因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被

广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工

具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅

是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发

展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主

要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘

法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、

技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；

(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；

例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++，

则ABC ∆的形状是（ ）

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形

解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用

公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有

b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-

=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---

=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-22

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因

式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++-

=)())((y x a y x y x ++-+

=))((a y x y x +-+

例4、分解因式：2

222c b ab a -+-

解：原式=222)2(c b ab a -+-

=22)(c b a --

=))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---

综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-

（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）2

22y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）

abc c b a 33

33-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2

23x x a ++能用十字相乘法分解因

式，求符合条件的a . 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求

24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。

于是98a ∆=-为完全平方数，1a =

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2

×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数

的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x

练习

6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=