运用两点间的距离公式求最值
巧用两点间的距离公式求最值
巧用两点间的距离公式求最值
杜秉孝
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】1994(000)002
【摘要】巧用两点间的距离公式求最值杜秉孝（山东新汶矿务局华丰矿中学）一些最值问题，根据其结构特点，利用两点间的距离公式，借助数形结合，常常会得到妙解。
兹举例说明。
例１求函数的最小值．分析函数式变形为于是可看作“求直线ｕ＝１上的点Ｐ（ｘ，１）到原点（０，０）和...
【总页数】1页(P25-25)
【作者】杜秉孝
【作者单位】山东新汶矿务局华丰矿中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.巧用点到直线距离公式求最值 [J], 张顺
2.妙用点到直线距离公式求最值 [J], 房国新
3.利用平面内两点间距离公式求一类问题的最值——从一个问题的错解谈起 [J], 吴宗卫
4.巧用异面直线上两点间的距离公式 [J], 沈辉
5.用两点距离公式求函数的最值 [J], 马瑞华
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例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径
例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径(中学教研2017／3)杨伟达（广州市花都区第二中学 510800）众所周知，距离问题本是一个古老的话题．但在每一年的高考中，它常常成为专家命题的第一视觉，也常常是许多学生解题的绊脚石．因此，在解题中若能处理好距离的最值问题，对快速解题起到事半功倍的效果．下面是笔者对两动点间距离的最值问题从不同角度进行析疑解惑，突显“动”的魅力，焕发出新的活力．一、借助特殊曲线，寻求等价替换有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这特殊曲线具有特殊的性质．此时可以通过观察图形，利用图形的特殊性质即可求得最值.例1 已知圆C ：034222=+-++y x y x（1）略；（2）从圆C 外一点),(y x P 向圆引一条切线，M 为切点，O 为坐标原点，且有PO PM =，求使PM 最小的P 点的坐标．分析：此题的一个动点在圆外，另一个在圆上，且这两个动点的连线是圆的切线（特殊）．解决此题关键在于利用圆的特殊性质，找出切线长等价替换，问题即可解决．解：已知圆C 方程：034222=+-++y x y x所以圆心坐标为)2,1(-，半径为2，又因为PO PM =，设),(11y x P ， 且PM 是圆C 的切线，所以)(222为圆的半径R PC R PM =+ 所以212121212)2()1(y x y x +=--++化简为：034211=+-y x 这是点P 满足的轨迹方程. 因为PO PM =，所以PM 的最小值就是PO 的最小值.PO 的最小值转化为点O 到直线034211=+-y x 的距离.即1053203min ==PO联立方程组有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0342209112121y x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=5310311y x 因此，点P 的坐标为)53,103(-.例2 分别在椭圆19422=+y x 与抛物线222m y x -=上的两动点M 、N 间的距离最小值是5，则m 的值是（ ）（A ）1± （B ）2± （C ）2±（D ）22±分析：如图1，通过草图，不难发现两曲线相离，且位置比较特殊．观察可知，曲线上两动点的最短距离转化为两顶点（定点）间的距离．此时问题就变得简单了.解：因为M 、N 间的距离最小值是5 所以椭圆与抛物线不相交如图1，观察，此时抛物线的顶点N 与椭圆上顶点M 的距离 就是两动点M 、N 间的距离最小值抛物线的顶点)2,0(2m 与椭圆上顶点)3,0(的距离最小值为5 所以5322=-m 解得：2±=m 故选B.二、借助三角函数，寻求合二为一有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且动点也可以用含参坐标表示．此时可以直接运用距离公式，把它转化为三角函数的形式即可求得最值．比如：圆222R y x =+上一动点可表示为))(sin ,cos (为参数θθθR R ；椭圆12222=+by a x 上一动点可表示为))(sin ,cos (为参数θθθb a .例3 （2016·广州二测理数23）选修4－4坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin(ρθ+)4π=(1) 略；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值.分析：此类型题每年在全国卷选做题中常常出现．比较快捷的解决方法是利用参数方程表示曲线上的某一动点坐标，再根据条件转化为求三角函数的最值问题即可将问题解决.解：(1)略.所求曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=；直线l 的直角坐标方程为2x y +=.(2)因为点Q 是曲线C 上的点，所以可设点Q的坐标为),sin θθ所以点Q 到直线l的距离为d==. 当cos 16πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d ==所以点Q 到直线l的距离的最大值为三、借助数形结合，突显形象直观有这样的一类题，它们的一个动点在某区域内，另一个动点在某特殊曲线上．此时两动点间距离问题可转化为某一定点到区域内的距离最值即可将问题解决.例4 设D 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03200y x y x x 表示的平面区域，圆C:1)5(22=+-y x 上的点与区域D 上的点之间的距离的取值范围是 A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-134,1225 B.[)134,117+- C.[)34,17 D.[)134,117--分析：此题涉及线性规划问题.先将不等式组表示出平面区域，再根据圆的特殊性质通过数形结合可将问题解决.解：如图2，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03200y x y x x 表示的平面区域如下图中三角形ABO 内（含边缘）的阴影部分。
