北师版九年级下数学第三章随堂练习75

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北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义圆章节复习(解析版)

圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。

第3章圆达标检测卷 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

第三章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列命题为真命题的是( )A ．两点确定一个圆B ．度数相等的弧相等C ．垂直于弦的直径平分弦D ．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等2．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，那么点P 与⊙O 的位置关系是( )A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝120°，则∠BAC 的度数是( )A ．70°B ．60°C ．50°D ．30°4．如图，AB ，AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°5．如图，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，OB ，OC 分别交AC ，BD 于点E ，F ，则下列结论不一定正确的是( )A ．AC ＝BDB ．OE ⊥AC ，OF ⊥BD C ．△OEF 为等腰三角形 D ．△OEF 为等边三角形6．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O ，交坐标轴于点E ，F ，OE ＝8，OF ＝6，则圆的直径长为( )A ．12B ．10C ．14D ．157．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 等于( )A ．60°B ．65°C ．72°D ．75°8．秋千拉绳长3 m ，静止时踩板离地面0.5 m ，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2 m(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧AB ︵的长为( ) A ．π m B ．2π m C.43π m D.32π m9．如图，P A ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交P A ，PB 于点C 和点D .若△PCD的周长为⊙O 半径的3倍，则t a n ∠APB 等于( )A.125B.3513C.2313D.51210．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a )(a ＞3)，半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是( )A ．4B ．3＋ 2C ．3 2D ．3＋ 3 二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD 的距离为________．12．如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠A ＝________．13．如图，DB 切⊙O 于点A ，∠AOM ＝66°，则∠DAM ＝________．14．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC ＝3，则DE ＝________．15．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52 c m ，装入油后，油深CD 为16 c m ，那么油面宽度AB ＝________.16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC 为半径作CD ︵交OB 于点D .若OA ＝2，则阴影部分的面积为________． 17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O为圆心的⊙O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为________．18．如图，在⊙O 中，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．下列结论：①MC ＝ND ；②AM ︵＝MN ︵＝NB ︵；③四边形MCDN 是正方形；④MN ＝12AB .其中正确的结论有________(填序号)．三、解答题(19题8分，20，21每题10分，22，23每题12分，24题14分，共66分) 19．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC ，若∠P ＝30°，求∠B 的度数．20．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC.(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．21．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于点C，过点C 的直线y＝2x＋b交x轴于点D，且⊙P的半径为5，AB＝4.(1)求点B，P，C的坐标．(2)求证：CD是⊙P的切线．22．如图，CB和CD切⊙O于B，D两点，A为圆周上一点，且∠1:∠2:∠3＝1:2:3，BC＝3，求∠AOD所对扇形的面积S.23．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．24．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠P AC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.(1)求证：P A是⊙O的切线．(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC的长．(3)在满足(2)的条件下，若AF∶FD＝1∶2，GF＝1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．参考答案一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.B 7．D 8.B 9.A 10.B二、11.3 【点拨】如图，连接OC ，设AB ⊥CD 于E .∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，∴OC ＝5.∵CD ⊥AB ，CD ＝8，∴CE ＝4，∴OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3.12．99° 【点拨】易知EB ＝EC .又∠E ＝46°，所以∠ECB ＝67°.从而∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°.在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A ＝180°－81°＝99°.13．147° 【点拨】因为DB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥DB .由∠AOM ＝66°，得∠OAM ＝12×(180°－66°)＝57°.所以∠DAM ＝90°＋57°＝147°. 14．3 【点拨】∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BDE ＝90°.∴∠BDC ＋∠CDE ＝90°. 又∵AB ⊥CD ， ∴∠ACD ＋∠CAB ＝90°. ∵∠CAB ＝∠BDC ， ∴∠ACD ＝∠CDE . ∴AD ︵＝CE ︵.∴AD ︵－AE ︵＝CE ︵－AE ︵. ∴DE ︵＝AC ︵.∴DE ＝AC ＝3. 15．48 cm 16.32＋π12【点拨】连接OE .∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝12OA ＝1.∵OE ＝OA ＝2，∴OC ＝12OE .∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°.∴∠COE ＝60°.在Rt △OCE 中，CE ＝OE 2－OC 2＝3，∴S △OCE ＝12OC ·CE ＝32.∵∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠COE ＝30°.∴S 扇形BOE ＝30π×22360＝π3.又S 扇形COD ＝90π×12360＝π4.因此S 阴影＝S 扇形BOE ＋S △OCE －S 扇形COD ＝π3＋32－π4＝32＋π12. 17.6718．①②④ 【点拨】连接OM ，ON ，易证Rt △OMC ≌Rt △OND ，可得MC ＝ND ，故①正确．在Rt △MOC 中，CO ＝12MO ，可得∠CMO ＝30°，所以∠MOC ＝60°.易得∠MOC ＝∠NOD＝∠MON ＝60°，所以AM ︵＝MN ︵＝NB ︵，故②正确．易得CD ＝12AB ＝OA ＝OM ，∵MC ＜OM ，∴MC ＜CD .∴四边形MCDN 不是正方形，故③错误．易得MN ＝CD ＝12AB ，故④正确．三、19.解：∵P A 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，∠P ＝30°， ∴∠AOP ＝60°. ∴∠B ＝12∠AOP ＝30°.20．(1)证明：如图，连接AD . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵DC ＝BD ，∴AB ＝AC . (2)解：由(1)知AB ＝AC ， ∵∠BAC ＝60°，∠ADB ＝90°， ∴△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝30°. 在Rt △BAD 中，∠BAD ＝30°，AB ＝8， ∴BD ＝4，即DC ＝4. 又∵DE ⊥AC ，∴DE ＝DC ·sin C ＝4·sin 60°＝4×32＝2 3.21．(1)解：如图，连接CA.∵OP⊥AB，∴OB＝OA＝2.∵OP2＋OB2＝BP2，∴OP2＝5－4＝1，即OP＝1.∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB＝90°.∵CP＝BP，OB＝OA，∴AC＝2OP＝2.∴B(2，0)，P(0，1)，C(－2，2)．(2)证明：∵直线y＝2x＋b过C点，∴b＝6.∴y＝2x＋6.∵当y＝0时，x＝－3，∴D (－3，0)． ∴AD ＝1.∵OB ＝AC ＝2，AD ＝OP ＝1， ∠CAD ＝∠POB ＝90°， ∴△DAC ≌△POB . ∴∠DCA ＝∠ABC . ∵∠ACB ＋∠ABC ＝90°，∴∠DCA ＋∠ACB ＝90°，即CD ⊥BC . ∴CD 是⊙P 的切线．22．解：∵CD 为⊙O 的切线， ∴∠ODC ＝90°，即OD ⊥CD . ∵∠1:∠2:∠3＝1:2:3，∴∠1＝15°，∠2＝30°，∠3＝45°. 连接OB .∵CB 为⊙O 的切线， ∴OB ⊥BC ，BC ＝CD . ∴∠CBD ＝∠3＝45°， ∴∠OBD ＝45°. 又∠1＋∠2＝45°，∴∠BOD ＝90°，即OD ⊥OB . ∴OD ∥BC ，CD ∥OB . ∴四边形OBCD 为正方形． ∵BC ＝3， ∴OB ＝OD ＝3. ∵∠1＝15°， ∴∠AOB ＝30°， ∴∠AOD ＝120°. ∴S ＝120360×π×32＝3π.23．解：(1)如图，设点E 是桥拱所在圆的圆心．过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点C ，连接AE ，则CF ＝20 m ．由垂径定理知，F 是AB 的中点，∴AF ＝FB ＝12AB ＝40 m. 设半径是r m ，由勾股定理，得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(CE －CF )2，即r 2＝402＋(r －20)2.解得r ＝50.∴桥拱所在圆的半径为50 m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：当宽60 m 的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN 为轮船顶部的位置．连接EM ，设EC 与MN 的交点为D ，则DE ⊥MN ，∴DM ＝30 m ，∴DE ＝EM 2－DM 2＝502－302＝40(m )． ∵EF ＝EC －CF ＝50－20＝30(m)，∴DF ＝DE －EF ＝40－30＝10(m)．∵10 m>9 m ，∴这艘轮船能顺利通过．24．(1)证明：如图，连接CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠CAD ＋∠ADC ＝90°.又∵∠P AC ＝∠PBA ，∠ADC ＝∠PBA ，∴∠P AC ＝∠ADC .∴∠CAD ＋∠P AC ＝90°.∴P A ⊥DA .而AD 是⊙O 的直径，∴P A 是⊙O 的切线．(2)解：由(1)知，P A ⊥AD ，又∵CF ⊥AD ，∴CF ∥P A .∴∠GCA ＝∠P AC .又∵∠P AC ＝∠PBA ，∴∠GCA ＝∠PBA .而∠CAG ＝∠BAC ，∴△CAG ∽△BAC .∴AG AC ＝AC AB，即AC 2＝AG ·AB . ∵AG ·AB ＝12，∴AC 2＝12.∴AC ＝2 3.(3)解：设AF ＝x ，∵AF ∶FD ＝1∶2，∴FD ＝2x .∴AD ＝AF ＋FD ＝3x .易知△ACF ∽△ADC ，∴AC AD ＝AF AC，即AC 2＝AF ·AD . ∴3x 2＝12，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．∴AF ＝2，AD ＝6.∴⊙O 的半径为3.在Rt △AFG 中，AF ＝2，GF ＝1，根据勾股定理得AG ＝AF 2＋GF 2＝22＋12＝5，由(2)知AG ·AB ＝12， ∴AB ＝12AG ＝1255.连接BD ，如图所示． ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵sin ∠ADB ＝AB AD ， AD ＝6，AB ＝1255， ∴sin ∠ADB ＝255. ∵∠ACE ＝∠ADB ，∴sin ∠ACE ＝255.。

北师大版九年级数学下册第三章3 垂径定理(含答案)

北师大版九年级数学下第三章3 垂径定理（含答案）一、选择题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是( )图1A ．CM ＝DMB.CB ︵＝DB ︵ C ．∠ACD ＝∠ADCD ．OM ＝MB2．如图2所示，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是( )图2A ．4B ．6C ．8D ．103．一块圆形宣传标志牌如图3所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D.现测得AB ＝8 dm ，DC ＝2 dm ，则圆形标志牌的半径为( )图3A ．6 dmB ．5 dmC ．4 dmD ．3 dm4．如图4，⊙O 的半径OA ＝6，以点A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为( )图4A ．6 3B ．6 2C ．3 3D ．3 25．如图5，⊙O 的半径为10，M 是弦AB 的中点，且OM ＝6，则⊙O 中弦AB 的长为( )图5A ．8B ．10C ．12D ．166．如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( )图6A.95B.215C.185D.527．已知⊙O 的半径为15，弦AB 的长为18，点P 在弦AB 上且OP ＝13，则AP 的长为( ) A ．4 B ．14C ．4或14D ．6或14二、填空题8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，那么OM 的长为________．9．如图7所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝2 3，则⊙O 的半径是________．图710.如图8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.图811．如图9所示，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.链接听P31例1归纳总结图912．如图10，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，4)，N(0，－2)，则点P的坐标为________．图10三、解答题13．如图11，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长.图1114．如图12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图1215．如图13，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为矩形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图13附加题探索存在题如图14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图14参考答案1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3，∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4，∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] B 如图，连接OD ，OB ，则O ，C ，D 三点在一条直线上．因为CD 垂直平分AB ，AB ＝8 dm ，所以BD ＝4 dm.设⊙O 的半径为r dm ，则OD ＝(r －2)dm ，由勾股定理得42＋(r －2)2＝r 2，解得r ＝5.故选B.4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，BC ＝2BD ，BC ⊥OA ，∴OD ＝AD ＝3.在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] D6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB 于点M ，则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，∴AC ＝12AB ＝9，则OC ＝OA 2－AC 2＝12.又∵OP ＝13，∴PC ＝OP 2－OC 2＝5. 当点P 在线段AC 上时，AP ＝9－5＝4；当点P 在线段BC 上时，AP ＝9＋5＝14. 故选C. 8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 的最长的弦，CD 为过点M 的最短的弦，CD ⊥AB ，连接OD ，则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)．9．[答案] 2[解析] 如图，连接OC ，则OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∴∠COH ＝60°. ∵OB ⊥CD ，CD ＝2 3，∴CH ＝3， ∴OH ＝1，∴OC ＝2. 10．[答案] 0.8[解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，E ，连接OA .由题意知，OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m. ∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝0.4 m.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2， ∴OC ＝0.3 m ，∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)．故答案为0.8. 11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA . ∵OD ⊥AB ， ∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1.在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3， ∴AB ＝2AD ＝2 3. 故答案为2 3. 12．[答案] (－4，1)13．解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，连接OD ，∴F 为CD 的中点，即CF ＝DF . ∵AE ＝2，EB ＝6， ∴AB ＝AE ＋EB ＝2＋6＝8， ∴OA ＝4，∴OE ＝OA －AE ＝4－2＝2. 在Rt △OEF 中，∵∠DEB ＝30°， ∴OF ＝12OE ＝1.在Rt △ODF 中，OF ＝1，OD ＝4，根据勾股定理，得DF ＝OD 2－OF 2＝15，则CD ＝2DF ＝2 15.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMB ＝∠ONC ＝90°，OM ＝ON . 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， ∵OB ＝OC ，OM ＝ON ， ∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ， ∴BM ＝CN .∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴AB ＝2BM ，CD ＝2CN ， ∴AB ＝CD .15．解：(1)如图，连接OB . ∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 的中点． ∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝12AB ＝3.6 m.设OB ＝OC ＝r m ，则OD ＝(r －2.4)m. 在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得 r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令货船船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M ，N (N 在M 的右边)，连接ON ，设MN 交CO 于点E . ∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为矩形并高出水面2 m ， ∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE ＝OC －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt △OEN 中，根据勾股定理，得EN ＝ON 2－OE 2＝ 3.92－3.52＝ 2.96≈1.72(m)， ∴MN ＝2EN ≈3.44 m ＞3 m ， ∴此货船能顺利通过这座拱桥．附加题解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，∵OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变．连接AB ，如图．∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。

