第1,2节 多项式插值,Lagrange插值

§2
Lagrange插值多项式 Lagrange插值多项式
已知 y=f(x) 在n+1 个点
a = x0 < x1 < L< xn = b
的函数值
y0 , y1 ,L, yn
构造n次多项式 pn(x) ,使得 构造 次多项式 使得
pn( xk ) = f ( xk ) = yk ,
从而得到 f(x) 的近似计算式
为一次插值多项式的基函数 则称 l0(x) , l1(x)为一次插值多项式的基函数。这时 为一次插值多项式的基函数。 ：
f(x) ≈ L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)
二、抛物线插值（n=2） 抛物线插值（ =2）
已知
xi yi
x0 x1 y0 y1
x2 y2
求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0
2 x − xi L2 ( x) = ∑∏ yj j =0 i =0 x j − xi i≠ j
2
…………………紧凑格式 紧凑格式 …………………基函数表示 基函数表示
L2 ( x) = ∑ y j l j ( x)
j =0
2
2
ω3 ( x) L2 ( x) = ∑ y j ……………… ω (x)表示式 表示式 3 ω′ j =0 ( x − x j ) 3 ( x j )
而且 于是
L2 ( x) = =
′ ω3( x0 ) = ( x0 − x1 )( x0 − x2 )
′ ω3 ( x2 ) = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
′ ω3 ( x1 ) = ( x1 − x0 )( x1 − x2 )
( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) y0 + y1 + y2 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
使得 f(x) ≈ L2(x), x ∈[x0 , x2]. 关于二次多项式的构造采用如下方法： 关于二次多项式的构造采用如下方法：令
L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1)
并由插值条件
L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2
(2.4)
其系数行列式为Vandermonde(范德蒙 行列式 范德蒙)行列式 其系数行列式为 范德蒙
1 V( x0 , x1 ,L, xn ) = 1 1 x0 x1 xn
n 2 x0 Lx0 2 n x1 Lx1
L L L L L
2 n xn Lxn
=
0≤i < j≤n
∏( x
j
− xi )
就有x 只要 i≠j 就有 i ≠ xj ,因而 V(x0,x1,…,xn) ≠0 ,于是方程组 于是方程组 (2.4)有唯一解 也就是说,当节点不重合时, +1 有唯一解, +1个节点的 (2.4)有唯一解,也就是说,当节点不重合时, n+1个节点的 插值条件能唯一确定一个n次插值多项式 从而有: 次插值多项式, 插值条件能唯一确定一个 次插值多项式,从而有: 定理2.1 给定 给定n+1 个互异节点 x0 , x1 , … , xn 上的函数 定理 值y0 , y1 , … , yn ,则满足插值条件 则满足插值条件 pn(xk )=f(xk )= yk , k=0, 1, … ,n 存在且唯一。 的n 次插值多项式 pn(x) 存在且唯一。
ω3 ( x) ω3 ( x) ω3 ( x) y0 + y1 + y2 ′ ′ ′ ( x − x0 )ω3 ( x0 ) ( x − x1 )ω3 ( x1 ) ( x − x2 )ω3 ( x2 )
2
ω3 ( x) yj =∑ ω′ j =0 ( x − x j ) 3 ( x j )
这样， 这样，就得到二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式
这样只要求解方程组
n 2 a0 + a1 x0 + a2 x0 +L+ an x0 = y0 2 n a0 + a1 x1 + a2 x1 +L+ an x1 = y1 (2.4) M a + a x + a x2 +L+ a xn = y 1 n 2 n n n n 0
但相对来讲计算较复杂。 便可确定插值多项式 pn(x) ，但相对来讲计算较复杂。 而插值多项式的唯一性保证了无论用什么方法获得满足 插值条件的多项式都是同一个多项式 pn(x) ，因此可以 采用其它更简便的方法来确定多项式。 采用其它更简便的方法来确定多项式。下面就介绍几种 常用的方法： 常用的方法： 1. 拉格朗日插值多项式 2. 牛顿插值多项式 3. 分段线性插值多项式 4. 三次样条插值多项式
y = L ( x) 1
y = f (x)
O
x0
x1
x
并称其为一次Lagrange插值多项式。 插值多项式。 并称其为一次 插值多项式 x − x0 如果令 l ( x) = x − x1 l1( x) = 0 x1 − x0 x0 − x1
l0 ( x0 ) = 1, l0 ( x1 ) = 0 ⇒ l1( x0 ) = 0, l1( x1 ) = 1
§1 多项式插值问题
一、插值问题
在区间[a,b]连续, 连续, 设函数 y=f(x)在区间 在区间 连续 a≤ x0 < x1 < … < xn≤b 给定n+1个点 个点 给定 (2.1)
在函数类中寻找一函数φ(x) 已知 f(xk)=yk (k=0,1,…,n) ,在函数类中寻找一函数 在函数类中寻找一函数 的近似表达式, 作为 f(x) 的近似表达式,使满足 φ(xk)=f(xk)=yk , k=0,1, … ,n (2.2) 称为插值函数 插值函数, 这时称 y=f(x)为被插值函数, φ(x) 称为插值函数 xk 称 为被插值函数, 插值节点, 称为插值条件 寻求插值函数φ(x) 插值条件, 为插值节点,式(2.2)称为插值条件,寻求插值函数 的方法称为插值方法 插值方法. 的方法称为插值方法.