运用两点间的距离公式求最值
运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是数学中常用的一种方法，用于计算两点之间的直线距离。
最常见的两点间的距离公式是欧几里得距离公式，即两点之间的直线距离。
该公式的表达式如下：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，(x1,y1)和(x2,y2)分别是两个点的坐标，d表示两点之间的距离。
基于这个距离公式，我们可以求解一些与两点之间的问题有关的最值。
首先，我们来考虑一个简单的问题：给定一个点集，找出其中两点之间的最大距离。
假设我们有 n 个点，分别用坐标 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) 表示。
我们需要找到这些点中任意两点之间的最大距离。
我们可以通过计算每对点之间的距离，并比较它们的大小来找到最大距离。
具体的步骤如下：1.初始化最大距离为0。
2. 对于点集中的每对点 (xi, yi) 和 (xj, yj)，计算它们之间的距离d = √((xi - xj)² + (yi - yj)²)。
3.如果计算得到的距离d大于当前的最大距离，则更新最大距离为d。
4.遍历完所有的点对之后，最大距离即为所求。
该算法的时间复杂度为O(n²)，因为需要遍历所有点对，并计算它们之间的距离。
接下来，我们考虑另一个问题：给定一个点集，找出其中两点之间的最小距离。
同样地，我们可以使用上述的距离公式，通过比较每对点之间的距离来找到最小距离。
具体的步骤如下：1.初始化最小距离为正无穷大。
2. 对于点集中的每对点 (xi, yi) 和 (xj, yj)，计算它们之间的距离d = √((xi - xj)² + (yi - yj)²)。
3.如果计算得到的距离d小于当前的最小距离，则更新最小距离为d。
4.遍历完所有的点对之后，最小距离即为所求。
同样地，该算法的时间复杂度为O(n²)，因为需要遍历所有点对，并计算它们之间的距离。
例谈求解多元函数最值问题的三种措施
备考指南多元函数最值问题中往往涉及了多个变量，无法直接运用简单基本函数的性质、图象来求得最值，因而此类问题一般较为复杂，需灵活运用基本不等式及其变形式，通过三角换元、数形结合来求得问题的答案.下面结合实例来探讨一下求解多元函数最值问题的三种措施.一、利用基本不等式及其变形式基本不等式是指若a,b>0，则a+b≥2ab.在求解多元函数最值问题时，通常需用到基本不等式及其变形式，如21a+1b≤ab≤a+b2≤(a、b>0)、a2+b2≥2ab、a+b+c≥3ab3c、n∑i=1n1x i≤∏i=1n x i n≤∑i=1n x i n≤.利用基本不等式及其变形式求解多元函数最值问题需注意几个条件：（1）每个变量是否都为正数；（2）是否可配凑出几个变量的和或积，并使其中之一为定值；（3）几个变量相等时等号是否成立.例1.已知a＜b，若不等式ax2+bx+c≥0对任意实数都成立，则M=a+2b+4cb-a的最小值为______.解：因为a＞0，b-a＞0，b2-4ac≤0，所以c≥b24a，故M≥a+2b+4∙b24ab-a=a2+2ab+b2a()b-a，则a 2+2ab+b2a()b-a=[]2a+()b-a2a()b-a=()b-a2+4a()b-a+4a2a()b-a=b-a a+4a b-a+4b-a a+4a b-a+4≥24=8，则M≥a2+2ab+b2a()b-a≥8，当a=3b时等号成立，故M的最小值为8.目标式中含有三个变量，需先找出变量之间的关系，通过恒等变换减少变量的个数，将目标式放缩为关于a、b的函数式；然后根据该式的结构特点，将其变形为几个简单分式的和，并使其中每两个式子的积为定值，即可根据基本不等式a+b≥2ab求得M的最值.例2.若x，y，z为正实数，x2+y2+z2=1，则yz x+ xzy+xyz的最小值为_____.解：由基本不等式可得：y2z2x2+x2z2y2+x2y2z2=12æèçöø÷y2z2+z2y2x2+12æèçöø÷x2z2+z2x2y2+12æèçöø÷x2y2+y2x2z2≥x2+y2+z2，则æèçöø÷yzx+xz y+xyz2=y2z2x2+x2z2y2+x2y2z2+2(x2+y2+z2)≥3()x2+y2+z2=3，即yzx+xz y+xyz≥3，当且仅当x=y=z=等号成立，故当x=y=z时，yzx+xz y+xyz有最小值3.对于本题，需运用基本不等式的变形式a2+b2≥2ab以及a+b+c≥3ab3c，才能顺利求得最值.在多次使用基本不等式及其变形式时，需确保在各个变量相等时，由基本不等式及其变形式得到的每个不等式的等号成立.二、三角换元由于多元函数最值问题中的变量较多，所以常常需通过三角换元，将问题中的变量化为关于某个角的三角函数，这样就能将问题转化为单变量函数最值问题来求解.通常可先根据题目中所给的条件，用三角函数sinα、cosα、tanα替换问题中的变量；然后通过三角恒等变换化简目标函数式，利用三角函数的图象、性质来求得最值.例3.已知实数x，y满足x2+y2≤1，求||x2+2xy-y2的最大值.