1.2_初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
第二节矩阵的初等变换与初等矩阵
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
二.初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义2.2.3 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
类似地，以 En ( i ( k )) 右乘 矩阵 A，其结果
相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci k ).
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )， 1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
以 Em ( ij( k )) 左乘矩阵 A，
a11 a ka i1 j1 Em ( ij ( k )) A a j1 a m1 a12 ai 2 ka j 2 a j2 am 2 ain a jn a jn amn a1n
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
Henan Agricultural University
四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
Henan Agricultural University
三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
Processing math: 100%。
1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法-文档资料
※1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵.
※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示
为有限个初等矩阵的乘积。
证明1.3，1.4，1.5
10
用初等行变换求逆矩阵
原理：可逆矩阵A可以分解为若干初等矩阵的乘积，
设
AP1P2 Pt
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。
返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
9
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积
则
P t 1 P 2 1P 1 1AI
P t 1 P 2 1P 1 1IA 1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为单位阵的同时，就把I化为了A的逆
矩阵。
做法：将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
初等矩阵与初等变换的关系
初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。
初等变换指的是对矩阵进行三种基本操作：交换两行（列）的位置、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）的倍数加到另一行（列）上。
这篇文章将以生动的方式介绍初等矩阵与初等变换之间的关系，并解释它们在数学和实际中的重要性。
让我们从一个简单的例子开始，考虑一个3x3的单位矩阵：I = [1 0 0][0 1 0][0 0 1]现在，我们进行一次交换第一行和第二行的初等变换，得到矩阵：E1 = [0 1 0][1 0 0][0 0 1]我们可以观察到，矩阵E1是通过单位矩阵在第一行和第二行进行交换得到的。
这就是初等矩阵与初等变换之间的关系：初等变换通过对单位矩阵的某些行（列）进行操作，得到对应的初等矩阵。
接下来，让我们考虑另外两种初等变换：第一行乘以一个非零常数和第一行的倍数加到第二行上。
首先，我们将第一行乘以2，得到矩阵：E2 = [2 0 0][0 1 0][0 0 1]再将第一行的2倍加到第二行上，得到矩阵：E3 = [1 0 0][2 1 0][0 0 1]我们可以观察到，矩阵E2和E3分别由单位矩阵通过第一行乘以2和第一行的2倍加到第二行上得到。
这再次验证了初等矩阵与初等变换之间的关系。
初等矩阵与初等变换在数学中扮演着重要角色。
它们可以用于求解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等。
通过将初等变换应用于矩阵，我们可以通过初等矩阵的乘积来实现这些操作，简化计算过程。
在实际应用中，初等矩阵与初等变换也非常有用。
它们可以用于图像处理、数据压缩、机器学习等领域。
例如，在图像处理中，我们可以通过初等变换来调整图像的亮度、对比度或色彩饱和度。
在数据压缩中，我们可以使用初等矩阵表示矩阵的近似，从而减少存储空间和计算复杂度。
总结起来，初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。
初等变换是对矩阵进行交换行（列）、乘以一个非零常数或行（列）的倍数加到另一行（列）上的基本操作。
1.2矩阵的初等变换与矩阵的秩
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
1 0
0 c5 4c1 3c2 3c3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
2 1 4
1 0 2
r2 2r1 r3 2r1
1 0 0
2 5 0
1 2 , 0
易看出A的行阶梯形有两个非零行，则rA 2.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
等价关系的性质：
（1） 反身性 AA；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价．
用矩阵的初等行变换，化简下述矩阵：
2 1 1 1 2
B
Байду номын сангаас
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
rj
r; i
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
2
3 1
1 2 0
1 2 4
矩阵的初等变换
1 5
r3
rr1262rr33
1 0 0
0 1 0
0
0
．
1
1.1 矩阵的初等变换概念
定理2
任意一个矩阵 Amn ，都能经过有限次初等变换变成标准形矩阵。
例题
2 1 2 3
例2
将矩阵
A
4
1
3
5
化为标准形。
2 0 1 2
2 1 2 3
2 1 2 3
2 0 1 2
解：
A
4
2
1 0
(E(i ，j))1 E(i ，j) ；(E(i(k)))1 E(i(k1)) ；(E(i ，j(k)))1 E(i ，j(k)) ． 性质 2 初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵，即
(E(i ，j))T E(i ，j) ；(E(i(k)))T E(i(k)) ；(E(ri krj ))T E(rj kri ) ． 性质 3 对一个矩阵 Amn 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘一个相应的 m 阶初等 矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A 右乘一个相应的 n 阶初等矩阵。
线性代数
1.1 矩阵的初等变换概念
定义1
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换． （1）交换矩阵中的第 i 行（列）与第 j 行（列）的元素，记作 ri rj 或 ci cj ； （2）用一个非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列），记作 kri 或 kci ； （3）矩阵的第 j 行（列）元素的 k 倍加到第 i 行（列）对应元素上，记作 ri krj 或 ci kcj ．（注意：第 j 行（列）的元素并没有改变。） 矩阵的初等行或列变换统称为初等变换。
1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 1
初等变换与初等矩阵
华南农业大学理学院应用数学系
1.2 初等变换与初等矩阵
➢1.2.1 初等变换 ➢1.2.2 初等矩阵及其性质 ➢1.2.3 初等变换与逆矩阵
1.2.1 初等变换
a11x1a12x2 a1nxn b1
( 1 )
a21x1a22x2 a2nxn b2 ........................................
