2014运筹学-03-2表上作业法
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管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
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果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
运筹学-表上作业法
在初始表上判断：
4、通过矩阵变化，把该列变 成单位列向量
入基变量这一 列对应的系数
迭代 基变 次数 量
cB
s1
0
s2
0
0
s3
0
zj
σj=cj－zj
x1
x2
s1
50 100
0
1
1
1
2
1
0
0
1
0
0
0
0
50
100 0
s2 0
s3 0
b
比值 bi / aij
0
0 300 300/1
1
0 400 400/1
2.2 单纯形法的表上作业方法
School of Information Management, CCNU
1
《运筹学》 All Rights Reserved ,Lu Xinyuan (2013)
在讲解单纯形法的表格形式之前，先从一般数学模型里推
导出检验数 s j 的表达式。
可行基为m 阶单位矩阵的线性规划模型如下（假设其系数
迭代 基变 次数 量
cB
x1 50
x2 100
s1 0
s2 0
s3 0
比值
b
bi / aij
x1 50
1
0
1
0
－1 50
－
s2
0
0
0
－2
1
1 50
－
2 x2 100
0
1
0
0
1 250
－
zj
σj=cj－zj
矩阵的前m列是单位矩阵）：
(n-m)个非基变量
m a x z = c1 x1 + c 2 x 2 + x1 + a x 1, m +1 m +1 + x 2 + a x 2 , m +1 m +1 +
表上作业法
第三章 运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设 表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…， ）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
1.2 运输问题的特性∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===mi nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
运筹学表上作业法
❖运输问题中目标函数值要求最小化，因此， 当所有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则不是。
❖下面介绍两种计算检验数的方法：
3.最优性检验
❖ 1、闭回路法 ❖ 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一个非基
变量出发，沿水平或竖直方向前进，只有碰到基变 量，才能向右或向左转90o (当然也可以不改变方向） 继续前进。 ❖ 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变量，由 此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。
2.确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4
产量
A1 3
11
3 4 10 3 7
A2 1 3 9
2 18
4
A3 7
4 6 10
5 39
销量
3
6
5
6
Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
2.确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个， 注意：
❖1、每次填完数，只能划去一行或一列，只 有最后一个格子例外。
甲
乙
丙
丁
产量
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
2.确定初始基本可行解
x ❖ 若j=1设,2,3i,j4) 代表从第i个产地到第j个销售地的运输量（i=1,2,3；
mz i3 n x 1 1 1x 1 1 23 x 1 3 1x 1 0 4x 2 19 x 2 22 x 23 8 x 2 47 x 3 14 x 3 2 1x 3 0 35 x 34
❖下面介绍两种计算检验数的方法：
3.最优性检验
❖ 1、闭回路法 ❖ 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一个非基
变量出发，沿水平或竖直方向前进，只有碰到基变 量，才能向右或向左转90o (当然也可以不改变方向） 继续前进。 ❖ 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变量，由 此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。
2.确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4
产量
A1 3
11
3 4 10 3 7
A2 1 3 9
2 18
4
A3 7
4 6 10
5 39
销量
3
6
5
6
Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
2.确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个， 注意：
❖1、每次填完数，只能划去一行或一列，只 有最后一个格子例外。
甲
乙
丙
丁
产量
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
2.确定初始基本可行解
x ❖ 若j=1设,2,3i,j4) 代表从第i个产地到第j个销售地的运输量（i=1,2,3；
mz i3 n x 1 1 1x 1 1 23 x 1 3 1x 1 0 4x 2 19 x 2 22 x 23 8 x 2 47 x 3 14 x 3 2 1x 3 0 35 x 34
2014运筹学-03-2表上作业法
销地
B3 3 x14 8 B4 10
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
元素差额法(VAM法) 例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 . 元素差额法是在最小元素法的基础上改进的 和 B4四个销地，求如何调运使总运费最少？ 在确定产销关系时，不从最小元素开始，而 从运输表中各行各列的最小元素和次小元素 产地 销地 供应 B1 B2 B3. B4 之间的差额来确定产销关系
2
5
×
3 差 额
3
8
4
4
×
6
2 1
1
1 5
2 8
3 2
初始调运方案为
2 3 5 9 7 1 2 5 4 3 2 4 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
初始总运费为
5 9 4 7 3 1 2 2 3 4 4 2 100
作业： 用最小元素法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
供 应
9 9-3 9-3-6 5 5-2 5-2-3 7 7-1 21
3
A2 A3 需求
1
6-6 6
初始调运的运费为
3 2 6 9 2 3 3 4 1 2 6 5 110
3.2 表上作业法
5.步骤:
(1) 给出初始调运方案。——初始基可行解： 即在有(m×n)个空格的产销平衡表上给出 (m+n-1)个数字格。 一般用最小元素法，Vogel法，西北角法; (2) 求各非基变量的检验数， 即在表上计算空格的检验数。 从而判断检验方案是否达到最优, 若是最优解,则停止计算; 否则转下一步。 用闭回路法、位势法求检验数；
这(m+n-1)个向量都不可能用解中的其他向量的线 性组合表示。 故这(m+n-1)个向量是线性独立的。 用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解 即数字格里为基变量的取值，空格为非基变量的取值
注意: 1）用最小元素法给出初始解时， 有可能在产销平衡表上填入一个数字后， 在单位运价表上同时划去一行和一列 (即产地和销地都得到满足)。 为保证基变量的个数仍是m+n-1, 要在该行或列某空格(相应运价未被划掉)处填一个0, 该0看作数字格,即基变量的取值为0, 这时 得到的解为退化解。 2）当单位运价表中同时有两个相同的最小值时，任 取其一即可。
最优性检验 ---- （1）闭回路法 闭回路：从某一空格出发，沿水平方向或垂直方向 前进,遇到合适的数字格可以旋转90度，继续前进, 若最后能回到出发点,则所构成的回路为闭回路。
销地 产地 A1 A2 A3 销量 3 3 6 6 5 B1 B2 4 1 3 6 B3 3 B4 产量 7 4 9
结论:在任何可行方案中,以空格(i,j)为一个顶点,其 余顶点全是数字格的闭回路存在且唯一.
