球 高考试题解析

球

（p30）例11 [2013·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表．面积为________．

图1－2

分析： 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S ＝1

2

×4π×12＋π×12＝3π.

答案：3π

反思：由三视图求简单组合体的表面积，关键是还原几何体. （p31）例13 [2013·福建卷] 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球

的表面积是__________．

答案：12π 分析： 该多面体是一个球，中间内接一个棱长为2的正方体，设球的半径为R ，则2R ＝2 3 R ＝3，所以S 球＝4πR 2＝12π. （p31） 4．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,

容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

（ ）

A ．

3

5003

cm π B ．

3

8663

cm π C ．

313723

cm π

D ．

320483

cm π

分析：设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．

设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于（R ﹣2）cm ，而圆M 的半径为4，

由球的截面圆性质，得R 2=（R ﹣2）2+42

，

解出R=5，

所以根据球的体积公式，该球的体积V=

=

=

．

故选A ．

答案：A

（p31） 9 [2013·辽宁卷] 已知直三棱柱ABC －A1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA1＝12.则球O 的半径为( )

A.3172 B ．210 C.132

D ．310

分析： 由题意将直三棱柱ABC －A1B1C1还原为长方体ABDC －A1B1D1C1，则球

的直径即为长方体ABDC －A1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD1＝AB2＋AC2＋AA21＝32＋42＋122＝13，则球的半径为13

2

，故选C.

答案：C

（p31）12．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点．求这三个球的半径之比．

解：设正方体的棱长为a ，球的半径分别为R 1，R 2，R 3.球内切于正方体时，球的直径和正方体的棱长相等，如图1所示，AB ＝2R 1＝a ，所以R 1＝a

2

；

球与这个正方体的各条棱相切时，球的直径与正方体的面对角线长相等，如图2所示，CD ＝2R 2＝2a ，所以R 2＝

2a 2

； 当球过这个正方体的各个顶点时，也即正方体内接于球，此时正方体的八个顶点均在球面上，则正方体的体对角线长等于球的直径，如图3所示，EF ＝2R 3＝3a ，

所以R 3＝

3a 2

. 故三个球的半径之比为1:2: 3. 答案：1:2:3

（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面

直径与母线长均为2,则球为O 的表面积为_____.

【答案】8π 圆柱的底面直径与母线长均为2,==,

,所以球的表面积为248ππ⨯=.

11．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．

解析 因为(2R )2＝12＋22＋32＝14，所以S 球＝4πR 2＝14π. 答案 14π

.

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是( ) A ．圆柱 B ．圆锥

C ．球体

D ．圆柱，圆锥，球体的组合体

解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面． 答案：C

3．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥

S-ABC 的体积为 （A ）

(B)

(C)

【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．

【精讲精析】选C ，设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边,4=SO 故2==BO AO ，且有SC AO ⊥，SC BO ⊥． ∴)(3

1

OC SO S V V V AOB AOB C AOB S ABC S +=+=∆---=3

3

442433

12=

⨯⨯⨯

． （2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD

半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体

积为 __ .

【思路点拨】画出图形，

找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的体积.

【精讲精析】如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '，连接O 'B ，OB ，则在Rt ∆OO

B '中，由OB ＝4, O B '=

得OO '＝

2,1

1623

3

O ABCD V S OO -'∴=⋅=⨯⨯=

（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是