北师大版九年级下册数学第三章《圆》章末提升训练(二)

第三章《圆》章末提升训练（二）一．选择题1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝50°，则∠C＝（）°A．40 B．50 C．130 D．1502．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定3．边长为6的正三角形的外接圆的周长为（）A．πB．2πC．3πD．4π4．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOC＝63°，∠BCA＝25°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．113°D．120°5．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如图，AB为半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，在上取一点M，上取一点N，使得∠AMN＝110°，则下列说法正确的是（）A．点N在上，且NC＞ND B．点N在上，且NC＜NDC．点N在上，且ND＞NB D．点N在上，且ND＜NB7．如图，点C是以AB为直径的圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC＝12．若AB＝m（m为整数），则整数m的值的个数为（）A．0个B．2个C．3个D．4个8．如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5cm，则△PMN的周长是（）A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm9．如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC 的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．1211．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．50°C．70°D．80°12．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4+4 B．4 C．4+8 D．6二．填空题13．正四边形的边长为4，则它的边心距是．14．如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（7，0），直线y＝kx﹣1恰好平分⊙P的面积，那么k的值是．15．如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC＝6，OA＝，则⊙O的半径为．16．把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．17．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O 的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是．三．解答题18．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．19．如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O 上，连接OA、DE、BE．（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE＝CF．（1）求证：BE是半圆O所在圆的切线；（2）若BC＝AD＝6，求⊙O的半径．21．如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O中，且点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F，与⊙O交于点D，⊙O的切线PD交AB的延长线于点P．（1）试判断△BDE的形状，并给予证明；（2）若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的长．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣50°＝130°，故选：C．2．解：∵⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，5cm＞4cm，∴点A在圆外．故选：A．3．解：如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，作OD⊥BC于D，连接OB、OC，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△OBD中，OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝2，∴⊙O的周长＝2π×2＝4π．故选：D．4．解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠BCA＝50°，∴∠BOC＝∠AOC+∠BOA＝113°，故选：C．5．解：连接OA，则OA＝10cm，∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），∵OC＝10cm，∴CD＝OC﹣OD＝4cm，故选：C．6．解：连接MD，OD、ON、BD，如图，∵C是的中点，D是的中点，∴∠BOD＝×90°＝45°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠AMD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣67.5°＝112.5°，∵∠AMN＝110°，∴点N在上，∵∠DMN＝∠AMD﹣∠AMN＝2.5°，∴∠DON＝2∠DMN＝2×2.5°＝5°，∴∠BON＝40°，∴＞，∴BN＞DN．故选：D．7．解：设AC＝x，则BC＝12﹣x，∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），∴∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴m2＝x2+（12﹣x）2，∴m2＝2[（x﹣6）2+36]∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），∴0＜x＜12，∴0≤（x﹣6）2＜36，∴72≤2[（x﹣6）2+36]＜144，又∵m为整数，∴当2[（x﹣6）2+36]＝81或2[（x﹣4）2+16]＝100或2[（x﹣4）2+16]＝121时，m为整数9或10或11，则整数m的值的个数为3个，故选：C．8．解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA＝MC，NC＝NB，∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．故选：D．9．解：∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，∵∠DAC＝k∠CAB，∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，故选：A．10．解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴＝，∴AD＝CE＝2，∵BC＝6，∴△BEC的面积为BC•CE＝×6×2＝6，∵OB＝OE，∴△BOC的面积＝△BEC的面积＝×6＝3，故选：A．11．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠BDC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，故选：C．12．解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB，∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB 边上的高取最大值为2+2，此时面积为4+4．故选：A．二．填空题（共5小题）13．解：连接OA，OB，作OE⊥AB于E，如图所示：∵四边形ABCD是正四边形，∴∠AOB＝360°÷4＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，且OE⊥AB，∴OE＝AB＝2，故答案为：2．14．解：连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，∵⊙P与y轴相切于点C（0，3），∴PC⊥y轴，∴四边形PDOC是矩形，∴PD＝OC＝3，∵A（1，0），B（7，0），∴AB＝7﹣1＝6，∴AD＝AB＝×6＝3，∴OD＝AD+OA＝3+1＝4，∴P（4，3），∵直线y＝kx﹣1恰好平分⊙P的面积，∴3＝4k﹣1，解得k＝1．故答案为：1．15．解：过O作OD⊥BC于D，连接OB，∵BC是⊙O的一条弦，且BC＝6，∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，∴OD垂直平分BC，又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴AD＝BD＝3，∵OA＝，∴OD＝AD﹣OA＝2在Rt△OBD中，OB＝＝＝；故答案为：．16．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2，∴光盘的直径为4，故答案为：4．17．解：连接AD，∵D为BC中点，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，①正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，即AD⊥BC，又BD＝CD，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，②正确；∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC＝AB，∵OA＝OB＝AB，∴OA＝AC，∴③正确，故答案为：①②③④⑤．三．解答题（共4小题）18．（1）证明：连接OD，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵AD平分∠BAC，∴，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∵OB＝OD，OC＝OD，∴△BOD和△COD是等边三角形，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形；（2）解连接OA，∵OB＝OA，∠ABO＝15°，∴∠AOB＝150°，∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，∴AC＝．19．解：（1）∵OD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠AOD＝60°，∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径长为5．20．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠BAF+∠E＝90°，∴BE是半圆O所在圆的切线；（2）解：∵∠DAF＝∠BAF，∴＝，∵BC＝AD，∴＝，∴＝＝，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴⊙O的半径为6．21．解：（1）△BDE为等腰直角三角形，证明如下：如图，∵点E是△ABC的内心，∴BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，∵∠1＝∠2，∠3＝∠6，而∠4＝∠6，∴∠2+∠3＝∠1+∠4，而∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠4，即∠5＝∠DBE，∴DB＝DE，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE为等腰直角三角形；（2）连接OD，如图，∵△BDE为等腰直角三角形，∴BD＝DE＝BE＝×2＝，∵⊙O的切线PD交AB的延长线于点P，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠POD＝90°﹣∠OPD＝60°，∴∠PAD＝∠POD＝30°，在Rt△ABD中，AD＝BD＝×＝，∴AE＝AD﹣DE＝﹣．。

北师大版九年级数学下册第三章圆3.6.3：切线的性质和判定压轴题同步练习(Word版,无答案)

北师大版九年级数学下册第三章圆3.6.3：切线的性质与判定压轴题同步练习1、如图，已知O 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心、OA 的长为半径的⊙O 与BC 相切于M，与AB、AD 分别相交于E、F．（1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若正方形ABCD 的边长为1，求⊙O 的半径；（3）对于以点M、E、A、F 以及CD 与⊙O 的切点为顶点的五边形的五条边，从相等关系考虑，你可以得出什么结论？请给出证明．2、如图，点A 在⊙O 外，射线AO 与⊙O 交于F、G 两点，点H 在⊙O 上，弧FH=弧GH，点D 是弧FH 上一个动点（不运动至F），BD 是⊙O 的直径，连接AB，交⊙O 于点C，连接CD，交AO 于点E，且OA=，OF=1，设AC=x，AB=y．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若DE=2CE，求证：AD 是⊙O 的切线；（3）当DE，DC 的长是方程x2﹣ax+2=0 的两根时，求sin∠DAB 的值．3、如图，以Rt△BCF 的斜边BC 为直径作⊙O，A 为弧BF上一点，且=，AD⊥BC，垂足为D，过A 作AE∥BF 交CB 的延长线于E．求证：（1）AE 是⊙O 切线；（2）（3）若⊙O 直径为d，则．4、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直于AB 于点F，交BC 于点G，∠A=∠BCP．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若点C 在劣弧上运动，其他条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO 成立？（要求画出示意图并说明理由）（3）在满足问题（2）的条件下，你还能推出哪些形如BG2=BF•BO 的正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出不包括BG2=BF•BO 的7 个结论）5、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过CB 的中点D，直线FE 过点D，且FE⊥AC 于E，FB 切⊙O 于B，P 是线段DF 上一动点，过P 作PN⊥AB 于N，PN 与⊙O 交于点Q，与DB 交于点M．（1）求证：FE 是⊙O 的切线；（2）若∠C=30°，AB=2，设DP=x，MN=y，求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）中，当x 为何值时，PQ：PN=1：5．6、如图，B 为线段AD 上一点，△ABC 和△BDE 都是等边三角形，连接CE 并延长交AD 的延长线于点F，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于点M．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）求证：AC2=CM•CF；（3）若CM=，MF=，求BD；（4）若过点D 作DG∥BE 交EF 于点G，过G 作GH∥DE 交DF 于点H，则易知△DGH 是等边三角形．设等边△ABC、△BDE、△DGH 的面积分别为S1、S2、S3，试探究S1、S2、S3 之间的等量关系，请直接写出其结论．7、如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，AD 和过C 点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB，延长AB 交DC 于点E．（1）判定直线DE 与圆O 的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC2=AD•AB；（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）①若CF⊥F，试讨论线段CF、CE 和DE 三者的数量关系；②若EB=5，求图中阴影部分的面积．8、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F，交BC 于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP 是⊙O 的切线．（2）当∠ABC=30°，BG=2，CG=4时，求以PD、PE 的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO 成立？试写出你的猜想，并说明理由．9、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2．E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O′交x 轴于D 点，过点D 作DF⊥AE 于点F．（1）求OA、OC 的长；（2）求证：DF 为⊙O′的切线；（3）小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点E 以外的点P，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．10、已知：AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 外的一点，点E 是AC 上一点，AB=2．（1）如图1，点D 是BC 的中点，当DE 也AC 满足什么关系时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（2）如图2，AC 是⊙O 的切线，点E 是AC 的中点DE∥AB．①求的值；②求阴影部分的面积．11、如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，点P、Q 同时从A 点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿AB、BC 向终点C 运动，速度为每秒2 个单位，点Q 沿AD 向终点D 运动，速度为每秒1 个单位，当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t 秒．（1）动点P 与Q 哪一点先到达自己的终点？此时t 为何值；（2）当O＜t＜2 时，写出△PQA 的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）以PQ 为直径的圆能否与CD 相切？若有可能，求出t 的值或t 的取值范围；若不可能，请说明理由．12、如图，形如三角板的△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O 的直径DE=12cm，矩形DEFG 的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E 始终在BC 所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC 的重叠部分的面积为S（cm2）．当x=0（s）时，点E 与点C 重合．（图（3）、图（4）、图（5）供操作用）．（1）当x=3 时，如图（2），S= cm2，当x=6 时，S= cm2，当x=9 时，S= cm2；（2）当3＜x＜6 时，求S 关于x 的函数关系式；（3）当6＜x＜9 时，求S 关于x 的函数关系式；（4）当x 为何值时，△ABC 的斜边所在的直线与半圆O 所在的圆相切？13、如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，于点D，AD⊥BC 过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F，延长AF 与CB 的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF，且⊙O 的半径长为，求BD 和FG 的长度．14、如图，已知BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，M 为⊙O 上一点，并且∠BMC=60°．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若E，F 分别是边AB，AC 上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O 的半径为2，试问BE+CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．15、如图，以BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边CF 于点A，BM 平分∠ABC 交AC 于点M，AD⊥BC 于点D，AD 交BM 于点N，ME⊥BC 于点E，AB2=AF•AC，cos∠ABD=35，AD=12．（1）求证：△ANM≌△ENM；（2）求证：FB 是⊙O 的切线；（3）证明四边形AMEN 是菱形，并求该菱形的面积S．16、如图1 所示，在△ABC 中，AB=AC=2，∠A=90°，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E，F 的移动过程中，△OEF 是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF 为等腰三角形时动点E，F 的位置；若不能，请说明理由；（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围；（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．17、如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在⊙O 上运动．（1）当点D 运动到与点A、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切；（2）当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；（3）设点D 的横坐标为x，正方形ABCD 的面积为S，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．18、如图，在平面直角坐标系中，直线y=与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，将△ABO 绕原点O 顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB 与线段A´B´相交于点G．动点E 从原点O 出发，以1 个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，设动点E 运动的时间为t 秒．（1）求点D 的坐标；（2）连接DE，当DE 与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G 是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE 所在的直线的解析式；（3）若以动点为E 圆心，以E，连接A′E，t 为何值时，Tan∠EA′B′=？并判断此时直线A′O 与⊙E 的位置关系，请说明理由．。