B2 11 9 4
B3 3 3 10
B4 10 8 5
A1 A2 A3
(1) 先用线性规划法处理此问题。 设由产地i到销地j的运量为xij,模型为：
min z= 3x11+11x12+3x13+10x14+x21 +9x22 +2x23 +8x24+7x31+4x32+10x33+5x34 =7 x21+x22+x23+x24 =4 x31+x32+x33+x34=9 x11 +x21 +x31 =3 x12 +x22 +x32 =6 x13 +x23 +x33 =5 x14 +x24 +x34=6 xij≥0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4) x11+x12+x13+x14
运筹学。 表上作业法
19
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
运输问题表上作业法
重复上面的步骤，直至求出最优调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 90 80
X22
B3 100
X13
产量 200 250
产地
50 A1 A2
销 量
X11
150 70
X12
50
X21
65 200 75
X23
100
150
200
450
结 果
最优调运方案是： x11=50，x12=150，x21=50，x23=200
X11 X12
X13
80 150 65 100 75
A2
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 450
非基变量X12的检验数：
12
=（c12+c23）-（c13+c22） =70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
200 75
X23
100
150 50
200 450
得到初始调运方案为： x11=100，x12=100，x22=50，x23=200
总运价为： 90 * 100 70 * 100 50 * 65 200 * 100 39250
（3）沃格尔（V ogel) (略）
２、３最优性检验
闭回路上，奇数次顶点的调运量加上ε，偶数 次顶点的调运量减去ε；闭回路之外的变量调 运量不变。
得到新的调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 100 70
X12
《运筹学》胡运权清华版-3-02表上作业法
最大元素法
总结词
与最小元素法相反，最大元素法选择运价表中的最大元素作为初始方案。
详细描述
最大元素法的基本思想是从运价表中寻找最大的元素，并将其确定为初始方案。在运价表中，最大的 元素可能是运输量最大的货物或运输距离最长的路线。这种方法可能会优先考虑大货物或长距离运输 ，但同样可能不是最优解，因为它没有考虑到整个运输网络的整体优化。
100%
稳定性
最优解应该是相对稳定的，即在 微小扰动下不会发生大的变化。
80%
可行性
最优解必须满足实际操作的可行 性，如运输量不能超过供应量和 需求量。
迭代终止条件
达到最大迭代次数
可以设定一个最大迭代次数， 当达到该次数时终止迭代。
运输成本收敛
如果连续几次迭代的运输成本 变化很小，可以认为已经收敛 ，终止迭代。
03
方案的调整
闭回路法
要点一
总结词
通过检查闭回路来调整方案，以使运输费用最小化。
要点二
详细描述
闭回路法是一种常用的运输方案调整方法。在运输问题中 ，如果发现某个产地的供应量大于需求量，或者某个销地 的需求量大于供应量，就可以通过构建闭回路来调整运输 方案。具体来说，就是在供需不平衡的地点之间构建一个 闭回路，将多余的供应量或不足的需求量通过闭回路进行 调整，以使运输费用最小化。
适用于解决产销平衡和产销不平衡的运输问题，特别是当运输问 题规模较大时，使用表上作业法可以快速找到最优解。
表上作业法的应用场景
物流规划
在物流规划中，表上作业法可以用于解决货物运输 的最优路径、运输成本等问题。
资源配置
在资源分配问题中，表上作业法可以用于确定资源 的最优调配方案，以最小成本满足需求。
管理运筹学运输问题之表上作业法课件
扩展适用范围
进一步扩展表上作业法的适用范 围，使其能够处理更多类型的运 输问题，包括带有特殊约束条件 的运输问题。
引入现代信息技术
利用现代信息技术，如大数据和 云计算等，提高表上作业法的计 算效率和精度，以满足实际应用 的需求。
THANKS
感谢您的观看
的优化配置。
应用实例二：农产品运输问题
总结词
多约束优化问题
详细描述
农产品运输问题需要考虑时间、保鲜度、运 输量等多种约束条件，要求在满足需求的前 提下，实现运输成本和损耗的最小化。表上 作业法可以通过多目标优化算法，综合考虑 各种约束条件，制定最优的农产品运输方案
。
应用实例三：城市物流配送问题
要点一
在迭代过程中，需要有一个判断准则来确定何时停止迭代并输出最优解。常用的判断准则包括最大最 小准则和最小最大准则。
迭代求解
根据判断准则，通过不断调整运输方案，使目标函数（通常是总运输费用最小）逐渐逼近最优解。在 每次迭代中，需要检查运输方案的可行性，并更新基可行解。
终止阶段：确定最优解并输出结果
确定最优解
03
表上作业法原理
表上作业法的定义与步骤
在此添加您的文本17字
定义：表上作业法是一种求解运输问题的线性规划方法， 通过在运输表上逐行计算和调整，最终找到最优解。
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步骤
