上海市七年级上学期因式分解精炼

合集下载

上海七年级上学期因式分解精炼

上海七年级上学期因式分解精炼上海市七年级数学因式分解精炼一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、. -a2x'n+2 + abx m^一acx m - OXg2、. a{a - b)i +2a1(b-a)2- 2ab(b - a)IX + y = 3 3、•不解方程俎仁•,求代数式(2x + y)(2x - 3y) + 3x(2λ∙ + y)的值。

5x _ 3y = _24「证明：对于任意自然数n, 3川一2⑷+3“ 一2”一定是10的倍敖。

5、・巳知：X2+bx + c (b、C为整数)是X4 +6X2 +25及3χ4+4x'+ 28x+ 5的公因式，求b、C的值。

课堂小练1.分解因式：(1) -4//?2/?3+∖2nrn2 -2Inn(2) a2x n^2 +abx,l^] -acx n -adx i^ (n为正整数)(3) a(a-b)i +2cr(b-a)1 -2ab(b-a)2 (4) 3x(x - 2) - (2 - x) (6) 4g(l - +2(〃一1)'2.计算：(-2)11 +(-2)10的结果是_______________3.巳知％y都是正整数，且X(X — y)-y(y—兀)=12 ,求x、*4.证明：817 -279 -915能被45整除。

2、迓用公式法进行因式分X巳知多项式Ix3-X1 +m有一个因式是2x + 1,求加的值。

2.巳知a、b、C⅛ AABC的三条边，且满足Cr +h1 +c2-ab-hc-ac = 0 ,试判断AABC的形状。

3.两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

4.巳知：a = -nι+ 1, b =—7/7 + 2, C = —m + 3 ,求Cr +2ab + h2 -2ac + c1 -2bc的值。

2 2 25..若x' + y3 = 27, X2 -x)→y2 = 9 ,求x，+ y2的值。

6、分解因式(1) (α + 2),—(3G-IF (2 ) x y (X - 2y) + x2 (Iy - Λ)(3) 2x3y + Sx2y2 +Sxy y(4)6/2+2a -h2 -2Z?I O 4 17.・巳知：X H - - —3 ,求X 4 T-的值。

上海初中七上因式分解260题(学生版)

【因式分解方法总览】版块一基本方法因式分解的四种基本方法：一提二代三组四叉1. 【提】提公因式法：一次提净，注意符号确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 2. 【代】公式法因式分解中常用的公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b −=+− ⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶三元平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++ ⑷三次方公式：①3322()()a b a b a ab b +=+−+；3322()()a b a b a ab b −=−++ ②3223333()a a b ab b a b +++=+；3223333()a a b ab b a b −+−=− ③()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++−=++++−−− ⑸n 次方公式：①()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++（n 为正整数） ②()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=+−+−+−（n 为正偶数） ③()()12321n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−+=+−+−−+（n 为正奇数）3. 【组】分组分解法分组分解法：通过分组，各组内可以用提公因式法或者公式法进行因式分解. 4. 【叉】十字相乘法与双十字相乘法⑴十字相乘法：适用范围：形如2ax bx c ++的二次三项式设()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=；写成十字交叉的形式，即：12a x a x 12c c ；口诀：降幂排列，首尾分解，交叉相乘，求和凑中.【注】若24b ac −不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.⑵双十字相乘法适用范围：形如22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++的二次多项式条件：①12A a a =，12C c c =，12F f f =②1221a c a c B +=，1221c f c f E +=，1221a f a f D += 即： 1a x 1c y 1f2a x 2c y 2f则()()22111222Ax Bxy Cy Dx Ey F a x c y f a x c f +++++=++++步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y ++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f ++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F 分解成两个因式填在第三列上；③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F ++，检验是否等于()()1122a x f a x f ++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.应用情况：⑴二元二次式（22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++）；⑵三元二次齐次式（222Ax Bxy Cy Dxz Eyz Fz +++++）； ⑶四次五项式（43243210a x a x a x a x a ++++）.版块二拓展方法因式分解的六种拓展方法：拆添项与配方、主元、换元、试根、待定系数、轮换对称式 1. 拆添项与配方法⑴拆、添项⇒分组⇒提、代； ⑵配方法⇒配完全平方式⇒平方差公式 2. 主元法步骤：选（二次三项式）→排（降幂排列）→叉（十字相乘法） 3. 换元法整体思想：化繁为简，本质不变4. 因式定理与试根法⑴余数定理：x c −除()f x ，余数为()f c ；⑵因式定理：若()0f c =，则x c −为()f x 的因式；若x c −为()f x 的因式，则()0f c =；⑶试根法：设()1110n n n n f x a x a x a x a −−=++++为整系数多项式若存在有理数c 满足()0f c =，则pc q=；其中：p 为0a 的因数，q 为n a 的因数；()f x 含有因式()qx p −；特别地，当1n a =时，c p =为整数.【注】常见技巧：若多项式各项系数和为0，则1一定为根. 5. 待定系数法步骤：设（待定系数）→（展）→等（对应项系数相等）【注】待定系数法往往会有多种情况，需逐一验证. 6. 轮换对称式⑴判定多项式是否为轮换对称式；⑵试根：选定一个字母为主元，利用因式定理确定因式，并写出相关同型式对于关于x ，y ，z 的轮换对称式，最常见的试根情况有：常见的齐次轮换对称式：【基础篇】1. 分解因式：22462x xy y +−2. 分解因式：242ab a b a bm an −++3. 分解因式：26312m mn mn −−4. 分解因式：()()32226a b c a c b −−−5. 分解因式：22223a b abc ab c −+−6. 分解因式：44332232722436x y z x y z x y z +−7. 分解因式：()()23262x a b xy a b +−+8. 分解因式：()()221n n x a b y b a +−+−9. 解方程：()()()()45303315453033160x x x x ++−++=11. 分解因式：()()()()22x y x y x y x y +−++−12. 分解因式：23361412abc a b a b −−+13. 分解因式：32461512a a a −+−14. 分解因式：4325286x y z x y −15. 分解因式：322618m m m −+−16. 分解因式：22224()x a x a x +−−17. 分解因式：2316()56()m m n n m −+−18. 分解因式：3223224612x y x y x y −+−20. 分解因式：(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +−−+−21. 分解因式：()()()213223x x x −−+− 22. 分解因式：2121()()m m p q q p +−−+−23. 分解因式：429ax ay −24. 分解因式：322x x x ++25. 分解因式：()2m p q p q −−+26. 分解因式：()()229m n m n +−−27. 分解因式：2229166824a b c ab ac bc ++−+−28. 分解因式：322333x x y xy y +++29. 分解因式：()222224a b a b +−30. 计算：2221999100033⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31. 计算：()22221052100595−⨯−+32. 计算：22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33. 分解因式：()()()33x y x y xy y x −−−−−34. 已知5a b +=，3ab =，求代数式32232a b a b ab −+的值.35. 分解因式：()()22924a b a b +−−36. 分解因式：53182a a −+37. 分解因式：()()22229a a b x y +−+38. 分解因式：8881a b −39. 分解因式：322206045x x y xy −+−40. 分解因式：()2222224x y z x y +−−41. 分解因式：338a b +42. 分解因式：75()()a b b a −+−43. 分解因式：2243()27()x x y y x −−−44. 分解因式：22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +−+−+−45. 分解因式：44244()4p q p q +−46. 分解因式：222()4()4x x x x +−++47. 分解因式：22(23)9(1)x x +−−48. 分解因式：22223(2)27a a b a b +−49. 分解因式：222222(35)(53)a b a b −−+−50. 分解因式：22222(91)36a b a b +−−51. 分解因式：1xy x y −+−52. 分解因式：2ma mb m mn na nb −+++−53. 分解因式：434164a a a +−−54. 分解因式：26432xy yz x xz −+−55. 分解因式：322288a a b b a −+−56. 分解因式：3223636x x y x z xyz +−−57. 分解因式：ax by bx ay −−+58. 分解因式：32acx bcx adx bd +++59. 分解因式：42244a x ax a −+−60. 分解因式：()()22ax by bx ay ++−61. 分解因式：()()2221ab x x a b +++62.分解因式：()()()211y y m m −−−+63.分解因式：32232x x xy y y −+−−64.分解因式：3254222x x x x x −−++−65. 分解因式：()()2222ab x y xy a b −+−66. 已知3210x x x +++=，求20082000199625x x x ++的值.67. 分解因式：()()22114m n mn −−+68. 分解因式：()()()222222a b b c c a a b c +++++−−−69. 分解因式：22(1)12a b b b −−+−70. 分解因式：(1)(2)6x x x −−−72. 分解因式：241194n n m x x y +−+73. 分解因式：5544()x y x y xy +−+74. 分解因式：2222()()()()a b a c c d b d +++−+−+75. 分解因式：325153x x x −−+76. 分解因式：2226923ax a xy xy ay −+−77. 分解因式：222221x y z x z y z −−+78. 分解因式：22221a b a b −−+79. 分解因式：251539a m am abm bm −+−81. 分解因式：2910x x −−82. 分解因式：()238x x −−83. 分解因式：2367928x x −+84. 分解因式：21166x x −−+85. 分解因式：()()222211224x x x x −−−+86. 分解因式：2222360x y xyz z −+87. 分解因式：222536x y xyz z −−89. 分解因式：22310x xy y +−90. 分解因式：2672x x −+91. 分解因式：2121115x x −−92. 分解因式：256x x −++93. 分解因式：26136x x −+94. 分解因式：2273x x ++95. 分解因式：2253x x −+96. 分解因式：222064xy y x −++98. 分解因式：2273320x x −−99. 分解因式：2612x x −+−100. 分解因式：2214425x y xy +−101. 分解因式：22672x xy y −+102. 分解因式：22121115x xy y −−103. 分解因式：2358x x +−104. 分解因式：2212197x xy y −+105. 分解因式：2212()11()()2()x y x y x y x y +++−+−107. 分解因式：2(2)8(2)12a b a b −−−+108. 分解因式：222()14()24x x x x +−++109. 分解因式：()233x m n x mn +++110. 分解因式：2()()x a b c x a b c +++++【提高篇】1. 分解因式：321246n n n y y y +++−+−2. 分解因式：222232284163915a b x a x a b −−3. 分解因式：()()()()2223326a b x y b c a b x y b c ++−++4.分解因式：()()()()56m x y a b c n y x b a c −−++−−−5.分解因式：()()()()()()22322132212123x x x x x x x −+−−+++−6.计算：20.1737 2.017530201.7⨯+⨯+7.分解因式：()()()()()21222n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−8. 分解因式：8684279a a −9. 分解因式：32233111248x y x y x y −+−10. 分解因式：()()2232p p q p p q +−+11. 分解因式：()()()()322522322n n x y x y −−−−−12. 分解因式：()()()1232n n n a x y b y x c y x ++−−−+−13. 分解因式：()()13122n n n x x x x +−−−14. 分解因式：23229632x y x y xy ++15.分解因式：3222524261352xy z xy z x y z −++16.分解因式：212146n m n m a b a b ++−−(m 、n 为大于1的自然数)17.分解因式：23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b −−−+−18.分解因式：()()2121510n n a a b ab b a +−−−（n 为正整数）19.分解因式：2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−（n 为正整数）20. 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +−+−+−−+−−−−21. 分解因式：229312554a ab b −+22. 分解因式：2222()4()4()m n m n m n +−−+−23. 分解因式：()()()24c a b c a b −−−−24. 分解因式：()()24422a a b c b c −+++25. 分解因式：()()222122x x x x −++−26. 分解因式：()()24222222x a b x a b −++−27. 分解因式：77x y xy −28. 分解因式：5131214242n n n n n n x y x y x y −−+−+−+−29. 分解因式：3333a b c abc ++−30. 分解因式：3223332x x y xy y +++31. 分解因式：()()()()333333ax by ay bx a b x y +++−++32. 分解因式：()()2222224c b d a ab cd −+−−−33. 已知2471−可被40到50之间的两个整数整除，求这两个数.34. 求证：22823x xy y −−是两个整系数多项式的平方差.35. 分解因式：222139x xy y −+−36. 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ++−−−37. 分解因式：81644x −38. 计算：()12351721n −⨯⨯⨯+39.分解因式：44()()a x a x +−−40.分解因式：2224244a b c ab ac bc +++−−41.分解因式：()()()()ab c d c d cd a b a b +−++−42.分解因式：()()3211x y xy x y ++−−−43.分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++−−−44. 分解因式：()()222x b c d y d b c c d b +−−−−−+−45. 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z −−++−46. 分解因式：()()3322332a b a b a b ++++++47. 分解因式：432234a a a b ab b b ++++−48. 分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−++49. 分解因式：()222231b a x ab x +−−50. 分解因式：224632x xy ax a x y +−+−−51. 分解因式：222221x y z xy z +−−−−52. 分解因式：()222223691x y x y −+−53.分解因式：2222224x y x z y z z −−+54.分解因式：232232a b abc d ab cd c d −+−55.分解因式：22224946a b c d ac bd −+−++56.分解因式：221x ax x ax a +++−−57.分解因式：222332154810ac cx ax c +−−58.分解因式：22abx bxy axy y +−−59.分解因式：()()x x z y y z +−+60. 分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++61.分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++62.分解因式：2231()b a x abx +−−63.分解因式：22(3)(43)x ab x a b −+−64.分解因式：2222()()ab c d a b cd −−−65.分解因式：3254222x x x x x −−++−66.分解因式：222(1)()ab x x a b +++67.分解因式：222222()()ax by ay bx c x c y ++−++68.分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++−−+69. 分解因式：()222124m x mx m −−−+70.分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++71.分解因式：2222()abcx a b c x abc +++72.分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++73.分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++74.分解因式：2()2a b x ax a b −+++75.分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++−+−76.分解因式：()221999199911999x x −−−77.分解因式：22276212x xy y x y −++−−78.分解因式：22121021152x xy y x y −++−+79.分解因式：22534x y x y −+++80.分解因式：226731385x xy y x y −−++−81.分解因式：224434103x xy y x y −−−+−82.分解因式：22344883x xy y x y +−+−−83.分解因式：2265622320x xy y x y −−++−84.分解因式：226136222320x xy y x y −++−+85.分解因式：22223345a b c ab ac bc +++++86.分解因式：222311642x xy y xz yz z −+−−−87.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++88.分解因式：2222372x y z xy yz xz −−+++89.分解因式：22265622320x xy y xz yz z −−−−−90.分解因式：222695156x xy y xz yz z −+−++91.分解因式：332x x ++92.分解因式：3234x x +−93.分解因式：9633x x x ++−94.分解因式：432433x x x x ++++95. 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++96. 分解因式：444a b +97. 分解因式：44x +98. 分解因式：12631x x −+99. 分解因式：841x x ++100. 分解因式：422411x x y y −+101. 分解因式：4224(1)(1)(1)x x x ++−+−102. 分解因式：22(1)(1)4m n mn −−+103. 分解因式：412323x x −+104. 分解因式：42511x x −+105. 分解因式：444m n +106. 分解因式：422241x x ax a −++−107. 分解因式：2284025a ax xy y −−−108. 分解因式：22a ax xy y ++−109. 分解因式：2232x mx mx x −+−+110. 分解因式：()2232x a x a b b −−+−111. 分解因式：()()()2212121a a b a a b −−+−−112. 分解因式：22226x ax bx a ab b +−−−+113. 分解因式：4222x ax x a a −++−114. 分解因式：()32322x x a x a −++−115. 分解因式：222232x y x y xy xy x y ++++++116. 分解因式：22222a b ab ab a b ++−−−117. 分解因式：3222222x x y x z xz xyz y z yz −+−−++118. 分解因式：()()()2222abc a b c b c a c a b ++++++119. 分解因式：32539x x x ++−120. 分解因式：32256x x x +−−121. 分解因式：32694x x x −+−122. 分解因式：3210x x x +−−123. 分解因式：3487x x −−124. 分解因式：432262x x x x −−−+125. 分解因式：343115x x −+126. 分解因式：3292624x x x +++127. 分解因式：32252x x x −−−128. 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++−129. 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++130. 分解因式：222(231)22331x x x x −+−+−131. 分解因式：2(2)(3)(4)(6)42x x x x x ++++−132. 分解因式：4(1)(21)(31)(41)6x x x x x ++−−+133. 分解因式：()()22216112a a a a a ++−++134. 分解因式：()()2254272x x x x −+−−−135. 分解因式：2244661124864x y x y x y −+−136. 分解因式：168243528x x y y −−137. 分解因式：()()222224x xy y xy x y ++−+138. 求证：(2016)(2017)(2018)(2019)1n n n n +++++是一个完全平方数.139. 计算：(472)(692)(8112)...(199419972)(362)(582)(7102) (199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+140. 计算：44444444(1064)(1864)(2664)(3464)(664)(1464)(2264)(3064)++++++++141. 分解因式：432227447x x x x −−−+142. 分解因式：435159x x x ++−143. 多项式32226x x x k +−+有一个因式是21x +，求k 的值.144. 若()()x a x b k −−−中含有因式x b +，求用a 、b 表示k 的式子.145. 21y x −+是2244xy x y k −−−的一个因式，求k 的值.146. 设多项式324715ax bx x +−−含有因式31x +、23x −，试试将此多项式因式分解.147. 已知关于x 、y 的二次式22754324x xy my x y ++−+−可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.148. 多项式2256x axy by x y ++−++的一个因式是2x y +−，试确定a b +的值.149. 已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值.150. 若多项式432511x x x mx n −+++能被2(1)x −整除，求m n +的值.。

