反比例函数知识点归纳
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结一、定义和性质y=k/x其中k为常数,称为反比例函数的比例常数。
1.y随着x的增加而减小,或随着x的减小而增加。
2.当x=0时,函数y无定义。
3.曲线y=k/x在第一象限中,以坐标轴为渐近线。
二、图像和图像特征第一象限:当x>0时,y>0,两者同号,图像在该象限中呈现右上方向的增长,且随着x增大而逐渐降低,但不会等于0。
这个分支与y轴无交点,但是它和x轴的交点是(1/k,k)。
第二象限:当x<0时,y<0,两者异号,图像在该象限中呈现左下方向的增长,且随着x减小而逐渐增大,但不会等于0。
这个分支与y轴无交点,但是它和x轴的交点是(-1/k,-k)。
三、定义域和值域四、解析表达式五、反比例函数的性质与变换1.反比例函数的比例常数k越大,曲线的形状越平缓,即曲线与坐标轴之间的夹角越小。
2.反比例函数的图像关于y轴对称。
3.对于反比例函数的图像,x轴和y轴是渐近线,即曲线会无限接近x轴和y轴。
4.若给定一个特定的函数值y0,可以通过求解方程y0=k/x,得到x 与y的关系式。
六、反比例函数的应用1.马力与速度的关系:汽车的马力与速度成反比例关系,马力越大,达到其中一速度所需的时间越短。
2.投资收益与投资金额的关系:在一些投资项目中,投资收益与投资金额成反比例关系,这意味着投资金额较小的项目可能会有更高的投资收益率。
3.速度与时间的关系:在物理学中,速度和时间是反比例关系,速度越大,所需的时间越短。
4.电阻与电流的关系:根据欧姆定律,电阻与电流成反比例关系,电阻越大,所能通过的电流越小。
总结:反比例函数是一类常见的函数关系,具有重要的应用价值。
对于反比例函数的定义和性质,需要了解其图像特征以及定义域和值域的范围。
同时,反比例函数可以通过解析表达式表示,并具有一些特殊的性质和变换规律。
在实际生活中,反比例函数有着广泛的应用,例如在汽车马力与速度的关系、投资收益与投资金额的关系、速度与时间的关系以及电阻与电流的关系等方面。
反比例函数知识点归纳(重点)
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
〔6〕函数
和
〔k≠0〕,它们在同一坐标系内的图象大致是〔 〕.
-
. word.zl-
..
-
A.
B.
C.
D.
3.函数的增减性
〔1〕在反比例函数
〔 〕.
A.正数
B.负数
的图象上有两点 C.非正数
,
,且
D.非负数
,那么
的值为
PQC 的面积为 .
图1
图2
5.说明:
〔1〕双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个
分支分别讨论,不能一概而论.
〔2〕直线
与双曲线
的关系:
当
时,两图象没有交点;当
时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
〔3〕反比例函数与一次函数的联系.
〔四〕实际问题与反比例函数
1.求函数解析式的方法:
y 随 x 的增大而
〔填“增大〞或“减小〞〕.
注意,〔3〕中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内〞 y 随 x 的增大而减小.
4.解析式确实定
〔1〕假设 与 成反比例, 与 成正比例,那么 y 是 z 的〔 〕.
A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.不能确定
〔2〕假设正比例函数 y=2x 与反比例函数 们的另一个交点为________.
-
. word.zl-
..
-
4.k 的几何意义
如图1,设点 P〔a,b〕是双曲线
上任意一点,作 PA⊥x 轴于 A 点,PB⊥y 轴于 B 点,那么矩形 PBOA 的面
反比例函数知识点总结
反比例函数的定义:
(1)判定一个函数为反比例函数的条件:
①所给等式是形如y=k
x或y=kx-1或xy=k的等式;
②比例系数k是常数,且k≠0.
(2)y是x的反比例函数⇔函数解析式为y=k
x或y=kx-1或xy=k (k为常数,k≠0).
求反比例函数的表达式,就是确定反比例函数表达式
y =k
x(k≠0)中常数k的值,它一般需经历:“设→代→求→还原”这四步.
即:(1)设:设出反比例函数表达式y=k
x(k≠0);
(2)代:将所给的数据代入函数表达式;
(3)求:求出k的值;
(4)还原:写出反比例函数的表达式.
要点分析:由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数k,因此求反比例函数的表达式只需一组对应值或一个条件即可
反比例函数图象
图象的画法:
(1)反比例函数的图象是双曲线;
(2)画反比例函数的图象要经过“列表、描点、连线”这三个步骤.
对称性:
双曲线既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形.
对称轴有两条,分别是直线y=x与直线y=-x;
对称中心是坐标原点,任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点,则这两个交点关于原点对称.