北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义正多边形与圆的相关计算(解析版)

正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。

【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。

【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3-3垂径定理》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．42．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm3．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17B．18C．19D．204．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P 是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为（）A．B．C．1D．25．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP，若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为（）A．3B．4C．6D．96．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．57．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是（2，﹣1），则点N的坐标是（）A．（2，﹣4）B．（2，﹣4.5）C．（2，﹣5）D．（2，﹣5.5）8．小明想知道一块扇形铁片OAB中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形OAB按如图方式摆放，点O，A，B恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（）A．10cm B．20cm C．D．9．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能二．填空题10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的长是．11．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O 为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．13．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝．14．已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为．15．在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是cm．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是．三．解答题17．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．18．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．19．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．20．如图1是小明制作的一副弓箭，点A、D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC ＝60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．在自然状态下，弓臂BAC的长为cm；（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓箭B2AC2为半圆，求D1D2的长．21．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．22．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？23．车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以O 为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON 的最小值．24．李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝40cm，BD＝320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？25．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD＝BC＝48cm，求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值．参考答案一．选择题1．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．2．解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选：D．3．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故选：C．4．解：作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB＝QP+PB ＝QB，根据两点之间线段最短，P A+PB的最小值为QB的长度，连接AO，OB，OQ，∵B为中点，∴∠BON＝∠AMN＝30°，∴∠QON＝2∠QMN＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°+60°＝90°．∵直径MN＝2，∴OB＝1，∴BQ＝＝．则P A+PB的最小值为．故选：B．5．解：设PC＝r，AO＝R，连接PC，⊙O的弦AB切⊙P于点C，故AB⊥PC，作OD⊥AB，则OD∥PC．又∵AB∥OP，∴OD＝PC＝r，∵阴影部分的面积为9π，∴πR2﹣πr2＝9π，即R2﹣r2＝9，于是AD＝＝3．∵OD⊥AB，∴AB＝3×2＝6．故选：C．6．解：连接OD．由垂径定理得HD＝，由勾股定理得HB＝1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，OH＝R﹣1，DH＝则R2＝（）2+（R﹣1）2，由此得2R＝3，或由相交弦定理得（）2＝1×（2R﹣1），由此得2R＝3，所以AB＝3故选：B．7．解：过点M作MA⊥OP，垂足为A设PM＝x，P A＝x﹣1，MA＝2则x2＝（x﹣1）2+4，解得x＝，∵OP＝PM＝，P A＝﹣1＝，∴OP+P A＝4，所以点N的坐标是（2，﹣4）故选：A．8．解：连接AB，过O作OC⊥AB于C，交于D，则AC＝BC＝AB＝20（cm），OC＝30cm，由勾股定理得：OD＝OA＝＝＝10（cm），∴CD＝OD﹣OC＝（10﹣30）（cm），即的拱高约是（10﹣30）cm，故选：D．9．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．二．填空题10．解：∵OE⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴AD＝DB＝AB＝4，AE＝EF，∴OE是△AFC的中位线，∴CF＝2OE，在Rt△ADO中，AO＝＝＝5，∴CF＝2OE＝10，故答案为：10．11．解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．12．解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE＝AB＝2cm，DE＝CD﹣CE＝4﹣2＝2cm，∵∠AOD＝90°，AO＝OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO＝OD，∠OAD＝∠ADO＝45°，BO＝CD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°∴∠ODC+∠OAB＝90°，∵∠ODC+∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BAO，∵∠B＝∠C＝90°∴△ABO≌△OCD，∴OC＝AB＝2cm，OB＝CD＝4cm，BC＝BO+OC＝AE＝6cm，由勾股定理知，AD2＝AE2+DE2，得AD＝2cm，∴AO＝OD＝2cm，S△AOD＝AO•DO＝AD•OF，∴OF＝cm．13．解：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为△APB中位线．根据三角形中位线定理，EF＝AB＝×10＝5．14．解：①连接OA，如图所示：∵⊙O的直径CD＝10，∴OA＝5，∵弦AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝AB＝×8＝4，在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝3，∴DM＝OD+OM＝5+3＝8；②连接OA，如图所示：同①得：OM＝3，∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2；综上所述，DM的长为8或2，故答案为：8或2．15．解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8，在Rt△AOC中，OC＝＝＝6，即点O到弦AB的距离为6cm．故答案为6．16．解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝．故答案为：．三．解答题17．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．18．（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC；（2）解：连接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC＝×8×8＝32．19．解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O 点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF中，HF＝＝16，∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．20．解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A＝D1B1＝30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝15，∴B1C1＝30∴弓臂两端B1，C1的距离为30，∴弓臂BAC的长为L扇形B1D1C1＝＝20πcm；（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr＝，∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2＝＝10∴D1D2＝10﹣10．故答案为30，20π．21．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．∴DM＝DE．∵DE＝8（cm）∴DM＝4（cm）在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），∴OM＝＝＝3（cm）∴直尺的宽度为3cm．22．解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+c，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4，∵要使高为3米的船通过，∴y＝3，则3＝﹣x2+4，解得：x＝±5，∴EF＝10米；（2）设圆半径r米，圆心为W，∵BW2＝BC2+CW2，∴r2＝（r﹣4）2+102，解得：r＝14.5；在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5，WG＝14.5﹣1＝13.5，根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，即GF2＝14.52﹣13.52＝28，所以GF＝2，此时宽度EF＝4米．23．解：（1）消防车不能通过该直角转弯．理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，∵FH＝EH＝4，∴EF＝4，且∠GEC＝45°，∵GC＝4，∴GE＝GC＝4，∴GF＝4﹣4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角转弯；（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，∴OG＝4，OM＝4，∴OF＝ON＝OM﹣MN＝4﹣4，∴FG＝OG﹣OF＝×8﹣（4﹣4）＝8﹣4＜3，∴C、D在上，设ON＝x，连接OC，在Rt△OCG中，OG＝x+3，OC＝x+4，CG＝4，由勾股定理得，OG2+CG2＝OC2，即（x+3）2+42＝（x+4）2，解得x＝4.5．答：ON至少为4.5米．24．解：如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD∵AB＝CD∴ABCD为矩形∴AC＝BD＝320cm，GN＝AB＝CD＝40cm∴AG＝GC＝160cm，设⊙O的半径为R，得R2＝（R﹣40）2+1602，解得R＝340cm，340×2＝680（cm）．答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm．25．解：过A、B、C三点作⊙O，连接OB．∵AD垂直平分BC∴点O必在AD上，BD＝CD＝24设⊙O的半径为r，则OD＝48﹣r∵OD2+BD2＝OB2∴（48﹣r）2+242＝r2解得，r＝30∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值30cm．。

【四清导航】(北师大版)九年级下册数学习题课件第三章本章复习题

16．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，延长 DO 交⊙O 于点 P，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF. (1)若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧 PC 的长；(结果保留π ) (2)求证：OD＝OE； (3)求证：PF 是⊙O 的切线．
21．如图， A， P， B， C 是⊙O 上的四个点， ∠APC＝∠BPC ＝60°，过点 A 作⊙O 的切线交 BP 的延长线于点 D. (1)求证：△ADP∽△BDA； (2)试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若 AD＝2，PD＝1，求线段 BC 的长．
3．(2015· 黑龙江)如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是( C ) A．60° C．60°或 120° B．120° D．30°或 150°
4 4．在△ABC 中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O 过 B，C 两 5 点，且⊙O 半径 r＝ 10，则 OA 的值( A ) A．3 或 5 B．5 C．4 或 5 D ．4
类型之七
弧长与扇形的面积
12．如图， AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于︵点 C，连接 BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则BC的长为( B ) A．π B．2π C．3π D．5π
13．(2015· 潍坊)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径(图中小圆的直径)是 8 cm，水的最大深度是 2 cm，则杯底有水部分的面积是( A ) 16 A．( π －4 3)cm2 3 8 C．( π －4 3)cm2 3 16 B．( π －8 3)cm2 3 4 D．( π －2 3)cm2 3