沪教版(上海)七年级上册数学第九章第五节因式分解(含解析)

第五节因式分解一、单选题1．（2020·上海浦东新区初一期末）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式有是（） A ．﹣x 2+16 B ．x 2+9 C ．﹣x 2﹣4 D ．x 2﹣2y【答案】A 【解析】−x 2＋16＝（4＋x ）（4−x ），而B 、C 、D 都不能用平方差公式分解因式，故选：A ． 2．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（） A ．296y y -+ B ．2144m m -+C ．2224a ab b -+D ．222x xy y --【答案】A 【解析】A 、22(963)y y y =--+，故A 正确；B 、221142(2)42m m m -+=+，故B 错误； C 、22244(2)a ab b a b -+=-，故C 错误；D 、2222()x xy y x y -+=-，故D 错误；故选择：A.3．（2020·上海市卢湾中学初一期末）将下列多项式分解因式，结果中不含因式1x -的是（） A ．2x x +B ．21x -C ．221x x -+D ．(2)(2)x xx【答案】A 【解析】2(1)x x x x +=+,A 项正确；()()2111x x x -=+-，B 项错误；()22211x x x -+=-，C 项错误；(2)(2)21x xx xx，D 项错误.故答案选A4．（2020·上海闵行初一期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（）①221x x -- ①214xx -+ ①22a b -- ①22a b -+ ①2244x xy y -+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①221x x --不能用公式法因式分解；②原式＝2112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ①22a b --不能用公式法因式分解； ④原式＝（b -a ）（b+a ）， ⑤原式＝()22x y - 故选：C ．5．（2020·上海杨浦复旦二附中初一月考）下列式子从左到右的变形是因式分解的是① ① A ．①x ①2①①x –2①①x 2①4 B ．.x 2①4①3x ①①x ①2①①x –2①①3x C ．x 2①3x ①4①①x ①4①①x ①1① D ．x 2①2x ①3①①x ①1①2①4 【答案】C【解析】试题分析：A 、是整式的乘法，不是因式分解；B 、右边不是因式的积的形式，不是因式分解；C 、把多项式化成因式的积的形式，是因式分解；D 、右边不是因式的积的形式，不是因式分解．故选C ．6．（2020·湖南邵阳初三一模）把8a 3①8a 2+2a 进行因式分解，结果正确的是（ ① A ．2a ①4a 2①4a +1① B ．8a 2①a ①1① C ．2a ①2a ①1①2 D ．2a ①2a +1①2【答案】C 【解析】 8a 3①8a 2+2a =2a(4a 2①4a+1) =2a(2a①1)2①①①C.7．（2020·广西兴宾初一期中）对多项式2()2a b a b +--进行因式分解的结果是（）A ．(22)()a b a b ++B ．2242a ab b a b ++--C ．)()21(2a b a b ++-D ．())21(2a b a b +++【答案】C 【解析】原式=()()()()()()2=212212a b a b b a b a b a a b -+++-=++-⎡⎤⎣⎦+．故选：C ．8．（2020·甘肃平川区四中初二期末）多项式：①16x 2﹣8x ；②（x ﹣1）2﹣4（x ﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x （x+1）2+4x 2；④﹣4x 2﹣1+4x 分解因式后，结果中含有相同因式的是（） A ．①和② B ．③和④C ．①和④D ．②和③【答案】C 【解析】①16x 2−8x ＝8x （2x−1）；②（x−1）2−4（x−1）＋4＝（x−1−2）2＝（x−3）2；③（x ＋1）4−4x （x ＋1）2＋4x 2＝[（x ＋1）2−2x]2＝（x 2＋1）2； ④−4x 2−1＋4x ＝−（2x−1）2； ∴结果中含有相同因式的是①和④；故选：C ．9．（2020·湖南湘潭电机子弟中学初二月考）因式分解x 2+mx ①12①①x +p ①①x +q ），其中m ①p ①q 都为整数，则这样的m 的最大值是（） A ．1 B ．4C ．11D ．12【答案】C 【解析】①(x①p)(x①q)= x 2①①p+q①x+pq= x 2①mx①12①p+q=m①pq=-12.①pq=1×①-12①=①-1①×12=①-2①×6=2×①-6①=①-3①×4=3×①-4①=-12①m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.10．（2020·扬州市江都区第三中学初一期中）已知a①b①c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值① ①A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定【答案】C【解析】a2-2ab+b2-c2=①a-b①2-c2=①a+c-b①[a-①b+c①]①①a①b①c是三角形的三边．①a+c-b①0①a-①b+c①①0①①a2-2ab+b2-c2①0①故选C①11．（2020·安徽蚌埠初一期末）已知a=2012x+2011①b=2012x+2012①c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab①bc①ca 的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】a2+b2+c2①ab①bc①ac①a2①ab+b2①bc+c2①ac①a ①a ①b ①+b ①b ①c ①+c ①c ①a ①当a ①2012x +2011①b ①2012x +2012①c ①2012x +2013时①a -b =①1①b ①c =①1①c ①a =2①原式＝（2012x +2011①×①①1①+①2012x +2012①×①①1①+①2012x +2013①×2 ①①2012x ①2011①2012x ①2012+2012x ×2+2013×2 ①3① 故选D①12．（2020·全国初二课时练习）①2017重庆市兼善中学八年级上学期联考①在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =① 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=① ()18x y +=①()22162xy +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x①10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ① A ．201030 B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B 【解析】x 3-xy 2=x①x 2-y 2①=x①x+y①①x -y①① 当x=20①y=10时，x=20①x+y=30①x -y=10① 组成密码的数字应包括20①30①10① 所以组成的密码不可能是201010① 故选B①二、填空题13．（2020·温州市南浦实验中学初三二模）因式分解：249m -=________．【答案】()()2323m m +- 【解析】249m -=()()2323m m +-．故答案为：()()2323m m +-14．（2020·广东高州初二期末）如果2x Ax B ++因式分解的结果为()()35x x -+，则A B +=_______．【答案】-13 【解析】()()22=531521535x x x x x x x ++--+--=∴A=2，B=-15 ∴A+B=-13 故答案为：-13．15．（2020·东北师大附中明珠学校初三其他）把多项式因式分解22a b ab b -+的结果是__________．【答案】2(1)b a -【解析】()()2222211a b ab b b a a b a -+=-+=-．故答案为: ()21b a -．16．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）分解因式：3244a a a -+=__________．【答案】2(2)a a -；【解析】3244a a a -+=a(a 2-4a+4)=a(a -2)2.故答案是：a(a -2)2.17．（2020·陕西西安初二期末）多项式2ax a -与多项式2242x x -+的公因式分别是______.【答案】x-1 【解析】多项式2ax a -＝a (x ＋1)(x －1) 2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2所以两个多项式的公因式是x －118．（2020·山东东明初三一模）已知a ﹣b ＝5，ab ＝1，则a 2b ﹣ab 2的值为_____．【答案】5 【解析】∵a ﹣b ＝5，ab ＝1,∴a 2b ﹣ab 2＝ab （a ﹣b ）＝5×1＝5; 故答案为：5．19．（2020·杭州市文澜中学初一期中）若多项式429n n k ++可化为()2a b +的形式，则单项式k 可以是__________．【答案】36n 或36n -或814或636n①当4n 和29n 作为平方项，k 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：()223±n n ，即42224329(3)69++=±=±+n n k n n n n n ，∴36=±k n ；②当4n 和k 作为平方项，29n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(22+n，即4222429(++=+=++nn k n n k ，∴229=n ，解得：814=k ； ③当29n 和k 作为平方项，4n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(23n ，即42229(39++=+=++nn k n n k ，∴4=n ，解得：636=n k ；故答案为：36n 或36n -或814或636n ．20．（2020·全国初一课时练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：2232a ab b ++=______．【答案】()()2a b a b ++．由面积可得：()()22a 3ab 2b a 2b a b ++=++．故答案为()()a 2b a b ++．21．（2020·黑龙江龙凤初一期末）2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______．【答案】20014000【解析】2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111111111111......111122331999199920002000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1341998200019992001 (223319991999200022000)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1200122000⨯=2001400022．（2020·全国初一课时练习）若a, b, c 满足2223331,2,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则444a b c ++=________【答案】146【解析】因为1,a b c ++=所以()21a b c ++= ，即22221ab c ab ac bc因为2222a b c ++=所以12ab ac bc =-++ 因为()()2222a b c a b c++++=所以3332ab c ab abbc b c ac a c因为3331,3a b c a b c ++=++=所以31112ab c bc a ac b即332abbaacabc13322abc16abc因为()()3333a b c a b c++++=即4442222223ab c ab a b ac a c bc b c4442222223a b c ab c ac b bc a 44423a b c abbcacabc abc4441136a b c444146a b c故答案为：146三、解答题23．（2020·江苏高港初一期中）因式分解 ①-2x 2+8；②3222x x y xy -+；③222(4)16x x +-．【答案】①()()222x x -+-；②2()x x y -；③22(2)(2)x x +-【解析】分析：①首先提取公因式2-，再利用平方差公式进行二次分解； ②首先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行二次分解； ③先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行二次分解． ①228x -+()224x =--()()222x x =-+-；②3222x x y xy -+22(2)x x xy y =-+ 2()x x y =-；③222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++- 22(2)(2)x x =+-．24．（2020·江苏射阳初一期中）因式分解（1）2126ab c ab -（2）269a a -+- （3）2464x -【答案】（1）()621ab bc -；（2）()23a --；（3）()()444x x +-【解析】分析：（1）直接提取公因式即可求解；（2）根据完全平方公式即可求解；（3）先提取4,再根据平方差公式即可求解．()1解：原式()621ab bc =- ()2解：原式()269a a =--+()23a =--()3解：原式()2416x =-=4(x+4)(x -4)．25．（2020·山东定陶初一期末）分解因式（1）2425x - （2）22363ax axy ay -+（3）()()222ma m a -+- （4）()()251101a a ---【答案】（1）()()2525x x +-；（2）()23-a x y ；（3）()()21m a m -- ；（4）()()511a a -+ 【解析】分析：（1）原式根据平方差公式分解；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解；（3）原式利用提公因式法分解；（4）原式利用提公因式法分解．解：（1）2425x -=()()2525x x +-；（2）22363ax axy ay -+=()2232a x xy y-+=()23-a x y ；（3）()()222ma m a -+-=()()222ma m a ---=()()21m a m --；（4）()()251101a a --- =()()251101a a -+-=()()5112a a --+ =()()511a a -+．26．（2020·广西江州初一期中）已知x -y=-2，xy=12，求代数式x 3y -2x 2 y 2+xy 3的值. 