上海嘉定区2018-2019高二下期末数学卷(答案)

合集下载

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)

8分.
在二项式」-的展开式中：
7
（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项.
21.（本题满分1 4分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分
8分.
已知圆I:I•
(1)求过点，.I的圆C的切线的方程;
形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为<a href="/">.■-cm
的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升<a
href="http://www.7caiedu.c n/">「cm，贝U <a href="http://www.7caiedu.c n/">"-
6.设<a href=""> ■.分别是双曲线<a
rhref="">:— -—1的左、右焦点，若点<a
9
href="">p在双曲线上，且FF尸F二0，贝VPF、=
7.若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是
cm .
12.如图，匕…一中，.厂一门丁二一；匸..二厂一:，在三角形内挖去半圆，圆心
在边AC上，半圆与BC AB相切于点C M,与AC交于点N,则图中阴影部分绕直线
AC旋转一周所得旋转体的体积为.
13.已知抛物线|，过定点二门作两条互相垂直的直线•，
与抛物线交于•.两点，与抛物线交于••两点，设.的斜率为•若某
23.(本题满分1 8分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分

2018-2019学年上海中学高二(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（每题 3分）1- （ 3 分）11血（1丄）= _________ -2. ____________________________________________________ （ 3 分）已知等差数列 a i = 3, a n = 21, d = 2，贝U n = __________________________________ .3. （ 3 分）数列｛a n ｝中，已知 a n = 4n - 13?2n +2, n €N* , 50 为第 _______项.4. ________________________________________________________________ （ 3 分）｛a n ｝为等比数列，若 a 1+a 2+a 3= 26, a 4 - a 1= 52,贝U a n = ______________________ .n*5. （3 分）用数学归纳法证明（n+1）（ n+2）（n+3）•••（ n+n ）= 2 ?1?3?5•••（2n - 1）（n€N ）时，从n = k 到n = k+1时左边需增乘的代数式是 __________ .6. ___________________________________________________________________________ （3 分）数列｛ a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 3, a n+1= （2n - a n （n = 1, 2,…），贝U a 3 等于 _______ .7. （ 3 分）数列｛x n ｝满足 x n+1 = x n - x n -1, n 》2, n €N*, x 1= a , x 2= b ,贝U x 2019= ______ . & （ 3分）数列｛a n ｝满足下列条件：a 1 = 1，且对于任意正整数 n ,恒有a 2n = a n +n ，贝U a 二9. ( 3 分)数列｛a n ｝定义为 a 1 = cos 0, a n +a n+1 = nsin 肝cos B , n 》1,贝U S 2n+1 = ___ 10. （3分）已知数列｛a n ｝是正项数列，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足11. （3分）若三角形三边成等比数列，则公比 q 的范围是 ________12. （3 分）数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 2, a 3 = 3 , a 4 = 4 , a 5= 5,当 n 》5 时，a n+1 = a 1?a 2?…?a n - 1,则是否存在不小于 2的正整数 m ,使a 1?a 2?…？ a m = a 1 +a 2 +…+a m 成立？若存在，则在横线处直接填写 m 的值；若不存在，就填写"不存在" ____________ . 、选择题（每题 3 分）已知等差数列｛a n ｝的公差为2,前n 项和为S n ,且S 10= 100 ,则a 7的值为LI * I右b n ,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，贝y T 99= _________13. (3 分)A . 11B . 12C . 13D . 142C . 514. (3 分) 等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 3= a 2+10a 1, a 5= 9，贝U a 1=（g15. （3分）设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为 3,若 S m- 1 =- 2, S m = 0, S m+1 = 3，贝V m =16. ( 3 分)设 0v aV兀~2 LT * . ■，右 x 1= sin a,x n+1 = (sin a) V- ( n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是( )A .递增数列B .递减数列C •奇数项递增，偶数项递减的数列D •偶数项递增，奇数项递减的数列三、解答题17. (8分)等差数列｛a n｝的前n项和为S n, S4=- 62, S6=- 75设b n= |a n|,求数列｛b n｝的前n项和T n.218. (10 分)已知数列｛ a n｝的前n 项和S n= n - 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足：a n+1+log3n = log3b n ( n€N*),求｛ b n｝的前n项和T n (结果需化简) 19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件.若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为(n- 1)千元时多卖出亠件，(n讯*).2口(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a= 10, b= 4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？2 S |i ? Io20. (10 分)设数列｛a n｝的前n 项和S n,已知a1= 1, = a n+1 - - n-—, n€N*.n 3 3(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)是否对一切正整数n,有1丄十…丄＜?注?说明理由.Sj a 2 3 n+121. (14 分)设集合S n= ｛(x1, x2,…，x n) X：€｛0 , 1｝(i = 1, 2,…，n) ｝，其中n €N*,n》2.(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1?2°+b2?21 + - +b n?2n-1“的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；a n, ,(b1, b2,…b n,…)€S，使得a1?(=) +a2? )2+…+an?(丄)•= A,且(3)设集合S= { (X1, x2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1, 2…，n…)}设(a1, a2,…,b1?( —) 1+b2?(^) 2+ …+b n?(—) "+ •-= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)的什么条件并说明理由.2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析填空题（每题3分）（3 分）lim（1 丄）=1.n【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可【解答】解：lim （1丄）=1 - 0= 1.故答案为：1.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （3 分）已知等差数列a i= 3, a n= 21, d = 2，贝U n = 10 .【分析】直接把已知代入等差数列的通项公式求得n值.【解答】解：在等差数列｛a n｝中，由a1 = 3, a n= 21, d= 2，得21 = 3+2 （n - 1）,解得：n= 10.故答案为：10.【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题.3. （3 分）数列｛a n｝中，已知a n= 4n- 13?2n+2, n €N* , 50 为第4 项.【分析】令a n= 4n- 13?2n+2= 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0，解出n即可得出. 【解答】解：令a n= 4n- 13?2n+2 = 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0,••• 2n= 16,解得n= 4.故答案为：4.【点评】本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.n —14. （3 分）｛a n｝为等比数列，若a1+a2+a3= 26, a4 - a1= 52,贝U a n= 2?3 .【分析】利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式.2【解答】解：••• ｛a n｝为等比数列，a1+a2+a3= 26, a4 - a1 = 52,2aj +a 十日iq =26a J q _a J 二52 .目十9十『) ][巧(『一1] Q_1戈解得q= 3, a i = 2,n_ 1…a n= 2?3 •故答案为：2?3n一1•【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.n * 5. (3 分)用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2 ?1?3?5•••(2n- 1) (n€N )时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是4k+2 .【分析】从n= k到n= k+1时左边需增乘的代数式是(k+1+k) (k+1+k+l)，化简即可得k+1出.【解答】解：用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2n?1?3?5-( 2n- 1)(n €N*)时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是^ = 2 (2k+1).k+1故答案为：4k+2.【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 3, a n+1 = ( 2n -入a n (n = 1, 2,…),贝V a3等于15 .【分析】先由a1 = 1, a2= 3, a n+1 =( 2n-入)a n,可求出人然后由n = 2时，代入已知递推公式即可求解【解答】解：T a1 = 1, a2= 3, a n+1=( 2n - Z) a n.a2=( 2 -入)a1 即3 =( 2 -入).Z=- 1, a n+1=( 2n+1) a n•. a3= 5a2 = 15故答案为：15【点评】本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数入7. ( 3 分)数列｛x n｝满足x n+1= x n - x n-1, n》2, n €N*, x1= a, x2= b，贝U x2019= b—a .【分析】本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列｛X n｝是一个周期数列.然后根据周期数列的性质特点可得出X2019的值.【解答】解：由题中递推公式，可得：x i = a,x2= b,x3= x2 - x i = b - a,x4= x3 - x2= b - a - b=- a,x5= x4 - x3=- a -( b - a)=- b,x6= x5 - x4=- b - (- a) = a - b,x7= x6 - x5= a - b - (- b)= a,x8= x7 —x6= a -( a - b)= b,x9= x8 - x7= b - a,「•数列｛X n｝是以6为最小正周期的周期数列.•/ 2019-6= 336…3.• X2019= x3= b - a.故答案为：b- a.【点评】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值•本题属中档题.& （3分）数列｛a n｝满足下列条件：a i = 1,且对于任意正整数n,恒有a2n= a n+n，则a加| = 512 .【分析】本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果.【解答】解：由题意，可知：a）i: = a256+256=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a i+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+ …+28=2+2 X( 1+2+22+ (27)1-21- 29=2+2 X_—=29=512.故答案为：512.【点评】本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式•本题属基础题.9. (3 分)数列｛a n｝定义为a1 = cos B, a n+a n+1 = nsin 肝cos B, n》1,贝U S2n+1 = (n+1) cos B+2(n +n) sin B【分析】由题意可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+ a5) +…+ (a2n+a2n+1),运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和.【解答】解：数列｛ a n｝定义为a1 = cos0, a n+a n+1 = nsin 0+cos 0, n》1,可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+a5) + …+ (a2n+a2n+1) = cos 0+ (cos 0+2sin 0) + (cos 0+4sin 0) + …+ (cos 0+2nsin 0) = ( n+1) cos 0+ ( 2+4+ …+2n) sin 0i 2=(n+1) cos 0+—n ( 2+2n) sin 0=( n+1) cos 0+ (n2+n) sin 02故答案为：(n+1) cos 0+ (n2+ n) sin 0.【点评】本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题.10. ｛a n｝是正项数列，S n是数列｛a n｝的前n项和，且满足(an ),若b n= ,T n是数列｛b n｝的前n项和，则T99 =【分析】求得数列的前几项，归纳a n =「- ，S n =|(,求得b n = 一LVnVn+1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力，属于中档题.代入，分q 》1和q v 1两种情况分别求得 q 的范围，最后综合可得答案. 【解答】解：设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,(1)当q 》1时a+qa > q 2a ,等价于解二次不等式：q 2-q — 1v 0，由于方程q 2— q — 1 = 0 两根为：1,2 L 、——I -V S20n d , IIA /S即 1 w q v -----1【解答】解：数列｛a n ｝是正项数列, 再由裂项相消求和，计算可得所求和.S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足S n =(a n可得a i = S 1 =(a 1+)，可得a l同样求得a 3= 一一:-.爲…，猜想代入S n =A2a 1 = 1 ； a 1+a 2= 2)，解得 a 2={^ — 1,an =Vii -"□_], Sn ^Vn ,(an+ard-LVn+1 Vn)，即有T 99= 1 - LU--=1 —111010=_9_ =To故答案为:1011 • (3 分)【分析】q 的范围是_ ：： , 1 _ ：■-•设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,把a 、若三角形三边成等比数列，则公比 2qa 、 q2故得解：一v q v 上二-且q 》1,( 则b n =洽烧—^+…沽2(2)当q v 1时，a为最大边，qa+q2a>a即得q2+q- 1>0，解之得q> _ "或q v —综合(1) ( 2),得：q —故答案为：］心)2 2 ｝【点评】本题主要考查了等比数列的性质•属基础题.12. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 2, a3 = 3, a4 = 4, a5= 5,当n>5 时，a n+1 = a1?a2?…?a n- 1,则是否存在不小于2的正整数m,使a1?a2?