北师大版九年级数学下册(BS版)单元清检测内容：第三章

检测内容：第三章得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．若⊙O 的半径为8，圆心O 到直线l 的距离为4，则直线l 与⊙O 的位置关系是( B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定2．如图，在⊙O 中，AB ＝BC ，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB 等于( B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°第2题图第4题图第5题图3．下列四个命题中：①直径是弦；②经过三点一定可以作一个圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④三角形的内心是三个内角平分线的交点．其中正确的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2022·自贡)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD 的度数是( C )A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB ＝50°，则∠BOD 等于( D )A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°6．(2022·泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点D ，DO 的延长线交⊙O 于点E .若AC ＝42 ，DE ＝4，则BC 的长是( C )A ．1B ．2C ．2D ．4第6题图第7题图第8题图7．如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB ，AD 相切，且DE 与⊙O 相切于点E .若⊙O 的半径为5，且AB ＝11，则DE 的长为( B )A ．5B ．6C ．30D ．1128．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与边AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，若∠DEF ＝52°，则∠BOC 的度数是( B )A ．121°B ．128°C ．146°D ．166°9．(2022·安顺)如图，边长为2 的正方形ABCD 内接于⊙O ，P A ，PD 分别与⊙O 相切于点A 和点D ，PD 的延长线与BC 的延长线交于点E ，则图中阴影部分的面积为( C )A ．5－πB ．5－π2C ．52 －π2D ．52 －π4第9题图第10题图第11题图10．如图，在平面直角坐标系中，分别以点A (－2，3)，B (3，4)为圆心，以1，2为半径作⊙A ，⊙B ，M ，N 分别是⊙A ，⊙B 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为( C )A ．74B ．74 ＋3C ．74 －3D ．3二、填空题(每小题3分，共15分)11．(2022·凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos ∠ACB 的值是13__． 12．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC ＝30°，AC ＝6，则AC 的长为__2π__．第12题图第13题图第14题图第15题图13．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，且∠ACB ＝130°，在这个图中，要画出下列度数的圆周角：30°，40°，50°，90°，其中仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有__40°，50°和90°__．14．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则图中阴影部分的面积为__94π__(结果保留π). 15．(2022·河南)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22 ，点D 为AB 的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ ，当∠ADQ ＝90°时，AQ 的长为．三、解答题(共75分)16．(8分)如图，已知OA ，OB 是⊙O 的两条半径，C ，D 分别为OA ，OB 上的两点，且AC ＝BD ，求证：AD ＝BC .证明：∵OA ，OB 是⊙O 的两条半径，∴AO ＝BO .又∵AC ＝BD ，∴OC ＝OD .在△OCB和△ODA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BO ＝AO ，∠O ＝∠O ，OC ＝OD ，∴△OCB ≌△ODA (SAS)，∴BC ＝AD17．(9分)某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)若有水部分的水面宽AB ＝32 cm ，水最深处的地方水深CD 为8 cm ，求这个圆形截面的半径．解：(1)如图所示(2)连接OA ，易知点D 为AB 的中点．∵AB ＝32 cm ，∴AD ＝12AB ＝16 cm.设这个圆形截面的半径为x cm ，又∵CD ＝8 cm ，∴OD ＝(x －8) cm.在Rt △OAD 中，∵OD 2＋AD 2＝OA 2，即(x －8)2＋162＝x 2，解得x ＝20，∴这个圆形截面的半径为20 cm18．(9分)如图，在△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，以点O 为圆心，12OA 的长为半径作圆，分别交OA ，OB 于点C ，D ，弦MN ∥AB .(1)判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：MC ＝ND .解：(1)AB 与⊙O 相切，理由如下：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B ＝12 (180°－∠AOB )＝12 ×(180°－120°)＝30°，∴OE ＝12OA ＝OC ，∴AB 是⊙O 的切线，∴AB 与⊙O 相切(2)连接CD ，延长EO 交MN 于点F ，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝12 ×(180°－∠AOB )＝12×(180°－120°)＝30°＝∠A ，∴CD ∥AB .又∵OE ⊥AB ，∴OE ⊥CD ，∴CE ＝DE .又∵MN ∥AB ，∴EF ⊥MN ，∴ME ＝NE ，∴ME －CE ＝NE －DE ，即MC ＝ND19．(9分)(2022·济南)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，交AB 的延长线于点D ，连接AC ，BC ，∠D ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E ，过点B 作BF ⊥CE ，垂足为F .(1)求证：CA ＝CD ；(2)若AB ＝12，求线段BF 的长．解：(1)证明：连接OC ，∵CD 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥CD ，∴∠COD ＝90°－∠D＝90°－30°＝60°，∴∠A ＝12∠COD ＝30°＝∠D ，∴CA ＝CD (2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵∠A ＝30°，CE 平分∠ACB ，∴BC ＝12AB ＝12 ×12＝6，∠BCE ＝12∠ACB ＝45°.又∵BF ⊥CE ，∴BF ＝BC ·sin ∠BCE ＝6sin 45°＝6×22＝3220．(9分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E .(1)试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE ＝33 ，DF ＝3，求图中阴影部分的面积．解：(1)DE 与⊙O 相切，理由如下：连接DO ，∵DO ＝BO ，∴∠ODB ＝∠OBD .又∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，∴∠EBD ＝∠OBD ，∴∠EBD ＝∠ODB ，∴DO ∥BE .又∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线，∴DE 与⊙O 相切(2)∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，DE ⊥BE ，DF ⊥AB ，∴DE ＝DF ＝3，∴BD ＝DE 2＋BE 2 ＝32＋（33）2 ＝6，∴sin ∠DBF ＝DF BD ＝36 ＝12，∴∠DBF ＝30°，∴∠DOF ＝2∠DBF ＝60°，∴OD ＝DF sin ∠DOF ＝3sin 60° ＝332＝23 ，OF ＝DF tan ∠DOF ＝3tan 60° ＝33 ＝3 ，∴S 阴影＝S 扇形AOD －S Rt △DOF ＝60πOD 2360 －12OF ·DF ＝60π×（23）2360 －12 ×3 ×3＝2π－33221．(9分)如图，以AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点C ，过点O 作OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点F ，连接BD 交AC 于点G ，连接CD ，在OD 的延长线上取一点E ，连接CE ，使∠DEC ＝∠BDC .(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径是3，DG ·DB ＝9，求CE 的长．解：(1)证明：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵OD ∥BC ，∴∠CFE ＝∠ACB ＝90°，∴∠DEC ＋∠ACE ＝90°.又∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ＝∠BDC ＝∠DEC ，∴∠OCA ＋∠ACE ＝90°，即∠OCE ＝90°，∴OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线(2)由(1)得∠CFE ＝90°，∴OF ⊥AC ，∴AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠DBC .又∵∠BDC ＝∠BDC ，∴△CGD ∽△BCD ，∴CD BD ＝DG CD，∴CD 2＝DG ·DB ＝9，∴CD ＝3.又∵OC ＝OD ＝3，∴△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴在Rt △OCE 中，CE ＝OC ·tan ∠COD ＝3tan 60°＝3×3 ＝3322．(10分)(2022·潍坊)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A 处，水沿射线AD 方向泻至水渠DE ，水渠DE 所在的直线与水面PQ 平行．设筒车为⊙O ，⊙O 与直线PQ 交于P ，Q 两点，与直线DE 交于B ，C 两点，恰有AD 2＝BD ·CD ，连接AB ，AC .(1)求证：AD 为⊙O 的切线；(2)筒车的半径为3 m ，AC ＝BC ，∠C ＝30°，当水面上升，A ，O ，Q 三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度(结果精确到0.1 m ，参考值：2 ≈1.4，3 ≈1.7).解：(1)证明：如图，连接AO 并延长交⊙O 于点G ，连接BG ，则∠ACB ＝∠AGB .∵AG是⊙O 的直径，∴∠ABG ＝90°，∴∠BAG ＋∠AGB ＝90°.∵AD 2＝BD ·CD ，∴AD CD ＝BD AD.又∵∠ADB ＝∠CDA ，∴△DAB ∽△DCA ，∴∠DAB ＝∠ACB ＝∠AGB ，∴∠DAB ＋∠BAG ＝90°，即∠DAG ＝90°，∴AD ⊥AO ，∴AD 为⊙O 的切线(2)当水面上升，A ，O ，Q 三点恰好共线时，Q 与G 重合，水面到GH (GH ∥PQ ).过点O 作OM ⊥GH 于点M ，如图，∵CA ＝CB ，∠C ＝30°，∴∠ABC ＝75°，∴∠CBG ＝∠ABG －∠ABC ＝90°－75°＝15°.又∵BC ∥PQ ∥GH ，∴∠BGH ＝∠CBG ＝15°，∴∠AGM ＝∠AGB ＋∠BGH ＝∠C ＋∠BGH ＝30°＋15°＝45°，∴OM ＝OG ·sin ∠AGM ＝3sin 45°＝3×22 ＝322 (m)，∴筒车在水面下的最大深度为3－322≈0.9(m)23．(12分)【证明体验】如图①，⊙O 是等腰△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，在AC 上取一点P ，连接AP ，BP ，CP ，求证：∠APB ＝∠P AC ＋∠PCA ；【思考探究】如图②，在(1)的条件下，若点P 为AC 的中点，AB ＝6，PB ＝5，求P A 的长；【拓展延伸】如图③，⊙O 的半径为5，弦BC ＝6，弦CP ＝5，延长AP 交BC 的延长线于点E ，且∠ABP ＝∠E ，求AP ·PE 的值．解：【证明体验】证明：∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ，∴∠APB ＝∠ABC ＝∠ABP ＋∠CBP ＝∠PCA ＋∠P AC【思考探究】如图②，延长BP 至点D ，使PD ＝PC ，连接AD ，∵点P 为AC 的中点，∴P A ＝PC ，∴P A ＝PC ＝PD ，∠ABP ＝∠CBP ，∴∠D ＝∠P AD ，∴∠APB ＝∠P AD ＋∠D ＝2∠P AD .又∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ，∴∠APB ＝∠ABC ＝∠ABP ＋∠CBP ＝2∠ABP ，∴∠ABP ＝∠P AD ＝∠D ，∴AD ＝AB ＝6.又∵∠D ＝∠D ，∴△DAP ∽△DBA ，∴P A AB＝AD BD .又∵BD ＝BP ＋PD ＝5＋P A ，∴P A 6 ＝65＋P A，解得P A ＝4(负值已舍去) 【拓展延伸】如图③，连接OP ，OC ，过点C 作CH ⊥BP 于点H ，∵OP ＝OC ＝PC ＝5，∴△POC 为等边三角形，∴∠POC ＝60°，∴∠PBC ＝12 ∠POC ＝30°，∴CH ＝12 BC ＝12×6＝3，BH ＝BC ·cos ∠PBC ＝6cos30°＝6×32＝33 ，∴PH ＝PC 2－CH 2 ＝52－32 ＝4，∴PB ＝PH ＋BH ＝4＋33 .∵四边形ABCP 是⊙O 的内接四边形，∴∠PCE ＝180°－∠BCP ＝∠BAP .又∵∠E ＝∠ABP ，∴△EPC ∽△BP A ，∴PE BP ＝PC AP ，∴AP ·PE ＝PC ·BP ＝5×(4＋33 )＝20＋153。

北师大版九年级数学下册全册同步练习含答案

北师大版初中数学九年级下册全册同步练习1.1锐角三角函数一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( )A． sin A=53B．cos A=23C．sin A=23D．tan A=522．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )A．35B．45C．43D．343．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝35，AB＝4，则AD的长为 ( )A．3 B．16 3C. 203D．165二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝34，则梯子AB的长度为米．5．若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =163，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝35．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案 1．C[提示：sinA=BCAB．] 2．D[提示：过A 点作垂线交底部于C 点，则△ACB 为直角三角形，∴BC ＝2222106AB AC -=-＝8(m)，∴tan a ＝68＝34．故选D ．]3．B[提示：∠ADE 和∠EDC 互余，∴cos a ＝sin ∠EDC ＝35，sin ∠EDC ＝3,45EC EC DC ==∴EC =125.由勾股定理，得DE ＝165．在Rt △AED 中，cos a ＝16355DE AD AD ==,∴AD＝163．故选B ．] 4．4[提示：在Rt △BCA 中，AC ＝3米，cos ∠BAC ＝34AC AB =，所以AB ＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin 2a ＋cos 2a ＝l ，∴a ＝48°．] 6．提示：sin A ＝13，cos A ＝223，tan A =24.7．解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD ，∴CD 2＝AD ·DB ＝16，∴CD =4，∴AC =22203AD CD +=．∴sin A ==35CD AC =，cos A ＝45AD AC =，tan A =34CD AD =. 8．解：(1)如图l －27所示，作BH ⊥OA ，垂足为H ．在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH =3，∴OH ＝4，∴点B 的坐标为(4，3)． (2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6．在Rt △AHB 中，∵BH =3，∴AB ＝22223635BH AH +=+=，∴cos ∠BAO=635AH AB == 255． 9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，∴BD ＝12B C = 12AD ，即AD ＝2BD ，∴AB ＝225BD AD +=BD ，∴tan ∠ABC=ADBD=2,sin ∠ABC=AD AB =255 (2)作BE ⊥AC 于E ，在Rt △BEC 中，sinC=sin ∠ABC=255.又∵sin C=,BEBC.5BE故BE=.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A2.若0°＜＜90°，且|sin －41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（）A ．3B ．33 C ．21 D ．233．如图1—37所示，在△ABC 中，∠A =30°，tan B ＝32，AC ＝23，则AB 的长是 ( ) A ．3＋3 B ．2＋23 C. 5 D ．924．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( ) A ．32a B ．a C.12a D ．12a 或32a 二、选择题5．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝2，则tan2B= ． 6．若a 为锐角，且sin a =22,则cos a = ． 7．在Rt △ACB 中，若∠C ＝90°，sin A ＝32,b ＋c ＝6，则b = ． 8．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________； (2)已知为锐角，且cos(90°－)＝21，则＝________；(3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－12.(2) 2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A ，B 两处观测工厂C ，测得∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，则A ，B 两处到工厂C 的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝53,若关于x的方程(53＋b)x2＋2ax＋(53－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案 1． D ； 2 。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（）A．B．3πC．5πD．12π2．如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠ABD＝15°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°3．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（）A．9B．8C．D．34．如图，⊙O的半径为，AB与CD为⊙O的两条平行弦，∠CDE＝30°，AD＝2，则弦BE的长为（）A．3B．3.5C．D．5．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．点O是△ABD的内心D．点O是△ABD的外心6．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，4）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y 轴交于A，C两点，则点B的坐标是（）A．（4﹣2，4）B．（4，4﹣）C．（4，4﹣2）D．（4，2﹣3）7．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（）A．1B．C．D．8．正六边形的周长为6，则它的面积为（）A．B．C．D．9．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB 的内切圆半径是（）A．B．5（﹣1）C．5（+1）D．10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BC＝CD，其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题11．点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO＝50°，则∠CAB为°．12．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P 在⊙O的．（填“内部”、“外部”、“上”）13．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF 作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．14．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠P AQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△P AQ；②当∠P AQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△P AQ；③当∠P AQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△P AQ；其中所有正确结论的序号是．15．如图，点A，B，C，D在⊙O上，弧CB＝弧CD，∠CAD＝28°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．16．如图，在⊙B中，弧AC所对的圆心角∠ABC＝50°，点E是弧AC上的动点，以BC、CE为邻边构造平行四边形BCED．当∠A＝°时，线段AD最短．三．解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB 边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直径．18．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE 是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．19．如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．（1）求证：CD是半圆O的切线．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．20．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD ＝126°，求∠AGB的度数．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB 于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF．（1）求证：EF＝BF．（2）若CD：BD＝1：3，AC＝2，求EF的长．22．如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P 与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积；（4）求OA的长．（结果保留π）23．如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA．连接OC，过点A作AD ⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD＝12，求MN的长．参考答案一．选择题1．解：S扇形＝＝12π，故选：D．2．解：∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝15°，∴∠ADC＝90°﹣15°＝75°，故选：C．3．解：连接AC，OC，∵CD⊥OA，垂足为D，BC＝，∴∠ADC＝∠ODC＝90°，CD＝BC＝，∵AC＝3，∴AD＝，∵OA＝OC，∴OD＝OC﹣AD＝OC﹣1，在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2，即OC2＝（）2+（OC﹣1）2，解得OC＝，即⊙O的半径长为，故选：C．4．解：∵AB∥CD，连接OC，OE，BC、CE，∵∠CDE＝30°，∴∠COE＝60°，∠CBE＝∠CDE＝30°，∴△OCE是等边三角形，∴CE＝，过点C作CH⊥BE交BE于点H，在Rt△BCH中，CH＝＝1，BH＝，在Rt△CEH中，，∴．故选：D．5．解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．可知：点O到点A，B，D的三点的距离相等，所以点O是△ABD的外心，故选：D．6．解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，则MD⊥x轴，∵点M的坐标为（2，4），∴CE＝BE＝2，BM＝DM＝4，∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∴BC∥x轴，∴BC＝2CE＝4，在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，∴DE＝MD﹣ME＝4﹣，∴点B的坐标为（4，4﹣），故选：C．7．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OM⊥AD，垂足为M，由圆的对称性可知，点A、点D是⊙O的三等分点，四边形BCFE是正方形，∴∠AOD＝×360°＝120°，∠BOC＝×360°＝90°，在Rt△AOM中，OA＝2，∠AOM＝60°，∴OM＝OA＝1，AM＝OA＝，在Rt△BOM中，∠BOM＝45°，OM＝1，∴BM＝OM＝1，∴AB＝AM﹣BM＝﹣1，∴8个阴影三角形的面积和为：×（﹣1）（﹣1）×8＝16﹣8，故选：C．8．解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC＝×360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∵正六边形ABCDEF的周长为6，∴BC＝6÷6＝1，∴OB＝BC＝1，∴BM＝BC＝，在Rt△BOM中，OM＝＝＝，∴S△OBC＝BC•OM＝×1×＝，∴该六边形的面积为：×6＝．故选：D．9．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝＝8（cm），∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∵∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AD2，∴AD2+AD2＝102，∴AD＝5cm，∴AD＝BD＝5cm；∴△ABD等腰直角三角形，设△ABD内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm，得正方形DGIE，∴AE＝AF＝BG＝BF＝AD﹣DE＝5﹣r，∴5﹣r+5﹣r＝10，解得r＝5（﹣1）cm，∴△ADB的内切圆半径是5（﹣1）cm．故选：B．10．解：如图，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，故①正确；∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；∴＝，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADC＝∠EDA，∴△ADC∽△EDA，∴＝，∴AD2＝DE•CD，故③正确；∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD和△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，∵∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠ADC+∠ADF＝90°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CF＝CD，∴AC+AF＝AC+BC＝CD，故④正确．∴正确的结论是①②③④．故选：A．二．填空题11．解：如图1，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠CPO＝50°，∴∠OCP＝40°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝∠OCP＝20°；如图2，∠CBA＝20°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝70°．综合以上可得∠CAB为20°或70°．故答案为：20或70．12．解：解方程x2﹣4x﹣5＝0，得x＝5或﹣1，∵d＞0，∴d＝5，∵⊙O的半径为4，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故答案为：外部．13．解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，∵OF⊥BC，∴FJ⊥AD，∴∠AJF＝∠FJD＝90°，∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝3，∵OJ⊥DB′，∴DJ＝JB′＝3，∴AD＝BC＝3+3+3＝9，∴BF＝BC﹣CF＝6，由翻折的性质可知，FB＝FB′＝6，∴FJ＝＝＝3，∴AB＝JF＝3，在Rt△AEB′中，则有x2+32＝（3﹣x）2，∴x＝，∴AE＝．故答案为：．14．解：①当∠P AQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△P AQ的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠P AQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△P AQ，故②正确；③当∠P AQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△P AQ，故③正确；故答案为：②③．15．解：∵＝，∠CAD＝28°，∴∠CAD＝∠CAB＝28°，∴∠DBC＝∠DAC＝28°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣28°﹣28°＝74°．故答案为：74°．16．解：如图，延长CB交⊙B于点F，连接BE，AF，DF．∵四边形BCED是矩形，∴BC＝DE，BC∥DE，∴BF＝BC＝DE，BF∥DE，∴四边形BEDFF是平行四边形，∴FD＝BE＝定值，∴点的运动轨迹是以F为圆心，FB长为半径的圆，∵AD≥AF﹣DF，AF，DF是定值，∴当A，D，F共线时，AD最短，此时∠BAD＝∠AFB＝∠ABC＝25°，故答案为：25．三．解答题17．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由：连接DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝10，∴BD＝＝＝8，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴，∴，∴⊙O直径的长为．18．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．19．（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB＝90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO＝90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD＝BF＝20，DF＝AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE＝AD＝20，EC＝BC，∵CD＝50，∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，∴BC＝30，∴CF＝BC﹣BF＝10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝20，∴AB＝DF＝20，∴BC的长为30，AB的长为20．20．解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．所以∠AGB的度数为108°．21．（1）证明：连接DE，如图，∵BD为直径，∴∠DBF＝∠DEB＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠ABF＝90°，∴∠4＝∠ABF，∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，∴∠6＝∠ABF，∴EF＝BF；（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∵CD：BD＝1：3，∴DE：BD＝1：3，∵∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝＝3，∴AB＝3AC＝3×2＝6，∴BC＝＝＝8，∴CD＝BC＝2，∴AD＝＝2，∵∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，∴△ACD∽△AFB，∴＝，即＝，∴BF＝2，∴EF＝2．22．解：（1）∵⊙P的直径MN＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅲ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2；（3）由弧长公式可得，点N所经过路径长为＝2π，∵S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，∴半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π；（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，∴OA的长为：π+4+π＝π+4．23．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD⊥OC，∴∠AEC＝90°，∴∠ADB＝∠AEC，∵CA是⊙O的切线，∴∠CAO＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△ACE和△BAD中，，∴△ACE≌△BAD（AAS）；（2）解：连接AM，如图，∵AD⊥OC，AD＝12，∴AE＝DE＝AD＝6，∵△ACE≌△BAD，∴BD＝AE＝6，CE＝AD＝12，在Rr△ABD中，AB＝＝6，在Rt△ABC中，BC＝＝6，∵∠CEN＝∠BDN＝90°，∠CNE＝∠BND，∴△CEN∽△BDN，∴＝＝2，∴BN＝BC＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，即AM⊥CB，∵CA＝BA，∠CAB＝90°，∴BM＝BC＝3，∴MN＝BM﹣BN＝．。