【答案】xy （x -y ）2，2 【解析】分析：首先根据x -y=2，xy=12，应用完全平方公式，求出（x -y ）2的值是多少；然后根据因式分解的方法，求出x 3y -2x 2 y 2+xy 3的值是多少即可．解：∵x -y=-2，xy=12， ∴（x -y ）2=（-2）2=4， ∴x 3y -2x 2 y 2+xy 3 =xy （x 2-2xy +y 2） = xy （x -y ）2 =12×4 =227．（2020·广西来宾初一期末）已知矩形的长为a ，宽为b ，它的周长为24，面积为32．求22a b ab +的值．【答案】384 【解析】解：由题意可得：2()24a b +=，32ab =，则12a b +=，故22()a b ab ab a b +=+ 3212=⨯384=．28．（2020·全国初二课时练习）已知下列单项式：①4m 2，②9b 2a ，③6a 2b ，④4n 2，⑤-4n 2，⑥-12ab ，⑦-8mn ，⑧a 3．请在以上单项式中选取三个．．组成一个能够先用提公因式法，再用公式法因式分解的多项式并将这个多项式分解因式．【答案】见解析【解析】 4m 2+4n 2-8mn =4（m 2+n 2-2mn ） =4（m -n ）229．（2020·全国初二课时练习）某同学碰到这么一道题“分解因式x 2+2x ﹣3”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上1，再减去1，这样原式化为（x 2+2x+1）﹣4，…”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．请你仔细领会该同学的做法，将a 2﹣2ab ﹣3b 2分解因式．【答案】（a+b ）（a ﹣3b ）【解析】分析：根据老师所说的话，可知需要利用平方差公式，故仿照x 2+2x ﹣3的分解方法，应该凑个完全平方，然后再整体利用平方差公式分解，最后将括号内的同类项合并即可．解：a2﹣2ab﹣3b2＝a2﹣2ab+b2﹣4b2＝（a﹣b）2﹣4b2＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）＝（a+b）（a﹣3b）．30．（2020·全国初二课时练习）请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题：解：令x2﹣4x+2＝y，则：原式＝y（y+4）+4（第一步）＝y2+4y+4（第二步）＝（y+2）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x﹣1）4【解析】分析：（1）根据完全平方公式即可求解；（2）根据完全平方公式即可求解；（3）设x2﹣2x＝y，根据因式分解的方法即可求解．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2﹣2x+1）2，＝（x﹣1）4．31．（2020·江苏相城初一期末）如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推出2a2+3ab+b2因式分解的结果；（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【答案】（1）222a ab b ++；（a +b ）2 （2）()()2a b a b ++ （3）见解析【解析】分析：（1）从整体和部分两个方面进行计算即可；（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得答案；（3）利用图形面积法，可以拼成长为（3a +2b ），宽为（a +b ）的长方形．解：（1）从整体上看，图1是边长（a +b ）的正方形，其面积为（a +b ）2，各个部分的面积之和：a 2+2ab +b 2；（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a 2+3ab +b 2＝（a +b ）（2a +b ）；（3）3a 2+5ab +2b 2＝（a +b ）（3a +2b ），32．（2020·常德市淮阳中学初一期中）观察下列式子的因式分解做法： ①x 2-1=(x -1)(x+1)； ①x 3﹣1 =x 3﹣x+x ﹣1 =x （x 2﹣1）+x ﹣1=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x+1）+1]=（x﹣1）（x2+x+1）；①x4﹣1=x4﹣x+x﹣1=x（x3﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；…（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；（2）观察以上结果，猜想x n﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．【答案】（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）（2）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）（3）6431【解析】分析：（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；（2）由分解的规律直接得出答案即可；（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘13即可．解：（1）x5﹣1=x5﹣x+x﹣1=x（x4﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1=x n﹣x+x﹣1=x（x n-1﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x n-2+x n-3+…+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x n-2+x n-3+…+x+1）+1]=（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）；（3）45+44+43+42+4+1=13×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）=13×（46﹣1）=6431．。

沪教版七年级数学(上)因式分解专题训练(一)

辅导用练习题（六）内部使用请勿外传一、选择题1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a --2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=-12、3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、计算)1011)(911()311)(211(2222----的值是（） A 、21 B 、201C 、101 D 、2011 5、下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A 、a 2b ＋7ab －b ＝b(a 2＋7a)B 、3x 2y －3xy －6y=3y(x －2)(x ＋1)C 、8xyz －6x 2y 2＝2xyz(4－3xy)D 、－2a 2＋4ab －6ac ＝－2a(a ＋2b －3c)6、多项式m(n －2)－m 2(2－n)分解因式等于（）A 、(n －2)(m ＋m 2)B 、(n －2)(m －m 2)C 、m(n －2)(m ＋1)D 、m(n －2)(m －1)7、在下列等式中，属于因式分解的是（）A 、a(x －y)＋b(m ＋n)＝ax ＋bm －ay ＋bnB 、a 2－2ab ＋b 2＋1=(a －b)2＋1C 、－4a 2＋9b 2＝(－2a ＋3b)(2a ＋3b)D 、x 2－7x －8=x(x －7)－88、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A 、a 2＋b 2B 、－a 2＋b 2C 、－a 2－b 2D 、－(－a 2)＋b 29、若9x 2＋mxy ＋16y 2是一个完全平方式，那么m 的值是（）A 、－12B 、±24C 、12D 、±1210、若a 2＋a ＝－1，则a 4＋2a 3－3a 2－4a ＋3的值为（）A 、8B 、7C 、10D 、1211、把(m 2＋3m)4－8(m 2＋3m)2＋16分解因式得（）A 、(m ＋1)4(m ＋2)2B 、(m －1)2(m －2)2(m 2＋3m －2)C 、(m ＋4)2(m －1)2D 、(m ＋1)2(m ＋2)2(m 2＋3m －2)212、多项式2n n a a -提取公因式后，另一个因式是（）A 、n aB 、1n a -C 、21n a -D 、211n a --13、在完全平方式23a a m -+中，m 应是（）A 、32 B 、34 C 、92 D 、9414、若1=x ，21=y ，则2244y xy x ++的值是（）．Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．23 Ｄ．21 15、已知a 为任意整数，且()2213a a +-的值总可以被(1)n n n ≠为自然数，且整除，则n 的值为（）A 、13B 、26C 、13或26D 、13的倍数16、把代数式29xy x -分解因式，结果正确的是（）Ａ．2(9)x y -Ｂ．2(3)x y + Ｃ．(3)(3)x y y +- Ｄ．(9)(9)x y y +-17、将整式29x -分解因式的结果是（）A ．2(3)x -B ．(3)(3)x x +-C ．2(9)x -D ．(9)(9)x x +-18、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）（A ）xy x -2 （B ）xy x +2 （C ）22y x + （D ）22y x -19、下列分解因式正确的是（）A ． )1(222--=--y x x x xy xB ． )32(322---=-+-x xy y y xy xyC ． 2)()()(y x y x y y x x -=---D ． 3)1(32--=--x x x x20、(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（）Ａ．229a y + Ｂ．229a y -+ Ｃ．229a y - Ｄ．229a y --21、把多项式a n+4－a n+1分解得A ．a n (a 4－a)B ．a n -1(a 3－1)C ．a n+1(a －1)(a 2－a ＋1)D ．a n+1(a －1)(a 2＋a ＋1) 22、将−3x 2n −6x n 分解因式，结果是( )A ．−3x n (x n +2)B ．−3(x 2n +2x n )C ．−3x n (x 2+2)D ．3(−x 2n −2x n )23、已知x 2＋y 2＋2x －6y ＋10=0，那么x ，y 的值分别为A ．x=1，y=3B ．x=1，y=－3C ．x=－1，y=3D ．x=1，y=－324、多项式(x+y−z)(x−y+z)−(y+z−x)(z−x−y)的公因式是( )A ．x+y−zB ．x−y+zC ．y+z−xD ．不存在25、多项式x 2－ax －bx ＋ab 可分解因式为A ．－(x ＋a)(x ＋b)B ．(x －a)(x ＋b)C ．(x －a)(x －b)D ．(x ＋a)(x ＋b)26、下列各式x 3－x 2－x ＋1，x 2＋y －xy －x ，x 2－2x －y 2＋1，(x 2＋3x)2－(2x ＋1)2中，不含有(x －1)因式的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27、把9－x 2＋12xy －36y 2分解因式为A ．(x －6y ＋3)(x －6x －3)B ．－(x －6y ＋3)(x －6y －3)C ．－(x －6y ＋3)(x ＋6y －3)D ．－(x －6y ＋3)(x －6y ＋3)28、下列因式分解错误的是A ．a 2－bc ＋ac －ab=(a －b)(a ＋c)B ．ab －5a ＋3b －15=(b －5)(a ＋3)C ．x 2＋3xy －2x －6y=(x ＋3y)(x －2)D ．x 2－6xy －1＋9y 2=(x ＋3y ＋1)(x ＋3y －1)29、已知a 2x 2±2x ＋b 2是完全平方式，且a ，b 都不为零，则a 与b 的关系为A ．互为倒数或互为负倒数B ．互为相反数C ．相等的数D ．任意有理数30、64a 8－b 2因式分解为A ．(64a 4－b)(a 4＋b)B ．(16a 2－b)(4a 2＋b)C ．(8a 4－b)(8a 4＋b)D ．(8a 2－b)(8a 4＋b)二、因式分解1、22(32)(4)a b a b +--2、664x -3、224(2)12(2)(1)9(1)x x x x ---+++4、222()14()24x x x x +-++5、222ax ay xy y -+-6、2222()6()9()m n m n m n ++-+-7、3p 2﹣6pq8、2x 2+8x+89、x 3y ﹣xy10、3a 3﹣6a 2b+3ab 2．11、a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ）12、（x 2+y 2）2﹣4x 2y 213、2x 2﹣x14、16x 2﹣115、6xy 2﹣9x 2y ﹣y 316、4+12（x ﹣y ）+9（x ﹣y ）217、2am 2﹣8a18、4x 3+4x 2y+xy 219、3x ﹣12x 320、（x 2+y 2）2﹣4x 2y 221、x 2y ﹣2xy 2+y 322、（x+2y ）2﹣y 223、234352x x x --24、2633x x -25、22414y xy x +-- 26、13-x27、323812a b ab c + 28、2()3()a b c b c +-+ 29、282m n mn + 30、22129xyz x y -31、2a(y -z)-3b(z -y)32、p(a 2+b 2)-q(a 2+b 2)33、4x 2-934、(x+p) 2-(x+q) 235、44x y -36、3a b ab -37、a 22125b -38、9a 2-4b 239、x 2y -4y40、416a -+41、16x 2+24x+942、-x 2+4xy -4y 243、3ax 2+6axy+3ay 244、(a+b) 2-12(a+b)+3645、x 2+12x+3646、-2xy -x 2-y 247、a 2+2a+148、4x 2-4x+149、ax 2+2a 2x+3a50、-3x 2+6xy -3y 251、3252、12abc-3bc2a a151053、6p(p+q)-4q(p+q) 54、m(a-3)+2(3-a)55、1-36b256、12x2-3y257、0.49p2-144 58、(2x+y) 2-(x+2y) 2 59、1+10t+25t260、m2-14m+4961、y2+y+0.25 62、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 63、25a2-80a+64 64、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 65、(a-b) 2+4ab 66、(p-4)(p+1)+3p67、4xy2-4x2y-3y68、3ax2-3ay269、x2-169 70、5x2-20。