在此添加您的文本16字
1. 建立初始运输方案；
在此添加您的文本16字
2. 检查运输方案的可行性；
在此添加您的文本16字
确定单位运输成本
根据运输距离、运输方式等因素确定单位运输成本。
建立数学模型
根据供求关系、运输能力限制等因素建立线性规划模型。
表上作业法
精品课程《运筹学》
.
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找 到 m + n – 1 个不构成闭回路的基 变量。
一般的方法步骤如下：
精品课程《运筹学》
.
(1)在运输问题求解作业数据表中任选一个单 元格 xij ( Ai 行 Bj 列交叉位置上的格),令
mn
考虑 i=1si >j=1dj 的运输问题，得到的数学模 型为
精品课程《运筹学》
.
min
mn
f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t. xij si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
精品课程《运筹学》
(3)若 ai = 0，则划去对应的行（已经把拥有 的量全部运走），若 bj = 0 则划去对应的 列（已经把需要的量全部运来），且每次 只划去一行或一列（即每次要去掉且只去 掉一个约束）；
精品课程《运筹学》
.
(4)当最终的运输量选定时，其所在行、列 同时满足，此时要同时划去一行和一列。 这样，运输平衡表中所有的行与列均被划 去，则得到了一个初始基本可行解。
x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0 ;
最优值：
精品课程f《*运=筹3学×》5+10×2+1×3+.8×1+4×6+5×3 = 85
四、产销不平衡问题的处理
在实际中遇到的运输问题常常不是产销
平衡的，而是下列的一般运输问题模型
min
mn
f
运输问题的表上作业法
12
版权所有 违者必究
位势法或闭回路法计算空格的检验数结果
vi ui u1=1 u2=7 u3=3 需求量bj
v1=(0) 1 x11=20 7 σ21=0 3 x31=10 30
v2=–1 6 σ12=6 3 σ22= –3* 2 x32=25 25
v3=–2 2 σ13=3 5 x23=10 9 σ33=8 10
v4=1 10 σ14=8 8 x24=10 4 x34=5 15
供应 量 ai 20 20 40
13
版权所有 违者必究
因σ22=–3<0，故知该解不是最优解，还有待调整改正。 解改进的具体步骤为: (1)以xij为换入变量，找出它在运输表中的闭回路； (2)以空格(Ai,Bj)为第一个奇数顶点．沿闭回路的顺(或逆) 时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号； (3)在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小 min xij L (e) 的顶点(格子)，以该格中的变量为换出变量；
18
版权所有 违者必究
，并且xij>0的格
19
版权所有 违者必究
销地 产地 A1 A2 A3 需求量 B1 10 4 3 30 B2 12 7 8 65 B3 2 8 4 15
B4 供应量 6 9 13 70 80 55 45 180
20
版权所有 违者必究
销地 产地 A1 A2 A3 需求量
B1 50 30 60 50
7
版权所有 违者必究
单价cij A1 供 应 地 Ai A2 A3 需求量bj
销售地Bj B1 1 7 3 B2 6 3 2 B3 2 5 9 B4 10 8 4
供应量ai 20 20 40 80 80
30
表上作业法
（3）如果有某空格的检验数为负，说明将变为基变量将使运输费用减少，故当前这个解不是最优解。若所有 空格的检验数全为非负，则不管怎样变换，均不能使运输费用降低，即目标函数值已无法改进，这个解就是最优 解。
闭回路：在给出的调运方案的运输表上，从一个空格（非基变量）出发，沿水平或垂直方向前进，只有碰到 代表基变量的数字格才能向左或向右转90°继续前进，直至最终回到初始空格而形成的一条回路。从每一空格出 发，一定可以找到一条且只存在唯一一条闭回路。
常见问题
1、无穷多最优解 产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的，则该问题有无穷多最优解。 2、退化 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时，在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0， 以保证有(m+n-1)个数字格。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。
相关关系
表上作业法
用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法
01 定义
03 常见问题 05 举例
目录
02 作业法的步骤 04 相关关系
表上作业法是指用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法。是线性规划一种求解方法，其实质 是单纯形法，故也称运输问题单纯形法。当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各 元素列成表格，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行 调整，直至得到满意的结果。这种列表求解方法就是表上作业法。