…？a m= a1 +a2 +…+a m成立？若存在，则在横线处直接填写m的值；若不存在，就填写“不存在”70 .【分析】设b m= a1?a2?…？a m- a12- a22------------- a m2中，令n= 5代入数据计算即可求出b5.由b5 = a1?a2?…？a5—a1 - a2 a5 中构造出b m+1 = a1?a2?…？a m+1- a1 - a2-a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列•利用等差数列通项公式求解即可.【解答】解：设b m= a1?a2?…？a m-a12- a22-…-a m2,由已知，b5= a1 ?a2?…？a5 —a12- a22a52=1 X 2X 3X 4X 5-( 12+22+32+42+52)=120 - 55=65当m》5 时，由a m+1= a1?a2?…？a m- 1，移向得出a1?a2?…？a m= a m+1+1 ①2 2 2T b m= a1?a2?…？a m-a1 - a2 a m ,②2 2 2•- b m+1 = a1?a2?…？a m+1 —a1 - a2 -…—a m+1 ③2③-②得b m+1 - b m= a1?a2?•…？a m a m+1 - a1?a2?•…？a m- a m+1=a1?a2?…？a m (a m+1 - 1) - a m+1 (将①式代入)2 2 2=(a m+1 + 1) (a m+1 - 1) - a m+1 = a m+1 - 1 - a m+1=-1•••当n》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列，• b m= b5+ ( m - 5) X( - 1) = 65 -( m - 5)= 70 - m.2 2 2右a1?a2?…？a m= a1 + a2 + …+a m 成立，•- b m= 0，即m= 70故答案为：70.【点评】本题考查等差关系的判定、通项公式.考查转化、变形构造、计算能力.二、选择题(每题3分)13. (3分)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S10= 100,则a7的值为()【分析】由S10= 100及公差为2 .利用求和公式可得a1= 1.再利用通项公式即可得出.【解答】解：由S10= 100及公差为2.10a1+ ——-x 2= 100,2联立解得a1 = 1.--a n= 2n- 1,故a7= 13.故选：C.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. （3分）等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3= a2+10a1, a5= 9，贝U a1=（）A. 1 B .丄 C .— D •曰3~39g【分析】设等比数列｛an｝的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到日 1 +乩1口十已1q =a1q+10 at，解出即可.s j q■丄【解答】解：设等比数列｛a n｝的公比为q,•S3= a2+10a1, a5= 9,r 2日i + a i q+a i q•，解得•臥二g故选：C.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.15. （3分）设等差数列｛a n｝的前n项和为3,若S m-1=- 2, S m= 0, S m+1 = 3,贝y m=（）A . 3B . 4C . 5D . 6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m,进而得到公差d，由前n项和公式及S m = 0可求得a1,再由通项公式及a m= 2可得m值.【解答】解：a m= S m- S m-1 = 2, a m+1 = S m+1 - S m= 3,所以公差d= a m+1 - a m= 1,A . 11B . 12 C. 13 D. 14得 a 1 =- 2, 所以 a m =- 2+ ( m - 1 )?1 = 2,解得 m = 5,S另解：等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,即有数列｛——｝成等差数列,n解得m = 5.故选：C .【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项 a n 与S n 的关系，考查学生的计算能力.16. ( 3 分)设 0v aV ^j ，若 x 1= sin a, x n+1=( sin a) % (n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是 ( )A .递增数列B .递减数列C .奇数项递增，偶数项递减的数列D .偶数项递增，奇数项递减的数列【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0 V sin aV 1，进而可得函数y =( sin a)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案. 【解答】解：根据题意，0 V aV —，则0V sin aV 1 ,m - 1 > 0, m > 1,因此 m 不能为0, 又一解：由等差数列的求和公式可得(m - 1) (a 1+a m-1 )=- 2,(a 1 + a m ) =0, 可得 a 1 =- a m ,(m+1) (a 1+a m+1)= 3,[6 .-4m+1S m =则5 ：,」，"「成等差数列，HL'1 in m 十 12a m + a m+1 +a 0,指数函数y=( sin a) x为减函数,■'■( sin a) 1<( sin a) sin y ( sin a) 0= 1, 即—「〔八「I ]…，：(sinU ) '< (sinQ ) (日 )Z]< (吕 in a )打< (sin^ )^ = 1，即 0 < X 1 < X 3< X 4< X 2< 1 ,(sinQ ) 'W (sin 口)(si 门 a ) (sin^ )勺< (曰 in a )Xj < (sin ) 0 =1即 0 < X 1 < x 3< x 5< x 4< x 2< 1，…，0< x 1< x 3 < x 5< x 7<・・・< x 8< x 6< x 4< x 2< 1 . 「•数列｛x n ｝是奇数项递增，偶数项递减的数列故选：C .【点评】本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题. 三、解答题17. （ 8分）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 4=- 62, S 6=- 75设b n = |a n |,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .【分析】由已知条件利用等差数列前 n 项和公式求出公差和首项，由此能求出 a n = 3n -1 < n < 7 时，T n =- S n =…，当 n 》8 时，T n =【解答】解：I S 4=- 62, S 6=- 75,4a16 a |解得 d = 3, a 1=- 20,「. a n = 3n - 23,设从第n+1项开始大于零,• n = 7,即 a 7< 0, a 8> 0 当 1 < n W 7 时，T n =- S n =—V "23，且 a 7< 0, a 8> 0.当 3 3 43 2 n ~T一启.a^-20+3 Cn-lKOS+l 二-'【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.18. (10 分)已知数列｛ a n ｝的前 n 项和 S n = n 2 — 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n ｝的通项公式；(2)若数列｛b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n ( n€N*),求｛ b n ｝的前n 项和T n (结果需化简) 【分析】(1)运用数列的递推式得 n = 1时，a 1= S 1, n 》2时，a n = 3-S n -1，化简计算可得所求通项公式；(2)求得b n = n?32n — 1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和. 【解答】解：(1) S n = n 2 — 2n+1，可得 a 1 = S 1 = 0,22n 》2 时，a n = S n - S n -1= n — 2n+1 —( n - 1) +2 ( n - 1) — 1 = 2n - 3,(2)数列｛ b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n (n€N*), 可得 2n - 1+log 3n = log 3b n ,即 b n = n?3 ,前 n 项和 T n = 1?3+2?33+ …+ n?3勿 1, 9T n = 1?33+2?34+…+ n ?32n+1,两式相减可得-8T n = 3+33+35+ …+32n 1 - n?32n+1 =-n?32n+1,化简可得T n【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题.19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出 b 件.若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费综上有，T n =当n 》8时，T进而可求S 的最大值【解答】（1）解法一、直接列式：由题,费为1千元时，s = b+L ；2千元时，s = b+ 2s = b + !■o —2 丄+ 丄；22+」••• +_L2n=b （2 -丄）（广告 2n…n 千元时s = b 也乙223+ …+-!^-23 2n解法二、（累差叠加法）设 S 0表示广告费为0千元时的销售量, 由题: b 巧r 盯，s 2~s 1 ~~~2，相加得S n - S3 b b b 12 22 23 + b bb u / o 1) 2 22 + ■ + + 1沪2n =b (2 2n ) 即 S n = b+ (2) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄),设获利为 t ,则有 t = s?10- 1000n = 40000 (2-丄) 2n 2n-1000n为（n - 1）千元时多卖出亠件，（n 讯*）.2n（1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2）当a = 10, b = 4000时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告，才能获利最大?【分析】对于（1）中的函数关系，设广告费为 n 千元时的销量为s n ,则s n -1表示广告费s n --s n - 1=丄，可知数列｛s n ｝不成等差也不成等比数2n为（n - 1）元时的销量，由题意,列，但是两者的差上-构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接2n列式：由题，s = b+2 + ■■ +…+ ■ 23-b s i-一,S s-S rp-；-〉，累加结合等比数列的求和公式可求 &(2)) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄)，设获利为 T n ,则有 T n = s?10- 1000n = 40000 (22n欲使T n 最大，根据数列的单调性可得，代入结合n 为正整数解不等式可求 n ,=b ( 2-)22 解法二、利用累差叠加法： -1000n ,(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用.(1)求数列｛a n ｝的通项公式; 1 1 ”5 12“ 3 n+1【分析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求; (2)对一切正整数n,有--引 a欲使T n 最大，则，得，故 n =5,此时 s = 7875.即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告, 能使获利最大.【点评】本题主要考查了数列的叠加求解通项公式, 利用数列的单调性求解数列的最大1 =1 V 12 nn £-l=—( 2 h-1 n+1),再由裂项相消求和，即可得证.【解答】解：(1)v=a n+1—n| 32• 2S n = n a n+1 —二 n — n —二 n = n a n+1 — 3 3 2nCn+1) (n+2) •••当 n 》2 时，2S n -1=( n — 1) a n—3Cn-L)n(n +1) 由①—②，得 2S n — 2S n -1 = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),T 2a n = 2S n — 2S n -1,.°. 2a n = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),=1，•数列｛ A ｝是以首项为n1，公差为1的等差数列.2(n — 1)= n ,. a n = n (n 》2),当n = 1时，上式显然成立.••• a n = n 2, n€N* n ,有亠四］曰 2 a n 3 n+1(2)对一切正整数丄+_!n n-1 n+120. (10分)设数列｛a n ｝的前n 项和S n ,已知a 1= 1,=a n+1 -丄二-n —,n€N*.(2)是否对一切正整数 n ,有"•?说明理由..考虑当n > 3时,可得—（_+, ）＞-,2n n+1 n+1即有_-_ （_+」^）v丄-」^,3 2 n n+1 3 口十1则当n》3时，不等式成立；检验n= 1, 2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n,有丄丄宀丄夺亠.衍日2 S 3"1【点评】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键.21 . (14 分)设集合S n= { (x1, x2,…，x n) X：€{0 , 1} (i = 1, 2,…，n) }，其中n €N*,n》2 .(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1 ?20+ b2?21 + …+ b n?2n 1“的充要条件是"a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；(3)设集合S= { (X1, X2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1,2…，n…)}设(a1, a2,…,)2+…+an?(丄)a n，…),(b1, b2,…b n，…)€S,使得a1?(一 ) +a2?b1?( —) 1+b2?^—) 2+ …+b n?^—) "+ •• •= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)”的什么条件并说明理由.【分析】(1)由题意求得S2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论；(3)将原始的式子同乘以2n,然后利用(2)即可求得答案.【解答】解：(1) S2中的元素有(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1).0 1 n -1 0 1(2)充分性，当a i = b i (i = 1, 2,…，n),显然a1?2 +a2?2 + …+a n?2 = b1?2 +b2?2 + … +b n?2n-1成立，必要性，因为a1?20+a2?21 + - +a n?2n 1= b1?20+?21 + …+b n?2n 1,0 1 n -1所以(a1 - b1)?2 + (a2- b2)?2 + …+ (a n - b n)?2 = 0,因为(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,所以a n- b n€{1 , 0, - 1},若a n- b n= 1,则(a1 - b1)?2°+ (a2 - b2)?21+ …+ (a n - b n)?2n 1= 20+21 + —+2n 1= 2n-1工0,当a n - b n=- 1,贝V (a1 - b1 )?2°+ (a2 - b2)?21 + ^ + (a n - b n) ?2n 1=- (20+21 + —+2 n 1)=-(2n - 1 )工 0,若a n - b n 的值有m 个1和n 个-1,不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1,贝U 2r-2r - 1 - 2r — 1 -……-1 = 2r - —= 2r -（ 2r - 1）= 1>0,1-2说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的,说明最咼次的系数只能为，就是a n -b n = 0，即a i = b i , =2n ?A ,1+b 2?^) 2+ …+ b n ?(二)n + •••= B ,等价于 b 1?2n —1 由(2)得“ 2n ?A = 2n ?B “的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;即 A = B 是 a i = b i （i = 1, 2，…，n ）”充要条件.【点评】本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分类讨论思想，属于难题.综上可知：“ a 1?20+a 2?21+ …+a n ?2n —1= b 1?20+b 2?21+ …+b n ?2n — 1“的充要条件是 a a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;(3)由a 1(^) 1+a 2(^) 2+…+ a n(—) n + •••= A ,等价于 a 1?2n 1+a 2?2n —2+- +a n ?2°+ … +b 2?2n —2+ …+b n ?20+ •••= 2n ?。