2022年强化训练北师大版九年级数学下册第三章圆同步练习试卷(无超纲带解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°2、如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．D．3、已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断4、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）2B．2C．24m2D．2A．5、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m6、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O 与⊙A的位置关系是（）A．点O在⊙A内B．点O在⊙A外C．点O在⊙A上D．以上都有可能7、如图，在圆中半径OC ∥弦AB ，且弦AB ＝CO ＝2，则图中阴影部分面积为（）A ．16π B ．13π C ．23π D ．π8、计算半径为1，圆心角为60︒的扇形面积为（）A ．3πB ．6πC ．2πD ．π9、如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A ．2πB ．4πC ．2π+12D ．4π+1210、已知⊙O 的半径为3，点P 到圆心O 的距离为4，则点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点A ，B ，C 均在66⨯的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为_________．2、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，4AC =cm ，3BC =cm ，5AB =cm ，则CPB △的面积为_______cm 2．3、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠BPC 的度数为_____．4、如图，⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为 ___．5、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O （纸片），其半径为r ．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O 的面积．作法：①如图1，取⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ；②如图2，以点A 为圆心，OA 为半径画弧交直线l 于点C ；③将纸片⊙O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处；④取CB '的中点M ，以点M 为圆心，MC 为半径画半圆，交射线BA 于点E ；⑤以AE 为边作正方形AEFG ．正方形AEFG 即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为⊙O 的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC =_____________，MA =____________（用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME △中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE =_________（用含r 的代数式表示）．由此可得正方形o AEFG S S =．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O 上，过点A 作AE CD⊥的延长线于点E，已知DA平分BDE∠．（1）求证：AE是O切线；（2）若4AE=，6CD=，求O的半径和AD的长．2、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC3、已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．∠=∠．4、如图，AB是O的直径，C为O上一点，DCA B（1）求证：CD是O的切线．（2）若DE AB⊥，垂足为E，DE交AC于点F，求证：DCF是等腰三角形．5、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC= ．∵AB是直径,∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．∴△ABC是等腰直角三角形．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2、D【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据垂径定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根据四边形MONP是正方形，故可求解．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，∵OB=5，BM= 142AB=，∴OM3=∵AB=CD=8，∴ON=OM=4，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴OP．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．3、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为3，若PO＝2，∴2＜3，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．4、D【分析】先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案【详解】解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，由题意得：BC=4cm，∴∠BOC =360°÷6=60°，又∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴12cm 2BP BC ==，4cm OB BC ==，∴OP =，∴21=2OBC S BC OP ⋅△，∴2=6OBC ABCDEF S S △正六边形，故选D ．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．5、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，当O ，P 共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．6、B【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．【详解】解：∵点A （﹣4，﹣3），∴5OA =，∵⊙A 的半径为4，∴54>，∴点O 在⊙A 外；故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．7、C【分析】连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB ．∵OC AB ∥，∴OAB CAB S S =△△．∴S 阴=S 扇形AOB ．∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，∴AO =BO =CO ．∵AB =CO =2，∴AO =BO =AB =2．∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∴S 阴=S 扇形AOB =260223603ππ⨯=．故选：C【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．8、B【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】2260113603606n r S πππ︒⨯⨯===︒︒扇形故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式2360n r S π=︒扇形是解题的关键． 9、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．10、A【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P 与⊙O 的位置关系．【详解】解：∵⊙O 的半径分别是3，点P 到圆心O 的距离为4，∴d ＞r ，∴点P 与⊙O 的位置关系是：点在圆外．故选：A ．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．二、填空题1、5【分析】根据圆的确定方法做出过A ，B ，C 三点的外接圆，从而得出答案．【详解】如图，分别作AB 、BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的外接圆，由图可知，⊙O 还经过点D 、E 、F 、G 、H 这5个格点，故答案为5．【点睛】此题考查了确定圆的方法，三角形的外接圆，解题的关键是根据题意确定三角形ABC 外接圆的圆心． 2、1.5【分析】根据BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，得出点P 是ABC ∆的内心，并画出ABC ∆的内切圆，再根据切线长定理列出方程组，求出BCP ∆的边BC 上的高，进而求出其面积．【详解】解：BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，∴点P 是ABC ∆的内心．如图，画出ABC ∆的内切圆，与BC 、AC 、AB 分别相切于点G 、M 、N ，且连接PG ，设CG x =，BG y =，AF z =，得方程组：354x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1PG x ∴==，CPB ∴∆的面积21131 1.5()22BC PG cm =⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：1.5．【点睛】此题主要考查三角形内切圆的应用，解题的关键是熟知三角形内切圆的性质，根据其性质列出方程组求解．3、45°度【分析】连接OB 、OC ，根据正方形的性质得到∠BOC 的度数，利用圆周角与圆心角的关系得到答案．【详解】解：连接OB 、OC ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=1452BOC∠=︒，故答案为：45°．【点睛】此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记各知识点是解题的关键．4、25 6π【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【详解】如图，连接BO，OC，OA，由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，∴∠AOB ＝∠OBC ＝60°，∴OA∥BC，∴OBC ABC S S =，2605253606BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇．故答案为：256π．【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇．5、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）()12r π+，()12r π-；（3） 2r π 【分析】（1）根据切线的定义判断即可．（2）由CB '=AC +AB '，2CB MC '=计算即可；根据MA MC AC =-计算即可．（3）根据勾股定理，得2AE 即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．【详解】解：（1）∵⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ，∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）根据题意，得AC =r ，AB '=22πr =πr ， ∴CB '=AC +AB '=r +πr ， ∴2CB MC '==()12r π+；∵MA MC AC=-，∴MA=()12rπ+-r=()12rπ-，故答案为：()12rπ+，()12rπ-；（3）如图，连接ME，根据勾股定理，得22222AE ME MA MC MA=-=-=()()22 11 [][] 22r r π+π--=2rπ；故答案为：2rπ．【点睛】本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．三、解答题1、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．2、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∴∠BAC＝1∠CAD2∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝1∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．3、（1）见解析；（2【分析】（1）先由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠BAC+∠B＝90°．再由平行线的性质得∠AOP＝∠B，然后证∠P+∠AOP＝90°，则∠PAO＝90°，即可得证；AB＝3，再由扇形面积减去三角形面积即可解决问（2）先证△OAP≌△BCA（AAS），得BC＝OA＝12题．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∴∠AOP ＝∠B ，∴∠BAC +∠AOP ＝90°，∵∠P ＝∠BAC ，∴∠P +∠AOP ＝90°，∴∠PAO ＝90°，∴PA ⊥OA ，∵OA 是的⊙O 的半径，∴PA 为⊙O 的切线；（2）解：如图，连接OC ，由（1）得：∠PAO ＝∠ACB ＝90°，在△OAP 和△BCA 中，PAO ACB P BAC OP BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OAP ≌△BCA （AAS ），∴OP ＝AB ＝6，BC ＝OA ＝OC ＝12AB ＝3，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∴S 扇形AOC ＝21203360π⨯＝3π， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝30°，∴OH ＝12OA ＝32，∴AH ∴AC ＝2AH ＝∴S△AOC ＝12⨯AC •OH ＝12⨯32∴图中阴影部分面积＝S 扇形AOC ﹣S △AOC 【点睛】本题考查了切线的证明和扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握切线证明方法和扇形面积公式．4、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）连接OC ，OC 为半径，直径所对的圆周角为90︒，90ACB ∠=︒；由题意可知90BCO ACO DCA ACO ∠+∠=∠+∠=︒，进而可得出CD 是O 的切线．（2）由题意知EFA B ∠=∠，对顶角EFA DFC ∠=∠，B ACD ∠=∠，故有FCD DFC ∠=∠，DC DF =；进而得出DEF 是等腰三角形．【详解】解：（1）证明：如图，连接OCAB是O的直径ACB∴∠=︒90=OC OB∴∠=∠B BCO∠=∠DCA BBCO DCA∴∠=∠BCO ACO DCA ACO∴∠+∠=∠+∠=︒90∴∠=∠=︒DCO ACB90∴⊥OC CD又OC过圆心O∴是O的切线．CD（2）DE AB∵⊥∴∠=︒FEA90∴∠+∠=︒=∠+∠A EFA A B90∴∠=∠=∠=∠EFA B ACD DFC∴∠=∠FCD DFC∴=DC DF∴是等腰三角形．DEF【点睛】本题考察了圆周角、切线、等腰三角形等知识点．解题的关键与难点在于找角与角之间相等或互余的关系．5、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．【详解】（1）①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.（2）证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC=BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．。