（1）运输问题的求解采用表上作业法，即用列表的方法求解线性规划问题中的运输模型的计算方法，实质上 是单纯形法。表上作业法是一种特定形式的单纯形法，它与单纯形法有着完全相同的解题步骤，所不同的只是完 成各步采用的具体形式；
闭回路：在给出的调运方案的运输表上，从一个空格（非基变量）出发，沿水平或垂直方向前进，只有碰到 代表基变量的数字格才能向左或向右转90°继续前进，直至最终回到初始空格而形成的一条回路。从每一空格出 发，一定可以找到一条且只存在唯一一条闭回路。
常见问题
1、无穷多最优解 产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的，则该问题有无穷多最优解。 2、退化 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时，在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0， 以保证有(m+n-1)个数字格。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。
相关关系
表上作业法
用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法
01 定义
03 常见问题 05 举例
目录
02 作业法的步骤 04 相关关系
表上作业法是指用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法。是线性规划一种求解方法，其实质 是单纯形法，故也称运输问题单纯形法。当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各 元素列成表格，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行 调整，直至得到满意的结果。这种列表求解方法就是表上作业法。
（1）运输问题的求解采用表上作业法，即用列表的方法求解线性规划问题中的运输模型的计算方法，实质上 是单纯形法。表上作业法是一种特定形式的单纯形法，它与单纯形法有着完全相同的解题步骤，所不同的只是完 成各步采用的具体形式；
管理运筹学
第三章 运输问题
3.1 运输问题的数学模型 3.2 表上作业法 3.3 不平衡的运输问题 3.4 运输问题的实际案例
概 述： 运输问题(The Transportation Problem, TP)是 运输问题 是 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 运输问题可用单纯形法来求解。 运输问题可用单纯形法来求解。由于运输问题 数学模型具有特殊的结构， 数学模型具有特殊的结构，存在一种更简便的 计算方法 表上作业法——实质仍是单纯形法。 实质仍是单纯形法。 表上作业法 实质仍是单纯形法 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。
3.1 运输问题的数学模型
运输问题的数学模型； 运输问题的数学模型； 运输问题数学模型的特点； 运输问题数学模型的特点； 运输问题解的情况. 运输问题解的情况
一、运输问题的数学模型 1、实际案例 、 设某种物资有3个产地 设某种物资有 个产地 A1，A2，A3， 生产量分别 个销地B 为9，5，7;有4个销地 1，B2，B3，B4 ，销售量分 ， ， 有 个销地 别为3， ， ， 已知从 已知从A 别为 ，8，4，6 ;已知从 i到Bj 物资的单位运价见 下表。求总运费最小的调运方案。 下表。求总运费最小的调运方案。 B1 A1 A2 A3 销量 2 1 8 3 B2 9 3 4 8 B3 10 4 2 4 B4 7 2 5 6 产量 9 5 7
x11 x12 x1n 1 1 1 D= Ａ= 1 1 1
x21 x22 x2n ... xm1 xm2 xmn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a1 a2 am b 1 b2 bn
3.1 运输问题的数学模型 3.2 表上作业法 3.3 不平衡的运输问题 3.4 运输问题的实际案例
概 述： 运输问题(The Transportation Problem, TP)是 运输问题 是 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 运输问题可用单纯形法来求解。 运输问题可用单纯形法来求解。由于运输问题 数学模型具有特殊的结构， 数学模型具有特殊的结构，存在一种更简便的 计算方法 表上作业法——实质仍是单纯形法。 实质仍是单纯形法。 表上作业法 实质仍是单纯形法 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。
3.1 运输问题的数学模型
运输问题的数学模型； 运输问题的数学模型； 运输问题数学模型的特点； 运输问题数学模型的特点； 运输问题解的情况. 运输问题解的情况
一、运输问题的数学模型 1、实际案例 、 设某种物资有3个产地 设某种物资有 个产地 A1，A2，A3， 生产量分别 个销地B 为9，5，7;有4个销地 1，B2，B3，B4 ，销售量分 ， ， 有 个销地 别为3， ， ， 已知从 已知从A 别为 ，8，4，6 ;已知从 i到Bj 物资的单位运价见 下表。求总运费最小的调运方案。 下表。求总运费最小的调运方案。 B1 A1 A2 A3 销量 2 1 8 3 B2 9 3 4 8 B3 10 4 2 4 B4 7 2 5 6 产量 9 5 7