沪教版数学七年级上册第9章【因式分解】专项练习

【因式分解】专项练习一．选择题1．多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（）A．ab B．2ab C．4ab D．4ab22．下列各式，从左到右变形是因式分解的是（）A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2B．m2﹣6＝（m+3）（m﹣3）C．x2+5x+4＝（x+2）2+x D．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）3．下列多项式：①x2+y2；②﹣x2﹣4y2；③﹣1+a2；④0.081a2﹣b2，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．若x2+6x+p＝（x﹣q）2，则p，q的值分别为（）A．6，6B．9，﹣3C．3，﹣3D．9，35．若x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，36．因式（m+2n）（m﹣2n）是下列哪个多项式分解因式的结果（）A．m2+4n2B．﹣m2+4n2C．m2﹣4n2D．﹣m2﹣4n27．对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（）A．12B．14C．16D．188．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（）A．9B．6C．4D．无法确定9．把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），则C的值为（）A．4B．3C．﹣3D．﹣410．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（）A．﹣22B．﹣1C．7D．11二．填空题11．把2（a﹣3）+a（3﹣a）提取公因式（a﹣3）后，另一个因式为．12．多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式（y﹣1），则m＝．13．若二次三项式kx2﹣4x+3在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是．14．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．15．若二次三项式x2+ax﹣12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是．三．解答题16．因式分解（1）2ab2﹣4a2b；（2）x2﹣5x+6；（3）﹣3ma2+6ma﹣3m；（4）（2a+b）2﹣（a+2b）2．17．阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9∴a2（a+4）＝9根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为．（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．18．请阅读下列材料，并解决相应的问题：一个四位数t的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．则t＝1000a+100b+10c+d．若a+d＝n（b+c），b＝c+2（n为正整数a≥d），则称这个四位数为“倍多分数”．（1）请直接判断2200、3031是不是“倍多分数“；（2）对一个四位数t，记F（t）＝，求F（t）为整数的“倍多分数”t的个数．19．对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，1+3＝2×2，则123为等差数；125，1+5≠2×2，则125不是等差数．（1）试判断246，777是否为等差数；（2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由．20．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形（a＞b），图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）观察图1、图2，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，可以获得一个因式分解公式，则这个公式是；（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用（1）中的公式，求a、b的值．参考答案一．选择题1．解：12ab3c+8a3b＝4ab（3b2c+2a2），则4ab是公因式，故选：C．2．解：A．从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．m2﹣6＝（m+）（m﹣），两边不相等，即从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．3．解：③﹣1+a2；④0.081a2﹣b2，符合公式特点；①x2+y2；②﹣x2﹣4y2，不符合公式特点．故选：B．4．解：x2+6x+p＝（x﹣q）2＝（x+3）2．则p＝9，q＝﹣3，故选：B．5．解：∵x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，∴m﹣1＝±2，解得：m＝﹣1或m＝3．故选：D．6．解：A．m2+4n2是平方和，不能进行因式分解，此选项不符合题意；B．原式＝﹣[m2﹣（2n）2]＝﹣（m+2n）（m﹣2n），此选项不符合题意；C．原式＝m2﹣（2n）2＝（m+2n）（m﹣2n），此选项符合题意；D．不能进行因式分解，此选项不符合题意；故选：C．7．解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486，这三个新三位数的和为648+864+486＝1998，1998÷111＝18，所以F（468）＝18．故选：D．8．解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，∴m2﹣n2＝3n﹣3m，∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，∵m≠n，∴（m+n）+3＝0，∴m+n＝﹣3，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．故选：A．9．解：根据题意得：x2﹣4x+C＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，则C＝3．故选：B．10．解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1，故选：B．二．填空题11．解：2（a﹣3）+a（3﹣a）＝2（a﹣3）﹣a（a﹣3）＝（a﹣3）（2﹣a），2（a﹣3）+a（3﹣a）提取公因式（a﹣3）后，另一个因式为：（2﹣a）．故答案为：（2﹣a）．12．解：∵多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式为（y﹣1），∵当y＝1时多项式的值为0，即1+2+m＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．13．解：根据题意得k≠0且△＝（﹣4）2﹣4k×3≥0，解得k≤且k≠0．故答案为k≤且k≠0．14．解：因式分解x2+ax+b时，∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案为：（x﹣6）（x+2）．15．解：∵﹣12＝1×（﹣12）＝（﹣1）×12＝2×（﹣6）＝（﹣2）×6＝3×（﹣4）＝（﹣3）×4，∴a＝±11或a＝±4或a＝±1，共有6种，故答案为：6．三．解答题16．解：（1）原式＝2ab（b﹣2a）；（2）原式＝（x﹣3）（x﹣2）；（3）原式＝﹣3m（a2﹣2a+1）＝﹣3m（a﹣1）2；（4）原式＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）＝3（a+b）（a﹣b）．17．解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2＝a+10，∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（a+10﹣a﹣20）＝2×（﹣10）＝﹣20，故答案为：﹣20．（2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2＝1﹣4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2×（﹣1）﹣8x+1＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1．∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．18．解：（1）2200是“倍多分数”，∵a＝2，b＝2，c＝0，d＝0，且a+d＝2，b+c＝2，∴此时，n＝1，b＝c+2，∴2200是“倍多分数”；3031不是“倍多分数”，∵a＝3，b＝0，c＝3，d＝1，且a+d＝4，b+c＝3，∴不存在整数n，使得a+d＝n（b+c），故3031不是“倍多分数”；（2）设四位数t为1000a+100b+10c+d，由F（t）＝知F（t）为9的倍数，且为“倍多分数”，∴b＝c+2，∴t＝1000a+100b+10c+d＝999a+（110+2n）c+200+2n，∴F（t）＝110a+，∴（110+2n）c+200+2n为9的倍数，∵a+d＝n（b+c）＝n（2c+2）＝2n（c+1），∴，∴，当c＝0时，n可为1，2，3，4，5，6，7，8，9，∴（110+2n）c+200+2n＝200+2n，一一代入得，当n＝8时，符合题意；当c＝1时，n可为1，2，3，4，∴（110+2n）c+200+2n＝310+4n，一一代入得，无n的值符合题意；以此类推，可知当c＝0时，n＝8；c＝2时，n＝2符合题意：若c＝0，n＝8，则b＝2，a＝9，d＝7或b＝2，a＝8，d＝8；若c＝2，n＝2，则b＝4，a＝6，d＝6或b＝4，a＝7，d＝5或b＝4，a＝8，d＝4或b＝4，a＝9，d＝3，∴综上所述，共有6个．19．解：（1）∵2+6＝2×4，∴246是等差数；∵7+7＝2×7，∴777是等差数；（2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为，则a+c＝2b，∴a+b+c＝3b为3的倍数，要使能被15整除，则能被5整除，即c＝0或5，当c＝0时，a＝2b，则＝210，420，630，840；当c＝5时，a+5＝2b，，，，，，∴综上所述，能被15整除的等差数有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975．20．解：（1）由图1可得阴影部分的面积＝a2﹣b2，由图2可得阴影部分的面积＝（a﹣b）（a+b），∴可得公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）由题意可得：a﹣b＝3，∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝57，∴a+b＝19，∴，解得：，∴a，b的值分别是11，8．。

沪教版(上海)七年级第一学期9.5《因式分解》知识点与练习

一．因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

⑴因式分解与整式乘法互为逆变形：（乘积形式）()m a b c ma mb mc −−−−→++++←−−−−整式乘法因式分解（和差形式）式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式⑵因式分解的常用方法：___________________________________________________。

⑶分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式；如果遇到二次三项式，则多考虑十字相乘法分解；如果项数大于等于4项，则尝试分组分解法；如果以上都搞不定，则采用添项与拆项，或者其他方法。

【注意】① 若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内．．．．．．不能再分解为止； ② 结果一定是乘积的形式；③ 每一个因式都是整式；④ 相同的因式的积要写成幂的形式。

(4)在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；第二讲因式分解Ⅰ 模块一：提取公因式法④每个因式第一项系数一般不为负数；二．提取公因式法：公因式：几个单项式中相同因式最低次幂的积叫做这几个单项式的公因式。

系数——取多项式的各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂；且一般公因式的符号与多项式第一项的符号相同（即保证因式的第一项系数为正数）【例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的有（）。

① ()a x y ax ay +=+； ② ()24444x x x x -+=-+；③ ()2105521x x x x -=-； ④ ()()2163443x x x x x x -+=+-+；⑤ ()()2224a a a +-=-； ⑥ ()ax ay az a x y z -+=-+； ⑦； ⑧ 。

