线性规划模型的应用分析

第3章线性规划模型的应用

1.某企业制造三种仪器，甲种仪器需要17小时加工装配，8小时检测，售价300元。乙种仪器需要10小时加工装配，4小时检测，售价200元。丙种仪器需要2小时加工装配，2小时检测，售价100元。三种仪器所用的元件和材料基本一样，可供利用的加工装配时间为1000小时，检测时间为500小时。又根据市场预测表明，对上述三种仪器的要求不超过50台、80台、150台。试求企业的最优生产计划。

解：首先将问题中的数据表示到如下表格：

i

maxZ=300x1+200x2+100x3

17x1+10x2+2x3≤1000

8x1+4x2+2x3≤500

x1≤50

x2≤80

x3≤150

x1,x2,x3≥0

2. 某铸造厂要生产某种铸件共10吨，其成分要求：锰的含量至少达到0.45%，硅的允许范围是

3.25%~5.5%。目前工厂有数量充足的锰和三种生铁可作为炉料使用。这些炉料的价格是：锰为15元/公斤，生铁A为340元/吨，生铁B为380元/吨，生铁C为280元/吨。这三种生铁含锰和含硅量（%）如表3.22所示，问工厂怎样选择炉料使成本最低。

表3.22

成分锰有部分是纯锰，部分是从生铁中提炼出来的，所以改进表格如下：

设铸件中含有三种生铁和锰的量分别为xi（i=1，2，3，4）吨，则数学模型如下：

maxZ=340x1+380x2+280x3+15000x4

x1+x2+x3+x4=10

0.45%x1+0.5%x2+0.35%x3+x4≥0.45%*10

4%x1+1%x2+0. 5%x3≥3.25%*10

4%x1+1%x2+0. 5%x3≤5.5%*10

xi≥0（i=1，2，3，4）

3. 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问应如何下料，可使所用原料最省。

解：

4. 绿色饲料公司生产雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料。这三种饲料是由A、B、C三种原料混合而成。产品的规格要求、产品单价、日销售量、原料单价见表3.23、表3.24。受资金和生产能力的限制，每天只能生产30吨，问如何安排生产计划才能获利最大？

表3.23

产品名称规格要求销售量（吨）售价（百元）

雏鸡饲料原料A不少于50%

5 9 原料B不超过20%

蛋鸡饲料原料A不少于30%

18 7 原料C不超过30%

肉鸡饲料原料C不少于50% 10 8

表3.24

含有第j种原料的数量（吨），即：

则数学模型如下：

MaxZ=9(x11+x12+x13)+7(x21+x22+x23)+8(x31+x32+x33)-5.5(x11+x21+x31)-4(x12+x22 +x32)-5(x13+x23+x33)

x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33=30

x11+x12+x13≤5

x21+x22+x23≤18

x31+x32+x3≤10

x11≥50%*(x11+x12+x13)

x12≤20%*(x11+x12+x13)

x21≥30%*(x21+x22+x23)

x23≤30%*(x21+x22+x23)

x33≥50%*(x31+x32+x33)

X11,x12,x13,x21,x22,x23,x31,x32,x33≥0

5. 假定人体每日需要的营养成份：蛋白质、脂肪、糖、维生素的数量至少为b1、b2、b3、b4，而含有上述营养的食品有粮食、肉类、蔬菜,每种食品每单位所含各种营养成份的数量分别为a ij (i =1，2，3；j = 1，2，3，4) ，若已知每种食品的单价分别为c1，c2和c3，试确定在满足营养需要的条件下最便宜的食品购买计划。

解：

设x1 x2 x3分别表示粮食、肉类、素菜的量，则问题的数学模型如下：

minZ=c1x1+c2x2+c3x3

a11x1+a21x2+a31x3≥b1

a12x1+a22x2+a32x3≥b2

a13x1+a23x2+a33x3≥b3

a14x1+a24x2+a34x3≥b4

x1、x2、x3≥0

6. 某超市制订某商品7月至12月进货售货计划。已知超市仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次。假设各月份某商品买进、售出单价如表3.25所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最大？

表3.25

i i

某商品7月至12月售货量，则：

MaxZ=22y7+19y8+20y9+23y10+21y11+19y12-21x7-18x8-20x9-22x10-20x11-19x12

200+x7≤500

200+x7-y7+x8≤500

200+x7-y7+x8-y8+x9≤500

200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10≤500

200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11≤500

200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11-y11+x12≤500

200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11-y11+x12-y12=0

x i（i=7,…12）≥0

y i（i=7,…12）≥0

7. 某地区有两个煤场A、B，承担供应三个居民区的用煤任务。两个煤场每个月分别供煤60吨、100吨，而三个居民区每月用煤分别为45吨、75吨、40吨。煤场A离三个居民区分别为10公里、5公里、6公里，煤场B离三个居民区分别为4公里、8公里、15公里，两个煤场应如何分配供煤，才能使运输力达到最小。

解：运输费用表如下：