x11 x12 x1n 1 1 1 D= Ａ= 1 1 1
x21 x22 x2n ... xm1 xm2 xmn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a1 a2 am b 1 b2 bn
《运筹学》胡运权清华版-3-02表上作业法
3
方案评估
重新计算和评估方案，以寻找最佳解 决方案。
表上作业法的实施步骤
确定分析目标
你需要明确你的分析目标，并确保你的数据 和参数与目标保持一致。
构建数学模型
构建数学模型以帮助你更好地理解数据的分 布和规律。
收集数据和参数
收集必要的数据和参数，并将其输入到表格 中以进行分析。
执行假设分析
通过调整各种参数进行“假设分析”，以便更 好地评估不同方案的效果。
手动计算
表上作业法可以手动计算各种 数据，让你更深入了解数据背 后的规律。
调整参数
使用表上作业法，你可以轻松 地调整参数和执行“假设分析”， 以便更好地评估各种方案。
表上作业法的基本原理
1
数据输入
将数据和参数输入到表格中，以帮助
模型构建
2
你更好地分析和评估方案。
构建数学模型，以便更好地理解数据
的分布和规律。
制定价格策略
使用表上作业法可以帮助公司 更好地了解各种定价策略，以 寻找最佳方案。
总结与展望
总结
表上作业法是一种实用的决策分析工具，可以 帮助你更好地理解和评估各种方案。
展望
运筹学正在不断发展和完善，我们可以期待更 多更先进的数学工具用于决策分析。
《运筹学》胡运权清华版 -3-02表上作业法
本课程将向你介绍《运筹学》中最实用的决策分析工具——表上作业法。
课程简介
本课程旨在介绍《运筹学》中的一种非常实用的分析工具——表上作业法。 你将了解到运筹学在现代业务决策中的应用，包括如何将表上作业法用于实 际业务分析和决策。
表上作业法概述
分析数据
表上作业法是一种分析量化数 据的方法，可以帮助你更好地 理解和分析数据。
[管理学]表上作业法
![[管理学]表上作业法](https://img.taocdn.com/s3/m/8d4b654b84868762caaed5f3.png)
B4 ，4 个销售点，数据如下：
B1 B2 B3 B4
产量 ai
A1
3 11 3 10
7
A2
1 92 8
4
A3Βιβλιοθήκη 7 4 10 59
销量 bj 3 6 5 6 20（产销平衡）
求最优运输方案。
1、确 定 初 始 基 本 可 行 解：
B1
B2
A1
3
11
3
（1）西 北 角 法
B3
B4
10
产量 ai 7
3
4
在运输问题的表上作业法中，换基的过
程是如下进行：
（1）选负检验数中最小者 rk，那
么 xrk 为主元，作为进基变量（上图中 x24 ）;
（2）以 xrk 为起点找一条闭回路， 除 xrk 外其余顶点必须为基变量格（上 页图中的回路）;
（3）为闭回路的每一个顶点标号， xrk 为 1，沿一个方向（顺时针或逆时 针）依次给各顶点标号；
注:应用西北角法和最小元素法，
每次填完数，都只划去一行或一列， 只有最后一个元例外（同时划去一 行和一列）。当填上一个数后行、 列同时饱和时，也应任意划去一行 （列），在保留的列（行）中没被 划去的格内标一个0。
例：某食品公司下属的 A1、A2、A3 ，3 个
厂生产方便食品，要运输到 B1、B2、B3、
1、闭回路法
为了方便，我们以上表给出的初始基本 可行解方案为例，考察初始方案的任意一 个非基变量，比如 x24。根据初始方案， 产地 A2 的产品是不运往销地 B4 的。如果 现在改变初始方案，把 A2 的产品运送1 个 单位给 B4 ，那么为了保持产销平衡，就 必须使 x14 或 x34 减少 1 个单位；而如果 x14 减少 1 个单位，第 1 行的运输量就必 须增加 1 个单位，例如 x13 增加 1 个单位， 那么为了保持产销平衡，就必须使 x23 减 少 1 个单位。
运筹学运输问题表上作业法资料
4
3
3
10
7
1
9
2
3
1
84
7
4
6
10
5
3
9
36
56
34
31 Z
cij xij 3 4 10 3 1 3 21 4 6 5 3 86
i1 j1
最小元素法的优劣？
也很简单哦
最优解可望，但还 是有一定距离的
32
伏格尔法
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10 7
D
M
0
M 0M 0
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案
需 求 地 区 Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ’
利润
产地
Ⅰ
10 5 6 7 250
Ⅱ
8 2 7 6 250
Ⅲ
9 3 4 8 500
销量 150 200 300 350
“总利润最大”而不是“运费最小”，“最小元素”怎么找？
38
闭回路 法
最优性 检验
位势法
39
最优性检验——闭回路法
表示什么？
每个空格都能找到闭回路 吗？有的话，是否唯一？
运筹学
李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期
课程主要内容
绪论
线性规划及 单纯形法
对偶理论与 灵敏度分析
目标规划
整数规划
运输问题
动态规划
图与网络
第三章 运输问题