ti yi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 10.61
4.00 6.41 8.01 8.79
9.53 9.86 10.33 10.42 10.53
那么在时刻t=5min，t=18min时的浓度是多少？ ， 时的浓度是多少？ 那么在时刻 时的浓度是多少 本章主要讨论利用插值方法寻求函数的近似问题。 本章主要讨论利用插值方法寻求函数的近似问题。
二、多项式插值问题
在构造插值函数时，函数类的不同选取, 在构造插值函数时 ， 函数类的不同选取 , 对应着 各种不同的插值方法， 这里我们主要研究函数类P是 各种不同的插值方法 ， 这里我们主要研究函数类 是 代数多项式，即所谓的多项式插值问题。 代数多项式，即所谓的多项式插值问题。 多项式插值， 从几何角度看， 就是寻求n次代数曲 多项式插值 ， 从几何角度看 ， 就是寻求 次代数曲 通过n+1个点 k , yk) (k=0,1,…,n)作为 f(x) 的 个点(x 线 y=pn(x) 通过 个点 作为 近似(如下图) 近似(如下图). y = pn(x)
第二章 代数插值
§1 多项式插值问题 §2 Lagrange插值多项式 Lagrange插值多项式 §3 差商及Newton插值多项式 差商及Newton插值多项式 §4 分段插值多项式 §5 三次样条(Spline)插值多项式 三次样条(Spline)插值多项式
用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学 科领域,但在实际问题中,往往是通过实验、 科领域,但在实际问题中,往往是通过实验、观测以及 计算等方法, 获得函数在一些点上的函数值。 计算等方法 , 获得函数在一些点上的函数值 。 如何通 过这些离散数据找出函数的一个满足精度要求且便于 使用的近似表达式,是经常遇到的问题。例如： 使用的近似表达式,是经常遇到的问题。例如： 某化学反应中,在有限个时刻 某化学反应中,在有限个时刻t(min)，测得生成物质 ， 量浓度y(10-3g/cm3)的如下数据 量浓度 的如下数据
代入，得到： 将插值条件 Ln( x0 )= y0 代入，得到：
y = f (x)
设 pn(x)=a0+ a1x+…+an xn ，当满足如下的插值条件 时，即
pn(xk) = f(xk) = yk , k = 0,1, … ,n
(2.3)
得到关于系数 a0、 a1、… 、an 的线性方程组
2 n a0 + a1 x0 + a2 x0 +L+ an x0 = y0 2 n a0 + a1 x1 + a2 x1 +L+ an x1 = y1 M a + a x + a x2 +L+ a xn = y 1 n 2 n n n n 0
这样就得到在区间[a,b]上关于 f(x) 的近似计算式 上关于 这样就得到在区间
f ( x) ≈ L2 ( x), x ∈[ x0 , x2 ]
下面给出n次拉格朗日插值多项式的构造。 下面给出 次拉格朗日插值多项式的构造。 次拉格朗日插值多项式的构造
三、n 次Lagrange插值多项式 Lagrange插值多项式
2 0 0 1 1 2 2
另外， 另外，如果再引进记号 ω3 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) 则其导数为
′ ω3 ( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) + ( x − x0 )( x − x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )
已知n+1组离散数据 组离散数据 已知
xi yi x0 x1 L xn y0 y1 L yn
按照二次Lagrange插值多项式的构造方法，令： 插值多项式的构造方法， 按照二次 插值多项式的构造方法
Ln ( x) = A0 ( x − x1 )( x − x2 )L( x − xn ) + A1( x − x0 )( x − x2 )L( x − xn ) +L+ An( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn−1 )
y1 B= ( x1 − x0 )( x1 − x2 )
得到
y0 A= ( x0 − x1 )( x0 − x2 )
y2 C= ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
于是得到
L2( x) =
2
( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) y0 + y1 + y2 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
2 x − xi = ∑∏ j =0 i =0 x j − xi i≠ j
yj
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并称其为二次Lagrange 插值多项式。 插值多项式。 并称其为二次 如果令
l0 ( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )
l1( x) =
( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )
1, i = j l j ( xi ) = δij = 0, i ≠ j
( x − x0 )( x − x1 ) l2 ( x) = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
则有
为二次插值多项式的基函数 则称 l0(x) , l1(x)，l２(x)为二次插值多项式的基函数。这时 为二次插值多项式的基函数。 ： f(x) ≈ L (x)=y l (x)+y l (x)+ y l (x)
k = 0,1,L, n
f ( x) ≈ pn ( x), x ∈[a, b]
一、线性插值（n=1） 线性插值（ =1）
已知
xi yi
x0 y0
x1 y1
求解 L1(x)=a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1]. 根据点斜式得到
y
y1 − y0 L1( x) = y0 + ( x − x0 ) x1 − x0 x − x1 x − x0 y0 + y1 = x0 − x1 x1 − x0