am1x1am2x2 amnxn bm
m个方程 ，
n个未知数
对此线性方程组,可做如下三种同解变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍. 这三种变换都称为初等变换.
这三种 变换都 是可逆
的
设方程组 (1) 经过某一初等变换后变为另一个方程组,
R1 ij
Rij
(Ri())1Ri(1)
(R ij())1R ij()
定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
性质1.5 用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作
相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该 矩阵作相应的初等列变换.
例
1 0 01 2 3 1 2 3
R12(1)A1
k ri
第i行变
rj kri 第j行变
列变换 Column
交换i, j两列 第 i 列乘数K
第 i 列乘数K后加 到第 j 列上去
ci cj k ci
第i、j列变 第i列变
cj kci 第j列变
例 利用矩阵的行初等变换解方程组
2x2 x3 1 x1 x2 x3 0
2x1 x2 x3 2
的对应元素上去。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
r2r3
12 00
3 45 002
0.5×r2
12 00
3 40 001
0 0 0 0 0 r1+(-5)r2 0 0 0 0 0
例：继续将A的行简化阶梯形化为标准形。
1 2 3 4 0 1 0 0 0 0
A 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
结论：任意矩阵Am×n总是与一个行阶梯形矩阵或行 简化阶梯形矩阵等价，也与一个标准形矩阵等价。
转例
注：矩阵A的行阶梯形矩阵中非零行的数目， 称为A的秩R(A)。
➢矩阵在作初等变换后其秩不改变，即 若A→B，则R(A)=R(B)。
➢矩阵秩的性质： （1）0 R( Amn ) min{ m, n}
（2）R( A) R( AT )
转例
3.1 线性方程组的增广矩阵
线性方程组的一般形式为
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2
———
2 10 -2 -2 1 -9 3 7 3 8 -1 1
r1+r4×(-2)
———
0 14 -4 -8 1 -9 3 7 3 8 -1 1
1 -2 1 3
1 -2 1 3
1.2 初等矩阵 初等矩阵一定是方阵
定义：对单位矩阵E作一次初等变换后，得 到的矩阵称为初等矩阵。
初等矩阵有如下三种类型（对应于三种变 换），分别记作P ( i,j )，P (i[k])，P (i,j[k]) 。
对上式现右乘A-1，得 Ps Ps-1 P2 P1 AA-1 EA-1
则有 Ps Ps-1 P2 P1 E A-1 表明，通过有限次的初等行变换，将可逆矩 阵A化为E的同时，单位矩阵E则化为A-1 。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵
简论矩阵的初等矩阵和初等矩阵发布时间：2023-02-03T06:52:33.822Z 来源：《教学与研究》2022年第18期第9月作者：蔡新华[导读] 由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,蔡新华内蒙古机电职业技术学院内蒙古呼和浩特 010070摘要由于矩阵的初等变换和初等矩阵都有“初等”二字,所以非常容易将二者混为一谈.此文的目的在于解释这两个概念的区别,同时也介绍它们的关系.在对矩阵进行运算时,我们可对其进行类似于行列式的行（列）变换或数乘运算等,即矩阵的初等变换.为了搞清楚变换后的矩阵所具有的特性,也为了说明矩阵的初等变换的意义,我们引入初等矩阵的概念.其实初等矩阵就是单位矩阵经矩阵的初等变换后所得的矩阵.具体内容见下文简述.关键词矩阵的初等变换初等矩阵单位矩阵逆矩阵矩阵就是将多个数按某种规则人为排列为m行n列所形成的一个数阵（具体学科的行与列都有确定的含义）。
它实际上记述着客观事件的因果关系，一个结果在多个原因的不同作用水平下的数量特征（这个矩阵的元素间没有因果关系），所以我们对其行（列）的运算实质是一种人为处理，但是我们知道，在建立矩阵时,我们确实纪录了某个（些）客观事实，这些数据有其内在的必然规律。
为了寻找这个（些）客观规律，我们必须对所得矩阵进行运算，又由于我们在建立矩阵时所记行（列）遵循一定的规则，所以我们只能对不同的行（列）展开运算。
也就是说同一行（列）中的数据前后上下的元素不能调整。
对不同行（列）间对应元素的对调、同一行（列）的数乘和数乘后与其它行（列）对应元素的代数和的运算也就没有改变事件内在规律（实为事物自身的线性性）。
这种对矩阵的处理就是矩阵的初等变换。