Transportation problem
3
学习目标
什么是运 输问题？
复杂运输 问题
如何解决运 输问题？
3
3
10
7
1
9
2
3
1
84
7
4
6
10
5
3
9
36
56
34
31 Z
cij xij 3 4 10 3 1 3 21 4 6 5 3 86
i1 j1
最小元素法的优劣？
也很简单哦
最优解可望，但还 是有一定距离的
32
伏格尔法
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10 7
D
M
0
M 0M 0
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案
需 求 地 区 Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ’
利润
产地
Ⅰ
10 5 6 7 250
Ⅱ
8 2 7 6 250
Ⅲ
9 3 4 8 500
销量 150 200 300 350
“总利润最大”而不是“运费最小”，“最小元素”怎么找？
38
闭回路 法
最优性 检验
位势法
39
最优性检验——闭回路法
表示什么？
每个空格都能找到闭回路 吗？有的话，是否唯一？
运筹学
李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期
课程主要内容
绪论
线性规划及 单纯形法
对偶理论与 灵敏度分析
目标规划
整数规划
运输问题
动态规划
图与网络
第三章 运输问题
Transportation problem
3
学习目标
什么是运 输问题？
复杂运输 问题
如何解决运 输问题？
相关主题
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第三步，在空格中填上所选的最小调运量， 并使所有的奇数次拐角的调运量减去这个最 小调运量，偶数次拐角的调运量加上最小调 运量.
产地 A1 A2 A3
位势
B1 13 2
1 3 10 7 -3
1
销地
位势
B2
B3
B4
2 11
3
10 1
9
4+4 1 3-31
19
2 -1 8 0
8
1-11
19
4 12 10
第二节 表上作业法
表上作业法一般分为两个阶段 第一阶段，制定初始调运方案; 第二阶段，从初始调运方案出发，调整调运 方案，逐步获得最优解.
1 制定初始调运方案 下面通过例题来介绍几种常用的求运输问题 的初始基本可行解的方法
左上角法(西北角法)
例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
x14 84
x24 59
x34
6
20
最小元素法
例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
产地
销地
供应
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
第二步，在表中增加一行vj和一列ui , 使得表 中的基变量的单位运价cij刚好是ui和vj的和.
第三步，计算空格处的检验数: σij=cij-(ui+vj)
例 求下表各空格处的检验数
产地 A1
B1 3
A2
1
3
A3
7
需求 3
销地
B2 11
B3 3
4
9
2
1
4
10
6
6
5
供应 B4
10 7 3
84
59
3
x14 84
x24 59
x34
6
20
2 最优调运方案的判断 判断一个调运方案是否是最优方案，实质是 判别一个基本可行解是否为最优解. 单纯形法中，最优解是根据对应的非基变量的 检验数来判断的. 运输问题也采用类似的方法. 由单纯形法可知，最优解中非基变量一般取0 那么运输问题中，哪些是非基变量呢？
产地
销地
供应
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
x24
A3
8
4
2
57
x31
x32
x33
x34
需求 3
8
4
6
21
这是一个产销平衡问题，西北角法具体步骤 第一步，做产销空格表，将空格对应的产销 地运费填在空格的右上角. 第二步，在表中对左上角进行分配
差1
额
15
82
32
初始调运方案为
2 3 59 71 25 4 3 24 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地 A1 A2 A3
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
x14 84
x24 59
x34
6
20
元素差额法(VAM法)
元 例素设差有额A法1, A是2和在A最3的小产元品素需法要的运基到础B上1,改B进2, B的3. 在 和确 B4四定个产销地关，系求时如，何不调从运最使小总元运素费开最始少，？而
产地
销地
需求
B1
B2
B3
B4
A1
3
11
3
10
5
2
7
A2
1
9
2
84
3
1
A3
7
4
6
10
5
3
9
需求 3
6
5
6 20
所有的检验数均已大于等于零
所以此表为最优调运方案，总运费为
s 1 3 64 5 3 210 18 35 85
9
4 6
6
B3 3
4 2
1 10
5
B4 10 7
3 84
59
3
6
20
检验数: 9 4 5 10 3 2 1
第三章 运输问题
第二节 表上作业法
2 最优调运方案的判断
位势法 如果产销地的个数很多，闭回路法应用起来 非常麻烦，对于这种情况，采用位势法: 第一步，做产销空格表，并作初始调运方案， 表中的数字是相应的单位运价和运量.