沪教新版七年级上册《第12章_因式分解》2024年同步练习卷+答案解析

沪教新版七年级上册《第12章因式分解》2024年同步练习卷一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()A. B.C. D.2.如果一个多项式因式分解的结果是，那么这个多项式是()A. B. C. D.3.下列各式中，是完全平方式的是()A. B. C. D.4.把多项式分解因式的结果是()A. B.C. D.5.已知a，b，c是的三边长，且，则的形状为()A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、单选题：本题共1小题，每小题5分，共5分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

6.若能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有()A.2个B.3个C.4个D.6个三、填空题：本题共14小题，每小题3分，共42分。

7.多项式中各项的公因式是______.8.分解因式：______.9.分解因式：______.10.如果多项式，那么m的值为______.11.如果，且，则n的值是______.12.已知，，则______.13.已知，则的值是__________.14.若长方形的面积是，且其中一边长为，则长方形的另一边长是______.15.已知正方形的面积是，利用分解因式写出表示该正方形的边长的代数式______.16.已知，，则的值为______.17.分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，乙看错了b值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果应该是______.18.已知是一个完全平方式，则______.19.已知，则______.20.如果二次三项式为整数在整数范围内可分解因式，那么a的取值可以是______.四、解答题：本题共10小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.本小题8分分解因式：22.本小题8分分解因式：计算：23.本小题8分分解因式：24.本小题8分分解因式：25.本小题8分分解因式：26.本小题8分因式分解：27.本小题8分因式分解：；已知：x、y为正整数，、且，求x、y的值.28.本小题8分阅读下面解题过程：分解因式：解：然后按照上述解题思路，完成下列因式分解：29.本小题8分利用乘法分配律可知：______；______.由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式：______；______.请利用新的公式对下列各题进行因式分解.；30.本小题8分先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题.例：若多项式分解因式的结果中有因式，求实数m的值.解：设为整式，若，则或由得左式为零，所以是方程的解，所以，所以问题：若多项式分解因式的结果中有因式，则实数p是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；C、，正确；D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．故选：根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：故选：根据平方差公式得，进而解决此题．本题主要考查平方差公式以及因式分解的定义，熟练掌握平方差公式以及因式分解的定义是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：，属于完全平方式；B.不属于完全平方式；C.不属于完全平方式；D.不属于完全平方式；故选：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方；另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：原式故选：先分两组，前面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式因式分解即可．本题考查了因式分解-分组分解：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．5.【答案】B【解析】解：，，，即，，，，，的形状为等边三角形．故选：欲判断三角形的形状，不妨试着从边的关系出发，求出a、b、c之间的关系；给等式两边同时乘以2，再利用完全平方公式进行配方，可得到；接下来根据非负数的性质可得答案．考查学生综合运用数学知识的能力．此题是一道把等边三角形的判定、因式分解和非负数的性质结合求解的综合题．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查因式分解的意义和十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键，属于拔高题．根据十字相乘法的分解方法和特点可知：k的值应该是20的两个因数的和，从而得出k的值．【解答】解：，，，，，，则k的值可能为：，，，，，，故整数k可以取的值有6个，故选：7.【答案】【解析】解：，所以多项式中各项的公因式是故答案为：先变形得出，再找出多项式的公因式即可．本题考查了公因式，能熟记找公因式的方法①系数找各项系数的最大公因数，②相同字母找最低次幂是解此题的关键．8.【答案】【解析】解：，故答案为：先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．9.【答案】【解析】解：，，故答案为：先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10.【答案】【解析】解：，故答案为：把等式右边利用完全平方公式展开，然后根据对应项系数相等解答．本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的公式结构是解题的关键．11.【答案】【解析】解：，，，，故答案为：先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值．本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．12.【答案】【解析】解：，即，且①，②，①+②，得：，解得，故答案为：由，即得出，结合，将两式相加消去b即可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握平方差公式和等式的性质．13.【答案】7【解析】解：，，故答案为：把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．完全平方公式：本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．14.【答案】【解析】解：矩形的长为，故答案为：由题意得矩形的长为，然后利用多项式除以单项式的法则即可求出结果．本题考查多项式除以单项式运算．多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．15.【答案】【解析】解：，正方形的边长的代数式是因为正方形的面积是，可以分解为，又有正方形的面积等于边长的平方可得，正方形的边长的代数式是此题考查对完全平方公式再实际中的应用，应熟练识记完全平方公式：16.【答案】4【解析】解：原式，当，时，原式故答案是：首先对所求的式子提公因式，然后利用完全平方公式分解，最后把，代入求值．本题考查了分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．17.【答案】【解析】解：分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，，，乙看错了b值，分解的结果是，，，故答案为：根据已知分解因式，甲看错了a值，分解的结果是，可得出b的值，再根据乙看错了b值，分解的结果是，可求出a的值，进而因式分解即可．此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．18.【答案】或2【解析】解：由于，则，或故答案为：或这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故，再解k即可．此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．19.【答案】6【解析】解：已知等式变形得：，，，，，，，，解得：，，，则故答案为：已知等式左边14分为，结合后利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x，y与z的值，代入原式计算即可求出值．此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20.【答案】或【解析】解：8可以分解为和，当8可以分解为时，根据十字相乘因式分解，，则；8可以分解为时，根据十字相乘因式分解，，则；故答案是或根据因式分解十字相乘，将8分解为和，再按照十字相乘进行因式分解即可．本题考查的是因式分解，用十字相乘的方法时，要注意数字的符号不能出现差错．21.【答案】解：【解析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式．此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键．22.【答案】解：；【解析】先进行变形，再运用提公因式法进行因式分解；先运用平方差公式进行运算，再计算单项式乘以多项式．此题考查了整式乘法和因式分解的能力，关键是能准确运用对应法则和方法进行求解．23.【答案】解：【解析】先分组，分成，再运用完全平方公式分解．本题考查了因式分解．分解因式的一般步骤是：一提公因式，二套用公式，三分组，解本题的关键在于运用分组分解法进行因式分解，注意因式分解要彻底，一定要分解到每个因式都不能再分解为止．24.【答案】解：【解析】先将拆分为，再分组，利用完全平方公式及平方差公式求解即可．本题考查了分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．25.【答案】解：【解析】先利用完全平方公式和多项式乘以多项式展开，重新组合即可得出结论．此题主要考查了因式分解，完全平方公式，多项式乘以多项式，重新分组是解本题的关键．26.【答案】解：原式【解析】根据完全平方公式，可得答案．本题考查了因式分解，利用了完全平方公式分解因式．27.【答案】解：；，，，、y为正整数，，与也是整数，，，或，【解析】根据分组分解法分解因式即可；根据结论整体代入即可得到结论．本题考查了因式分解-分组分解法，熟练掌握分解因式的方法解题的关键．28.【答案】解：【解析】直接利用例题进行补项，进而分解因式得出答案．此题主要考查了分组分解法分解因式，正确补项是解题关键．29.【答案】【解析】解：；；；；；；故答案为：，，；根据多项式乘多项式的法则计算即可，再根据推导的公式进行因式分解．本题考查了因式分解和多项式乘多项式的逆向应用能力30.【答案】解：设为整式，若，则或由得左式为零，所以是方程的解，所以，所以【解析】仿照题例，先设，再求一次方程的值，代入计算得结果．本题考查了解一元一次方程、高次方程，理解题例，掌握题例的步骤是解决本题的关键．。

沪教版七年级(上)数学第5节因式分解 (解析版)

第5节因式分解单元测试卷一、选择题（共6小题）1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是A．B．C．D．2．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是A．B．C．D．3．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是A．B．C．D．4．如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形一定是A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形5．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么A．一定是奇数B．一定是偶数C．一定是负数D．可为奇数也可为偶数6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？A．4B．5C．6D．8二．填空题（共12小题）7．分解因式：．8．和的公因式是．9．因式分解：．10．分解因式：．11．因式分解：．12．分解因式：．13．因式分解：．14．若，，则．15．把多项式的因式分解成，则的值为．16．如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的值可以是．（填出符合条件的一个值）17．对于任意正整数，整式的值一定是的倍数（填最大的正整数）18．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因为看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因为看错了常数项而将其分解为，请写出正确的因式分解的结果．三．解答题（共7小题）19．分解因式：．20．分解因式：．21．分解因式：．22．因式分解：．23．分解因式：．24．先阅读下列材料，再解答下列问题分解因式：将：将看成整体，设，则原式再将换原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：（1）．（2）．25．阅读下列材料，并回答问题：若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则正整数称为“明礼崇德数”．例如：因为，所以7是“明礼崇德数”；再如：因为，所以12是“明礼崇德数”；再如：，是正整数），所以也是“明礼崇德数”．问题是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题3：已知，是正整数，是常数，且，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．参考答案一．选择题（共6小题）1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是A．B．C．D．解：、，从左到右是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；、，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；、，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；、，等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；故选：．2．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是A．B．C．D．解：，故选：．3．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是A．B．C．D．解：能用完全平方公式进行因式分解的是．故选：．4．如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形一定是A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形解：，，，或，这个三角形一定是等腰三角形；故选：．5．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么A．一定是奇数B．一定是偶数C．一定是负数D．可为奇数也可为偶数解：二次三项式中，21是奇数，可以写成2个奇数积的形式，10是偶数，可以写成1奇1偶积的形式，奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，奇数偶数奇数，奇数偶数奇数，一定是奇数．故选：．6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？A．4B．5C．6D．8解：，，，，，，，，，，，，分别解得：，，5，，8.5（不合题意），（不合题意）；整数的值有4个，故选：．二．填空题（共12小题）7．分解因式：．解：．故答案为：．8．和的公因式是．解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是，公因式为．故答案为：．9．因式分解：．解：原式，故答案为：．10．分解因式：．解：．故答案为：．11．因式分解：．解：，，．12．分解因式：．解：原式．故答案为：．13．因式分解：．解：原式．故答案为：14．若，，则4．解：，，．故答案为：4．15．把多项式的因式分解成，则的值为6．解：，，，故答案为：6．16．如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的值可以是5（答案不唯一）．（填出符合条件的一个值）解：关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，△，．那么的值可以是5，故答案为：5（答案不唯一）．17．对于任意正整数，整式的值一定是6的倍数（填最大的正整数）解：，是任意正整数，的因式中必有一个2的倍数，一个3的倍数，整式的值一定是6的倍数．故答案为：6．18．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因为看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因为看错了常数项而将其分解为，请写出正确的因式分解的结果．解：，，甲同学因为看错了一次项系数，多项式的二次项和常数项分别是、18，乙同学因为看错了常数项，多项式的二次项和一次项分别是、，所以该二次三项式为：．故答案为：三．解答题（共7小题）19．分解因式：．解：．．20．分解因式：．解：原式．21．分解因式：．解：原式．22．因式分解：．解：．23．分解因式：．解：原式．24．先阅读下列材料，再解答下列问题分解因式：将：将看成整体，设，则原式再将换原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：（1）．（2）．解：（1）；（2）设则原式，所以．25．阅读下列材料，并回答问题：若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则正整数称为“明礼崇德数”．例如：因为，所以7是“明礼崇德数”；再如：因为，所以12是“明礼崇德数”；再如：，是正整数），所以也是“明礼崇德数”．问题是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题是“明礼崇德数”吗？说明理由；问题3：已知，是正整数，是常数，且，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．解：问题是“明礼崇德数”，理由：；问题是“明礼崇德数”，理由：；问题，当时，为“明礼崇德数”，此时，故当时，为“明礼崇德数”．。

因式分解(6种常考题型专项训练)原卷版—七年级数学上学期期中(沪教版2024)