现在，我们给出矩阵的初等变换的定义：（1）：互换矩阵的两行（列）；（2）：用一个非零实数乘矩阵的某行（列）的所有元素；（3）：将某行（列）的所有元素实数k倍后加到另一行（列）的对应元素上去。
对于这个定义，我们要理解在如下三个层面上：（1）对矩阵实施某行（列）所有元素与另一行（列）对应元素的对调.（2）实施了矩阵的初等变换后得到了一个新的矩阵。
1.2 矩阵的初等变换
III. 某一行乘以一个数后加到另一行上 , 并用记号 kri+rj 表第 i 行乘以数 k 后加到第 j 行上. （倍加某行）
14
上述方程组的求解用紧凑的形式写为：
0 2
2
2
2 0
| |
1 1
2
r1 r2
0
1.2 矩阵的初等变换
1.2.1 线性方程组的初等变换
我们先考察如下的一个例子. 求解下列方程组：
2x2 2x3 1
2x1 2x2
1
2 x1
2x3 2
4x1 2x2 2x3 1
交换前两个方程的顺序得：
2 x1 2 x2
1
2 x2 2 x3 1
2
x1
2x3 2
4 x1 2 x2 2 x3 1
定理1.2.1 一线性方程组经若干上述初等变换后得 到的方程组与原方程组同解.
1.2.2 矩阵的初等变换
下面我们将对应于方程组的初等变换引入矩阵的 初等变换. 仍然考察前面的例子.
2x2 2x3 1
2 2
x1 x1
2 x2 2 x3
1 2
4 x1 2 x2 2 x3 1
10
写出增广矩阵得：
下方的所有方程(如有)的各项系数全为零; (ii)如方程组中某一方程的各项系数不全为零, 并
且第一个不为零的项是第i项, 则此方程下方的所 有方程(如果存在)的前i 项的系数全为零.
6
例如, 如下的方程组是否阶梯形方程组.
2x 2 y z 0
(C )
z 3 00
00
3x y 2
(d )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例
解线性方程组
方程组的增广矩阵 一一对应
2 x2 x3 1 x1 x2 x3 0 2 x x x 2 1 2 3
方程之间的变换
0 2 1 1 1 1 1 0 2 1 1 2
矩阵的行之间的变换
一一对应
定义 下面三种变换称为矩阵的行（列）初等变换:
由定理1.4得出求逆矩阵的另一种方法:
原理:
P l P
1 1 l 1
P l P
1
1 l 1
P IA
1 1
1
1 1 P l P l 1
1 P 1 A I
P
1 1
A
I I
行
A
1
实际做法:
A
I I
A1
例
求下列矩阵的逆
解
1 2 2 0 0 1 3 4 4 1 0 0 r1 r3 2 2 1 0 1 0 A I 2 2 1 0 1 0 1 2 2 0 0 1 3 4 4 1 0 0
注意： 在这两种求逆矩阵的过程中，
初等行变换和初等列变换不能 混用。
习题1 P39 1.7(2) 1.8(2）
1 rj ri I ci c j 注意！
1
1
Rij ( ) C ji ( ) 1
结论：初等矩阵可逆, 并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵
R Rij
1 ij
( Ri ( )) Ri ( )
1 2 3 0 1 2 1 5 9
用初等矩阵左乘 ( 右乘 ) 一个矩阵 , 相当于对该 矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一 行(列)的初等变换, 即
（１）
Rij A 对换A的第i行和第j行, BCij 对换B的第i列和第j列;
（２） （３）
Ri (k ) A A的第i行乘k (k 0), BCi (k ) B的第i列乘k (k 0);
r1 1r3 r2 3r3
●课堂练习：
1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵
1 2 3 (1) A 2 2 1 3 4 3
2、利用初等变换求解线性方程组
x1 2 x2 3 x3 1 2 x1 2 x2 5 x3 2 3 x 5 x x 3 2 3 1
1 ri rj ci c j
对调I 中的第 i, j 列,得到的矩阵记为 Cij
0 1 1 1
1
I
0
1
Rij Cij
(2) 用不为零的数λ 乘以I 中的第i行,得到的矩阵记为Ri ( ) 用不为零的数λ乘以I 中的第 i 列,得到的矩阵记为 Ci ( )
●答案
3 2 1 1 1、（1） A 3 / 2 3 5 / 2 1 1 1
2、
x1 1; x2 x3 0
同理可以用初等列变换求逆矩阵
A I
I A 1
1 b12 0 1 0 0
b1n d2n 1
1 0 0
0 1 0
……
定理1.4
Ａ为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵
P ,P 使 1, P 2, l, 证明：（必要性）
A PP 1 2
P l
因为Ａ为可逆方阵, 故存在初等矩阵 Q1 , Q2 , , Ql 使得 Q1 Q2 Ql A I
得到.