5 -4
6
-2
3
8
2
9
相当于单纯形法的转轴运算.
重新计算位势和检验数.
产地
销地
位势
B1
B2
B3
A1 0 3 2 11
3
3
9
5
A2
12
3
7
912 1
A3 9 7
4 12 10
-2
6
-2
位势 1
7
1
所有的检验数均已大于等于零
B4
10
2
2
80
1
5
3
-3
8
所以此表为最优调运方案，总运费为
s 1 3 64 5 3 210 18 35 85
成的封闭折线，称为闭回路法. 拐角：填有数字，并且前进方向改变的格子. 检验数求法：从空格开始沿闭回路前进，空
格的单位运费取正，第一个转角运费取负，
第二个取正, …, 然后将这些运费加起来，即
空格的检验数.
例 求下表A2B2的一个闭回路和检验数
产地
销地
供应
B1
A1
3
A2
1
3
A3
7
需求 3
B2 11
从产地运输表中各行各列销的地最小元素和次小元供素应
之间的差B额1 来确定B2产销关系B3.
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
x24
A3
8
4
2
57
x31
x32
x33
x34
需求 3
8
4
6
21
第一步，做产销空格表，并将空格对应的产 销地运费填在空格的右上角. 第二步，产销空格表上增加一行和一列作为 差额行和差额列，填上对应行和对应列的最 小元素和次小元素的差额.
3 调整已有的调运方案 就是从一个已知方案求出另一个较好的方案. 实质上就是从一个基本可行解找出另一个基 本可行解，使目标函数下降.
具体步骤如下:
第一步，选出一个检验数为负的空格(一般选 具有最负值的检验数的空格，如果两个空格 的检验数一样，则任选一个)，然后做选出空 格的闭回路. 第二步，从空格处出发，沿闭回路前进，在 各奇数次拐角点的调运量中选取一个最小的 调运量.
(1) 如果产大于销，则在这个方格填上销量, 并在表中划去这一列
(2) 如果销大于产，则在这个方格填上产量, 并在表中划去这一行
第三步，在剩下的表中，反复进行第二步.
产地
B1
A1
2
3
销地
B2 9
6
B3 10
×
B4
7 ×
供 应
9-93-6
A2
1
×
2
3 3
4
2 5-52-3
×
A3
8
4
×
×
1
2
5 7-71
6
需求 3-3
88--668-2
4-34-1
6-66 21
初始调运的运费为
3 2 69 2 3 34 12 65 110
作业： 用西北角法求解下列问题的调运方案
产地 A1 A2 A3
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
调运量为零(即×位置)的对应于非基变量！ 所以只要判别出每个空格的检验数就可以了
检验数该如何求？ 闭回路法和位势法
闭回路法 由一个空格开始，沿水平方向或垂直方向前 进. 遇到一个有数字的格子时，则可以按前 进方向的垂直方向转向前进，经过若干次后, 必然回到原出发点. 这样就形成了一条由水平线段和垂直线段组
下面给出具体计算过程:
产地
B1
A1
2
×
A2
产地 A1 A2 A3
位势
B1 13 2
1 3 10 7 -3
1
销地
位势
B2
B3
B4
2 11
3
10 1
9
4+4 1 3-31
19
2 -1 8 0
8
1-11
19
4 12 10
第二节 表上作业法
表上作业法一般分为两个阶段 第一阶段，制定初始调运方案; 第二阶段，从初始调运方案出发，调整调运 方案，逐步获得最优解.
1 制定初始调运方案 下面通过例题来介绍几种常用的求运输问题 的初始基本可行解的方法
左上角法(西北角法)
例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
x14 84
x24 59
x34
6
20
最小元素法
例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 和B4四个销地，求如何调运使总运费最少？
产地
销地
供应
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
第二步，在表中增加一行vj和一列ui , 使得表 中的基变量的单位运价cij刚好是ui和vj的和.
