有限元变分原理

1有限元变分原理

有限元是求解偏微分方程的数值方法，在数学上属于变分法范畴，是古典的

Ritz－Galerkin方法与分片多项式插值的结合。古典的Ritz－Galerkin方法的试函

数是求解域内的连续函数，有限元法的试函数是分片多项式。作为变分法的试函

数产生了很大区别：古典的Ritz－Galerkin方法的试函数要求域内的连续或平方

可积且满足位移边界条件，试函数定义在泛函分析的Hilbert空间，或称为内积

空间。有限元法的试函数要求在单元域内连续或平方可积，且不用考虑位移边界

条件，因为有限元是以节点位移参数为未知数，可以直接代入位移边界条件，但

是单元间出现了连续性条件，即所谓的平面和三维弹性问题的C0连续，和薄板

问题的C1连续等，相对古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是一种广义函数。有

限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间，或称为广义导数空间。

2 分片检验

2.1分片检验

长期以来在有限元收敛理论中的分片检验成为关注的焦点，同时也是一个疑难症。分片检验所以倍受关注，是因为它不仅可以用于检验单元的收敛性还可以用于构造收敛单元，而且十分方便。分片检验的研究大致经历了如下三个里程。第一，1965年Irons提出了不协调元的分片检验条件(Patch Test) [1,2]，这是一个通过数值计算检验单元的收敛性的方法，可以通过对一小片有限元问题的数值计算检验单元的收敛性，也是有限元法中最实用的检验单元收敛性的方法，但是，作为一种数值检验的方法，在数学和力学原理上的提法都不够严密，而有限元的单元收敛性又是不能回避的问题。鉴于这个方法的有效性和实用性，人们一直对其开展系列的理论研究工作。1972年Strang首先给出分片检验的数学描述[3]，后来，这个条件被解释成对一个单元的约束条件，称之为单体条件[4]，这个条件使用很方便，可以做为单体的约束条件构造单元函数，但是，对这个分片检验一直缺少严格的数学证明。第二，1980年Stummel 基于严格的数学理论，建立了不协调元收敛的充分必要条件-广义分片检验[5]，并且，通过举反例证明Irons的分片检验即不充分也不必要[6]。这个严格的理论是整体条件，而非单体条件，应用很困难，只限于用于少量单元的检验，而且需要有相当的泛函分析基础，对于大多数单元无法得到应用，更是无法用于指导构造不协调元，因此深入研究实用的不协调元收敛性条件是十分必要的。

此间，还推出了一些实用的充分条件，例如，F-E-M检验[7] 和IPT 检验[8]等，1995年建立了C0类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9]，1997年基于加权Sobolev 空间理论，建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。但是，数学的严格理论(例如，广义分片检验)难以在力学中应用，实用的力学准则(例如，分

片检验)又缺少严格的数学基础。有限元的发展特别需要分片检验能成为一种实用的先验性收敛准则，即可用于检验单元收敛性又可用于指导设计收敛的单元，而不是象广义分片检验和现在的各种收敛性充分条件需要对单元逐个进行收敛性检验。

虽然，分片检验研究还存在上述数学上的困难，但是，在力学应用上已经被接受，对数学上给出的通过分片检验但不收敛的反例在力学界反映强烈，多数持不同的意见

[11，12]。第三，最近（2001年），王鸣对分片检验数学提法做出重要的发展[13]，阐明了分片检验做为一个收敛准则提法的充分必要条件是通过分片检验的单元函数还应满足弱超逼近性（weak superapproximation ）和弱连续性（weak continuity ）。王鸣验证了文[6]列举的通过分片检验但不收敛的反例不满足这两个条件。王鸣的工作可以结束人们对分片检验条件的种种疑惑，但是，还没有明确单元函数的弱超逼近性和弱连续性的力学意义，距离建立完整力学提法还有一步之遥。是否力学上在构造单元时已经蕴含了这些条件，例如，构造单元位移函数除协调性外一般都要求含刚体和常应变模式和无多余零能模式。目前，关于有限元收敛性和分片检验的研究还仅限于二维/三维（2D./3D.）弹性力学和薄板问题，而止于轴对称问题[10]。

分片检验原来的提法是将对应常应力状态的位移做为检验函数，并由此限定至少包含一个内点的用被检验单元分割的任意一小片（图2.3）的边界位移，如果求得的小片有限元解为检验函数的精确解，则称被检验的单元通过常应力分片检验。

显然，这是一个通过数值计算检验单元收敛性的方法。当初提出的分片检验是用于检验不协调元的收敛性，后来又被用于检验混合/杂交元的收敛性。由于当初的分片检验只是强调数值计算检验的方法，没有明确对单元本身的限制，后来在数学上引起的对分片检验的批评[6]和相关的争议都是与此有关。按王鸣 [13]对分片检验的研究结果，被检验的单元函数的补充条件是被检验的单元满足弱超逼近性和一定的弱连续性。

图2.3. 分片检验网格

下面，证明单体条件是常应力分片检验的充分条件，并根据力学原理解释了被检 node coordinates x i y i

1 0.04 0.02

2 0.18 0.03

3 0.16 0.08

4 0.08 0.08

E=105 =0.25 t=0.01

验的单元函数的弱连续性和弱超逼近性条件，为分片检验提供一个力学理论基础。

2.2 单体条件是通过分片检验的充分条件

上述单体条件是单元函数的约束条件，下面将证明单体条件是通过常应力分片检验的充分条件。

分片检验的有限元方程有两种表示方法，一种是由分片检验对应的常应力求出相应的边界力并转化为节点外力，另一种是直接代入分片检验函数对应的边界节点位移，可以证明当单元满足刚体位移条件时，两种方法是等价的，但是，前者可以自动检查刚体位移条件，而后者便于实施。

有限元列式为，

q B q B q B c h +=* (12)

其中，

0B B B h -=， ⎰⎰∂∆=∆==e

e V T c V T ds u R q B Bdv B u D Bq ~1,1,0 (13) 显然，

⎰

=e v h dv B 0 (14) 由此，单元刚度矩阵被分解为两个部分，将（14）代入分片检验条件的无外力作用的

有限元方程，得， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∑0)(c n

e e h

e c q q k k (15) 其中，⎰=e v c T c e c dv CB B k ，⎰=e

v h T h e h dv CB B k 分别为对应“常应变“和高阶应变“的单元刚度矩阵，c q 为对应分片检验位移函数限定的边界节点位移向量（按冲大数方法求解c q 还应做相应的处理）。当方程（15）满秩时，解存在且唯一。显然，代入c q q =，如果（15）式成立，则通过分片检验，即，

⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∑0)(c n

e c

e h e c q q k k (16) 对于检验函数边界位移有*~c

u u =，代入精确的积分公式，得， ⎰⎰∂=e

e V T V c T ds u R dv u D ~* (17) 由于*c T u D 为常应变，得，