解：令x=r cosθ、y=r sinθ，且0<r≤1，则||x2+2xy-y2=r2||cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ=r2||cos2θ+sin2θ=2r2||||||sinæèöø2θ+π4，因为sinæèöø2θ+π4∈[]-1,1，所以||x2+2xy-y2=||||||sinæèöø2θ+π4≤2r2≤2，故||x2+2xy-y2的最大值为2.54由x 2+y 2≤1可联想到同角的三角函数关系式sin 2θ+cos 2θ=1，于是令x =r cos θ、y =r sin θ，且0<r ≤1，即可通过三角换元，将目标式转化为三角函数式.最后根据正弦函数的有界性求出三角函数的最大值.例4.已知实数x ，y ∈R ，x 2-92y 2=2，求||2x +3y 的最小值.解：设ìïx =2sec θ，=2tan θ，S =||2x +3y =||22sec θ+2tan θ=||，∴||cos θS =22+2sin θ，∴||cos θS -2sin θ=22，∴S 2+4cos ()θ+ϕ=22≤S 2+4，∴S 2≥4，∵S ≥0，∴S ≥2，∴||2x +3y 的最小值为2.我们根据已知关系式x 2-92y 2=2，分别令x =2sec θ、32y =2tan θ，通过三角换元，将问题中的双变量x 、y 用单变量θ表示出来，就能将问题转化为关于θ的三角函数问题，利用辅助角公式以及正余弦函数的有界性进行求解即可.三、数形结合运用数形结合法求解多元函数最值问题，需深入挖掘目标函数式中代数式的几何意义，熟悉简单基本函数的解析式和图象，画出相应的图形，即可将问题转化为几何图形问题，通过移动点、直线、曲线的位置，确定取得最值时的临界情形，列出关系式，求得最值.例5.已知a ＞0，b ＞0，1a +1b=3，求a +b 的最小值.解：由1a +1b =3可得b =a 3a -1，因为3a -1＞0，所以a ∈æèöø13,+∞，令a +b =t ，则b =-a +t ，此时可以将t 看作直线b =-a +t 的纵截距.由图1可知直线b =-a +t 与函数b =a3a -1，a ∈æèöø13,+∞相切时，直线的纵截距最小值，可得b ′=-1()3a -12=-1，即a =b =23，则a +b 的最小值为43.通过数与形之间的互相转化，将函数最值问题转化为直线b =-a +t 与函数b =a3a -1图象之间的位置关系问题，即可通过分析直线与函数图象的临界情形：相切，确定a 、b 的取值，进而求得函数的最值.图1图2例6.已知x ，y ∈R ，则f ()x ,y =()x -y 2+æèçöø÷x +1y +12的最小值是_____.解：f ()x ,y =()x -y 2+æèçöø÷x +1y +12=()x -y 2+éëêêùûúú()x +12-æèçöø÷-1y 2，不妨将该式看作两点()x ,x +1、æèçöø÷y ,-1y 之间的距离的平方，显然()x ,x +1在直线y =x +1上，点æèçöø÷y ,-1y 在双曲线xy =-1上，画出图形，如图2所示.由图2可知当AC 垂直于直线y =x +1时，两点间的距离最短.则直线AC 的斜率为-1，且过原点，所以直线AC 的方程为y =-x ，得A ()-1,1，C æèöø-12,12，则||AC 2=12，所以f ()x ,y 的最小值为12.我们先将目标函数式变形为两式的平方和，即可根据两点间的距离公式，将目标式看作两点()x ,x +1、æèçöø÷y ,-1y 之间的距离的平方；然后结合图形，确定直线上的点到双曲线xy =-1上的点的最短距离，即可解题.解答多元函数最值问题，关键是研究问题中的变量和目标式，可通过变形目标式，利用基本不等式及其变形式求解；也可通过三角换元，将多变量化为单变量的三角函数问题来求解；还可以通过数形结合，将变量视为动点的坐标，通过研究动点、动直线、动曲线的位置关系，求得最值.同学们在解题时需仔细研究变量之间的关系，明确目标函数式的结构特点，选择与之相应的思路进行求解.（作者单位：江苏省启东市东南中学）备考指南55。
立体几何第三讲 空间几何体得最值问题
分清定量与变量，然后根据变量的取值情况，利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的
最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【玩转跟踪】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P1, P2 分别是线段 AB 、BD1（不
包括端点）上的动点，且线段 P1P2 平行于 平面 A1 ADD1 ，则四面体 P1P2 AB 的体积的最大值
锥 P-AEF 的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大.
【解析】因为 PA 平面 ABC, BC 平面 ABC，所以 PABC 又因为 BCAC, PA AC A ，所以 BC 平面 PAC，又 AF 平面 PAC，所以 BCAF ， 又 AFPC, PC BC C ，所以 AF 平面 PBC，即 AFEF 。EF 是 AE 在平面 PBC 上的 射影，因为 AEPB ，所以 EFPB ，即 PE 平面 AEF。在三棱锥 P AEF 中， AP AB 2, AEPB ，
5
.
5
又 P 在 BD 上运动，且当 P 运动到点 O 时，PQ 最小，等于 OQ 的长为 2 5 ，也就是异面直 5
线 BD 和 SC 的公垂线段的长.故选 B. 2.几何体表面上的最短距离问题
【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则 在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.
又∵ 0＜α+β＜π，∴(α+β)max＝π-arctan 2 ,(α+β)min＝π-arctan2 2 .