第三步，计算空格处的检验数: σij=cij-(ui+vj)
例 求下表各空格处的检验数
产地 A1
B1 3
A2
1
3
A3
7
需求 3
销地
B2 11
B3 3
4
9
2
1
4
10
6
6
5
供应 B4
10 7 3
84
59
3
x14 84
x24 59
x34
6
20
2 最优调运方案的判断 判断一个调运方案是否是最优方案，实质是 判别一个基本可行解是否为最优解. 单纯形法中，最优解是根据对应的非基变量的 检验数来判断的. 运输问题也采用类似的方法. 由单纯形法可知，最优解中非基变量一般取0 那么运输问题中，哪些是非基变量呢？
产地
销地
供应
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
x24
A3
8
4
2
57
x31
x32
x33
x34
需求 3
8
4
6
21
这是一个产销平衡问题，西北角法具体步骤 第一步，做产销空格表，将空格对应的产销 地运费填在空格的右上角. 第二步，在表中对左上角进行分配
差1
额
15
82
32
初始调运方案为
2 3 59 71 25 4 3 24 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地 A1 A2 A3
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
x23
4
10
x32 6
x33 5
供应
B4 10 7
x14 84
x24 59
x34
6
20
元素差额法(VAM法)
元 例素设差有额A法1, A是2和在A最3的小产元品素需法要的运基到础B上1,改B进2, B的3. 在 和确 B4四定个产销地关，系求时如，何不调从运最使小总元运素费开最始少，？而
产地
销地
需求
B1
B2
B3
B4
A1
3
11
3
10
5
2
7
A2
1
9
2
84
3
1
A3
7
4
6
10
5
3
9
需求 3
6
5
6 20
所有的检验数均已大于等于零
所以此表为最优调运方案，总运费为
s 1 3 64 5 3 210 18 35 85
9
4 6
6
B3 3
4 2
1 10
5
B4 10 7
3 84
59
3
6
20
检验数: 9 4 5 10 3 2 1
第三章 运输问题
第二节 表上作业法
2 最优调运方案的判断
位势法 如果产销地的个数很多，闭回路法应用起来 非常麻烦，对于这种情况，采用位势法: 第一步，做产销空格表，并作初始调运方案， 表中的数字是相应的单位运价和运量.
5 -4
6
-2
3
8
2
9
相当于单纯形法的转轴运算.
重新计算位势和检验数.
产地
销地
位势
B1
B2
B3
A1 0 3 2 11
3
3
9
5
A2
12
3
7
912 1
A3 9 7
4 12 10
-2
6
-2
位势 1
7
1
所有的检验数均已大于等于零
B4
10
2
2
80
1
5
3
-3
8
所以此表为最优调运方案，总运费为
s 1 3 64 5 3 210 18 35 85
成的封闭折线，称为闭回路法. 拐角：填有数字，并且前进方向改变的格子. 检验数求法：从空格开始沿闭回路前进，空
格的单位运费取正，第一个转角运费取负，
第二个取正, …, 然后将这些运费加起来，即
空格的检验数.
例 求下表A2B2的一个闭回路和检验数
产地
销地
供应
B1
A1
3
A2
1
3
A3
7
需求 3
B2 11
从产地运输表中各行各列销的地最小元素和次小元供素应
之间的差B额1 来确定B2产销关系B3.
B4
A1
2
9
10
79
x11
x12
x13
x14
A2
1
3
4
25
x21
x22
x23
x24
A3
8
4
2
57
x31
x32
x33
x34
需求 3
8
4
6
21
第一步，做产销空格表，并将空格对应的产 销地运费填在空格的右上角. 第二步，产销空格表上增加一行和一列作为 差额行和差额列，填上对应行和对应列的最 小元素和次小元素的差额.
3 调整已有的调运方案 就是从一个已知方案求出另一个较好的方案. 实质上就是从一个基本可行解找出另一个基 本可行解，使目标函数下降.
具体步骤如下:
第一步，选出一个检验数为负的空格(一般选 具有最负值的检验数的空格，如果两个空格 的检验数一样，则任选一个)，然后做选出空 格的闭回路. 第二步，从空格处出发，沿闭回路前进，在 各奇数次拐角点的调运量中选取一个最小的 调运量.
(1) 如果产大于销，则在这个方格填上销量, 并在表中划去这一列
(2) 如果销大于产，则在这个方格填上产量, 并在表中划去这一行
第三步，在剩下的表中，反复进行第二步.
产地
B1
A1
2
3
销地
B2 9
6
B3 10
×
B4
7 ×
供 应
9-93-6
A2
1
×
2
3 3
4
2 5-52-3
×
A3
8
4
×
×
1
2
5 7-71
6
需求 3-3
88--668-2
4-34-1
6-66 21
初始调运的运费为
3 2 69 2 3 34 12 65 110
作业： 用西北角法求解下列问题的调运方案
产地 A1 A2 A3
需求
B1 3
x11 1
x21 7
x31 3
销地
B2 11
B3 3
x12
x13
9
2
x22
调运量为零(即×位置)的对应于非基变量！ 所以只要判别出每个空格的检验数就可以了
检验数该如何求？ 闭回路法和位势法
闭回路法 由一个空格开始，沿水平方向或垂直方向前 进. 遇到一个有数字的格子时，则可以按前 进方向的垂直方向转向前进，经过若干次后, 必然回到原出发点. 这样就形成了一条由水平线段和垂直线段组
下面给出具体计算过程:
产地
B1
A1
2
×
A2