因式分解（6种常考题型专项训练）因式分解的意义公式法因式分解因式分解在有理数简算中的应用十字相乘法分组分解法因式分解的应用题型一：因式分解的意义一、单选题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．253(5)3x x x x -+=-+B ．2(2)(5)310x x x x -+=+-C ．22(23)4129x x x +=++D ．2244(2)-+=-x x x 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（）（1）()()2224x x x +-=- （2）()2111x x x ++=++（3）12223=´´ （4）()3222323a a a a a a ++=++A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A ．22816(4)a a a ++=+B ．22(4)=816a a a +++C ．2816(8)16a a a a ++=++D ．228(2)816a a a a ++=++4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式33ab 与单项式239a b 的公因式是（）A ．23a b B ．333a b C ．2a b D ．33a b 二、填空题5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式2x x m -+含有一个因式(3)x +，则m 的值是．6．（2022七年级上·上海·专题练习）28(9)()x x m x x n -+=--，则nm =7．（23-24七年级上·上海长宁·期中）326a bc 和228a b c 的最大公因式是．题型二：公式法因式分解一、单选题1．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（）A ．2249a b -B ．222a ab b -+-C ．21a --D ．2114b -+2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．21x x ++B ．221x x --C ．224x x ++D ．214x x -+二、填空题3．（2024·上海嘉定·三模）因式分解：()2224x xy y ---=4．（2024·上海·模拟预测）因式分解：62xy xy -=三、解答题5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：2221a ab b ++-．6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：222(4)8(4)16a a a a -+-+7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：()22222169+--m n mn m n ．8．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：22139164525a ab b -+-．9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：()()2242452x x x x -+-++题型三：因式分解在有理数简算中的应用1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：2220052003-= ．2．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算：227.5 1.6 2.5 1.6´-´3．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算：2201120072015-´4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：()()22202020262020403720212017201920222023-+´´´´．题型四：十字相乘法一、填空题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：2812x x -+=．2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：221112x xy y --=．3．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：21336a a -+= ．4．（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式：26x x +-= ，3443ax by ay bx --+=．5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式：22514x xy y --=．二、解答题6．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：4234x x --．7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：()()222412a a a a +++-．8．（23-24七年级上·上海·单元测试）因式分解：()()21556a b b a ---+．9．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：()()2233820x x x x ----．题型五：分组分解法一、填空题1．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解：am an bm bn +--= ．2．（2024·上海·模拟预测）因式分解：221x x --= .二、解答题3．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：842ax by ay bx -+-．4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：22643a bc ab ac -+-；5．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：32248x x y x y +--.6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：()22222224mnx m x n x m n -++--；7．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：22424a b a b --+．8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：5322x x x +-- ．9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：22168-+-a b b ．10．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：32332a a a +++．11．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解：()()22114x y xy ---题型六：因式分解的应用一、单选题1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x 的一次整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-二、填空题2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）与()27x y -之积等于4249y x -的因式为．3．（2022七年级上·上海·专题练习）当1996,200x y =-=时，代数式32266x xy x y x --+= 4．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知22313x y x y -=+=，，则32238x y x y xy -+的值为 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到：()()2232222333a b a ab b a a b ab a b a b b a b +-+=-++-+=+即：()()2233a b a ab b a b +-+=+，我们把这个公式叫做立方和公式，同理：()()2233a b a ab b a b -++=-，我们把这个公式叫做立方差公式，请利用以上公式分解因式：34381a b b -=6．（23-24七年级下·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n ，的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用()()22m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是．三、解答题7．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a ，b ，c 三个数两两不等，且有222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，试求m 的值．222222 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明：()()()2a b c x y z ax by cz++++³++。

上海市七年级上学期因式分解精炼

上海市七年级数学因式分解精炼一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、.-+--+++ax abx acx ax m m m m 2213 2、.a a b a b a ab b a ()()()-+---322223、.不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

4、.证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

5、. 已知：xbx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

课堂小练1. 分解因式：（1）-+-41222332mn m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a ab a b a ab b a ()()()-+---322222 （4）322x x x ()()--- （6）412132q p p ()()-+-2. 计算：()()-+-221110的结果是______________3. 已知x 、y 都是正整数，且x xy y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

2、运用公式法进行因式分1、已知多项式232xx m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

2、已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足ab c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

3、两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

4、已知：am b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

5、. 若xy x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

6、分解因式（1）()()aa +--23122 （2 ）x x y x y x 5222()()-+-（3）3223288xy x y xy ++ (4)a a b b 2222+--7、. 已知：xx +=-13，求x x 441+的值。

上海市沪教版(五四制)七年级第一学期因式分解专练学案-文档精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版因式分解提取公因式、公式法【知识要点】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 提公因式法：=++mc mb ma .3. 公式法:（1）=-22b a ；（2）=++222b ab a ；（3）=+-222b ab a .4．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 5．易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.【典型例题】例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( ) A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6 B. ax －ay+1=a(x －y)+1C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1)例2 将下列多项式分解因式（1）（2）121m n m n a b a b -+-（3）253243143521x y x y x y +-（4）()()23aa b a b a ---（5）)3(7)23)(3(x x x -+--（6）xy xy y x 36922+--例3 把下列各式分解因式（1）a 2－4b 2（2）24251b a +-（3）()()22916b a b a +--（4）()()122++++b a b a（5）442-+-x x（6）181222+-x x（7）22332y ax axy y ax -+（8） 3y 2－2722x x -（9）x x x ++232（10）()222224y x y x -+例4 分解因式（1）()()()()222510b a b a n m n m ++++-+（2）()()()()229262n m n m m n n m +++---例5 计算（1）199919992+（2）20002－4000×2019+20192例6已知,21,1-==+xy y x 利用因式分解求2)())((y x x y x y x x +--+的值.例7设n 为整数，用因式分解说明25)12(2-+n 能被4整除.【小试锋芒】1．分解因式39a a -=，221218x x -+= 2. 分解因式：34a a -=3．因式分解： 4.因式分解：4)4)(2(2-+++x x x = 5．简便计算：=2271.229.7－ 6．按照完全平方公式填空：7．多项式a ax 42-与多项式442+-x x 的公因式是 8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 29．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A ．1)32(1322+-=+-a a a aB ．)11(1xyxy xy -=-C ．)1)(1(12-+=-x x xD ．22)21(412+=++x x x 10．下列因式分解错误的是( ) A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+11．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（） A ．B ．=+-+)(3)(2y x y x a b a b >222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+C ．D ．12．因式分解：（1）32)(12)(18b a b a ---（2）32)()(x y y x --- （3）22819212++（4）22821y x - 【大展身手】1．把下列各式分解因式正确的是（） A ．xy 2－x 2y = x(y 2－xy) B.9xyz －6x 2y 2=3xyz(3－2xy)C.3a 2x －6bx+3x=3x(a 2－2b)D.221xy +y x 221=xy 21(x+y) 2．－6x n －3x 2n 分解因式正确的是（）A ．3（－2x n －x 2n ）B.－3x n (2－x n )C.－3(2x n +x 2n )D.－3x n (x n +2)3．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）①x 2－4x+4②6x 2+3x+1③4x 2－4x+1④x 2+4xy+2y 2⑤9x 2－20xy+16y 2A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤4．把多项式（3a －4b ）(7a －8b)＋(11a －12b)(8b －7a)分解因式的结果是（） A ．8(7a －8b)(a －b) B ．2(7a －8b)2C ．8(7a －8b)(b －a)D ．－2(7a －8b)25．在多项式①16x 5－x ；②(x －1)2－4(x －1)+4；③(x+1)4－4x(x+1)2+4x 2④－4x 2－1+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③6．观察下列各式①2a ＋b 和a ＋b ，②5m(a －b)和－a ＋b ，③3(a ＋b)和－a －b ，④x 2－y 2和x 2＋y 2其中有公因式的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．分解因式：（1）916222-z y x（2）()()22481b a b a --+（3）3212123a a a -+-（4）()()16585222+-+-x x（5）222224)(b a b a -+ （6）3)(111)(11a b b a -+- 十字相乘法【知识要点】1、x 2+px+q 型的二次三项式中p 和q 都是整数：22()()a b a b a b -=+-22(2)()2a b a b a ab b +-=+-（1）找出a,b 使a+b=p 且ab=q（2）把q 分解成两个整数的积的符号规律：q>0则a,b 同号,若p>0,a,b 同正,若p<0,a,b 同负;q<0则a,b 异号,若p>0,a,b 中正数绝对值大,若p<0,a,b 中负数的绝对值大. （3）当二次项系数为负时,先提负号. （4）注意题目中换元思想的运用. 2、十字相乘法的步骤:（1）把二次项系数和常数项分别分解因数（2）尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次系数（3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果（4）检验(我们形象的把它比喻成“拆两头,凑中间”) 【典型例题】例1. 分解因式（1）2x 2-5x ＋3（2）-3x 2－5x-2（3）5x 2＋7xy-6y 2．（4）12722+-xy y x（5）1002924+-x x （6）322222318126z xy z y x z y x ++- 例2. 分解因式（1）36)(5)(2-+++n m n m （2）26)(11)(222--+-x x x x （3）2220)(9)(c bc ac b a ++-+（4）)3(4)(2+---y x y x例3. 已知多项式62++ax x 可分解为两个整系数的一次因式的积，求a 的值. 例4 分解因式：()mn x n m mnx +++222【小试锋芒】1. _____))(12(______102-+=-+x x x x 2. )4____)((______52++=++x x x x3. )3)(2(x x +-是多项式_____________的因式分解.4. 如果),3)((62+-=+-x n x mx x 那么m-n 的值是_________.5. 若关于x 的二次三项式122-+px x 能分解成两个整系数的一次多项式的积，则p 有_______个可能的取值. 6. 因式分解（1）342++x x （2）1522-+x x（3）2452-+x x （4）2142--x x（5）2232y xy x --（6）x 2＋7xy ＋12y 2；（7）2243y xy x -+（8）222816y xy x ++ （9）2223y xy x --（10）228185y xy x -- （11）2212y xy x -+（12）226197y xy x -+ 7. 因式分解（1）y xy y x 1582-+-（2）36)5(12)5(222++-+a a a a （3）24)8)(6(22--+-+x x x x （4）26)(11)(222--+-x x x x 【大显身手】 1.把下列各式分解因式（1）91024+-x x （2）x x x 4335-+（3）1002924+-x x （4）120)8(22)8(2222++++a a a a （5）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ （6）3)5)(3(22-----x x x x 2.用简便方法计算： 1699809982++ 3.把48)4)(3)(2)(1(-----x x x x 分解因式.分组分解法【知识要点】 1.分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式.（2）原则：分组后可直接提取公因式或直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解. （3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可.（4）对于四项式，在分解时可以“二二”分组或“一三”分组；对于五项式，在分解时一般是“三二”分组；对于六项式，在分解时采用“三三”、“三二一”或“二二二”分组。