北师大版九年级数学下册 3.7切线长定理同步练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝( ) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是( ) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为( )A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数( )A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为( )A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( ) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为______．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为______．11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝______．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB 于点C ，D.若PA ＝4，则△PCD 的周长为______．13．如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D ，E.若点D 是AB 的中点，则∠DOE ＝______．14．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝60°，OA ＝2，求BC 的长．B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为______．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是______．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．19．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．C组(综合题)20.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.(1)求证：BO⊥CO；(2)求BE和CG的长．21.如图，P为⊙O外一点，PA，PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.22．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM，BN于点D，C，且DA＝DE.求证：(1)直线CD是⊙O的切线；(2)OA2＝DE·CE.参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.7切线长定理同步练习题A组(基础题)1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．52．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是(D) A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为(C)A．60°B．90°C．120° D．无法确定4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数(C)A．50° B．70° C．80° D．130°5．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为(A)A．20 cm B．15 cm C．10 cm D．随直线MN的变化而变化6．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(D) A．DC＝DT B．AD＝2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)A. 2B. 3 C．2 D．38.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为(B)A．50 B．52 C．54 D．569．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．如果AB＝5，AC＝3，那么BD 的长为2．10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径11.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D.若PA＝4，则△PCD的周长为8．13．如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°.14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长．解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP. 又∵∠P ＝60°，∴△ABP 是等边三角形． ∴∠PAB ＝60°. ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAC ＝90°.∴∠BAC ＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°. ∴BC ＝12AC ＝OA ＝2.B 组(中档题)15．如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切．若AO ＝10，则⊙O 的半径长为25．16．如图，AB 为半圆O 的直径，AD ，BC 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于点D ，BC 与CD 相交于点C ，连接OD ，OC ，对于下列结论：①OD 2＝DE ·CD ；②AD ＋BC ＝CD ；③OD ＝OC ；④S 梯形ABCD ＝12CD ·OA ；⑤∠DOC ＝90°.其中正确的是①②⑤．(只需填上正确结论的序号)17．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连接PO ，与AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；(2)若PO ＝20 cm ，求△AOB 的面积．解：(1)∵∠C ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.∴∠APB ＝360°－90°－90°－120°＝60°. (2)∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴PA ＝PB.∴点P 在AB 的垂直平分线上．同理，点O 在AB 的垂直平分线上． ∴PO 垂直平分AB.∵∠APB ＝60°，∠AOB ＝120°，∴∠OPB ＝∠OPA ＝30°，∠POB ＝∠POA ＝60°. ∵PO ＝20 cm ，∴OB ＝10 cm. ∴OD ＝OB ·cos ∠POB ＝5 cm ， BD ＝OB ·sin ∠POB ＝5 3 cm. ∴AB ＝2BD ＝10 3 cm.∴S △AOB ＝12×103×5＝253(cm 2)．18．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B ，C 两点(圆柱体容器的直径不易直接测量)．(1)写出此图中相等的线段；(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法(写出主要解题过程)．解：(1)根据切线长定理，知AB ＝AC. (2)连接OB ，OA. ∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAB ＝60°. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB ·tan ∠OAB ＝3AB. ∴圆的直径为23AB.故只需测得AB 的长，就可求得圆的直径．19．如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．解：设AF ＝x.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠CBA ＝90°. ∴DA ⊥AB ，CB ⊥AB.又∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴AD ，BC 是⊙O 的切线．∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点，∴EF ＝AF ＝x ，CE ＝CB ＝1.∴FD ＝1－x ，CF ＝CE ＋EF ＝1＋x.在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＝CD 2＋DF 2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x ＝14. ∴DF ＝1－x ＝34. ∴S △CDF ＝12×1×34＝38.C 组(综合题)20.如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm.(1)求证：BO ⊥CO ；(2)求BE 和CG 的长．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB.∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠DCB. ∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠DCB)＝12×180°＝90°. ∴∠BOC ＝90°.∴BO ⊥CO.(2)连接OF ，则OF ⊥BC ，∴Rt △BOF ∽Rt △BCO.∴BF BO ＝BO BC. ∵在Rt △BOC 中，BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm ，∴BC ＝BO 2＋CO 2＝10(cm)．∴BF 6＝610. ∴BF ＝3.6 cm.∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切，∴BE ＝BF ＝3.6 cm ，CG ＝CF.∴CG ＝CF ＝BC －BF ＝6.4 cm.21.如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：(1)∠APB ＝2∠ABC ；(2)AC ∥OP.证明：(1)连接AO ，∵PA ，PB 均为⊙O 的切线，A 和B 是切点，∴∠APO ＝∠BPO ，OA ⊥AP ，PA ＝PB.∴∠APB ＝2∠BPO ，∠OBP ＝90°，PO ⊥AB.∴∠OBA ＋∠ABP ＝90°，∠ABP ＋∠BPO ＝90°.∴∠OBA ＝∠BPO.∴∠APB ＝2∠ABC.(2)设AB 交OP 于点F ，由(1)知，PO ⊥AB ，∴∠AFP ＝90°.∵BC 是⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠AFP.∴AC ∥OP.22．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过⊙O 上一点E 作直线DC ，分别交AM ，BN 于点D ，C ，且DA ＝DE.求证：(1)直线CD 是⊙O 的切线；(2)OA 2＝DE ·CE.证明：(1)连接OE ，OD ，∵DA 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝90°.∵OA ＝OE ，DA ＝DE ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△EOD(SSS)．∴∠OAD ＝∠OED ＝90°.∴OE ⊥CD.又∵OE 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)连接OC ，∵AM ，BN ，DC 是⊙O 的切线，∴∠OAD ＝∠OBC ＝∠DEO ＝∠OEC ＝90°，CE ＝CB ，OD 平分∠ADE ，OC 平分∠BCE. ∴AM ∥BN.∴∠ADE ＋∠BCE ＝180°.∴∠ODE ＋∠OCE ＝12(∠ADE ＋∠BCE)＝12×180°＝90°. 又∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠OCE ＝∠DOE.∴△DEO ∽△OEC.∴OECE＝DEOE.∴OE2＝DE·CE.又∵OA＝OE，∴OA2＝DE·CE.。