上海市嘉定区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试卷Word版含解析

上海市嘉定区2018-2019学年下学期期末考试高二数学试卷一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1. ____________________．【答案】.即答案为2．点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题2. ．，即可得到点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模的求法，属基础题.3. ____________________．、【解析】分析：由双曲线渐近线方程的公式，即可得出该双曲线的渐近线方程．、..点睛：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题.4. ．【答案】5.【解析】分析：利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出．故答案为：5.点睛：本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，属于基础题．5. ___________．【答案】40.详解：，时，得到含有的项，故答案为：40．点睛：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项，属基础题．6._______________【解析】分析：由是二面角，，∴二面角的大小是点睛：本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意寻找二面角的平面角．7. 、、、_________个．【答案】18.【解析】分析：找出用0、1、2、3可以组成的不同三位数，进而求解．详解：用0、1、2、3可以组成的三位数有：102，103，120，123，130，132；201，203，210，213，230，231；301，302，310，312，320，321；一共有18个不同的三位数点睛：在列举这些数时，要注意按照一定的顺序写，做到不重复，不遗漏．8. _____________．【解析】分析：东经两地，故距离．两地，故点睛：本题考查了球的截面圆性质、地球经纬度的定义和球面距离及相关计算等知识，属基础题．9. ______________．【答案】4.．到抛物线焦点的距离．故答案为：4．点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10._________________．，连结，推导出是异面直线角的补角）详解：所成的角为的中点，点睛：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11. 的焦点为_______________．【答案】【解析】根据抛物线的定义，可求得|PF|＝x＋1，又|PA|①.因为y2＝4x，令＝t，其中t∈(0,2]，即可求得的最小值为故答案为：点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。

嘉定区2018-2019高二下期末数学卷(原卷)

B 1D 0 x y 上海市嘉定区 2017 学年第二学期期末考试高二年级数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分．2 2 1.椭圆 + 4 3= 1的焦距等于．D 1C 12. 若复数 z 满足x 2A(1 + i) ⋅ z = 2 （ i 是虚数单位），则| z |= ．123. 双曲线 - y 4= 1的两条渐近线方程分别是．C4. 若1 + 2i 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2- 2x + m = 0 的一个根，则 m = ．5. 在(2x + 1)5的二项展开式中， x 2项的系数是．AB第 6 题图6. 如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = 1, AD = 2, AA 1 = 2 ，则二面角 A - DD 1 - B 的大小是．7. 从 0 、1、 2 、 3 这四个不同的数字中任选出三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这样的三位数共有个．8. 设地球半径为 R ，则东经60︒ 线上，纬度分别为北纬75︒ 和15︒ 的两地 A 、 B 的球面距离是．9. 已知抛物线y 2= 4x 上一点 M (x ,2 3)，则点 M 到抛物线焦点的距离等于．10. 空间四边形 ABCD 中， AB = CD ，且异面直线 AB 与CD 所成的角为40︒ ，E 、F 分别为 BC 和 AD 的中点，则异面直线 EF 和 AB 所成角的大小是．11. 抛物线 y2= 4x 的焦点为 F ，点 P (x , y ) 为该抛物线上的动点，又点 A (-1,0) ，则| PF |的最小值是．| PA |12. 如图，在三棱锥 A - BCD 中， AB ⊥ AD , AC ⊥ AD , ∠BAC = 30︒ ，AB = AC = AD = 4 ，点 P 、Q 分别在侧面 ABC 、棱 AD 上运动，PQ = 2 ，M 为线段 PQ的中点，则点 M 的轨迹把三棱锥 A - BCD 分成上、下两部分的体积之比等于．第 12 题图二、选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得 3 分，否则一律得零分． 13．若 z , z ∈ C ，则“ z 2+ z 2= 0 ”是“ z = z = 0 ”的（）121212A . 充分不必要条件C ．充要条件B . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件14. 已知圆柱的高等于1，侧面积等于 4π ，则这个圆柱的体积等于（）A. B . 2π C. 3π D. 4π 15. 某中学从 4 名男生和 2 名女生中推荐3 人参加社会公益活动，若选出的3 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A.10 种B.16 种C.20 种D.32 种x x C 1 EC+ 2 ⎪ 16.设 A 、B 是椭圆C : x + y 3 m围是（）= 1长轴的两个端点，若C 上存在点 M 满足∠AMB = 120︒ ，则实数m 的取值范A . (0,1] [9,+∞)B . (0, 3] [9,+∞)C . (0,1] [4,+∞)D . (0, 3] [4,+∞)三、解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分 8 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分．已知 z ∈ C ， Im z > 0 ，且| z |2+(z + z ) ⋅ i = 5 + 2i ．（1）求 z ；（2）若 m ∈ R ,ω = z ⋅ i + m ，求证：| ω |≥ 1．18．（本题满分 8 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分．⎛1 ⎫ 已知（n ∈ N * ）的二项展开式中，前三项的系数依次成等差数列． ⎝2 ⎭ （1）求 n 的值；（2）求二项展开式中的常数项．19．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分．如图，在正三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中， AA 1 = A 1 B 1 = 4 ， D 、 E 分别为 AA 1 与 A 1 B 1 的中点．（1）求异面直线C 1 D 与 BE 所成角的大小；（2）求四面体 BDEC 1 的体积．A 1B 1DAB2 nO Q H C20．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分．如图，点Q 是圆锥SO 的底面圆周上异于A, B 的任意一点，AB 为圆O 的直径．S（1）若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，垂足为H ，求证：OH ⊥平面SBQ ；（2）若SO = 2, ∠AOQ = 60︒,QB = 2 ，求这个圆锥的体积．A B21．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 5 分．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2 ，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．（1）求椭圆的方程；（2）设过右焦点F 与x 轴不垂直的直线与椭圆交于P 、Q 两点．在线段OF 上是否存在点M (m,0) ，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）设点C 在椭圆上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离等于2，试求动点D 的轨迹方程．36。