因式分解知识归纳与题型突破(12类题型清单)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册沪教版

因式分解知识归纳与题型突破（12类题型）知识点一、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.知识点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.m m 01 思维导图02 知识速记（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.知识点三、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点四、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点五、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则()()22a b a b a b -=+-a b a b ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b 2x bx c ++pq c p q b=ìí+=î()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q、同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.知识点六、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项.知识点七、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a三项、二项、一项可化为二次三项式知识点八：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.知识点九：因式分解的解题步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.题型一　判断是否是因式分解1．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（）A ．21(1)(1)a a a -=+-B ．222()ab ac a b c +=+C ．2269(3)x x x -+=-D ．241(2)(2)1m m m m -+=+-+2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()22244a c ab ac b --=--B ．()a x y ax ay +=+C ．()()22339x y x y x y+-=-D ．()222963a ab b a b ++=+3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()()24313x x x x -+=--03 题型归纳B ．()27373x x x x +--=+C ．()()2339x x x +-=+D ．()()213113x x x x x +=+-+-巩固训练1．下列变形是因式分解的是（）A ．()()243223a a a a a-+=-++B ．2244(2)x x x ++=+C ．111x x x æö+=+ç÷èøD ．2(1)(1)1x x x +-=-2．给出下列六个多项式：①x 2＋y 2；②－x 2＋y 2；③x 2＋2xy ＋y 2；④x 4－1；⑤x(x ＋1)－2(x ＋1)；⑥m 2－mn ＋14n 2.其中，能因式分解的是(填序号)．3．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？(1)2(1)(2)2x x x x +-=--；(2)2223(1)2x x x ++=++；(3)2)39631)(2(xy xy x x y y -+=--；(4)2224129()23x xy y x y ++=+ 题型二　已知因式分解的结果求参数4．若多项式2x x b ++因式分解的结果为(3)(2)x x +-，则b 的值是（）A ．5B ．5-C ．6D ．6-5．若()2242x mx x ++=-，则下列结论正确的是（）A ．等式从左到右的变形是乘法公式，4m =B ．等式从左到右的变形是因式分解，4m =C ．等式从左到右的变形是乘法公式，4m =-D ．等式从左到右的变形是因式分解，4m =-6．把多项式232x ax +-分解因式，结果是()()31x x b ++，则a ，b 的值为（）A ．72a b ==，B ．52a b ==，C ．72a b =-=-，D ．52a b =-=-，巩固训练1．因式分解()()2122x mx x x n +-=++，其中m 、n 都为整数，则m 的值是（）A ．6-B ．5-C ．4-D ．42．已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，则m 的值为 .3．仔细阅读下面例题，解答问题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得24(3)()x x m x x n -+=++则224(3)3x x m x n x n-+=+++343n m n+=-ì\í=î解得：7,21n m =-=-．∴另一个因式为(7)x -，m 的值为21-．问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式23x x k -+有一个因式是(2)x +，求另一个因式以及k 的值．(2)已知二次三项式223x x k +-有一个因式是(25)x -，则另一个因式为，k 的值为．(3)已知二次三项式2341x ax ++有一个因式是()x a +，a 是正整数，则另一个因式为，a 的值为．题型三　提公因式法分解因式7．如图，长方形的长和宽分别是x ，y ，它的周长为14，面积为10．则22x y xy +的值为（）A ．140B ．70C ．14D ．108．若4a b +=，2ab =，则22a b ab +的值为（）A ．4B ．8C ．12D ．169．已知23a b -=，2ab =，则222a b ab -的值为（）A ．5-B ．6C ．6-D ．5巩固训练1．把多项式()()2262a x a -+-分解因式，结果是（）A ．()()226a x -+B ．()()226a x --C ．()()2213a x -+D ．()()2213a x --2．多项式229363x y xy xy -+-提公因式3xy -后的另一个因式为．3．分解因式：(1)²²a x ax-(2)214749abc ab ab c--+题型四　公因式10．把22mn mn +分解因式，应提取的公因式是（）A ．2mB ．mnC ．2mnD ．2mn 11．用提公因式法因式分解多项式： 232812a b a b c -，其中的公因式是（）A ．28a bB ．3212a b cC ．4abD ．24a b12．多项式2210mx nx -的公因式是（）A ．2B ．xC ．2xD ．2mn巩固训练1．把多项式3123ab ab +分解因式，应提的公因式是（）A ．12abB ．4abC ．3abD ．33ab 2．多项式323612a m a m am -+的公因式是．3．已知：2312A x =-，233510B x y xy =+，(1)(3)1C x x =+++．问多项式A ，B ，C 是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．题型五　平方差公式分解因式13．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（）A ．222x y --B ．21x -+C ．21x +D ．244x x ++14．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（）A ．21x +B ．21x -+C ．22x y --D ．244x x ++15．已知4821-可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是（）A ．61，62B ．61，63C ．63，65D ．65，67巩固训练1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A ．22a b +B ．22a b -C ．224a b --D ．229a b -+2．小明抄在作业本上的式子29x y Å-（“Å”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为小于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：．3．小明遇到下面一个问题：计算．()()()248(21)212121++++．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：()()()248(21)212121++++()()()()()2482121212121=-++++()()()()224821212121=-+++()()()448212121=-++()()882121=-+1621=-．请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：(1)()()()()24816(21)21212121+++++(2)()()()()24816(31)31313131+++++(3)2222211111111112344950æöæöæöæöæö-´-´-´´--ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL 题型六　完全平方公式分解因式16．下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（）A ．222x y xy ++B ．222x y xy -++C ．222x y xy--+D ．222x y xy---17．下列多项式（1）22a b +；（2）22a ab b -+；（3）()22222x y x y +-；（4）29x -；（5）22288x xy y ++．其中能用公式法分解因式的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18．无论a 、b 为任何实数，代数式224613a b a b +-++的值总是（）A ．非正数B ．非负数C ．0D ．正数巩固训练1．若223894613M x xy y x y =-+-++，则M 的值一定是（）A ．0B ．负数C ．正数D ．非负数2．已知实数x ，y 满足22145x xy y y -+-=-，则2x y +=．3．若2025,2026,2027202720272027m m ma b c =+=+=+，求222a b c ab bc ca ++---的值．题型七　综合运用公式法分解因式19．下列因式分解不正确的是（）A ．﹣x 2﹣2x ﹣1＝﹣（x +1）2B ．2x 2﹣4xy ﹣2y 2＝2（x ﹣y ）2C ．4x 2﹣16y 2＝4（x +2y ）（x ﹣2y ）D ．x 2+4x ＝x （x +4）20．下列因式分解正确的是（）A ．x 2﹣9＝（x ﹣3）2B ．x 2﹣2x ﹣1＝x （x ﹣2）﹣1C ．4y 2﹣8y ＋4＝（2y ﹣2）2D ．x （x ﹣2）﹣（2﹣x ）＝（x ﹣2）（x ＋1）21．在把多项式2223m mn n --因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式()()()222222443m mn n n m n n m n m n =-+-=--=+-，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式2265a ab b +-因式分解的结果是（）A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b -+C ．()()5a b a b +-D ．()()5a b a b --巩固训练1．对于：①()2242x x -=-；②()()2111x x x -+=+-；③()23242x x x +-=+；④22111142x x x æö-+=-ç÷èø．其中因式分解正确的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④2．在实数范围内因式分解：2236x x --= ．3．因式分解：(1)3269x y x y xy-+(2)()222416x x +-题型八　综合提公因式和公式法分解因式22．代数式()()3327x y x y +-+分解因式的结果正确的是（）A ．()()()333x y x y x y ++++-B ．()()239x y x y éù++-ëûC ．()()233x y x y +++D ．()()233x y x y ++-23．规定新运算：32a b a b Å=-，其中22a x xy =+，236b xy y =+，则把a b Å因式分解的结果是（）A ．3(2)(2)x y x y +-B ．23(2)x y -C ．223(4)x y -D ．3(4)(4)x y x y +-24．多项式2m m -与多项式2242m m -+的公因式是（）A ．1m -B ．1m +C ．21m -D ．2(1)m -巩固训练1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A ．()22369a a a +=++B ．()24444a a a a -+=-+C ．()()22222ax ay a x y x y -=+-D ．()()21234a a a a --=-+2．分解因式：32242x x x ++= ．3．把下列各式因式分解．(1)261215x y xy y --+；(2)()()322n m n m -+-；(3)()()()22221211x y x y y -++--；(4)()()131x x --+．题型九　因式分解在有理数简算中的应用25．若3m n +=，则222425m mn n ++-的值为（）A ．13B ．18C ．5D ．126．若a +b =1，则222a b b -+的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．127．已知ab ＝4，b ﹣a ＝7，则a 2b ﹣ab 2的值是（）A ．11B ．28C ．﹣11D ．﹣28巩固训练1．计算22222111111111123456æöæöæöæöæö-´-´-´-´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø的值为（）．A ．512B ．12C ．712D ．11302．计算：2222211111111112345n æöæöæöæöæö----×××-=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø ．3．如图，从边长为a 的正方形纸片中剪掉一个边长为b 的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是．(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：①已知22412x y -=，24x y +=求2x y -的值．②计算：222211111111234100æöæöæöæö-´-´-´×××´-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø．题型十　十字相乘法28．若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（）A ．11-B ．3-C ．3D ．1129．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --30．若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（）A ．11-B ．3-C ．3D ．7巩固训练1．若二次三项式27x x n -+可分解成(3)()x x m -+，则m n -的值是（）A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ．162．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式232x x ++的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到()()23212x x x x ++=++．请用“十字相乘法”分解因式：2253x x --= ．3．提出问题：你能把多项式256x x ++因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a ，b 为常数，由面积相等可得：22()()()x a x b x ax bx ab x a b x ab ++=+++=+++，将该式从右到左使用，就可以对形如2()x a b x ab +++的多项式进行进行因式分解即2()()()x a b x ab x a x b +++=++．观察多项式2()x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：2256(23)23(3)(2)x x x x x x ++=+++´=++运用结论：(1)基础运用：把多项式进行因式分解．①2524x x --；②2812x x ++；③212x x --．(2)知识迁移：对于多项式24415x x --进行因式分解还可以这样思考：将二次项24x 分解成图2中的两个2x 的积，再将常数项15-分解成5-与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x -，就是24415x x --的一次项，所以有24415(25)(23)x x x x --=-+．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：231914x x --题型十一　分组分解法31．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．1-B ．0C ．3D ．632．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a ac b a c ---的值为（）A ．4B ．4-C ．12-D ．3-33．若实数x 满足x 2-2x-1=0，则2x 3-7x 2+4x-2019的值为（）A ．-2019B ．-2020C ．-2022D ．-2021巩固训练1．用分组分解法将222x xy y x --+分解因式，下列分组不恰当的是（）A ．()()222x x y xy --+B ．()()222x xy y x --+C ．()()222x y xy x ++--D ．()()222x x xy y ---2．因式分解222a x ax x xb -+-= ．3．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“222m mn m n -+-，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为()()()()()()22222222m mn m n m mn n m m n m n m n m -+-=-+=-+-=-+．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)分解因式：32339a a a -+-；(2)已知7m n +=，1m n -=，求2222m n m n -+-的值．题型十二　因式分解的应用34．已知3xy =-，2x y -=，则代数式22xy x y -的值是（）A ．6-B ．6C ．5-D ．1-35．若4a b +=，1a b -=，则()()2211+--a b 的值为（）A ．12B ．4C ．6D ．12-36．多项式26x ax +-分解因式为()()x m x n ++，其中a ，m ，n 为整数，则a 的取值有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个巩固训练1．已知a 、b 、c 为正整数，且22219a b c ab bc ac ++---=，那么a b c ++的最小值等于（）A ．11B ．10C ．8D ．62．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： 222222831,1653,2475=-=-=-，因此8，16，24都是“正巧数”． m 、n 为正整数，且m n >，若 ()()2772m m n mn -++-是“正巧数”，则m n -的值为．3．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式()()()()()()22222321412121231x x x x x x x x x =+-=++=+-=+++-=+--；例如：求代数式2246x x +-的最小值．原式()()222246223218x x x x x =+-=-=+-+．可知当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是－8．(1)分解因式：223a a --=______．(2)试说明：x 、y 取任何实数时，多项式22426x y x y +-++的值总为正数．(3)当m ，n 为何值时，多项式22224425m mn n m n -+--+有最小值，并求出这个最小值．。

沪教版(上海)数学七年级第一学期9.5 因式分解专项巩固训练(一)