【迁移运用】
1．【西藏日喀则一中高三 10 月检测】已知正三C 的距离为1，点 是线段 的中点，过点 作球 的截面，则截面面
运用两点间的距离公式求最值
运用两点间的距离公式求最值-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．一、求函数的最值例１求函数224131026y x x x x=-++-+的最小值．分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：2222(2)(03)(5)(01)y x x=-+-+-++，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决．解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），(51)N-，，(0)P x，．则2222(2)(03)(5)(01)y x x=-+-+-++MP PN MN=+≥22(52)(13)5=-+--=即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴min 5y=．评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．例2 求函数22222222()(1)(1)(1)(1)f x y x y x y x y x y=++-+++-+-+-，的最小值．分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．解：如图2，()f x y，表示在平面直角坐标系中的动点()P x y，到定点(00)A，，(10)B，，(01)C，，(11)D，的距离之和．而APD△中，PA PD AD+≥，当且仅当点P在线段AD上时等号成立；CPB△中，PC PB BC+≥，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，所以PA PD PC PB AD BC ++++=≥Ｐ为AD 与BC 的交点时， f（x ，y ）取得最小值，此时点P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 二、求距离的平方和的最值例3 已知点(21)A ，，(22)B ，，点00()P x y ，满足y =2x ，求22PA PB +取得最小值时点P 的坐标．分析：利用两点间距离公式将22PA PB +表示为()f x y ，的形式，再消元得一个关于x （或y ）的二次函数，最后求值．解：由已知点00()P x y ，满足002y x =，结合两点间的距离公式，得 2222220000(2)(1)(2)(2)PA PB x y x y +=-+-+-+-220000288265x x y y =-++-+2200002888625x x x x =-++-⨯+200102013x x =-+ 2010(1)3x =-+，当01x =时，22PA PB +取得最小值3，此时点P 的坐标为（1，2）．评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数()f x y ，，然后通过消元转化为关于x （或y ）的函数f （x ）（或f （y ）），再求解． 一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现求函数的最值1．已知P (－2, －2), Q (0, 1), R (2, m )，若|PR |+|RQ |最小，则m 的值为（A ）21 （B ）0 （C ）－1 （D ）－34 2．已知A (8, 6), B (2, －2)，在直线3x －y +2=0上有点P ，可使|PA |+|PB |最小，则点P 坐标为（A ）(2, 0) （B ）(－4, －10) （C ）(－10, －4) （D ）(0, 2)3．已知点A (1, 3), B (5, －2)，在x 轴上取点P ，使||PA |－|PB ||最大，则点P 坐标为 .4．函数y 的最小值为 .5求函数y＝x2－2x＋2＋x2－4x＋8的最小值．。
直线上两点间的距离公式及其应用
由
A = (k 十 2) “ 一2
4> 0得
5t an ' a 一 1
1 + 2t an' a
1 2
k > 一2 + 2 丫 万 或 k < 一 2 一2 了丁 . :. 1 XI < V-2.
即点 M 的轨迹方程为
= 双1 干承 an' a)
1
3( 1 + tan' a)
1 一 2
2x + y 一4 = 。 ( ix }< vl-2 丫 万).
2. 3 用 于 解 决 最 值 问题
， 言，寸 . Ta n 乙
〕 》 3(1-F -
最值问题是解几中的常见问题， 直线上
6 5 .
两点间距离公式可用于建立 目标函数， 或将 相关的几何条件代数化， 从而为求最值铺平
道路. 例 4 如图 3 ， 过点 。 ， v 而 _、、‘ ， 、、 ， _ ‘ 二
XXJ > o ,
y y l
z 一 y 十 7 “ o,
2.x + y + 2 二 0.
> 0,
得
A ( 一 3 , 4) .
’ 点 A 到 BC 边的距离为 .
}AD I = [ 一3k 一41=
1 十 k2
.xs ; 二 x 圣 ， yyl = y2. 丑+ y l 2 1 8 -
① ② ③ ④
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运用点到直线的距离公式求最值
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ＡＤ一九．在Ｒｔ△ＣＥＦ中，由ＥＣ＞ＦＣ，直接
可以得出以一ｆ＞６一九．所以有“＋凡＞６＋ｆ． 在么Ａ是钝角
