D【解析】解：∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，CD=3，又CD=6则有：CM=12设OM是x米，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，即：52=32+x2，解得：x=4，所以EM=5+4=9．故选D．因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM=DM=3，在Rt△COM 中，有OC2=CM2+OM2，可求得OM，进而就可求得EM．此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．则有等式r2=d2+(a211.【答案】10，6【解析】【分析】本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一为d，则有等式r2=d2+( a2个．过点P的最长弦就是直径，最短弦就是垂直于OP的弦，根据垂径定理和勾股定理可求得．【解答】解：过点P的最长弦就是直径，5×2=10，最短弦就是垂直于OP的弦，如图所示，OP⊥AB于P，∴OA=5，OP=4，AP= OA2−OP2 =√ 52−42 =3，∴弦AB=2AP=2×3=6．故答案为：10，6．12.【答案】6【解析】【分析】本题利用了垂线段最短和垂径定理及勾股定理求解．根据垂线段最短，可以得到当OP⊥AB时，点P到圆心O的距离最短．根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解答】解：根据垂线段最短知，当点P运动到OP⊥AB时，点P到到点O的距离最短，由垂径定理知，此时点P为AB中点，AP=8cm，由勾股定理得，此时OP=√OA2−AP2=6cm，故答案为6．13.【答案】49或7【解析】【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB//CD，∴OE⊥AB，∵AB=8，CD=6，∴AE=4，CF=3，∵OA=OC=5，∴由勾股定理得：EO=√52−42=3，OF=√52−32=4，∴EF=OF−OE=1×(6+8)×1=7则四边形ABDC的面积为：12②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，同理可得，EO=3，OF=4，EF=OF+OE=7，×(6+8)×7=49则四边形ABDC的面积为：12则四边形ABDC的面积为7或49．故答案为49或7．14.【答案】4【解析】【分析】此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，勾股定理．由CD⊥AB，则AB是过P的最短的弦，过P的最长的弦是圆的直径，首先根据垂径定理和勾股定理可以求出AB的长度，然后结合已知条件就可以求出弦长为整数的弦的条数．【解答】解：如图，CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA，则过点P的所有⊙O的弦中CD最长，AB最短，并且CD=10，∵OP⊥AB，∴AP=BP，在Rt△OAP中OP=3，OA=5，∴AP=√OA2−OP2=√52−32=4，∴AB=2AP=8，∴过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条，∴在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条，故答案为4．15.【答案】26【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出恰当的辅助线，利用定理是解答此题的关AB=24cm，根据勾股定理即刻得到结论．键．连接OA，根据垂径定理得Ac=12【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，AB=24cm，∴AC=12在Rt△OAC中，AO2=OC2+AC2，即OA2=(OA−16)2+242，∴OA=26，∴水管横截面圆的半径是26cm，故答案为26．16.【答案】解：过A作AN⊥BC于N，连接AB，设⊙A的半径为R，则AB=OA=R=MN，∵点B的坐标是(2,1)，∴OM=2=AN，BM=1，在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB2=AN2+BN2，即R2=22+(R−1)2，解得：R=2.5，∴AO=2.5=MN，∴A点的坐标是(0,2.5)，BN=2.5−1=1.5，∵AN⊥BC，AO过圆心A，∴CN=BN=1.5，即CM=1.5+2.5=4，∵OM=2，∴C点的坐标是(2,4)．【解析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出半径AO的长是解此题的关键．根据勾股定理求出OA，求出BN，根据垂径定理求出CN=BN，即可求出答案．17.【答案】证明：过点O作OE⊥CD，∵OC=OD，∴CE=DE，又∵在⊙O中，∴AE=BE，∴AC=BD．【解析】【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．过点O作OE⊥CD，由等腰三角形的性质可知CE=DE，再由垂径定理可知AE=BE，故可得出结论．18.【答案】解：如图，弦AB即为所求．【解析】作直线OM，过点M作直线⊥OM交⊙O于A，B，弦AB即为所求．本题考查垂径定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。