【因式分解】专项巩固训练（一）一．选择题1．如果x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2），那么k应为（）A．3B．﹣3C．1D．﹣12．如果多项式abc+ab2﹣a2bc的一个因式是ab，那么另一个因式是（）A．c﹣b+5ac B．c+b﹣5ac C．ac D．﹣ac3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6B．6xy＝2x2•3y3C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）4．若x2﹣6x+m＝（x﹣n）2，那么m、n的值分别是（）A．m＝3，n＝3B．m＝9，n＝3C．m＝3，n＝﹣3D．m＝9，n＝﹣35．下列多项式因式分解结果是（x+1）（x﹣6）的是（）A．x2﹣5x+6B．x2+5x﹣6C．x2﹣6x﹣5D．x2﹣5x﹣66．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱学B．爱广益C．我爱广益D．广益数学7．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017的值为（）A．2019B．﹣2019C．2020D．﹣20208．因式（m+2n）（m﹣2n）是下列哪个多项式分解因式的结果（）A．m2+4n2B．﹣m2+4n2C．m2﹣4n2D．﹣m2﹣4n29．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2019的值为（）A．﹣2019B．﹣2020C．﹣2022D．﹣2021 10．如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（）A．60B．16C．30D．11二．填空题11．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝．12．因式分解：2m2﹣12m+18＝．13．分解因式：m3﹣m＝．14．把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是．15．若m3+m﹣1＝0，则m4+m3+m2﹣2＝．三．解答题16．分解因式：（1）3a2﹣9ab；（2）x2（x﹣y）+9（y﹣x）；（3）﹣3ma2+12ma﹣12m；（4）（x+y）2﹣2x﹣2y+1．17．你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？（1）上式能利用完全平方公式进行因式分解吗？（2）常数项6是哪两个因数的乘积？一次项系数5是否等于6的某两个因数的和？（3）由多项式乘法，（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解．多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．你能据此将x2+5x+6写成两个一次多项式的乘积吗？x2+（+）x+×＝（x+）（x+）请把填上数后的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于x2+5x+6．（4）从第（3）题，你能看出把x2+5x+6进行因式分解的关键步骤是什么吗？（5）你能运用上述方法将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解吗？18．已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．19．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n，（以上长度单位：cm）（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果；（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．20．我们把只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式．同样，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．小明同学用自己的方法来解一元二次不等式：x2+x﹣12＞0．小明观察到不等式右侧为0．左边可以利用因式分解的方法，分解为（x+4）（x﹣3），根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，可以将不等式等价转化为两个不等式组：∵（x+4）（x﹣3）＞0∴（1）或（2）解得：由（1）式得x＞3，由（2）式得x＜﹣4．∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣4．利用以上信息解以下不等式：①2x2+x﹣3＜0；②x3+2x2﹣x﹣2＜0；③x3﹣3x+2＞0．（2）已知x＝2是不等式a2x2+2ax﹣3≥0的解，且x＝﹣1是不等式a2x2﹣3ax﹣2a﹣12＞0的解，求实数a的取值范围．参考答案一．选择题1．解：由题意得，x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，则k＝1．故选：C．2．解：abc+ab2﹣a2bc＝ab（c+b﹣5ac），故另一个因式为（c+b﹣5ac），故选：B．3．解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；B、不属于因式分解，故此选项不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；故选：D．4．解：∵x2﹣6x+m＝（x﹣3）2＝（x﹣n）2，∴m＝32＝9，n＝3，故选：B．5．解：A、原式＝（x﹣2）（x﹣3），不符合题意；B、原式＝（x﹣1）（x+6），不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝（x+1）（x﹣6），符合题意．故选：D．6．解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）＝3（x2﹣1）（a﹣b）＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b），∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，∴3（x+1）（x﹣1）（a﹣b）对应的信息可能是我爱广益，故选：C．7．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，2x3﹣7x2+4x﹣2017＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017＝6x﹣3x2﹣2017＝﹣3（x2﹣2x）﹣2017＝﹣3﹣2017＝﹣2020．故选：D．8．解：A．m2+4n2是平方和，不能进行因式分解，此选项不符合题意；B．原式＝﹣[m2﹣（2n）2]＝﹣（m+2n）（m﹣2n），此选项不符合题意；C．原式＝m2﹣（2n）2＝（m+2n）（m﹣2n），此选项符合题意；D．不能进行因式分解，此选项不符合题意；故选：C．9．解：∵x2﹣2x﹣1＝0∴x2﹣2x＝1∴2x3﹣7x2+4x﹣2019＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2019＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2019＝6x﹣3x2﹣2019＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019＝﹣3﹣2019＝﹣2022故选：C．10．解：∵边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，∴2（a+b）＝10，ab＝6，∴a+b＝5，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝6×5＝30．故选：C．二．填空题11．解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，故答案为：﹣y（3x﹣y）212．解：原式＝2（m2﹣6m+9）＝2（m﹣3）2．故答案为：2（m﹣3）2．13．解：m3﹣m，＝m（m2﹣1），＝m（m+1）（m﹣1）．故答案为：m（m+1）（m﹣1）．14．解：3ax2﹣12a＝3a（x2﹣4）＝3a（x+2）（x﹣2），故答案为：3a（x+2）（x﹣2）．15．解：∵m3+m﹣1＝0，∴m3+m＝1，∴m4+m3+m2﹣2＝m4+m2+m3﹣2＝m（m3+m）+m3﹣2＝m×1+m3﹣2＝m+m3﹣2＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题16．解：（1）原式＝3a（a﹣3b）；（2）原式＝（x﹣y）（x2﹣9）＝（x﹣y）（x+3）（x﹣3）；（3）原式＝﹣3m（a2﹣4a+4）＝﹣3m（a﹣2）2；（4）原式＝（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．17．解：（1）不能利用完全平方公式进行因式分解．（2）常数项6＝2×3，一次项系数5＝2+3，答：常数项6是2和3乘积，一次项系数5正好等于6的某两个因数2与3的和；（3）x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3），故答案为：2，3，2，3，2，3；（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，（4）关键的步骤为：将常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和，（5）x2﹣x﹣2＝x2+（﹣2+1）x+（﹣2）×1＝（x﹣2）（x+1）．18．解：（1）∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，∴b﹣c＝3﹣1＝2，∴5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；（2）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，b﹣c＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（1+9+4）＝7．19．解：（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2则mn＝7cm2，2m2+2n2＝100cm2∴m2+n2＝50∴（m+n）2＝50+7×2＝64∴m+n＝8∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝48（cm）∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为48cm．20．（1）解：①∵（x﹣1）（2+3）＜0，∴①或②，①式无解；由②式得﹣＜x＜1，∴原不等式的解集为﹣＜x＜1；②x3+2x2﹣x﹣2＜0，∴x3+2x2＜x+2，即x2（x+2）＜x+2，当x＜﹣2时，x2＞1成立；当x＝﹣2时不成立；当x＞﹣2时要使x2＜1成立，所以﹣1＜a＜1综上所述：原不等式的解集为x＜﹣2或﹣1＜a＜1；③∵x3﹣3x+2＞0可化为（x﹣1）（x2+x﹣2）＞0，即（x﹣1）（x﹣1）（x+2）＞0，∴（x﹣1）2（x+2）＞0，∵（x﹣1）2≥0，∴x+2＞0，即原不等式解集为x＞﹣2且x≠1；（2）将x＝2和x＝﹣1别代入不等式得4a2+4a﹣3≥0且a2+a﹣12≤0，对于第一个不等式：∵（2a﹣1）（2a+3）＜0，∴①或②，①无解；由②得﹣＜a＜，所以第一个不等式的解集为：﹣＜a＜；对于第二个不等式∵a2+a﹣12≤0即（a﹣3）（a+4）≤0，∴①或②，由①得﹣4≤a≤3；②无解；所以第二个不等式的解集为：﹣4≤a≤3．综合两个不等式得a得取值范围为：﹣＜a＜．。

上海初中七年级数学上---因式分解练习(含答案)

因式分解练习一、填空题1. 将下列各式分解因式：(1) a 2－5a －6＝____________ ( 4a 2－1＝________________________________________________________________________ (3)x2＋x ＋41＝____________ (4) 4－(x －y )2＝________________________________________________________________________(5) x 2y 2＋10xy ＋25＝____________ (6) 2a (b ＋c )2－6a 2(c ＋b )＝________________________________________________________________________(7) 5x 2－10xy ＋5y 2＝____________ (8) 4x 2y －4x 3－xy 2＝________________________________________________________________________2. 多项式x 4－81，x 2－x －6，x 2－6x ＋9的公因式是______________． 3. 如果多项式x 2＋kx ＋94是一个完全平方式，则k 的值应为______________．4. 如果a ＋b ＝p ，ab ＝q ，那么(x ＋a )(x ＋b )＝______________.5. 如果多项式x 2＋mx ＋8在整数范围内因式分解，那么m 的值可以是________________________________________________________________________．6. 若x 2＋2x －5＝0，则2x 2＋4x －12的值是____________． 7. 已知： x －x 1＝5，则x 2＋x21＝________________.8. 对任何自然数n ，多项式(4n ＋5)2－9能够被__________整除．(最大约数) 二、选择题9. 无论a 和b 取什么值，等式恒成立的是()A. (a ＋b )2＝a 2＋b 2B. (a －b )2＝(b －a )2C. a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)D. (a －b )3＝(b －a )310. 多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为()A. 10，－2B. －10，－2C. 10，2D. －10，2 11. 下列多项式中，能用平方差公式分解的是()A. －x 2＋y 2B. x 2＋y 2C.－x 2－y 2D. －2x 2－y 212. 下列多项式能用完全平方公式分解的有()(1) x 2＋6x ＋9 (2) －x 2＋2xy －y 2(3) 25x 4－10x 2＋1 (4) 16a 2＋8a ＋1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、因式分解13. a －ab 2 14. x 3－3x 2＋2x15. a2－2ab＋b2－1 16. 9ax2＋9bx2－a－b17. 4a2－2a－b2－b18. x n＋1－3x n＋2x n－119. (a＋b)(a－b)＋4(b－1) 20. 4(x＋2)2－9(x＋3)2四、解答题21. 已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，求3x2＋12xy＋9y2的值．22. 已知5x2－4xy＋y2－2x＋1＝0，求(x－y)2010的值．因式分解（二）因式分解1. 9x2－12. 2ax3＋6a2x23. 3x3－12x4. x4－81y45. 2a(b＋c)－4(b＋c)6. 25m2－(4m－3n)27. －a(a－x)(x－b)＋ab(a－x)(b－x) 8. 4x2y2－12xy＋9 9. x2－6x－7 10. ma2－4ma＋4m11. x4－5x2＋4 12. (a2＋3a)2－3(a2＋3a)－2813. (x＋y)2－4(x＋y)＋4 14. (x2－x)2－4(x2－x－1)15. a2－2ab＋b2－1 16. xy－y＋x－117. m－m3－mn2＋2m2n 18. 4a2－2a－b2＋b 19. (x－y)2－5x＋5y－14 20. x2＋2xy＋y2＋ax＋ay21. a2＋b2－c2－2c－2ab－1 22. y(y－2)－(m－1)(m＋1) 23. (x＋2)(x－3)＋6x因式分解测试（一）1（1）、()()32a a -+1（2）、()()2121a a +- 1（3）、212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1（4）、()()22x y x y +--+1（5）、()25xy +1（6）、()()23a b c b c a ++- 1（7）、()25x y -1（8）、()22x x y -- 2、3x -3、43±4、2x px q ++5、9±或6±6、2-7、278、89、B10、D11、A12、D13、()()11a b b +-14、()()12x x x --15、()()11a b a b -+--16、()()()3131a b x x ++-17、()()221a b a b +--18、()()112n x x x ---19、()()22a b a b +--+20、()()5135x x -++21、0.622、1因式分解测试（二）1、()()3131x x +-2、()223ax x a +3、()()322x x x +-4、()()()22339x y x y x y +-+5、()()22b c a +-6、()()333m n m n -+7、()()()1a a x x b b ---+8、()223xy -9、()()61x x -+10、()22m a - 11、()()14x x -- 12、()()223734a a a a +-++ 13、()22x y +- 14、()()2221x x -+15、()()11a b a b -+--16、()()11x y -+17、()()221a b a b -+- 18、()()72x y x y ---+19、()()11a b c a b c -++---20、()()61x x -+。

上海市七年级上学期因式分解精炼

上海七年级上学期因式分解精炼

上海初中七上因式分解260题(学生版)

沪教版(上海)七年级上册数学 第九章 第五节 因式分解(含解析)

沪教版七年级数学(上)因式分解专题训练(一)

沪教版数学七年级上册第9章【因式分解】专项练习

沪教版(上海)七年级第一学期9.5《因式分解》知识点与练习

沪教新版七年级上册《第12章_因式分解》2024年同步练习卷+答案解析

沪教版 七年级(上)数学 第5节 因式分解 (解析版)

因式分解(6种常考题型专项训练)原卷版—七年级数学上学期期中(沪教版2024)

上海市七年级上学期因式分解精炼

上海市沪教版(五四制)七年级第一学期因式分解专练学案-文档精选全文完整版

因式分解 知识归纳与题型突破(12类题型清单)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册沪教版

沪教版(上海)数学七年级第一学期9.5 因式分解 专项巩固训练(一)

上海初中七年级数学上---因式分解练习(含答案)

沪教版(上海)七年级上册数学第九章第五节因式分解(含解析)

沪教版七年级(上)数学第5节因式分解 (解析版)

因式分解知识归纳与题型突破(12类题型清单)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册沪教版

沪教版(上海)数学七年级第一学期9.5 因式分解专项巩固训练(一)