2018-2019学年上海市嘉定区高二第二学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2021学年上海市嘉定区高二第二学期期末测试数学试题一"、单项选择题1. 关叠棋成立积,缘哥势既同,那么积不容异〞是以我国哪位数学家命名的数学原理〔〕 A.杨辉 B.刘微C.祖附ID.李淳风【答案】C【解析】由题意可得求不规那么几何体的体积的求法,即运用祖附I 原理 ^【详解】关叠棋成立积,缘哥势既同,那么积不容异〞的意思是夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果两个截面面积仍然相等,那么这两个几何体的体积相等〞,这就是以我国数学家祖晅命名的数学原理,应选： C. 【点睛】此题考查祖的I 原理的理解,考查空间几何体体积的求法,考查对概念的理解,属于根底题.p是正常数〕上有两点 A 不,％、B X 2, y 2 ,焦点F ,2甲：X1X2 -；42乙：y 〔y 2 p ；uuu uuu 3 丙：OA OB— p 2; 4_1_ _1_ 2 丁： |FA | |FB | p .以上是直线AB 经过焦点F 〞的充要条件有几个〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】设直线AB 的方程为x my t,将直线AB 的方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理验证四个选项结论成立时,实数 t 的值,可以得出直线AB 经过焦点F 〞的充要条件的个数.2 _2.抛物线y =2px设直线AB 的方程为x my t,那么直线AB 交x 轴于点T t,0 ,且抛物线的焦点 F 的坐标为对于丁条件,以及直线与抛物线的综合问题, 同时也考查了充分必要条件的判定,解题时要假设直线的方程,并将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求解,考查运算求解水平与逻辑推理水平,属于中等题将直线AB 的方程与抛物线的方程联立 2pX,消去x 得, myt2 pmy 2 Pt 0 ,由韦达定理得y 1 y 2 2 pm , y 1y 22pt对于甲条件,2 2XX y 1y 2 x 1x 2-24p2V1V 24p 22Pt 2 4p 2t 2甲条件是直线AB 经过焦点〞的必要不充分条件;对于乙条件,y 〔y 22 pt2 一pp ,得t 此时,直线2AB 过抛物线的焦点F,乙条件是直线AB 经过焦点〞的充要条件;uir uuu对于丙条件,OA OBX 1X 2 y 〔y 2 t 2 2 pt 32 7p ’3P2所以,丙条件是直线AB 经过焦点F 〞的必要不充分条件;l FA l IFBIX 1 my 〔 t my 2 tm V1 y 22t * y 2 2t p m% tmy 2 t2m y/2〜* pm t -y 1 V22 pm 2 2t2 pm 2 2t p2 m 2 pt2_p2pm t —化简得t2R,所以,丁条件是直线 2AB 经过焦点F〞的必要不充分条件.综上所述, 正确的结论只有1个,应选：B.此题考查抛物线的几何性质,二、填空题23.椭圆上y21的焦点坐标是.3【答案】-.2,0【解析】从椭圆方程中得出a、b的值,可得出c的值,可得出椭圆的焦点坐标 .【详解】由题意可得a阴,b 1, c62 b273-^ ^,2 _ _因此,椭圆A y21的焦点坐标是72,0 ,故答案为：J2,0 .3【点睛】此题考查椭圆焦点坐标的求解,解题时要从椭圆的标准方程中得出a、b、c的值,同时也要确定焦点的位置,考查计算水平,属于根底题^4.假设复数z满足z 1 i 2 ,那么z的实部是.【答案】12【解析】由z1 i 2得出z ——,再利用复数的除法法那么得出z的一般形式,可得1 i出复数z的实部.【详解】2 2 1 i 2 1 iQz 1 i 2, z —— ----------------------------- ------------ 1 i ,因此,复数z的实部为1,1 i 1 i 1 i 2故答案为：1.【点睛】此题考查复数的概念, 同时也考查了复数的除法, 解题时要利用复数的四那么运算法那么将复数表示为一般形式,考查计算水平,属于根底题^5.球的外表积是其大圆面积的倍.【答案】4【解析】设球的半径为R,可得出球的外表积和球的大圆面积,从而可得出结果.【详解】设球的半径为R ,那么球的外表积为4 R2 ,球的大圆面积为R2 ,因此,球的外表积是其大圆面积的4倍,故答案为：4.【点睛】此题考查球的外表积公式的应用,考查计算水平,属于根底题 6 .棱长为J 2的正四面体的高为【解析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径h2^2可得出正四面体的高.考查空间想象水平,属于中等题67,展开二项式x -,其常数项为x20k 3.指数来求解,考查运算求解水平,属于根底题 8.从0、1、2、3、4中取3个不同的数组成一个三位数,且这个数大于 200,共有不同的可能. 【答案】36r ,再利用公式设正四面体底面三角形的外接圆的半径为r ,由正弦定理得因此,正四面体的高为h,TV2逅速,故答案为：也此题考查正四面体高的计算,解题时要充分分析几何体的结构, 结合勾股定理进行计算,项式 x二项式利用二项展开式通项,令 x 的指数为零,6展开式的常数项.展开式的通项为T 1C k x 6k 16求出参数的值, 再代入通项可得出kC；2k,令 6 2k 0,得所以,二项式6-展开式的常数项为c 63 x故答案为:20.此题考查二项展开式中常数项的计算,解题时要充分利用二项式展开式通项,利用x 的【解析】由题意得知,三位数首位为2、3、4中的某个数,十位和个位数没有限制,然后利用分步计数原理可得出结果 .【详解】由于三位数比200大,那么三位数首位为2、3、4中的某个数,十位数和个位数没有限制,因此,符合条件的三位数的个数为C3A2 3 12 36,故答案为：36.【点睛】此题考查排列组合综合问题,考查分步计数原理的应用,此题考查数字的排列问题,解题时要弄清楚首位和零的排列,考查分析问题和解决问题的水平,属于中等题^9.圆锥的母线长是J3,高是J2,那么其侧面积是 .【答案】3【解析】计算出圆锥底面圆的半径, 然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积【详解】2 . 2由题意知,圆锥的底面半径为r J 73 J2 1,因此,圆锥的侧面积为S i J3 、/3 ,故答案为：J3 .【点睛】此题考查圆锥的侧面积, 解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径, 利用圆锥的侧面积公式进行计算,考查计算水平,属于中等题 ^2 210.双曲线—yr 1的虚轴长为2,其渐近线夹角为.3 b【答案】60..【解析】计算出b的值,得出渐近线的斜率,得出两渐近线的倾斜角,从而可得出两渐近线的夹角.【详解】2 2由题意知,双曲线—y- 1的虚轴长为2b 2,得b 1,3 b2所以,双曲线的渐近线方程为y 」3x,两条渐近线的倾斜角分别为30°、150°,3因此,从中任取 3个小球,颜色编号均不相同的情况有 6种,故答案为：6.【点睛】此题考查分类计数原理的应用,在求解排列组合问题时,假设符合条件的根本领件数较少时,可采用列举法求解,考查分类讨论数学思想,属于中等题^13.点P s,t , Q u,v , s t 2, u 2 v 2 1,复数乙、Z 2在复平面内分别因此,两渐近线的夹角为 60°,故答案为：60o . 【点睛】此题考查双曲线渐近线的夹角, 解题的关键就是求出渐近线方程,根据渐近线的倾斜角来求解,考查运算求解水平,属于根底题.11 .在空间直角坐标系中,某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为1,2,3和 2,3, 1 ,那么该二面角的大小为〔结果用反三角函数表示〕1【答案】arccos —14【解析】设锐二面角的大小为 ,利用空间向量法求出 cos 的值,从而可求出的值.【详解】设锐二面角的大小为,那么cos 112 22 321,2,3 2,3, 1 22232111arccos —,故答案为： arccos —.此题考查利用空间向量法计算二面角, 同时也考查了反三角函数的定义, 考查运算求解水平,属于根底题12 .现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个,相同颜色的小球依次编号 1、2、3,从中任取3个小球,颜色编号均不相同的情况有种.【解析】设红色的三个球分别为 A 、A 、A,黄色的三个球分别为 B 、B 2、B 3,蓝色的三个球分别为 C 1、C 2、C 3,列出所有符合条件的选法组合,可得出结果【详解】设红色的三个球分别为A 1、4、色,黄色的三个球分别为B 1、B 2、B 3,蓝色的三个球分别为C 1、C 2、C 3 ,现从中任取3个小球,颜色编号均不相同的情况有：A ,B 2,C 3、A,&,C 2A 2,B 1,C 3 A 3,B 1,C 2、A 3,B 2,C 1 ,对应点P 、Q ,假设z Z i Z 2 ,那么z 的最大值是. 【答案】3【解析】由题意可知,点P 在曲线x y 2内,点Q 在圆x 2 y 2 1上,利用三角不等式得出|z |z i Z 2I |z j |z 2OP | |OQ ,可求出|z 的最大值.【详解】由题意知,点P 在曲线X y 2内,点Q 在圆x2y 2 1上,如下列图所示：由三角不等式得zz i z 2 z i z 2 OP OQ OP 1 2 1 3,对于半平面内异于O 的任意一点Q ,都有 POQ 一,那么二面角 AB 大小12的取值的集合为. 【答案】90°【解析】画出图形,利用斜线与平面内直线所成的角中, 斜线与它的射影所成的角是最小的,判断二面角的大小即可 . 【详解】如下列图所示,过点 P 在平面内作PC AB,垂直为点C,uuu uuu当点P 为正方形的顶点,且点 OP 、OQ 方向相反时,z 取最大值3,故答案为：3. 【点睛】此题考查复数模的最值, 解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解, 能简化计算,考查数形结合思想的应用,属于中等题 ^ 14.点O 在二面角AB 的棱上,点P 在半平面内,且 POB 一,假设12点O在二面角AB 的棱上,点P在平面内,且POB —,12假设对于平面内异于点O的任意一点Q ,都有POQ 由于斜线与平面内直线所成角中, 12斜线与它的射影所成的角是最小的,即POB是直线PO与平面所成的角, PC 平面,Q PC 平面,所以,平面平面,所以,二面角AB 的大小是90o.故答案为：90o .此题考查二面角平面角的求解, 以及直线与平面所成角的定义, 考查转化与化归思想和空间想象水平,属于中等题15.n, m N* , n m ,下面哪一个等式是恒成立的〔A. c m n!m!A mnn!(n m)!c. c m m 1C n C - m 1 - m 1C n C n 1断.利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判由组合数的定义可知c nmn!m! n m !,A选项错误;由排列数的定义可知A nmn!n m !B选项正确;由组合数的性质可知C：C；1 C n 1 1 ,那么C、D选项均错误.应选：B.此题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用, 意在考查对这些公式与性质【点睛】的理解应用,属于根底题此题考查复数范围内的因式分解,考查平方差公式的应用,属于根底题三、解做题一, ~~...... 5 17,复数W 满足w 1 2i 4 3i〔 i 为虚数单位〕,Z —w 2 ,求一个以Zw为根的实系数一元二次方程. 【答案】x 2 6x 10 0一一 . ■一一一 , 5【解析】先由w 1 2i 4 3i 求出复数w,再由z — w 2求出复数z 3 i , w 计算出其复数Z,可得出以复数z 为根的实系数方程为 x z x z 0,化简后可得出结果. 【详解】— 一 2-2,2…zz6,zz z 31 10,因此,以复数z 为一个根的实系数方程为 x z x z 即 x 2 6x 10 0.16.在复数范围内,多项式4x 2 1可以因式分解为〔B. 4 x— x —— 2 2C. D.将代数式化为4x 2 1 4x 2i 2,然后利用平方差公式可得出结果Q4x 22 ・221 4x i 4 x.2i 4i i x - x -,应选：A.22由 w 1 2i4 3i 1 2i4 3i 1 2i1 2i 1 2i4 5i 6i 2 52 i,5 5 z — w 2 ——2 i 2 w2 i5 2 i ------ 1 2 i 1 3 i , 2 i 2 i0,即 x z z x z z 0 ,此题考查复数形式的乘法与除法运算, 考查实系数方程与虚根之间的关系, 考查运算求解水平,属于中等题.2 218.在平面直角坐标系中,椭圆C:与丫2 1 a b 0 ,右焦点F2为c,0 . a2b2(1)假设其长半轴长为2,焦距为2,求其标准方程.(2)证实该椭圆上一动点P到点F2的距离d的最大值是a c .2 2x y——1 ; (2)见解析.4 3准方程;2椭圆的标准方程为—4(2)设p X o, y o a X o a , QF2 c,0 ,2 2aXo 一,c此题考查椭圆方程的求解及椭圆方程的应用,在处理与椭圆上一点有关的最值问题时, 充分利用点在椭圆上这一条件,将问题转化为二次函数来求解,考查函数思想的应用,属于中等题.(1)求C315的值;d . X o c 2y ：X 2cx0 c2b2a2 2Xo2c 2 2/ X o 2cX o a(1)(1)由题设条件可得出a、c的值,进而可求出b的值,由此得出椭圆C的标(2)设点p x o, y o a x o a ,将该点代入椭圆C的方程得出 2b2 2 y o 2 aa并代入d的表达式,转化为关于R的函数,利用函数的性质求出d的最大值.(1)由题意, a 2, 2c 2, 那么c 1, b2a2c2 3.当x o a 时,d max a c.19.推广组合数公式,定义c Xm X X 1 L X m 1------------------------ ,其中x R , m Nm!咯案…6-8, %取得最小值C 13【解析】(1)根据题中组合数的定义计算出C 15的值;12 一一…一, j,,f x — x — 3 ,然后利用根本不等式求6x出函数y f x 的最小值,并计算出等号成立对应的x 的值.【点睛】此题考查组合数的新定义,以及利用根本不等式求函数最值, 解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算,考查运算求解水平,属于中等题 ^ 20.被嘉定著名学者钱大昕赞誉为国朝算学第一〞的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类力•灯体〞,灯者立方去其八角也〞,如下图,在棱长为4的正方体ABCD AB 1C 1D 1 中,点P i 1,2,L ,24为棱上的四等分点(1)求该方灯体的体积；(2)求直线PP 2和F 6 P l 的所成角；(3)求直线P 9P l 3和平面P |P 2P 9的所成角.(2)设x 0,当x 为何值时,函数fX 与取得最小值?C 1(2)根据题中组合数的定义求出函数(1)由题中组合数的定义得 C 315(2)由题中组合数的定义得f x一,,……r2由于x 0,由根本不等式得x -x15 16 17 --------------------- 680;3! 3C x x x 1 x 21 2 ------- 2------------------ 2 ----------- - x — 3C 16x 6 x2J2,当且仅当x J 2时,等号成立,_C 3 所以当x /时,一二取得最小值.C xt 』 3 的【答案】(1)188；(2) 60.；(3) arcsin立3 3【解析】(1)计算出八个角(即八个三棱锥)的体积之和,然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积;(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AA1为Z轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出直线P1P2和P6P11的所成角;(3)求出平面PP2P9的法向量,利用空间向量法求出直线P9P3和平面PP2B的所成角的正弦值,由此可得出P9P13和平面P l P2P9的所成角的大小.(1) Q在棱长为4的正方体ABCD— A i B i C i D i中,点P i 1,2,L ,24为棱上的四等................................................. 1 1 该万灯体白^体积：V 4 4 4 83 2 188 1113(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴, AA1为z轴, 建立空间直角坐标系,uuuP 3,0,4、P,4,1,4、P6 0,3,4、P1 0,4,3 , PP2 1,1,0uuuu,BP1 0,1, 1 ,设直线PP2和P6P1的所成角为,那么cosuur uuuu FP1 P6P11 uuu uuuu PP2 P6n1直线PP2和BP1的所成角为60°;uuuu (3) P9 4,0,3 ,电4,0,1 , P9F^3 0,0,uuu2 ,叭1,0,r设平面BP2P9的法向量n x, y,z ,Av uuuv …n PP 9 x z 0 y x/口r那么 v uUuv,得,取 x 1 ,得 n 1, 1,1 ,n PP 2 x y 0z x【点睛】此题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算,解题的关键就是建立空间直角坐标系,利用空间向量法进行计算,考查运算求解水平,属于中等题22x y21.双曲线一2 0 1 a,b 0的左、右焦点分别为三、F 2,直线l 过F 2且与双曲 a b线交于A 、B 两点.(1)假设l 的倾斜角为 a 33, F 1AB 是等腰直角三角形,求双曲线的标准方程;_ uuu uuu uuu(2) a J ,b 1 ,假设l 的斜率存在,且 F |A F 1B AB 0,求l 的斜率；(3)证实：点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值知双曲线上的必要非充分条件.x2【答案】(1)一 3b 2 _形,可得出2c b-,再将a J 3代入可得出 a(2)先求出双曲线的标准方程,并设直线l 的方程为y k x 2 ,将该直线的方程与双曲线的方程联立,列出韦达定理,并求出线段 AB 的中点M 的坐标,由uuu uuu uuu uuuuuuF 1A F 1B AB 0得出F 1A F 1B ,转化为F 1MAB,利用这两条直线斜率之积为1,求出实数k 的值,可得出直线l 的斜率；(3)设点P x o , V .,双曲线的两条渐近线方程为 bx ay 0 ,利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义,即可得证^设直线P 9P 13和平面P 1P 2P 9的所成角为 ,那么sinuuuu r RP 3 n........... IC —UUUU I P 9P 13 n2、、3直线P 9P 13和平面P 1P 2P 9的所成角为..3 arcsin ——- 32. 2-0,是该点在已 a 2 b 2(3)见解析.【解析】(1)将x c 代入双曲线的方程,得出 yF 1AB 是等腰直角三角b 的值,由此可得出双曲线的标准方程;(1)直线l的倾斜角为a串,可得直线l :x c,代入双曲线方程可得y b2—, aF i AB是等腰直角三角形可得2c —,即有2J3c b2c2 a解得c , 3 x 6 , b2 c2 6 642,那么双曲线的方程为6 6.2 (2)由 a 33 ,直线l的斜率存在, 设为k ,设直线方程为yuuu F1A uuuF1BumABuuu uuuF1A F1Buuu uuuF1B F1AUUU2F1BUUU2F1A0,可得EA 联立双曲线方程2 c 2x - 3y 3,可得3k212k2x 12k2 3 0,可得X i X2 12k2, 一」」21,线段AB的中点M3k 16k23k2 12k3k2 1由F1M 可得k k F1M2k6k2 6k2 21,解得k无,满足144k44 12k2 7 3k2.,故直线l的斜率为?；(3)证实：设P x o,y.,双曲线的两条渐近线为bx可得P到渐近线的距离的乘积为bx o ay.b2a2bx.. b2a2即为可得,2 2 2 2b x ay.2P在双曲线3 a2. 2a b ,2y.b2,2 2 2 2b x. ay.2 ,2a b2, 2a b2 . 2 ,a b2yb22 x 1或下ab21上,即有点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2b2a b 9是该点在双曲a b线上的必要非充分条件.此题考查双曲线的方程与性质, 考查直线与双曲线的位置关系, 同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断,解题时要结合相应条件进行转化,考查化归与转化、以及方程思想的应用,属于难题。