的情况下，如图２，
我们作ＡＥ上ＡＢ，
使它和ＢＣ边相交
于Ｅ点．对Ｒｔ
△ＡＢＥ运用刚才
图２
证明的结论可得：
ＥＢ＋ＡＤ＞以Ｂ＋ＡＥ＞ＡＢ＋ＡＣ—ＣＥ．
移项后立即可以得出：ＢＣ＋ＡＤ＞Ａ８＋ＡＣ，
此即为“＋＾。＞６＋ｃ．
下面再给出另一个证明，只需要用到余
弦定理等知识，不需要涉及三角函数的过多
性质．
证明２ 由面积公式和余弦定理，我们
可以得出：
１
１
专日＾。一‘｝６ｃ＇ｓｉｎ Ａ，
“２＝６２＋ｆ２—２６ｃｃｏｓ Ａ． 又由ｓｉｎ Ａ—ｃｏｓ Ａ—ｓｉｎ（７ｃ一以）十ｃｏｓ（丁ｃ —Ａ），及么Ａ≥９０。立即可以得出ｓｉｎ／ｌ—ｃｏｓ
Ａ≥１（ｏ＜７ｒ—Ａ≤昙）．于是 厶 （“＋＾。）２一以２＋２以＾。＋丸２＞口２＋２以＾。 ＝６２＋ｆ２—２６ｆｃｏｓ Ａ＋２６ｃ．ｓｉｎ Ａ ≥６２十ｃ２十２如一（６＋ｆ）２．
故“＋＾。＞６＋ｃ’．
纠吲嘲髀硝蹦喇嘲豫蝴嘲嘴嘲辫均髀啊静—时呻雅捌糖础嘶瑚料－嬲酗聊－锄蚴－锄－僦１
运用点到直线的距离公式求最值
２００１年第２期
中学数学月刊
·３９·
该题的证明几乎用了一页的篇幅．其实
用纯几何的方法也能给出简洁的证明，而且 初二学生都能理解．
证明１ 先对
最值问题
相 切的圆的 方程。
作业： 1.例2； 2.练习1的（1）（4）（6）（7）（8） 3.例7和变式。
最值问题
一.利用两点间的距离公式解决的问题：
若P(x1, y1), P (x2 , y2 ),则 PP = (x2 − x1) + ( y2 − y1) 1 2 1 2
2 2
(1).求函数y = x 2 − 4 x + 5 + x 2 − 2 x + 10的最小值。 例1. (2).求函数有y= x 2 − 2 x + 10 − x 2 − 4 x + 5的最大值。
三.圆的切线问题： 例5. 求与圆x 2 + y 2 = 4相切于点(1, 3)的切线方程。
求与圆(x-1)2 + ( y − 2) 2 = 10相切于 例6. 点(2, −1)的切线方程。
总结：与圆x 2 + y 2 = r 2相切于点(x0 , y0 )的切线方程是： 1. x0 x + y0 y = r
2 2 2 2
2.与圆( x − a) + ( y − b) = r 相切于( x0 , y0 )的切线方 程是：(x0 − a)( x − a) + ( y0 − b)( y − b) = 0
3 例7.求过点（-4，）且与圆x 2 + y 2 = 5相切的圆的方程。
变式：求过点P(−2, 4)且与圆( x − 2) + ( y − 1) = 5
二.可利用斜率解决的最值问题：
若P (x1, y1), P(x2 , y2 )，则 PP = (x2 − x1) + ( y2 − y1) 1 1 2
2 2
已知实数x, y满足(x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 4, 例4. . y y−2 求下列式子的范围：(1) ；（2） x x +1
计算点集两点间距离最大值
计算点集两点间距离最大值计算点集两点间距离最大值是一种常见的空间分析方法，可以反映物体在空间内的布局特征，经常被用来做几何问题的解决或作为地理信息系统的基础。
本文就如何计算点集的两点间距离最大值进行详细的阐述。
一、计算点集两点间距离最大值的原理1、欧氏距离：欧氏距离是一种测量两点理论距离的方法，它是由欧几里得于18不久前引入的，这个方法定义了两个点之间的距离。
计算公式表示为：d(x,y)=√（x1-y1）2+（x2-y2）2+……+（xn-yn）22、曼哈顿距离：曼哈顿距离（Manhattan distance），又叫萼卡距离，是起始点坐标到目标点坐标的“直线”距离，也就是经过垂直或水平的“网格”点的距离，其距离计算公式为：d(p,q)=|x1-x2|+|y1-y2|3、切比雪夫距离：切比雪夫距离是一种空间两点距离计算方法，可以用于比较多维中向量和以多项式形式表示的函数之间的距离，它定义了两个数据之间的最小距离，其公式表示为：d(x,y)=max{|f1(x)-f1(y)|,|f2(x)-f2(y)|,...|fn(x)-fn(y)|}二、计算点集两点间距离最大值的方法1、Brute force法：Brute force法是最简单的计算点集两点间距离最大值的方法，它是采用暴力搜索的方法，即将所有的坐标点分别相互配对求出对应的距离，然后再对这些距离求出最大值，此方法时间复杂度较大，一般情况下不采用。
2、Divide and Conquer法：Divide and Conquer法是计算点集两点间距离最大值的一种解决方案，它的实现要点是把原问题划分为不同的子问题，子问题的解决又是逐步合并和过滤。
划分的方法是：首先根据x 坐标对点集进行排序，然后划分为多个不同的子集，子集内部运用暴力搜索法，得出子集内最大值，最后把各个子集的最大值进行比较，得出点集两点之间的最大值。
三、实际操作1、建立计算模型：计算点集最大距离，一般建立一个多项式模型，以便更好地进行计算。
数轴上两点间的距离公式及中点公式
x
（1）线段 AC的中点对应的数是多少？中点 对应的数与 A、C 两点对应的数有怎样的关系？
（2） 线段AD的中点对应的数是多少？中点对应 的数与 A、D 两点对应的数有怎样的关系？
数轴上两点的中点公式
A(a)
B(b)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，A对应的数为a，B对应 的数为b，则AB中点对应的数x满足关系式
若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？若有，求 出最小值；若没有，请 说明理由.
解：|x-1|+|x+3| =|x-1|+|x-（-3）|
它的几何意义： 在数轴上表示x的点与1和-3这两个点的距离和
4
-1 0 1 2 3
∴有最小值，最小值是4.