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...新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习第 1 节圆01、【基础题】已知⊙O 的面积为25. （ 1）若 PO＝ 5.5，则点 P 在 _____；（ 2）若 PO＝ 4，则点 P 在 _____；（3）若 PO＝ _____，则点 P 在⊙ O 上 .01.1【综合Ⅰ】如左下图，△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，AC ＝ 2 cm，BC ＝ 4 cm，CM 是 AB 边上的中线，以点 C 为圆心，5 cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_______，在圆上的有_______，在圆内的有_______.01.2、【综合Ⅲ】如右上图，菱形ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点O，点 E、 F、 G、 H 分别为 AB 、BC 、 CD、DA 的中点，那么E、 F、 G、 H 是否在同一个圆上？说明理由.01.3、【综合Ⅲ】若⊙ A 的半径为5，圆心 A 的坐标是 (3 ，4)，点 P 的坐标是 (5， 8)，则点 P 的位置是（）A 、在⊙ A 内B、在⊙ A 上C、在⊙ A 外D、不能确定02、【综合Ⅰ】设AB ＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于 2 cm 的所有点组成的图形；（ 2）到点 A 和点 B 的距离都小于 2 cm 的所有点组成的图形；（3）到点A的距离小于2 cm，且到点 B 的距离大于 2 cm 的所有点组成的图形.03、【提高】海军部队在某灯塔 A 的周围进行爆破作业， A 的周围 3 km 的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A有 2 km 远的 B 处，为了尽快驶离危险区域，该船应往哪个方向航行？请给予证明.03.1【提高】已知点P不在⊙ O上，且点P到⊙ O上的点的最小距离是5，最大距离是7，求⊙ O 的半径 .第 2 节圆的对称性⌒⌒04、【基础题】如左下图，在⊙O 中，AC ＝ BD ，∠ 1＝30°，那么∠ 2＝ _____.04.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，弧 AB 等于弧 AC ，∠ A=30°，则∠ B ＝ _____.05、【综合Ⅰ】如左下图，点 A 、B 、 C、 D 是⊙ O 上的四点， AB ＝DC，那么△ ABC 与△ DCB 全等吗？为什么？...05.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中， AD ＝ BC，试说明AB 与 CD 相等 .05.2【基础】如左下图，AB 、DE 是⊙ O 的直径， C 是⌒⌒那么 BE 和 CE⊙ O 上的一点，且AD＝CE，的大小有什么关系？为什么？05.3【综合Ⅰ】⌒⌒如右上图， AB 是⊙ O 的直径， OD ∥ AC ，那么CD与BD的大小有什么关系？为什么？06、【综合Ⅰ】如左下图，⌒OACB 的形状 .A、 B 是⊙ O 上两点，∠ AOB ＝ 120 °， C 是AB的中点，试确定四边形06.1、【综合Ⅱ】如图，AB 是⊙ O 的直径， BC 、CD、 DA 是⊙ O 的弦，且BC＝ CD ＝ DA ，则∠ BCD ＝ ______.*第 3 节垂径定理07、【基础题】如左下图，已知⊙O 中， OC⊥弦 AB 于 C， AB ＝ 8， OC＝ 3，则⊙ O 的半径等于 ______.07.1、【基础题】如右上图，已知⊙O 的半径为30 mm，弦 AB ＝36 mm ，求点 O 到 AB 的距离及∠ OAB 的余弦值 .08、【综合Ⅱ】如左下图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16 m ，拱高 CD=4 m ，那么拱形的半径是____m.C08.1、【综合Ⅱ】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？” 转化为数学语言就是：如右上图， CD 为⊙ O 的直径，弦 AB ⊥ CD ，垂足为 E， CE＝1 寸， AB ＝10 寸，求直径 CD 的长 .09、【综合Ⅰ】如右图，在⊙O 中， AB 、 CD 是两条弦， OE ⊥AB ， OF⊥ CD，垂足分别为E、 F.（1）如果∠ AOB ＝∠ COD ，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果 OE＝ OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？10、【综合Ⅰ】已知⊙ O的半径为 5 cm，弦 AB ∥弦 CD， AB ＝6 cm，CD ＝ 8 cm，试求 AB 与 CD 间的距离 .10.1、【综合Ⅱ】如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？11、【综合Ⅲ】如右图，在⊙O 中， AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥ AB ，OE⊥ AC ，垂足分别为D、 E，若AC ＝ 2 cm，则⊙ O 的半径为 ______ cm.第 4 节圆周角和圆心角的关系（包括圆内接四边形）12、【基础题】如左下图，在⊙O 中，已知∠ BOC ＝ 100 °，则∠ BAC 的度数是 _____ °AOCB12.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，∠ BAC ＝ 25°，则∠ BOC＝ _____ °12.2、【综合Ⅰ】如图，∠ A是⊙ O的圆周角，∠ A＝40°，求∠ OBC的度数.13、【基础题】如图，A 、B 、 C、 D 是⊙ O 上的四点，且∠ BCD ＝ 100 °，求∠ BOD （弧 BCD 所对的圆心角）和∠ BAD 的大小 .13.1、【基础题】左下图， A 、B 、C 三点都在⊙ O 上，点 D 是 AB 延长线上一点，∠AOC=140°, ∠ CBD的度数是_____.OCABD13.2【基础题】如右上图，四边形ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 延长线上一点，若∠BAD ＝ 105 °，则∠ DCE 是 _____°.13.3【综合Ⅰ】在圆内接四边形ABCD 中，对角∠ A 与∠ C 的度数之比是4： 5，求∠ C 的度数 .13.4、【综合Ⅱ】如左下图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E、 F，且∠ E＝ 40°，∠ F＝ 60°，求∠ A 的度数 .14、【基础题】如右上图，⊙O 的直径 AB ＝ 10 cm， C 为⊙ O 上的一点，∠ B＝ 30°，求 AC 的长 .14.1、【基础题】如左下图，AB 是⊙ O 的直径，∠ C＝ 15°，求∠ BAD 的度数 .WORD 格式整理...14.2、【综合Ⅰ】如右上图，⊙O 的弦 AB ＝ 16，点 C 在⊙ O 上，且 sin C＝4，求⊙ O 的半径的长 . 514.3、【中考题】 A、 B 是⊙ O 上的两个定点，P 是⊙ O 上的动点（ P 不与 A、 B 重合），我们称∠ APB 是⊙ O 上关于点A 、 B 的滑动角 .（1）若 AB 是⊙ O 的直径，则∠ APB 是多少度？（ 2）若⊙ O 的半径是1， AB ＝ 2 ，则∠APB是多少度？15、【基础题】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A 、正方形B、菱形C、矩形 D 、等腰梯形16、【提高题】如右图，AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 、BC 相交于点P，且 CD 、AB 的长是一元二次方程x2－7x＋＝12 0的两根，求tan∠DPB.第 5 节确定圆的条件17、【基础题】分别作出下面三个三角形的外接圆，并指出它们外心的位置有什么特点17.1、【基础题】如左下图， MN 所在的直线垂直平分线段 AB ，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？17.2、【基础题】如右上图， A 、 B、 C 三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.18、【综合Ⅰ】在△ ABC中，AC＝10，BC＝8，AB＝6，求△ ABC外接圆的半径...第 6 节直线和圆的位置关系19、【基础题】如右图，已知Rt△ ABC 的斜边 AB ＝ 8 cm， AC ＝ 4 cm.（ 1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙ C 相切？（ 2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4 cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与AB 分别有怎样的位置关系？19.1【基础题】直线l 与半径为r的⊙O相交，且点O到直线 l 的距离为5，求 r的取值范围.19.2、【综合Ⅰ】在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ B＝ 30°， O 是 AB 上一点， OA ＝m，⊙ O 的半径为r，当r与m 满足怎样的关系时，（ 1）AC 与⊙ O 相交？（2）AC与⊙ O相切？（3）AC与⊙ O相离？20、【基础题】如左下图， AB 是⊙ O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，过点 D 作⊙ O 的切线，切点为 C，若∠ A=25 °，则∠ D=______ ．20.1【基础题】如右上图，PA 切⊙ O 于点 A，该圆的半径为3， PO=5，则 PA 的长等于 _____．20.2、【综合Ⅰ】如左下图，PA、PB 分别与⊙ O 相切于点A、＝B，∠ P＝ 70°，则∠ C()A.70 °B.55°C.110°D.140 °20.3、【综合Ⅱ】如右上图，已知AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦， CD 切⊙ O 于点 C，交 AB 的延长线于点D，∠ACD=120 °， BD=10 ．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙ O的半径．20.4【综合Ⅱ】如右图，AB 是⊙ O 的直径， BC 是⊙ O 的切线，切点为点 B ，点 D 是⊙ O 上的一点，且AD ∥OC，...求证：AD · BC=OB · BD ．21、【中考题， 2014 陕西 23 题】（本题满分8 分）如右下图，⊙ O 的半径为4，B 是⊙ O 外一点，连接OB, 且 OB=6. 过点 B 作⊙ O 的切线 BD ，切点为 D, 延长 BO 交⊙ O 于点 A, 过点 A 作切线 BD 的垂线，垂足为 C.(1)求证： AD 平分∠ BAC(2)求 AC 的长22、【基础题】如左下图，已知直线AB 经过⊙ O 上的点 C，并且 OA ＝OB， CA ＝CB ，那么直线 AB 是⊙ O 的切线吗？为什么？22.1、【中考题， 2013 年孝感市23 题， 10 分】如右上图，△ABC 内接于⊙ O，∠ B=60 °， CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且AP=AC ．（1）求证： PA 是⊙ O 的切线；（2）若 PD= ，求⊙ O 的直径．23、【基础题】如图，已知锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 请问，三角形的内心是否都在三角形的内部？23.1、【基础题】等边三角形的边长为 a ，求这个三角形内切圆的面积....23.2、【综合Ⅰ】已知在Rt△ABC中，∠ C＝90° ，AC＝6，BC＝8，则△ ABC的内切圆半径r＝ __ _ ．24、【综合Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，∠ A ＝ 68°，点 I 是内心，求∠I 的度数 .24.1、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD 中，∠ B ＝ 60°，∠ DCB ＝ 80°，∠ D＝ 100°，若 P、Q 两点分别为三角形 ABC 和三角形 ACD 的内心，那么∠ PAQ 的度数是多少？24.2、【综合Ⅲ】在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，求其内心和外心之间的距离.*第 7 节切线长定理25、【基础题】如图，PA、PB是⊙ O的两条切线，A、B是切点.求证：PA＝PB25.1、【基础题】已知⊙O 的半径为 3 cm，点 P 和圆心 O 的距离为 6 cm，过点 P画⊙ O 的两条切线，求这两条切线的切线长.25.2、【综合Ⅰ】如左下图，PA 和 PB 是⊙ O切线，分别交 PA 和 PB 于 D、 E 两点 .的两条切线， A 、B 是切点， C 是弧 AB 上任意一点，过点C 画⊙ O 的已知PA＝PB＝ 5 cm，求△ PDE 的周长 .25.3、【综合Ⅲ】如右上图，PA 和 PB 是⊙ O 的两条切线， A、 B 为切点，∠ P＝ 40°，点 D 在 AB 上，点 E 和点 F 分别在PB 和 PA 上，且 AD ＝ BE，BD ＝ AF ，求∠ EDF 的度数 .26、【综合Ⅰ】如左下图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ 10，BC＝ 24，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点分别为D、 E、F，求⊙ O 的半径 . （利用切线长定理来解题）...26.1、【综合Ⅲ】如右上图，⊙O 是△ ABC 的内切圆， D 、E、 F 为切点，且AB ＝ 9 cm，BC ＝14 cm， CA ＝ 13 cm，求AF 、BD 、 CE 的长 .26.2、【综合Ⅲ】如图，在四边形ABCD 中， AB ＝ AD ＝6 cm ， CB＝ CD＝ 8 cm ，且∠ B ＝90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径.第 8 节圆内接正多边形27、【基础题】如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径 OC＝ 4， OG⊥ BC，垂足为 G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距 .27.1、【综合Ⅱ】有一边长为 4 的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为______.27.2、【综合Ⅱ】如右图，把边长为 6 的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE ，求这个正六边形的面积 .27.3、【基础题】请求出半径为 6 的圆内接正三角形的边长和边心距.28、【基础题】已知正方形的边长是 a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶R∶ a ＝______. 28.1、【基础题】请利用尺规作一个已知圆的内接正四边形.29、【合Ⅲ】如，点 M 、N 分是⊙ O 的内接正三角形ABC 、内接正方形ABCD 、内接正五形ABCDE 、⋯⋯、内接正 n 形的AB、BC上的点，且BM ＝ CN ，接 OM 、 ON.（ 1）求 1 中的∠ MON 的度数；（ 2）在 2 中，∠ MON 的大小是 ______，在 3 中，∠ MON 的大小是 ______；（ 3）根据n，明∠ MON 的度数与正n形的数n 之的关系（直接写出答案）.第 9弧及扇形的面（含面目）30、【中考， 2014 年云南省第7 3 分】已知扇形的心角45°，半径12，扇形的弧（）A、B． 2πC． 3πD． 12π30.1、【中考， 2014 四川自第8 4 分】一个扇形的半径8cm，弧cm，扇形的心角（）30.2、【基】已知上一段弧4cm，它所的心角100 °，的半径是_____.31、【中考，2014 成都，3 分】在心角120 °的扇形 AOB 中，半径 OA ＝ 6 cm，扇形 AOB 的面是 ________ cm2 .31.1、【中考， 2014 山第5 3 分】如左下，已知扇形的心角60°，半径 3 ，中弓形（阴影）面是_________.31.2、【中考题， 2014 ·浙江金华第10 题 4 分】如右上图，一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，两个正方形的边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5: 4 B ．5: 2C． 5 : 2D． 5 : 232、【中考题，2014 杭州第 2 题 3 分】左下图，已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为______ cm2 .33、【综合Ⅲ】如右上图，⊙ A 与⊙ B 外切于⊙ O 的圆心 O，⊙ O 的半径为1，则阴影部分的面积是________.33.1、【中考题， 2014 山东泰安第19 题 3 分】如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形 OAB 中，分别以OA、 OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________ cm2 .33.2、【中考题， 2014 福建泉州第17 题 4 分】如右图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB 的长为 _____ 米；（ 2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______ 米．新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习答案第 1 节答案01、【答案】（1）圆外；（2）圆内；（3）501.1、【答案】在圆外的有点 B ，在圆上的有点M ，在圆内的有点 A 和点 C.01.2【答案】E、F 、G、H 四个点共圆 .证明 :连接 OE、OF、 OG、OH∵四边形ABCD 是菱形∴AB=BC=CD =DA ,DB ⊥ AC∵ E、F 、G、H 分别是各边的中点1111∴ OE AB,OF BC,OG CD, OH AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）2222∴OE OF OG OH∴E、F 、G、H 四个点都在以 O 为圆心、 OE 长为半径的圆上 .01.3【答案】选A02、【答案】（1）如图1，所求图形即P、 Q 两点；（2）如图2，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）；（ 3）如图 3，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）.03、【答案】往射线 AB 方向航行【证明】如图，设航线AB 交⊙ A 于点 C，在⊙ A 上任取一点D（不包括 C 关于 A 的对称点）连接 AD 、 BD；在△ ABD 中，∵ AB+BD ＞ AD ， AD=AC=AB+BC，∴ AB+BD ＞ AB+BC ，∴ BD ＞ BC ．答：应沿 AB 的方向航行．03.1【答案】当点P在圆外时，半径是1；当点 P 在圆内时，半径是 6.第 2 节答案04、【答案】30°04.1【答案】75°05、【答案】全等，可先证AC ＝ DB.05.1、【提示】证弧CD和弧AB相等.05.2【答案】相等.【提示】先证弧 BE 和弧 AD 相等 .05.3、【答案】相等【提示】连接 OC06、【答案】四边形 OACB 是菱形【证明】连接 OC∵C 是弧 AB 的中点，∠ AOB=120 °∴∠ AOC=60 °∴△ AOC 是等边三角形∴OA=AC同理可得 BC=OB∴OA=OB=BC=AC∴四边形 OACB 是菱形06.1、【答案】120 °【提示】连接 OC、 OD ，可证△ BOC 和△ COD 都是等边三角形.*第 3 节答案07、【答案】半径等于 5.【提示】如右图，利用垂径定理和勾股定理来算半径.07.1、【答案】点O到AB的距离是24 mm，∠ OAB 的余弦值是0.608、【答案】10 m.【提示】在如图的圆弧形中， CD是拱高，根据圆的对称性可知CD垂直平分 AB，则 CD所在直线过圆心，延长CD，作圆心22＝ r2，解得O，并且连接 OB.设拱形的半径 OB为 r ，则 OD为（ r － 4）, 根据勾股定理可得（r－4）＋8r ＝ 10 m....出半径 . 有些题目不能直接求出半径则需列方程来解决.08.1【答案】直径CD是26寸.【解析】09、【提示】（1）用 HL 证明 Rt△ AOE 与 Rt △COF 全等；（2）用 HL 证明 Rt△ AOE 与 Rt △COF 全等 .10、【答案】AB 与 CD 间的距离为7 cm 或 1 cm.【提示】如图，若AB 和 CD 在圆心两侧，则可求出OE＝ 3，OF＝ 4，则 AB 、CD 距离是 7 cm；若 AB 和 CD 在圆心同侧，则距离是 1 cm.10.1、【答案】相等.【解析】如图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF，由垂径定理得：弧AF= 弧 BF ，弧 CF=弧 DF，用等量减等量差相等原理，弧AF- 弧 CF=弧 BF- 弧 DF，即弧 AC= 弧 BD，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1) 圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3) 在平行弦内，但理由相同．11、【答案】2【解析】第 4 节答案12、【答案】∠ BAC的度数是50°.12.1、【答案】∠ BOC＝50°12.2、【答案】∠ OBC＝50°13、【答案】∠ BOD＝160°，∠ BAD＝80°13.1【答案】∠ CBD的度数是70°13.2【答案】∠ DCE＝105°13.3【答案】∠ C＝100°13.4【答案】∠ A＝40°14、【答案】AC ＝ 5 cm14.1、【答案】∠BAD的度数是75°14.2【答案】半径的长为10.【提示】连接 AO ，延长 AO 交⊙ O 于 D ，连接 BD.14.3、【答案与解析】15、【答案】选C716、【答案】tan∠ DPB ＝3【解析】第 5 节答案17、【答案】锐角三角形的外心在内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在外部....17.1、【答案】最少使用两次17.2、【提示】连接 AB 、 AC ，分别作线段AB 和 AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为供水站的位置.18、【答案】△ ABC外接圆的半径是 5.18.1、【答案】1a 2 3第 6 节答案19、【答案】（1）当半径长为2 3 cm时，AB与⊙C相切.（ 2）当半径为 2 cm 时，⊙ C 与 AB 相离；当半径为 4 cm 时，⊙ C 与 AB 相交 .19.1【答案】r ＞519.2【答案】（1）r＞3 m（2）r＝3 m（3）r＜3 m22220、【答案】40°20.1【答案】PA＝420.2、【答案】选B20.3【答案】（1）提示：证∠A ＝∠ D＝ 30°（2）半径是 10.20.4【提示】证明Rt△ CBO∽ Rt△ BDA21、【答案】证明：（ 1）连接 OD∵ BD 是⊙ O 的切线， D 为切点∴OD BC∵ AC BD∴OD∥ AC∴∠ ODA= ∠ CAD又∵ OD=OA∴∠ BAD= ∠ CAD∴ AD 平分∠ ABC20(2) 解：∵ OD ∥ AC ，∴BOD∽BAC，∴=，∴=，∴ AC＝3...22.1、【答案与解析】（1）证明：连接 OA ，∵ ∠ B=60 °，∴ ∠AOC=2 ∠ B=120 °，又∵ OA=OC ，∴∠ OAC= ∠ OCA=30 °，又∵ AP=AC ，∴ ∠ P=∠ ACP=30 °，∴ ∠OAP= ∠AOC ﹣∠ P=90°，∴ OA ⊥ PA，∴ PA 是⊙ O 的切线．（2）在 Rt△OAP 中，∵ ∠ P=30°，∴ PO=2OA=OD+PD ，又∵ OA=OD ，∴ PD=OA ，∵，∴．∴⊙ O的直径为．23、【答案】都在内部23.1、【答案】1a 2 1223.2、【答案】r＝ 2.24、【答案】∠ I＝124°24.1、【答案】∠PAQ的度数是60°24.2、【答案】 5 cm【解析】...* 第 7 节答案25、【解析】25.1、【答案】 3 3 cm25.2、【答案】△PDE 的周长是 10 cm.25.3、【答案】∠ EDF＝ 70°26、【答案】⊙ O 的半径是 426.1、【答案】AF ＝ 4 cm， BD ＝5 cm， CE＝ 9 cm.【提示】设 AE ＝ AF ＝x， BF ＝ BD ＝y， CE＝ CD＝z26.2、【答案】24存在内切圆，内切圆半径是7第 8 节答案27、【答案】中心角是60°，边长是4，边心距是 2 3 .27.1、【答案】外接圆的半径为427.2、【答案】正六边形的面积是6327.3、【答案】边长是6 3 ，边心距是 3.28、【答案】1∶ 2 ∶228.1、【提示】用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到圆的内接正四边形 .28.2、【提示】如图，先作出两条互相垂直的直径，再作出两条直径所形成的直角的角平分线，即可在圆周上得到圆内接正八边形的顶点29、【答案】第 9 节答案30、【答案】根据弧长公式：l ==3π，故选C．30.1、【答案】选 B30.2、【答案】7.2 cm.31、【答案】12cm231.1、【答案】2 －3 3431.2【答案】选 A【解析】32、【答案】15cm 233、【答案】3－3【解析】...33.1、【答案】（﹣1）cm2【解析】分析：假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P，Q 面积相等．连接AB，OD ，根据两半圆的直径相等可知∠AOD =∠BOD =45 °，故可得出绿色部分的面积=S△AOD，利用阴影部分Q 的面积为： S 扇形AOB﹣ S 半圆﹣ S 绿色，故可得出结论．解：∵扇形 OAB 的圆心角为90°，假设扇形半径为 2，∴扇形面积为：=π（ cm2），半圆面积为：×π×12=（ cm2），∴ S Q +S M =S M+S P=（cm2），∴ S Q=S P，连接 AB， OD ，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD =∠BOD =45°，∴ S 绿色 =S△AOD=×2×1=1（cm2），∴阴影部分Q 的面积为： S 扇形AOB﹣ S 半圆﹣ S 绿色 =π﹣﹣1=﹣1（cm2）．133.2、【答案】（1）1米；（2）米.4【解析】分析：（1）根据圆周角定理由∠BAC =90°得 BC 为⊙ O 的直径，即 BC=，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；...（ 2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：（1）∵∠ BAC=90°，∴ BC 为⊙ O 的直径，即BC=，∴AB= BC=1；（ 2）设所得圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr=，解得 r=．故答案为1，．工程部维修工的岗位职责1、严格遵守公司员工守则和各项规章制度，服从领班安排，除完成日常维修任务外，有计划地承担其它工作任务; 2 、努力学习技术，熟练掌握现有电气设备的原理及实际操作与维修; 3 、积极协调配电工的工作，出现事故时无条件地迅速返回机房，听从领班的指挥; 4 、招待执行所管辖设备的检修计划，按时按质按量地完成，并填好记录表格; 5、严格执行设备管理制度，做好日夜班的交接班工作; 6 、交班时发生故障，上一班必须协同下一班排队故障后才能下班，配电设备发生事故时不得离岗; 7 、请假、补休需在一天前报告领班，并由领班安排合适的替班人.。