同学们可以验证一下.
●小结
矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；
右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如下式
子成立：
（1）
（2）
（3） A
rj k ri
Rij (k ) A
ci kc j A AC ji (k )
定理1.3 可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵I， 即可逆矩阵A与单位矩阵I 等价.
(1)
m个方程，
n个未知数
对此线性方程组,可做如下三种同解变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍. 这三种变换都称为初等变换.
这三种 变换都 是可逆 的
设方程组 (1) 经过某一初等变换后变为另一个方程组, 则新方程组与原方程组同解.
1
1
( Rij ( )) Rij ( )
1
定理1.2 性质1.5
有限个初等矩阵的乘积必可逆.
用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作 相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该 矩阵作相应的初等列变换. 例
1 0 0 1 2 3 1 2 3 R12 (1) A 1 1 0 1 3 5 0 1 2 0 0 1 1 5 9 1 5 9 1 2 3 r2 (1) r1 A 1 3 5 1 5 9
证明
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n a2 n ann
1 b12 b21 b22 b b n1 n 2 b1n d2n d nn d1n d2n 1
I
ri ci
1
1
1
Ri ( ) Ci ( ) 1
(3) 以数λ 乘以I 中的第i行加到第j行去,得到的矩阵记为Rij ( )
以数λ乘以I 中的第j列加到第i列去,得到的矩阵记为 C
ji
( )
(Ql
1
Q2 Q )Q1 Q2 A Ql -1 Q21Q11
1
1 1
Ql A Ql
1
Q2 Q I
1
1 1
故
即 A P 1 P 2
P IA
1 1
1 1 1
P l
现在给出求逆阵的另一种方法:
原理:
因为
P l P
1
1
1 l 1
P l P
1 l 1
P A I
1.2.3 初等变换与逆矩阵
第i、j列变
第i列变
第j列变
c j kci
例 利用矩阵的行初等变换解方程组
解 将方程组的增广矩阵作行初等变换
0
3
3 2
0
1
2 3
续解
0
0
3
7
得同解方程组
原方程组的解为
1.2.2 初等矩阵及其性质
初等矩阵有三种类型:
定义 由单位阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
(1) 对调I 中的第 i, j 行,得到的矩阵记为Rij
a13 a23 a33
a14 a24 a34
我们将第二列和第三列交换一下, 可以用
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
1 0 0 0
0 0 1 2) r1 r3 ( 3) r1
1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 ) r2 ( 1 2 3 5 0 2 0 3 2 5 0 1 0 2 1 2 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
矩阵初等变换的符号表示
行变换
Row
列变换
Column
交换i, j两行
ri rj
k ri
第i、j行变
第 i 行乘数K
第 i行乘数K后加 到第 j 行上去 交换i, j两列 第 i 列乘数K 第 i 列乘数K后加 到第 j 列上去
第i行变
第j行变
r j kri
ci c j
k ci
(1) 交换矩阵的两行（列）; (2) 以任意非零数λ乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素; (3) 某一行（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行（列） 的对应元素上去。 矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换。
定义
若矩阵A经过有限次的初等变换后化为矩阵B，则 称矩阵A与B等价（equation），记为 A B
多媒体教学课件
华南农业大学理学院应用数学系
1.2 初等变换与初等矩阵
1.2.1 初等变换 1.2.2 初等矩阵及其性质
1.2.3 初等变换与逆矩阵
1.2.1 初等变换
a11 x 1 a12 x 2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 ........................................ am1 x 1 am 2 x 2 amn xn bm
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
a31 a32 a33 a34 a a a a 21 22 23 24 a a a a 11 12 13 14
而得到.
例
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
b1n b2 n bnn 1 b12 0 1 0 0 b1n d2n d nn
1 0 0
b12 c22 cn 2
b1n c2 n cnn
1 0 0
b12 1 dn2