如下图：
CA
D
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
假设：数轴上点A、B表示的数分别是a、b. 用|AB|表示点A和点B之间的距离 若a＞b（A在B的右边)，则|AB|=a-b 若a＜b（A在B的左边)，则|AB|=b-a
以上规律能统一吗？你能用一个式子表示吗？
数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝 对值。即A,B两点之间的距离为|AB|= |a-b|
规律：数轴上的点，向正方向移动就加上移 动的单位，向负方向移动，就减去移动的单位
练习：若b= - 3,把B点向正方向移动2个单位， 再向左运动5个单位后表示的数是 ——，
练习：若a= - 3, 点A和点B之间的距离为4,则B表示 的数是 ————
若b= 2019, 点A和点B之间的距离为3,则A 表示的数 是 ————
a b
X=－3，点B对应的数为5，求： （1）|AB|；（2）A，B 两点的中点对应的数x．
一、双曲线上点到坐标轴上点的距离最值
根据两点距离公式，利用双曲线方程，借助代入消元法，消去其中一个变量，得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式，将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解，注意变量的取值范围.先看例题：已知双曲线224:y C x -=求点(1,0)P 到此双曲线上的点的最近距离.整理：焦点在x 轴上的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点(),P x y ， (),0M m ，2222222||()()(1)x PM x m y x m b a =-+=--- ()0,N n ，2222222||()(1)()y PN x y n a y n b =+-=++- 两点距离的最值问题转化成二次函数的最值问题进行求解，注意变量,x y 的取值范围，其中||,x a ≥y R ∈焦点在y 轴上的双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 类似处理. 再看一个例题，加深印象例：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率25=e ，点A （0，1）与双曲线上的点的最小距离是5302，求双曲线的方程．总结：1. 根据双曲线不同形式的标准方程及两点距离公式，写出双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量x 或y 的函数表达式.2. 根据变量,x y 的取值范围，求出二次函数的最值，进而求出双曲线上点到坐标轴上点的距离最值.练习：1. 已知双曲线C:221x y -=,点A(a ,0) (a >0) 到双曲线上的点的最近距离为d ,求解析式d= f (a ).2. 已知双曲线C:2214x y -=,P 是C 上的任意点. (Ⅰ)求证:点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(Ⅱ)设点A 的坐标为(3,0),求|P A |的最小值.答案：1.解：2222222()()12()122a a d x a y x a x x =-+=-+-=-+-，||1x ≥0＜a ≤2时，点A(a ,0)到双曲线的距离的最小值()|1|f a a ==-；当 a ＞2时，点A(a ,0)到双曲线的距离的最小值()f a =(Ⅱ)设P 的坐标为(x ,y ),则|P A |2＝(x －3)2＋y 222(3)14x x =-+- 25124()455x =-+.∵|x|≥2,∴当125x 时,|PA|2的最小值为45,即|P A|。
解题研究 二次曲线中的距离最值问题 点点问题 点线问题 线段和差问题 ...--7.12
二次曲线的最值问题距离问题常见的有四大类：1.求圆锥曲线上一动点到某一定点的距离的最值问题解题策略：（1）定义法：如果该定点恰好是该圆锥曲线的焦点或其他特殊点时，可以利用定义以及一些小结论来解决问题；（2）直接法：直接设动点(,)x y 和使用两点间的距离公式，然后通过曲线方程换元，将其化简为二次函数的最值问题来解决，但是要注意圆锥曲线变量的取值范围；2.求圆锥曲线上的一动点到某一直线距离的最值问题解题策略：（1）直接法：若是抛物线，往往可以直接设动点(,)x y 和使用点到直线的距离公式，然后通过曲线方程换元，将其化简为二次函数的最值问题来解决，但是要注意圆锥曲线变量的取值范围；（2）参数法：若是椭圆，直接法在曲线方程换元那里出现问题，所以可以设成参数方程c o s s i n θθ==x a y b ， 也是将其转化为三角的最值问题来解决；（3）切线法：特殊做法，仅限此类题。
由图像可知，往往是曲线与将直线相离，将直线平移，直到相切时，切点就是那个最值的特殊点，此时只需利用综合法的0∆=即可求出切线方程，再利用两平行线间的距离公式即可；3.求圆锥曲线上的一动点到两个点（或者线等）两个距离之和（或者之差）的最值问题（两距离最值）解题策略：基本都不能直接做，利用定义转移，运用平面几何知识找到最值，直接计算即可；4.求圆锥曲线上的一动点到另一动点的最值问题（多动点最值）解题策略：基本都不能直接做，“主动点”在圆锥曲线上，而“副动点”往往是在圆上，最值就是直接计算到圆心的距离，再加（减）半径（可用三角形两边之和大于第三边来证）。
然后，再利用定义转移，即可。
椭圆题型一：点到点的距离问题例题1：点P 在椭圆2221(1)+=>x y a a上，点Q 是短轴的一个端点，则PQ 的最大值为 ．解：设(,)P x y ，取(0,1)Q ，则222222(1)(1)2(1)(11)=+-=-⋅-++-≤≤PQ x y a y y a y ， 对称轴是211=-y a，，开口向下，所以讨论如下：①2111≤--a，即1<≤a ，当1=-y 时，PQ 有最大值，为2；② 21101-≤<-a ，即≥a 211=-y a 时，PQ 点评：坐标法。
解析几何中求距离最值问题的方法与策略