2018-2019高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

2018-2019高二数学下学期期末考试试题文（含解析）第I卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

）1.已知集合（）A. {2}B. {2，3}C. {1,,3 }D. {1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因 ,所以选C.2.计算的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，可得，即可求解.【详解】由，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.为了得到函数，只需要把图象上所有的点的 ( )A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变B. 横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变D. 纵坐标缩小到原来的倍，横坐标不变【答案】A【解析】【详解】为了得到函数，只需要把图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，选A4.当输入的值为，的值为时，下边程序运行的结果是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序，根据，即可得到运算的结果，得到答案.【详解】由题意，当输入的值为，的值为时，则，此时输出，故选B.【点睛】本题主要考查了程序的运行、计算输出问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.同时掷两个骰子，则向上的点数之积是的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由同时掷两个骰子有种结果，再列举出点事之积为3所含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意可知，同时掷两个骰子，共有种结果，其中向上的点数之积为3的有，共有2中情形，根据古典概型及其概率的计算公式，可得概率为，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据试验得到基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.在中，、、所对的边长分别是、、，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】在中，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【详解】在中，由余弦定理可得，故选B.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的余弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.向量，则（）A. B.C. 与的夹角为60°D. 与的夹角为30°【答案】B【解析】试题分析：由，可得，所以，故选B．考点：向量的运算．8.已知等差数列中，，，则的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】由等差数列的性质得，，，故选A.9.已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的方程，求得直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系，即可求解.【详解】由题意，直线的点斜式方程是，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则且，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了直线的点斜式方程，以及直线的斜率与倾斜角的求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10.已知实数x、y满足，则的最小值等于（）A. 0B. 1C. 4D. 5【答案】A【解析】由上图可得，故选A.11.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，利用圆锥体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，则圆锥的高为，所以该圆锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.12..函数的零点所在的区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式，求得，利用零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，即，根据零点的存在定理，可得函数零点所在的区间是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中熟记函数零点的存在定理，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题..第II卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题。

1.已知全集，集合，，则_______。

【答案】【解析】由,得：，则，故答案为.2.不等式的解集是_______.【答案】【解析】【分析】直接去掉绝对值即可得解.【详解】由去绝对值可得即，故不等式的解集是.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.3.关于的不等式的解集是，求实数的取值范围是 _______.【答案】【解析】【分析】利用判别式△＜0求出实数k的取值范围．【详解】关于x的不等式的解集为R，∴△=k2-4×9＜0，解得∴实数k的取值范围为.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．4.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______。

【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，每个个体被抽到的概率是，丙组中对应的城市数8，则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.有个元素的集合的3元子集共有20个，则= _______.【答案】6【解析】【分析】在个元素中选取个元素共有种，解=20即可得解.【详解】在个元素中选取个元素共有种，解=20得，故答案为6.【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.6.用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数.【答案】96【解析】【分析】利用乘法原理，即可求出结果．【详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A．【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．7.在的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）.【答案】240【解析】【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得r值，则答案可求．【详解】由得由6-3r=0，得r=2．∴常数项等于,故答案为240.【点睛】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．8.已知，则实数_______.【答案】2或【解析】【分析】先求得，解即可得解.【详解】=解得故答案为2或【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.9.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是.考点：等可能事件的概率.10.集合，集合，若，则实数____.【答案】0，2，【解析】【分析】解出集合A，由可得集合B几种情况，分情况讨论即可得解.【详解】,若，则，当时，；当时，；当时，；当时，无值存在；故答案为0，2，.【点睛】本题考查了集合子集的应用，注意分类讨论要全面，空集的情况易漏掉.11.若，，，且的最小值是___.【答案】9【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可．【详解】∵，，，,当且仅当时“=”成立，故答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．12.定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有____个。

2018-2019学年上海市嘉定区高二第二学期期末数学试卷(解析版)