北师大版九年级下册数学第三章圆单元过关测试题(含答案)

北师大版九年级下册数学第三章圆单元过关测试题(含答案)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1、下列命题为真命题的是()A、点确定一个圆B、度数相等的弧相等C、圆周角是直角的所对弦是直径D、相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等2、若一个三角形的外心在这个三角形的斜边上，那么这个三角形是()A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定3、圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3:4:6，则∠D的度数为()A、60B、80C、100D、1204、如图，正方形ABCD内接于圆O点P在弧AD上，∠BPC＝()A、50B、45C、40D、355、如图，圆周角∠A＝30，弦BC＝3，则圆O的直径是()A、3B、33C、6D、636、如图，CD是圆O的弦，AB是圆O的直径，CD＝8，AB＝10，则点A、B到直线CD的距离的和是()A、6B、8C、10D、12A P AD O BO B O AA COD BB C C E C DF4题5题6题7题7、如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点,AB=10cm,CD=6cm,则AC长为()A0.5cm B1cm C 1.5cm D2cm8、CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=6，则BE的长是（）A．1或9B．9C．1D．49、两圆的半径分别为R和r，圆心距d=3，且R，r是方程x2-7x+10=0的两个根，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离10、手工课上，小明用长为10π，宽为5π的绿色矩形卡纸，卷成以宽为高的圆柱，这个圆柱的底面圆半径是（）A．5πB．5C．10πD．10二、细心填一填(每小题3分，共30分)11．已知⊙O的半径为8,圆心O到直线l的距离是6,则直线l与⊙O的位置关系是_________。

12．如图，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=_________度。

北师版九年级下数学第三章随堂练习74

北师版九年级下数学第三章随堂练习74一、选择题（共5小题；共25分）1. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有A. 个B. 个C. 个D. 个2. 如图，是中的平分线，于点，交于点．，，，则长是A. B. C. D.3. 现有如下个命题：①过两点可以作无数个圆；②三点可以确定一个圆；③任意一个三角形有且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有A. 个B. 个C. 个D. 个4. 如图，在中，，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为A. B. C. D.5. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连接，相交于点，连接，．已知于点，．下列结论：①；②；③若，则；④若点为的中点，则．其中确的是A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ②④二、填空题（共4小题；共20分）6. 一个扇形的面积是它所在的圆面积的，这个扇形的圆心角是．7. 如图，已知是内切圆，切点为，，，若，，．则内切圆半径为．8. 的半径，圆心到直线的距离，则与直线的位置关系是．9. 如图，，，，都是的切线．若，，则的值是．三、解答题（共4小题；共52分）10. 如图已知，外切，与，同时内切，已知，，，求这三个圆的半径．11. 如图所示，在中，，，求的度数．12. 东海某小岛上有一灯塔，已知塔附近方圆海里范围内有暗礁，我舰在点处测得塔在其北偏西方向，向正西方向航行海里到达处，测得在其西北方向．如果该舰继续航行，是否有触礁的危险?请说明理由．（提示，）13. 如图，在中，，以为直径的圆交于点，是该圆圆心，为线段上一点，且．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径．答案第一部分1. C 【解析】①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有个，故选：C．2. C 【解析】首先由角平分线的性质可知，然后由，及三角形的面积公式得出，解得．3. B4. D 【解析】在中，，．．5. B【解析】是直径，，，，，故①错误，，，故②正确，，，，，，，，是等边三角形，，，故③正确，，，，，，，，，，，故④正确．第二部分6.7.8. 相切【解析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当时，则直线和圆相切．9.【解析】，，，都是的切线，可以假设切点分别为，，，，，，，，，，，．第三部分10. 的半径为，的半径为，的半径为11. ，，，，，又，，在中，，，，，，．12. 无触碓危险（提示：从几何角度看，实际上是讨论直线与半径为的的位置关系．相切和相交都有触礁危险，只有相离才安全，为此只需计算点到直线的距离与比较后即得答案）13. （1）连接．，，，，，．，，是的切线．（2），为直径，是的切线．是的切线，，，．，中，，，．的半径为．。

北师版九年级下数学第三章随堂练习10

北师版九年级下数学第三章随堂练习10一、选择题（共5小题；共25分）1. 如果和的半径分别为和，且．则和的位置关系是A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切2. 下列图形中，可以看作轴对称图形的是A. B.C. D.3. 半径分别为和的两圆相交，且公共弦长为，则两圆的圆心距为或或 C. D. 或4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为A. B. C. D.5. 如图，是的直径，，，则的度数是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）6. 如图，，，，是上的四点，且，则．7. 如图，在的内接六边形中，，则8. 如图，已知的半径为，为直径延长线上一点，．过任作一直线．若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于．9. 如图，，是的切线，切点分别是，，在上，过的切线分别交，于点，．若，则的周长为．三、解答题（共4小题；共52分）10. 如图，矩形中，，．（1）若，矩形的边上是否存在点，使得?写出点存在或不存在的可能情况和此时满足的条件．（2）矩形的边上是否存在点，使得?写出点存在或不存在的可能情况和此时，满足的条件．11. 如图所示，在矩形中，，．（1）以点为圆心，为半径作，则点，，与有何位置关系?（2）若以点为圆心作圆，使，，三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，试确定此圆半径的取值范围．12. 如图，中，，，，，求的长．13. 在直径为厘米的圆中，有一个圆心角为的扇形，其面积是多少?（精确到平方厘米）答案第一部分1. D2. A 【解析】A．轴对称图形，符合题意；B．不是轴对称图形，不符题意；C．不是轴对称图形，不符题意；D．不是轴对称图形，不符题意．3. D 【解析】，，，，，，，当公共弦在两圆心之间时，圆心距为；当公共弦在两圆心同侧时，圆心距为．这两个圆的圆心距是或．4. A5. B【解析】，，，．又，，．第二部分6.【解析】四边形是的内接四边形，，．7.【解析】连接，，，的度数的度数，的度数，，．8.【解析】，是过所作的的两切线且互相垂直，，四边形是正方形，根据勾股定理求得，点在以为圆心，以长为半径作大圆上，以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，如图所示，是大圆的切线，，，，，，，的最大值等于．9.【解析】，，是圆的切线，切点分别是，，，，，，的周长是：答：的周长是．第三部分10. （1）如图中，以为直径作．观察图象可知：①当时，上存在个点，使得；②当时，上存在个点，使得；③当时，上不存在满足条件的点．（2）①如图中，作，使得，，以为圆心，为半径作，当四边形是的内接矩形时，即时，矩形的边上存在个点，使得．②如图中，当时，矩形的边上不存在点，使得．③如图中，当时，矩形的边上存在个点，使得．④如图中，当时，矩形的边上存在个点，使得．⑤如图中，当时，矩形的边上存在个点，使得．11. （1）如图所示，连接．，，由勾股定理可得，点在内，点在上，点在外．（2）当点在上时，；当点在上时，．．12. ，，，，，，，，，，，，．13. 平方厘米．。

北师版九年级下数学第三章随堂练习81

北师版九年级下数学第三章随堂练习81一、选择题（共5小题；共25分）1. 下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A. 个B. 个C. 个D. 个2. 如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是A. B. 平分C. D. 垂直平分3. 如图所示，在的正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是A. 点B. 点C. 点D. 点4. 如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的交于点，则图中阴影部分的面积是A. B. C. D.5. 如图，是的直径，，是上两点，且，与交于点，连接，若，则的度数是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）6. 半径为，扇形所对的弧长为，则扇形面积．7. 已知一个三角形的三边长分别为，，，则其内切圆的半径为．8. 已知，为上一点，，以为圆心为半径的圆与相切．9. 如图，边长为的正方形，以为直径作，与相切于点，与交于点，则的面积为．三、解答题（共4小题；共52分）10. 已知三角形的三边分别是，，，以三个顶点为圆心作两两外切的三个圆，则这三个圆的半径分别是多少?11. 已知：如图，与相交于点，，．求证：．12. 如图，已知，，的半径为，若圆心沿着的方向在直线上移动．（1）当圆心移动的距离为时，则与直线的位置关系是什么?（2）若圆心的移动距离是，当与直线相交时，则的取值范围是什么?13. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．答案第一部分1. A2. D3. C4. C5. B【解析】连接．，，，，，，．第二部分6.7.【解析】如图，作于，，，，设，，则，因为①②所以①②得，所以，所以，设三角形内切圆的半径为，根据题意得，解得，即三角形内切圆的半径为．8.【解析】与，，相切于点，，，，，设，在中，，，解得，，．第三部分10. 三个圆的半径分别为，，．11. 提示：证明，得；又根据，得，从而得到．12. （1）如图（），当点向左移动时，，作于点，，．圆的半径为，与直线的位置关系是相切（2）如图（），当点由向左继续移动时，与直线相交．假设移动到点时，与直线相切，此时，，，．当点移动的距离的范围满足时，与直线相交．13. （1）连接，是的直径，，，又，，，，，，，，，过，与相切．（2），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．。

北师版九年级下数学第三章随堂练习75

北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆章节复习(解析版)

第3章 圆达标检测卷 2022-2023学年 北师大版九年级数学下册

北师大版九年级数学下册 第三章3 垂径定理(含答案)