解析几何中求距离最值问题的方法与策略作者：洪其强来源：《广东教育·高中》2013年第10期关于解析几何中的距离的最值问题，是我们在高考复习中经常遇到的一种题型，它有时以函数最值的形式出现，有时直接以解析几何题的形式出现，对于这种题型的处理方法，如果得当，就会达到事半功倍的效果.本文以几个例题来谈谈有关这种题型的最佳解决方法.一、直线上一点到两已知点的距离的最值问题1. 同侧求差取最大，直接连接找交点.例1. 设有两点P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、 y∈R+，求P、Q到原点O的距离之差的最大值，并求取得最大值时的x和y 的值.分析：由题意可知=|OP|-|OQ|= - = - ，即在x轴上求一点M（x，0），使它到点A（0，3）和点B（2，2）距离的差取得最大值 .又A、B两点都在x轴的同侧，为此，连接AB并延长使之交x轴于一点，易证该点即是所求的点M，从而AB的长就是所求的最大值.解析：由分析易得|OP|-|OQ|的最大值为|AB|= ，此时直线AB的方程为y=- x+3.令y=0得x=6即所求的x=6，y=-4.2. 异侧求差取最大，找出对称直接连.例2. 在直线l∶3x-y-1=0上求一点M使它到点A（4，1）和点B（0，4）的距离的差最大.分析：由题意可知A、B两点分别在直线l的两侧，故设B（0，4）点关于直线l∶3x-y-1=0的对称点为B′，易求得B′（3，3），连接AB′并延长交于l一点，易证该点即是所求的点M.解析：由分析易得|MA|-|MB|的最大值为|AB′|= ，此时直线AB′的方程为y=-2x+9.由3x-y-1=0，y=-2x+9？圯x=2，y=5，故所求M点为（2，5）.3. 异侧求和取最小，直接连接找交点.例3. 求函数f（x）= + 的最小值.分析： f（x）= += + 表示动点P（x，0）到定点A（-3，3），B（5，-1）的距离之和，而A、B两点分别位于x轴的上下两侧，由此连接AB交x轴于一点，易证该点即是所求的P点.解析：由题意及分析易得直线AB的方程为y=- x+ ，令y=0得x=3即所求的P点为（3，0）.4. 同侧求和取最小，找出对称直接连.例4. 在直线l∶x-y+9=0上任取一点P，又知M（-3，0），N（3，0），试问P点在何处时|PM|+|PN|取得最小值？解析：由题意可知M（-3，0），N（3，0）在直线l同侧，要使|PM|+|PN|取得最小值.设M（-3，0）点关于直线l∶x-y+9=0的对称点为M′，易求得M′（-9，6），连接M′N并延长交l于一点，易证该点即是所求的点P. 又直线M′N的方程为y=- x+ ，即x+2y-3=0.由x-y+9=0，x+2y-3=0，得x=-5，y=4，即所求P点位置为（-5，4）.点评：由上可知，上述问题可用如下口诀给予解决：同侧求差取最大，直接连接找交点；异侧求差取最大，找出对称直接连；异侧求和取最小，直接连接找交点；同侧求和取最小，找出对称直接连.二、利用数形结合求距离的最值问题例5. 设m≥1，求坐标平面上两点A（m+ ，m-），B（1，0）之间距离的最小值.分析：此题若直接用距离公式求解，比较麻烦. 如果从轨迹图形入手，最简捷.先将动点的轨迹求出来，将动点与定点的距离最值问题转化为定点与轨迹上的点的距离的最值问题.解析：A不是动点吗？那么A的轨迹是什么？这是十分自然的联想，由x=m+ ，y=m- 可知，A点的轨迹方程为x2-y2=4，绘出如上图所示的双曲线的一支，立即可以看出，|AB|的最小值为1 .三、将两个动点转化为只有一个动点例6. 如图，设P为圆（x-3）2+y2=1上的动点，Q为抛物线y2=x上的动点，求|PQ|的最小值.分析：利用圆上动点到圆心的距离等于常数的特点，将圆的动点转化为圆心定点，从而两个动点的距离最值问题，就转化为一个动点到一个定点的距离的最值问题.本题P，Q两点都是动点，如果设这两个点的坐标来求，显然非常困难. 这就需要把这两个变量转化为一个变量来处理. P点在圆上运动，但P点到圆心M（3，0）的距离是定值，利用这个定值来解决.解析：设Q（y2，y），则|QM|2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2- ）2+ ≥ .取等号当且仅当y=± .故|PQ|的最小值为 -1.四、利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求距离的最值问题例7. 已知椭圆 + =1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得|MP|+2|MF|取得最小值.分析：利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求最值.解析：a2=4，b2=3，c2=1即F（1，0）. 由M向右准线作垂线，垂足为N，则 = = .即|MN|=2|MF|.故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|.显然当M，P，N共线时，|MP|+|MN|最小，由 + =1，得x=±，因为x>0，所以M（，-1）.（作者单位：贵州省龙里中学）责任编校徐国坚。
两点间距离公式韦达定理
两点间距离公式韦达定理
两点间距离公式韦达定理：
1、设两点（x1，y1），（x2，y2），距离公式：d=√[（x1-x2）²+（y1-y2）²]。
2、设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）两根为x1，x2。
3、韦达定理：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
两点间距离公式用韦达定理推导过程：x1-x2的绝对值等于
（x1-x2）的平方再开根号，（x1-x2）的平方等于（x1-x1）×（x1-x2）-4x1x2=（b/a）（b/a）-4c/a（x1+x2=b/a，x1/x2=c/a），得到两点间的距离为根号下（b×b-4ac）再除以a的绝对值。
扩展资料：
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
知识点166 两点间的距离公式(填空)
1、点P（﹣2，4）到坐标原点的距离是2．考点：两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：根据两点之间的距离公式即可求解．解答：解：设原点为O（0，0），根据两点间距离公式，∴PO===2，故答案为：2．点评：本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，关键是掌握设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=．2、点A（3，﹣2）与点B（0，2）之间的距离为5．考点：两点间的距离公式。
分析：直接利用两点间的距离公式可求解．解答：解：AB==5．故答案填：5．点评：本题主要考查了坐标系中的两点间的距离公式．要掌握才能灵活运用．AB=．3、已知点A（﹣3，2），B（3，2），则A，B两点距离为6．考点：两点间的距离公式。
分析：根据两点间的距离公式可直接解答．解答：解：∵点A（﹣3，2），B（3，2）的纵坐标相同，∴AB平行于x轴，∴AB=3﹣（﹣3）=6．故答案填：6．点评：此题考查的是两点间的距离公式，比较简单．4、在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是．考点：两点间的距离公式。
分析：本题可根据两点之间的距离公式得出方程：，化简即可得出答案．解答：解：点A（﹣1，0）与点B（0，2）的距离是：=．故答案填：．点评：本题主要考查了两点之间的距离公式，要熟记并灵活掌握．5、已知平面直角坐标系中A（﹣5，12），则点A到x轴的距离为12，到y轴距离为5，到原点的距离为13．考点：两点间的距离公式。