2018学年第二学期期末考试高二年级数学试卷满分150分时间90分钟一、填空题（本大题54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前6题每题得4分，后6题每题得5分. 1、椭圆1322=+y x 的焦点坐标是____________.【答案】 ()0,2±2、若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是____________. 【答案】 13、球的表面积是期大圆面积的____________倍. 【答案】 44、棱长为2的正四面体的高为____________.【答案】332 5、展开二项式61⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x ，其常数项为____________. 【答案】 206、从0,1,2,3,4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，共有________不同的可能.【答案】 367、圆锥的母线长是3，高是2，则其侧面积是___________. 【答案】π38、双曲线13222=-by x 的虚轴长为2，其渐进线夹角为___________. 【答案】3π 9、在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为(1,2,3)和(-2,-3,-1)，则该二面角的大小为___________.(结果用反三角函数表示)【答案】 141arccos10、现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号为1、2、3，从中任取3个小球，颜色和编号均不相同的情况有_________种. 【答案】 611、已知点1,2),,(),,(22≤+≤+v u t s v u Q t s P ，复数21、z z 在复平面内分别对应点Q P 、，若21z z z +=，则z 的最大值是___________. 【答案】312、已知点O 在二面角βα--AB 的棱上，点P 在半平面α内，且12π=∠POB ，若对于半平面β内异于O 的任意一点Q ，都有12π≥∠POQ ，则二面角βα--AB 大小的取值集合为___________. 【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分 13、“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（） A 杨辉 B 刘徽 C 祖暅 D 李淳风【答案】C14、已知n ，m ∈*N ，n ≥m ，下面哪一个等式是恒成立的（） A 、 mn C =!!m n B 、)!(!m n n P n m -= C 、 111-+-=+m n m n m n C C C D 、111++-=+m n m n m n C C C【答案】B15、在复数范围内，多项式4X²+1可以因式分解为（） A 、4（X -2i ）（x+2i ） B 、4（X -21）(X+21) C 、（X -2i ）（x+2i ） D 、（X -21）(X+21) 【答案】A16、已知抛物线A p px y 上有两点是正常数)(22=（11,y x ），B （22,y x ）焦点F ，甲：1x 2x =42p 乙：1y 2y =-2p 丙：OA •OB =－243p 丁：p FB FA 211=+ 以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件共有几个（）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B17、已知复数W 满足W （1+2i ）=4+3i （i 为虚数单位），Z=w5+2-w ，求一个以Z 为根的实系数一元二次方程.解：i iiii -=++=+=+2213434)21(ωω i i i w w z +=-+-=-+=322251061a 10)3)(3(633a b-i -32=+-==-+==-++=x x i i aci i z 时，得当一根，得另一根为为实系数一元二次方程 18、在平面直角坐标系中，椭圆C ：12222=+by a x （0〉〉b a ），右焦点2F 为（c ，0）.（1）若其长半轴长为2，焦距为2，求其标准方程.（2）证明该椭圆上一动点P 到点2F 的距离d 的最大值是a+c. 解：（1）由题意得a=2,2c=2 得3222=-=c a b所以，标准方程为13422=+y x （3）设P （x,y ）[][]a a cc a x acx x a c x a b b c x y c x d PF a a x ,a 2)()(,22222222222222-∉=∴+-=-+-=+-==-∈ 为对称轴当ca c a d a x c a a x a x +∴-==+=-=±=∴最大值为时得当时得当时取最值当min max d19、推广组合数公式，定义!)1()1(m m x x x C mn +--=，其中*∈∈N m R x ,，且规定10=x C .（1）求415-C 的值.（2）设0〉x ，当x 为何值时，函数213)()(x xC C x f =取得最小值？解：（1）30604321)18()17()16(15415=⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-=-C(2)6322)(22220)32(61623)(321)2)(1(min 213-==∴≥+∴>-+=+-==⨯⨯--=x f x xx x xx x x x x f xC x x x C x x 时当20、被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如下图所示，在棱长为4的正方体ABCD －1111D C B A 中，点)24,,2,1( =i P i 为棱上的四等分点. （1）求该方灯体体积.（2）求直线21P P 和116P P 的所成角. 求直线139P P 和平面921P P P 的所成角. 解答（1） V=S ABCD h -8 13S B1P9P2 B 1P 1=64- 43=1883(2) ∵P 1P 2∥P 6P 5∴ P 1P 2 和P 6P 11的所成角即为P 6P 5和P 6P 11的所成角为Π3（3）（3）直线P 9P 13和平面P 1P 2P 9的所成角为a=arccos √6321.（本题满分18分）本题共3三小题，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分。

上海市上海中学2018-2019学年下学期高二期末数学试卷

上海中学高二下期末数学试卷2019.6一、填空题1．在Rt A B C △中，90C ∠=︒，1A C =，2B C =，以B C 边所在直线为轴，把A B C △旋转一周，得到的几何体的侧面积为．2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为．4．袋中有6个黄色、4个白色的兵乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，则第二次才取到黄色球的概率为．5．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则0126,,,,a a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数的和等于．6．12322019202020201222C C C C ++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅被10除得的余数是．7．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+的值为．8．长方体1111A B C D A B C D -的8个顶点在同一球面上，且2A B =，A D =，11A A =，则顶点A 、B 的球面距离是．9．如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A 沿圆锥体的表面爬行一周，又绕回到点A ．已知该圆锥体的底面半径为r ，侧面母线长为3r ，则小蚂蚁爬行的最短路径长为．10．已知四面体A B C D （非正四面体），过四面体A B C D 内切球球心的任意截面，若将该四面体分成体积相等的两个小多面体，假设这两个小多面体的表面积分别是12,S S ，则12S S =．11．对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,,}n ⋅⋅⋅进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅和{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个不同元素，组成样本（样本中共4个元素）．用i j P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则所有(1)i j P i j n <≤≤的和等于．12．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人2个孩子，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，孩子乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有种．13．晚会上共有8个演唱节目和3个舞蹈节目，要求任何2个舞蹈节目之间至少要有2个演唱节目，则一共有种不同的节目顺序表．14．设1210,,,x x x ⋅⋅⋅为1,2,,10⋅⋅⋅的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n <≤≤，都有m n x m x n ++≤成立的不同排列的个数为．二、选择题15．把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件A 表示“甲分得红牌”，事件B 表示“乙分得红牌”，则A 与B 是（）A ．对立事件B ．互相独立的事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对16．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口中的某一个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中猜测珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（）A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对17．若两条异面直线所成的角为60︒，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A ．48对B ．24对C ．12对D ．66对18．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π三、解答题19．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12、13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，求该总体方差的最小值．20．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三名学生的平时成绩分析，甲、乙、丙三名学生笔试合格的概率分别是0.6、0.5、0.4，面试合格的概率分别是0.6、0.6、0.75，求（1）甲、乙、丙三名学生中恰有一人笔试合格的概率；（2）经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．21．在一次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件．组委会决定将裁判由原来的9名增至14名，任取其中7名裁判的评分作为有效分，若全部14名裁判中有2名受贿，7个有效评分中有受贿裁判评分的概率称为“不公正率”，求（1）“不公正率”为多大？n n 个裁判中任取其中7名裁判的评分作为有效分，受贿人数仍为2人，要（2）若从(9)使“不公正率”降至40%以下，请问裁判团人数n至少为多少人？从本题计算所得数值中你有何感想？22．所有含数字5的三位正整数（例如：105，551等等）构成集合A，求（1）集合A中的元素个数；（2）集合A中所有元素的和．23．有一张形状为矩形11A B B A 的纸，边长1A A 为16cm π，边A B 长为16cm ，其内有两点,P Q ，点P 到1A A 、11A B 的距离分别为4cm 、4cm π，点Q 到A B 、1B B 的距离分别为43cm π和6cm ，现将矩形卷成一圆柱的侧面，使A B 和11A B 重合，求：（1）P 、Q 两点间的距离；（2）四面体A B P Q 的外接球的表面积．24．已知祖暅原理的两个推论如下：推论1：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果所截得的两个截面的面积之比恒等于:a b ，那么这两个几何体的体积之比也等于:a b ．推论2：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任何直线所截，如果截得的两条线段的长度总相等，那么这两个平面图形的面积相等；如果截得的两条线段的长度之比恒等于:a b ，那么这两个平面图形的面积之比也等于:a b ．对于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，利用以上两个推论求解下列问题：（1）求圆222:D x y b +=与椭圆C 的面积之比；（2）将椭圆C 绕y 轴旋转一周得到一个椭球体，求该椭球体的体积．参考答案一、填空题12．103．484．4155．326．17．1045⨯8．229．10．111．612．34813．846720014．512【第1题解析】1S rl ππ==⋅⋅侧．【第2题解析】258010200⨯=（人）．【第3题解析】132448C P ⋅=（2和4两个偶数任选1个排在个位，余下4个数字4选3排在其余3个数位）．【第4题解析】114611109415C C P C C ⋅==⋅．【第5题解析】偶数为1166a C ==，33620a C ==，5566a C ==，和为32．【第6题解析】原式122332020202020202011(22222)[1(12)]22C C C C =+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=++201008177181010101031(101)150(101010)4922C C C C +-+===⋅-⋅+-⋅+- ，被10除得的余数是1．【说明】计算器输入20111((20)2)x x C x -=+⨯∑，可得1743392201，∴其被10除得的余数是1．【第7题解析】令1x =-，可得012112a a a a +++⋅⋅⋅+=-，令3x =-，可得100121125a a a a -+-⋅⋅⋅-=-⨯，于是，原式100121101211()()45a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+-+-⋅⋅⋅-=⨯．【第8题解析】长方体的体对角线即为球直径，其值为，∴球半径r =，由于A O B O ==，2A B =，∴2A O B π∠=，∴球面距离 22A B A O B r =∠⋅=．【第9题解析】将圆锥的侧面展开图为半径为3r ，弧长为2r π的扇形，其圆心角为23π，于是小蚂蚁爬行的最短路径为图中的线段A A '，其长为．【第10题解析】内切球的球心O 到四面体A B C D 的四个面的距离均为球半径r ，记两个小多面体的体积分别为1V 、2V ，截面面积为S ，由12V V =可知，1211()()33S S r S S r ⋅-⋅=⋅-⋅，从而12S S =，∴121S S =．【第11题解析】从{1,2,,}m ⋅⋅⋅中随机抽取2个元素的所有的抽法有2m C ，从{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅中随机抽取2个元素的所有的抽法有2n m C -，∴从每个子总体中各随机抽取2个不同元素组成样本的所有抽法有22m n m C C -⋅．①当,{1,2,,}i j m ∈⋅⋅⋅时，元素,i j 必须被抽取，子总体{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅中需再抽2个元素，∴22221n m i j m n m mC P C C C --==⋅，这样的情况有2m C 个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为2211m mC C ⋅=；②当,{1,2,,}i j m m n ∈++⋅⋅⋅时，元素,i j 必须被抽取，子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅中需再抽2个元素，∴22221m i j m n m n mC P C C C --==⋅，这样的情况有2n m C -个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为2211n m n mC C --⋅=；③当{1,2,,}i m ∈⋅⋅⋅，{1,2,,}j m m n ∈++⋅⋅⋅时，元素,i j 必须抽取，且还需在两个子总体剩余的1m -个和1n m --个元素中各抽取1个，∴1111224()m n m i j m n m C C P C C m n m ----⋅==⋅-，这样的情况有11m n m C C -⋅个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为1144()m n m C C m n m -⋅⋅=-；∴所有(1)i j P i j n <≤≤的和等于6．【第12题解析】方法一：直接法①2辆缆车（3+3）[3辆缆车选2辆]：23336360C C C =（种）；②3辆缆车（1+2+3）[单独乘缆车的必须是大人]先确定4个大人哪一个单独乘哪一辆缆车，另外2辆缆车各1个孩子或1个大人陪同2个孩子：11211114323223()[()]216C C P C C C C +=（种）；③3辆缆车（2+2+2）先确定2个孩子乘坐的缆车，再安排4个大人的2人乘余下的一辆缆车，剩余的2个大人分别陪同1个孩子：22234272P C P =（种）；∴答案为6021672348++=（种）．方法二：排除法总情况：3辆缆车（1+2+3或2+2+2）[先分组再排列，注意有平均分组]或2辆缆车（3+3）[3辆缆车选2辆]，2221233233642653336333()510C C C C C C P C C C P +⋅+=（种）；2个孩子乘同一缆车，且无大人陪同的情况：2+2+2或1+2+3，121113434242C C C C C +=（种）；1个孩子单独乘1辆缆车的情况：1+2+3，11212352120C C C C =（种）；∴答案为51042120348--=（种）．【第13题解析】（隔板法）8个演唱节目先全排列，然后在这8个演唱节目隔开的9个空插入3个舞蹈节目并排序．第1个舞蹈节目之前，第1、2个舞蹈节目之间，第2、3个舞蹈节目之间，第3个舞蹈节目之后的演唱节目的个数依次记作1a 、2a 、3a 、4a ，由题意，12340,2,2,0a a a a ≥≥≥≥，则123411,11,12,11a a a a +--+≥≥≥≥，问题转化为8个舞蹈节目除头、尾外的7个空插入3个舞蹈节目并排序，∴共有83878467200P P ⋅=（种）．【第14题解析】（1）1,2的排列有1,2和2,1共2个满足题意；（2）1,2,3的排列有1,2,3、1,3,2、2,1,3、3,2,1共4个满足题意，其中1,2,3和1,3,2可由（1）中排列1,2插入3得到，3在排尾或者（1）中最大元素2之前，其中2,1,3和3,2,1可由（1）中排列2,1插入3得到，3在排尾或者（1）中最大元素2之前；（3）1,2,3,4的排列有1,2,3,4、1,2,4,3、1,3,2,4、1,4,3,2、2,1,3,4、2,1,4,3、3,2,1,4、4,3,2,1共8个满足题意[可由（2）中排列插入4得到，4在排尾或者（2）中最大元素3之前]；…，排列的个数构成2为公比的等比数列，∴所求的不同排列的个数为92512=．二、选择题15．C16．A17．B18．A【第16题解析1至6号口的情况依次为05C 、15C 、…、55C ，所求的概率为2555216C P ==，选A ．【第17题解析】如图，11A B C △为等边三角形，将11A B C △相邻两边的其中一边用和它平行的直线替换即可得到一对“黄金异面直线对”，如11A C A C ∥，∴A C 与1A B ，A C 与1C B 为“黄金异面直线对”；于是由11A B C △可得6对；类似1A C D △、11A B D △、1B C D △均可得6对，共24对，选B ．【第18题解析】如图，该几何体为78个球，3774288833V V r ππ==⋅=球，2r ⇒=，∴227171343178484S S S r r πππ=+⋅=⋅+⋅⋅=圆球，选A ．三、解答题19．10.5a b ==，方差35.808．20．（1）0.6(10.5)(10.4)(10.6)0.6(10.4)(10.6)(10.5)0.40.38P =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=；（2）先计算甲、乙、丙都不被录取的概率，分别为10.60.60.64-⨯=、10.50.60.7-⨯=、10.40.750.7-⨯=，再由排除法（去掉三人都不被录取的概率），可得所求概率为10.640.70.70.6864P =-⨯⨯=．21．（1）排除法（去掉没有受贿裁判的概率），71271410113C P C =-=；（2）72721325n n C P n C -=-<⇒≥，即裁判团人数n 至少为32人；感想略．22．（1）所有的三位正整数，去掉不含5的，答案为111899900252C C C -⨯⨯=（个）；（2）①百位为5的有100个；②百位不为5的有152个，其中百位为1，2，3，4，6，7，8，9的各有19个，百位为1的元素的和为1010(105115195)(150151159)1552890+++++++-=个个，百位为2的元素的和比百位为1的元素的和多了19个100，以此类推，所有元素的和为100(500501599)[289081900(1235678)]138870++++⨯+⨯++++++=个．23．记圆柱下底面的圆心为O ，P 、Q 在下底面的投影分别记作1P 、1Q ，设底面圆半径为r ，2168r r ππ=⇒=，由已知， 1142A P A O P r A O P ππ=∠⋅=⇒∠=， 11436A Q A O Q r A O P ππ=∠⋅=⇒∠=，（1）如图建立空间直角坐标系，由题意，14P P =，116610Q Q =-=，则(8,0,4)P、(Q -，∴||P Q =（2）设外接球的方程为2222()()(8)(0)x a y b z r r -+-+-=>，该球过(0,8,0)A 、(8,0,4)P、(Q -，∴22222222229734(8)642173(8)164(4)(43)4380734a a b r a b r b a b r r ⎧+=⎪⎪⎧+-+=⎪⎪+⎪-++=⇒=⎨⎨⎪⎪--++=⎩⎪-=⎪⎪⎩，从而，外接球的表面积为224(3803)S r cmππ==-．24．（1）如图，直线y h =与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D 两点，易得222222222||22||21C D b h b h b a A B ah b h a bb --=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴由推论2，S bS a=圆椭圆；（2）用平面z h =截椭球体与球，则2222222222222221()()()h a a b h b S a b S b h b b h ππππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎝⎭===--椭球截球截，∴2232224433a a V Vb a b b b ππ==⋅=球椭球．。

