平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数

1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：

12

12

2,112m ln ax q q s t q p p y

q q q α..+=+

构造拉格朗日函数：

()121122ln L q q q y p p q αλ--=++

L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：

111

0L p q q α

λ∂=-=∂ ① 22

10L

p q λ∂=-=∂ ② 11220q L

y p p q λ

∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：

211

p q p α*=

④

再把④式代入③式中得：

2

2

2y p p q α*-=

⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：

211

p q p α*=

2

2

2y p p q α*

-=

由⑤式可知：当20y p α->时，20q *

>，消费者同时消费商品1和商品2。

将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**

=+-=

②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为：

1

1q y p *=

20q *

= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**

== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：

()()21

12122

,,,ln

p v p p y p q q y

u p ααα**

=+

-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 2

1

v y p ∂=

∂ 由罗尔恒等式，得到：

1112121v p p p v y p q p α

α*∂∂=-==∂∂ 2

22

2222

21y p v p p y p y q v p p α

α*-∂∂-=-==∂∂

②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121

,,,ln

v p p y u q p y

q α**

==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y y

α∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：

1

111v p p y v y p y

q α

α*∂∂=-

==∂∂ 22

00v p v y y q α*

∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2．某个消费者的效用函数是()12212,u x x x x =，商品1和2的价格分别是1p 和2p ，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

12

212max x x x x ，

1221..s x m p p x t +=

构造该问题的拉格朗日函数：

()2121122x m p p L x x x λ+-=-

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：

1211

20L

x x p x λ∂=-=∂ ① 2122

0L

x p x λ∂=-=∂ ② 11220L

m p x p x λ

∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：

11

22

2p x x p =

④ 把④式代入③式中得：

()1121

2,,3m

x p p m p *=

⑤ 把⑤式代入④式中得：

()2122

,,3m

x p p m p *=

⑥ ⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：

()23

222112

44,,3927x y m m m V p p m p p p p =⨯=

由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：

()123

2

1

231212273,,242p p u e p p u p p u ⎛⎫= ⎪⎝⎭

3．试根据间接效用函数()1212

,,m

v p p m p p =+求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示收入。

解：由间接效用函数可得：

()2112v m p p p ∂=-∂+，()

2

212v m p p p ∂=-∂+，121

v m p p ∂=∂+。 根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中1i =或2）：

()

2

121

112

12

1m

p p v p m

x v y

p p p p -

+∂∂=-=-

=

∂∂++ ()

2

122

212

12

1m

p p v p m

x v y

p p p p -

+∂∂=-=-

=

∂∂++

4．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。

假定他的选择决策只依赖于其效用函数12u x x =，这里()2

12,x x R +∈。已知北京的物价为

()12,a

a p

p ，上海的物价为()

12,b b p p ，并且1212a a b b p p p p =，但11a b p p ≠，22a b p p ≠。又知广州的物

价为()()()12112211,22c c a b a b p p p p p p ⎛⎫=++

⎪⎝⎭

，。若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？

解：老人的效用最大化问题为：

12

12

1122max ..x x x x s t p x p x m

+=，

构造该问题的拉格朗日函数：

()()12121212,,L x x x x m x p p x λλ+--=

拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：