分析：直角坐标系中，某点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的确距离是它的横坐标的绝对值，到原点的距离为．解答：解：∵平面直角坐标系中A的坐标为（﹣5，12），∴|﹣5|=5，|12|=12，==13，即点A到x轴的距离为12，到y轴距离为5，到原点的距离为13．故各空依次填：12，5，13．点评：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，在解答此题时要注意求点到原点的距离时要用到勾股定理．6、点P（a，b）到原点的距离为．考点：两点间的距离公式。
两点到定长的距离之和的最大值
两点到定长的距离之和的最大值两点之间的距离是我们日常生活中常常接触到的概念。
而两点到定长的距离之和的最大值，则是一个更加具体的问题。
让我们用人类的视角来探讨一下这个问题。
假设有两个点A和B，它们之间的距离是已知的。
现在的问题是，如果我们从A点出发，以一定的速度移动，并且在给定的时间内到达B点，那么我们可以选择的路径有很多种，这些路径都满足我们的要求。
那么，如何选择一条路径，使得两点到定长的距离之和最大呢？我们需要明确两点之间的距离是已知的，这意味着我们可以通过测量或计算得到这个值。
其次，我们需要确定我们的速度是恒定的，这样我们才能在给定的时间内到达目的地。
另外，我们还需要考虑到我们的移动路径是连续的，而不是跳跃式的。
在这种情况下，为了使两点到定长的距离之和最大，我们可以考虑选择一条直线路径，这样我们的移动路径是最短的。
因为如果我们选择曲线或弯曲的路径，我们的总距离将会增加，从而使两点到定长的距离之和减小。
当然，这个问题还可以引申出更多的情况和扩展。
比如，如果我们不仅要考虑两点之间的距离，还要考虑到路径的不同地形或障碍物，那么我们可能需要选择绕过这些障碍物的路径，这样会增加我们的总距离。
如果我们不仅要考虑到时间，还要考虑到其他因素，比如经济成本或安全性，那么我们的选择可能会发生变化。
因为在现实生活中，我们往往需要在不同的因素之间进行权衡和取舍。
两点到定长的距离之和的最大值是一个有趣的问题。
它不仅涉及到数学和几何的概念，还涉及到我们日常生活中的实际情况。
通过合理的选择路径和权衡不同的因素，我们可以找到一种使两点到定长的距离之和最大的方式。
这不仅是一个有挑战性的问题，也是对我们思维能力和创造力的一种考验。
让我们一起探索这个问题，寻找最优解吧！。
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运用两点间的距离公式求最值
两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式•根据题设条件，构设点的坐标，利 用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的 解答•现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明.
一、求函数的最值
例1 求函数y
x 2 4x 13 , x 2 10x 26的最小值.
分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数 为这
两个根式各自的最小值是在不同的 较繁琐，仔细
y
化为几何问题来解决.
解：如图1，在平面直角坐标系内，设点 M
(5 2)2 ( 1 3)2
5
即y >5 (其中等号在M,
评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开.
例 2 求函数 f (x,
y) , x 2 y 2 , (x 1)2 y 2 , x 2 (y 1)2 , (x 1)2 (y 1)2 的最小值.
分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的 距离公式，则可简化解答过程.
解：如图2, f (x , y)表示在平面直角坐标 系中的动点P(x, y)到定点A(0,0)，B(1,0)， P 在线段AD 上时等号成立；A CPB 中， PB > BC ，当且仅当点P 在线段BC 上时等号成立,
7' C(0.1)
4(o,oy
图2
y 的最小值，因 x 处取得的.如果从代数的角度考虑，其解答将会比 观察式子的结构，改变式子的表示形式： ,.'(x 2)2 (0 3)2 ..(x 5)2 (0 1)2，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转
N(5, 1)，P(x,O).
则 y , (x 2)2
(0 3)2 MP | |PN > MN
P, N 三点共线时成立)，
PI I
C(0，)， D(1,1)的距离之和.
而厶APD 中，PA PD > AD ，当且仅当点
PC
」(x 5)2 (0 1)2
所以PA |PD PC PB > AD |BC 242，当且仅当点P为AD与BC的交点时，f
(x, y)取得最小值2、2，此时点P的坐标为1,1.
2 2
二、求距离的平方和的最值
2 2
例3已知点A(2,，)，B(2,2)，点P(x o, y o)满足y=2x，求PA | PB取得最小值时点P
的坐标.
分析：利用两点间距离公式将PA2 PB2表示为f(x, y)的形式，再消元得一个关于x (或y)的二次函数，最后求值.
解：由已知点P(x。
，y o)满足y o 2x o，结合两点间的距离公式，得
PA2PB 2
(x o 2)2 (y o1)2 (x o 2)2 (y o 2)
2x0；8x o82y26y o 5
2xo8x o88xo 6 2x o5
10处20x013
2
10( x o 1) 3，
当x o 1时，|PA2 |PB2取得最小值3,此时点P的坐标为(1，2).
评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数
f (x, y)，然后通过消元转化为关于x (或y)的函数f (x)(或f (y)),再求解.
一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，
利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处. 以上仅介绍了两点间的距离
公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现求函数的最值
1.已知P(-2, - 2), Q(O, 1), R(2, m),若| PR+| RQ 最小，贝U m 的值为
1 4
(A) - (B) O (C)- 1 (D)--
2 3
2 .已知A(8, 6), B(2, - 2)，在直线3x- y+2=O上有点P,可使| PA|+| PB|最小，则点P坐标为
(A) (2, 0) (B) (-4, - 10) (C) (- 10, - 4) ( D) (0, 2)
3 .已知点A(1, 3), B(5, - 2)，在x轴上取点P,使|| PA| - |PBI最大，则点P坐标
为________________ .
4 .函数y=・-x2 1 . x2 4x 8的最小值为_______________________ .。