2018-2019学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 2．等比数列的前项和为，已知，，则（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===，则数列{}n x 是（）A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )xy a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。

2018-2019学年高二下期末数学试题(文)含答案

2018--2019学年度第二学期期末质量检测试题高二数学（文科）注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来。

）1、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（） A . 4- B . 4i 5 C . 4 D . 452、函数cos sin y x x x =-的导数为（）A ．sin x xB ．sin x x -C ．cos x xD ．cos x x - 3、设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是( ) A ．若a b ≠-，则a b ≠ B ．若a b =-，则a b ≠ C ．若a b ≠，则a b ≠-D ．若a b =，则a b =-4、用反证法证明命题“设a ，b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根5、设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为错误！未找到引用源。

；命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6、设x R ∈，则“11x +<”是“220x x +-<”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 7、若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．24y x =B ．26y x = C ．28y x = D ．210y x =8、以下命题中，真命题有（）①对两个变量y 和x 进行回归分析，由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ； ②若数据123,,,,n x x x x 的方差为2，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为4；③已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。

2018-2019学年上海市高二下学期期末考试复习卷数学试题解析版

绝密★启用前上海市2018-2019学年高二下学期期末考试复习卷数学试题一、单选题1．若两条异面直线外的任意一点，则（）A．过点有且仅有一条直线与都平行B．过点有且仅有一条直线与都垂直C．过点有且仅有一条直线与都相交D．过点有且仅有一条直线与都异面【答案】B【解析】解：因为若点是两条异面直线外的任意一点，则过点有且仅有一条直线与都垂直，选B2．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果.【详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误；（2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误.本题正确选项：B【点睛】本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题.3．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线互相平行但不重合的概率是( )A．175B．275C．375D．22(5)5x y++=【答案】D【解析】【分析】首先确定甲、乙各任选两点构成直线的选法种数；再求出所选直线相互平行的选法种数；利用古典概型求得结果.【详解】正方体6个面的中心连线构成正八面体，6个点为其六个顶点甲、乙各任选两点构成直线，共有：2266225C C=种选法正八面体中互相平行的棱共有6对，则甲乙所选直线相互平行共有：126212C A=种选法∴所选两条直线互相平行但不重合的概率为：124 22575=本题正确选项：D【点睛】本题考查古典概型的概率问题求解，涉及到空间几何体的结构特征，考查学生的空间想象能力和排列组合知识的应用.4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：总体均值为2，总体方差为3D．丁地：中位数为2，众数为3【答案】C【解析】【分析】通过反例可依次排除掉,,A B D选项；利用反证法求出C选项中，若存在不符合标志的情况，总体方差必大于3，可知假设错误，C 正确. 【详解】A 选项：若10天内数据为：0,0,0,0,4,4,4,4,4,10，满足均值为3，中位数为4，存在超过7人的情况，不符合该标志，则A 错误；B 选项：若10天内数据为：0,0,0,0,0,0,0,0,0,10，满足均值为1，方差大于0，存在超过7人的情况，不符合该标志，则B 错误；C 选项：设10天内存在一天超过7人，为最低的超过标志的人数：8人，则必有()()()22221912282310s x x ⎡⎤=-+⋅⋅⋅+-+->⎣⎦，可知方差不可能为3，可知假设错误，则必符合该标志，则C 正确；D 选项：若10天内数据为：0,0,1,1,2,2,3,3,3,10，满足中位数为2，众数为3，存在超过7人的情况，不符合该标志，则D 错误. 本题正确选项：C 【点睛】本题考查统计中利用均值、众数、中位数、方差对总体进行估计的问题，关键是能够通过反例来进行说明.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________。

2018-2019学年高二(下)期末数学试卷(含答案)

高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（）A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.( )B.3.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，若样本中男生比女生多12人，则n=（）A. 990B. 1320C. 1430D. 15604.（2，k（6，4是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π6.若函数f（x）a的取值范围为（）A. （-5，+∞）B. [-5，+∞）C. （-∞，-5）D. （-∞，-5]7.设x，y z=x+y的最大值与最小值的比值为（）A. -1B.C. -28.x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 2B. 1 D. 49.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=30，则S20=（）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或1010.当的数学期望取得最大值时，的数学期望为（）A. 211.若实轴长为2的双曲线C：4个不同的点则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )12.已知函数f（x）=2x3+ax+a．过点M（-1，0）引曲线C：y=f（x）的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f（x）的极大值点为（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x7的展开式的第3项为______．14.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=5，则tan2β=______．15.287212,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积则椭圆C的标准方程为______.16.已知高为H R的球O的球面上，若二面4三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.nn的通项公式．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如表格：（1）根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；（2）以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（i）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ii）若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A cos C+a sin C cos B A．（1）求tan A的值；（2）若b=1，c=2，AD⊥BC，D为垂足，求AD的长．20.已知B（1，2）是抛物线M：y2=2px（p＞0）上一点，F为M的焦点．（1，M上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）若直线y=kx-3（k≠0）与M交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2+y1y2=-4，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB，二面角A-BD=F求PD与平面BDF所成角的正弦值．22.已知函数f（x）=（x-a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=2时，F（x）=f（x）-x+ln x，记函数y=F（x1）上的最大值为m，证明：-4＜m＜-3．答案和解析1.【答案】A【解析】故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，子集与真子集，并集及其运算，属于基础题．先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，以及元素和集合之间的关系，以及并集运算得出结果．【解答】解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}，B={2}={x|0≤x＜4}，∴∉A，B，B⊆A，A∪B={x|-1＜x＜5}．故选C．3.【答案】B【解析】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，样本中男生比女生多12人，设男生数为6k，女生数为5k，解得k=12，n=1320．∴n=1320．故选：B．设男生数为6k，女生数为5k，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果．本题考查高一学生数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∴k=-3；∴（-16，-2）与共线．k=-3考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）x≤1时，函数是增函数，x＞1时，函数是减函数，由题意可得：f（1）=a+4≥，解得a≥-5．故选：B．利用分段函数的表达式，以及函数的单调性求解最值即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（2，5），B-2）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时则z=x+y的最大值与最小值的比值为：．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．【解析】解：由题意，对任意的∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）=f（x）min=-3，f（x2）=f（x）max=3．∴|x1-x2|min∵T=4．∴|x1-x2|min=．故选：A．本题由题意可得f（x1）=f（x）min，f（x2）=f（x）max，然后根据余弦函数的最大最小值及周期性可知|x1-x2|min本题主要考查余弦函数的周期性及最大最小的取值问题，本题属中档题．9.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，（30-S20），解得S20=20，或S20=-10，∵S20-S10=q10S10＞0，∴S20＞0，∴S20=20，故选：A．由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，列式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∴EX取得最大值．此时故选：D．利用数学期望结合二次函数的性质求解期望的最值，然后求解Y的数学期望．本题考查数学期望以及分布列的求法，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，动点的轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．设P i（x，y）⇒x2+y2（x2。

2018-2019学年上海嘉定区高二数学期未试卷

嘉定区2018-2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷考生注意：1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须在答题纸上进行,写在试卷上的解答律无效；2.答卷前,考生务必将姓名、学号等在答题纸密封线内相应位置填写清楚；3.本试卷共21道试题,满分150分,考试时间90分钟。

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分；第7～12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果)1.已知两点A(-1,2)、B(3,6),则直线AB 的倾斜角为_______.2.向量()21，=a 在()13，=b 上的投影为______. 3.直线01=++y x 与直线012=+-y x 的夹角的大小等于_______(用反三角函数式表示).4.下图为中国古籍《尚书》中记载的“洛书”,关于其传说被列为国家级非物质文化遗产.依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为_________.5.在平面直角坐标系中,以点()()3151，、，B A -为直径的圆的方程可以化为 022=++++F Ey Dx y x 的形式,则D+E+F=_______.6.平面直角坐标系xOy 中,点A(4,-2),动点P 满足，4=•AP OP 则动点P 的轨迹方程是___.7.某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是_______.8.已知数列{}()*N n a n ∈的通项公式为()()，，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+≤≤--=-+10015454100016121112n n n n n a n n n n n 则=∞→n n a lim ______. 9.已知数轴上分别对应实数()n m n m ＞、的两个点E 、F 的距离用行列式可以表示为 n m EF = ，11类比于此,平面上三个成逆时针顺序的点()()()332211y x C y x B y x A ，，，，，形成的三角形面积用行列式可表示为S=________.10.等比数列{}n a 前n 项和，n S 首项为10,公比为2,则方程1033=++-a y S x 所表示的图形的面积为________.11.平面上线段，4=GH 如果三角形GPH 上的顶点P=那么随着P 的运动,三角形GPH 面积的最大值等于_________.12.在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()1122=+-y x 上运动,若y x +=则y x +2的最小值为________.二、选择题(本大题满分20分.本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对得5分,否则一律得零分)13.已知过定点(4,5)的直线m 的一个法向量是()，，32-=则直线m 的点方向式方程可以为A.()()5243-=-y xB.3524-=-y xC.()()05243=---y xD.2534-=-y x 14.用数学归纳法证明:()()()，*22226121321N n n n n n ∈++=⋯+++在第二步证明当 1+=k n 成立时,通常要将()222221321+++⋯+++k k 最终变形为 A.()()()216121++++k k k k B.()()66721+++k k k C.()()6321++k k k D.()()[]()[]6112111+++++k k k 15.列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 存在唯一解的_____条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要16.已知,由抛物线、2x y =x 轴以及直线1=x 所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为A.21B.31C.41D.52 三、解答题(本大题满分76分.本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤)17.(本题满分14分)用行列式讨论关于y x 、的二元一次方程()R m mmy x m y mx ∈⎩⎨⎧=+-=+214解的情况并求解. 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)已知向量b a 、的夹角为120°,，2==设.23b a t n b a m +=-=，(1)试用t 来表示的值； (2)若与的夹角为钝角,试求实数t 的取值范围.19.(本题满分14分,第1小题5分,第2小题9分)定义“矩阵”的种运算() ⎝⎛•c a y x ， ()，，dy bx cy ax d b ++=⎪⎪⎭⎫该运算的意义为点()y x ，在矩阵 ⎝⎛c a ⎪⎪⎭⎫d b 变换下成点()，，dy bx cy ax ++设矩阵 ⎝⎛=31A .12⎪⎪⎭⎫-(1)已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为(3,1),试求点P 的坐标；(2)是否存在这样的直线:它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这样的直线；若不存在,则说明理由。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

分
由于 MP = (x1 − m, y1 ), MQ = (x2 − m, y2 ) ，其中 x1 − x2 ≠ 0 ，
由 MP
=
MQ 得
m = x1 + x2 4
，即 m = x1 + x2 4
= k2 1+ 2k 2
=
1
1 k2
+
2
(k ≠ 0) ，
因此 0 < m < 1 ．…………………………………………………………………………………………9 分 2
两边平方得
| OC |2
⋅|
OD
|2 =
3 (OC 2 2
+ OD2 ) ，则得 |
1 OC |2
+
1 | OD
|2
=
2 3
．………………12
分
即
x02
1 +
y02
+
x2
1 +
y2
=
2
．
3
将③代入上式得
1
+ 1 =2
2y2 + 2x2 2 x2 + y2 3 ，
2x2 + y2 2x2 + y2
化简，得点 D 的轨迹方程是
一．填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3
分，否则一律得零分．
1． 2 2． 2
6． arctan 1 2
11． 2 2
3． y = − 1 x 、 y = 1 x
2
2
7．18
8． πR
3
π 12． 96 − π
4． 5 9． 4
21．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 5 分．
解：（1）设椭圆方程为
x a
2 2
+
y2 b2
=1
(a > b > 0) ，由题意得 b = 1,c = 1，
…………………2 分
所以 a 2 = b 2 + c 2 = 2 ， ………………………………………………………………………………3 分
又因为 OH ⊥ SC ， SC,QB 是平面 SBQ 内的相交直线，
所以 OH ⊥ 平面 SBQ ．…………………………………………6 分（2）解：因为 ∠AOQ = 60° ，所以 ∠BOQ = 180° − 60° = 120° ． A
在 ∆OQB 中，OQ = OB ，则得 ∠OBQ = 30° ， ∠OCB = 90° ，且
y2 − x2 = 1．…………………………………………………14 分 63
5． 40 10． 20° 或 70°
二．选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接
填写答案的代码，选对得 3 分，否则一律得零分．
13．B
14．D 15．B
16．A
三．解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
则直线
DF, DC1
所成的角就是异面直线 C1D
与
BE
所成的角，且
AF
=
1 4
AB
= 1 ．……………1
分
在 ∆DFC1 中， DC1 = DA12 + A1C12 = 2 5 ， DF = AD2 + AF 2 = 5 ， FC = AC2 + AF 2 − 2AC ⋅ AF ⋅ cos60°
C1
解得 n = 8 或 n = −1 （舍去）．所以 n = 8 ．………………………………………………………………………………………………4 分（2）由（1）得 n = 8 ．
x
+
1 2x
8
的展开式的通项是 Tr +1
=
C8r
×
( 1 )r 2
×
x4−r
，
r
=
0,1,2,⋅ ⋅ ⋅,8
．………………………6
嘉定区 2017 学年第二学期期末考试高二年级数学试卷
参考答案与评分意见 2018.6 说明： 1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分． 3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．
因此 z = 1 + 2i ． ………………………………………………………………………………………4 分（2）证明：由（1）得 ω = (1 + 2i) ⋅ i + m = (m − 2) + i ． …………………………………………6 分
则| ω |= (m − 2)2 + 1 ≥ 1，当 m = 2 时，等号成立．所以 | ω |≥ 1． …………………………………………………………………………………………8 分
因为 C1E = A1C12 − A1E 2 = 42 − 22 = 2 3 ，
所以四面体 BDEC1 体积V
=
1 3
×6×2
3=4
3 ．………………………………………………10 分
20．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分．
（1）证明：联结 OC ．
因此所求椭圆方程为 x2 + y2 = 1． ……………………………………………………………………4 分 2
（2）假设在线段 OF 上存在点 M (m,0)(0 < m < 1) ,使得以 MP, MQ 为邻边的平行四边形是菱形．
因为直线与 x 轴不垂直，所以可设直线 l 的方程为 y = k (x − 1)(k ≠ 0) ， P, Q 坐标分别为
⊂≠A平A1面⊥
平面 A1B1C1 ，且 C1E ⊥ A1B1 ． A1B1C1 ，所以 C1E ⊥ AA1 ．又因为
AA1,
A1B1
⊂≠ 平面
A1 ABB1
，且
AA1
∩
A1B1
=
A1 ,
所以 C1E ⊥ 平面 A1ABB1 ，……………………………………………………………………………8 分
即 C1E 是四面体 BDEC1的底面 BDE 上的高．
因为 OQ = OB ， QB 的中点为 C ，所以 OC ⊥ QB ．
S
由题意知 SO ⊥ 平面 ABQ ， QB ⊂≠ 平面 ABQ ，所以 SO ⊥ QB ．
而 SO ∩ OC = O ，所以 QB ⊥ 平面 SOC ．……………………3 分因为 OH ⊂≠ 平面 SOC ，所以 QB ⊥ OH ．
(x1, y1 ),(x2 , y2 ) ．
由
x2 + 2 y=k
y2 (x
=1 − 1)
得
(1 + 2k 2 )x 2 − 4k 2 x + 2k 2 − 2 = 0 ．
由一元二次方程根与系数的关系得
x1
+
x2
=
4k 2 1+ 2k2
,
x1
⋅
x2
=
2k 2 − 2 1 + 2k 2
．………………………7
17．(本题满分 8 分)
（1）解：设 z = a + bi ， a 、 b ∈ R ，且 b > 0 ．
由已知得 a2 + b2 + 2ai = 5 + 2i ， ……………………………………………………………………1 分
所以
a2 2a
+ =
b2 2
=
5
，解得
a = 1
b
=
2
．
…………………………………………………………………3 分
（3）设 C(x0, y0 ), D(x, y) ，由 OC ⊥ OD 得 x0x + y0 y = 0
①
又点 C 在椭圆上，得
x02 2
+
y02
=1
②
联立①、②得
x0
=
2y2 2x2 + y2
,
y0
=
2x2 2x2 + y2
③ ………………11 分
由 OC ⊥ OD ，得 OC ⋅ OD = 6 CD ， 2
18．（本题满分 8 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分．
解：（1）
x
+
1 2x
n
（
n
∈ N*
）的二项展开式中，前三项系数依次为1,
1 2
C1n ,
1 4
C2n
，………2
分
由题意得
1 2
C1n
×
2
=
1
+
1 4
C2n
，即
n2 − 9n + 8 = 0 ．
A1
E
B1
= 42 + 12 − 2 ⋅ 4 ⋅1⋅ 1 = 13 2
又 CC1 = 4 ，
D
C
所以 FC1 = FC 2 + CC12 = ( 13)2 + 42 = 29 ． ……………4 分