反比例函数的图象性质
反比例函数中k的几何性质:
过双曲线y=k
x(k≠0) 上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|;
过双曲线y=k
x(k≠0) 上任一点向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角形面积等于
2
1
|k|.。
反比例函数知识点总结归纳
反比例函数知识点总结归纳反比例函数知识点总结归纳反比例函数的表达式X是自变量,Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x(-1)(即:y等于x的负一次方,此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0,x≠0)假设y=k/nx此时比例系数为:k/n函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下,自变量x的'取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量,Y是X的函数,其定义域是不等于0的一实在数y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x(-1) y=kx(k为常数(k≠0),x不等于0)反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用所以,对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k的绝对值。
在解有关反比例函数的问题时,假设能灵敏运用反比例函数中k 的几何意义,会给解题带来很多方便。
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初三反比例函数知识点
初三反比例函数知识点反比例函数知识点概述一、反比例函数的定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0,x ≠ 0) 的函数,其中 k 为常数,称为比例常数,x 为自变量,y 为因变量。
二、反比例函数的图象1. 形状:反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 位置:当 k > 0 时,图象位于第一和第三象限;当 k < 0 0 时,图象位于第二和第四象限。
3. 对称性:反比例函数的图象关于原点对称。
三、反比例函数的性质1. 单调性:在每一象限内,随着 x 的增大,y 也增大;随着 x 的减小,y 也减小。
2. 无界性:当 x 趋向于 0 时,y 趋向于无穷大;当 x 趋向于无穷大时,y 趋向于 0。
3. 交点:反比例函数的图象不与 x 轴和 y 轴相交。
四、反比例函数的应用反比例函数常用于描述两个变量间的反比关系,如物理中的压力与体积的关系(波义耳定律),化学中的浓度与体积的关系等。
五、反比例函数的运算1. 复合函数:若有两个反比例函数 y = k1/x 和 w = k2/z,它们的复合函数为 v = (k1/x) / (k2/z) = (k1/k2) * z/x。
2. 反函数:反比例函数的反函数仍然是一个反比例函数,形式为 x =k/y。
六、反比例函数的图像变换1. 平移:若原函数为 y = k/x,将其向右平移 a 个单位,向上平移b 个单位,新函数为 y = k/(x-a) + b。
2. 伸缩:若原函数为 y = k/x,将其横向伸缩 m 倍,纵向伸缩 n 倍,新函数为 y = k/(m*x)。
七、反比例函数的极值问题反比例函数没有最大值和最小值,但可以通过求导数来分析函数的增减性。
八、反比例函数的积分与微分1. 微分:对于函数 y = k/x,其导数为 dy/dx = -k/x^2。
2. 积分:对于函数 y = k/x,其不定积分为∫(k/x)dx = k*ln|x| + C。
九、反比例函数的方程求解1. 解析解:通过交叉相乘法等代数方法求解。
反比例函数知识点归纳
反比例函数知识点归纳定义:形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x 是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。
函数y=k/x 称为反比例函数,其中k≠0,其中x是自变量,1.当k>0时,图象分别坐落于第一、三象限,同一个象限内,y随x的减小而增大;当k<0时,图象分别坐落于二、四象限,同一个象限内,y随x的减小而减小。
2.k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3.x的值域范围就是:x≠0;y的取值范围是:y≠0。
4..因为在y=k/x(k≠0)中,x无法为0,y也无法为0,所以反比例函数的图象不可能将与x轴平行,也不可能将与y轴平行。
但随着x无穷减小或是无穷增加,函数值无穷收敛于0,故图像无穷吻合于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
(k为常数,k≠0)的形式,那么表示y就是x的反比例函数。
其中,x是自变量,y是函数。
由于x在分母上,故取x≠0的一切实数,看函数y的取值范围,因为k≠0,且x≠0,所以函数值y也不可能为0。
补足表明:1.反比例函数的解析式又可以译成: (k就是常数,k≠0).2.要求出反比例函数的解析式,利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1。
⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的值域就是一切非零实数。
形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。
自变量x的值域范围就是不等同于0的一切实数。
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属奇函数,存有f(-x)=-f(x),图像关于原点等距。
第1章 反比例函数 知识点清单 最新最全
第1章反比例函数1.1反比例函数知识点1反比例函数的定义1.定义:一般地,如果两个变量y与x的关系可表示成y= k(k为常x数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.反比例函数的三种形式:①y=kx②y= kx -1,③xy=k (其中k为常数,k≠0)三种基本形式要牢记,这是识别反比例函数的关键特别提醒:①形如y= 1+1,(x+1)y=3,y=(x+1)-1等的函数都不是y关于x的反x比例函数.②反比例函数的表达式y= k中无论变量x, y怎样变化,k的值始终x等于x与y的乘积.若k=0,则y= k=0恒成立,为常数函数,失去了x反比例函数x, y成反比例的意义,所以k≠0.知识点2 反比例关系与反比例函数的关系1.如果两个量x,y满足xy=k(k为常数,k≠0),那么x,y就成反比例关系,这里的x和y既可以代表单项式,也可以代表多项式;当x,y只代表一次单项式时,x,y这两个量才成反比例函数关系.2.成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.示例:y= k(k为不等于0的常数),y与x²成反比例,x2但y不是关于x的反比例函数.3.反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分.示例解读( k为常数,k≠0);若y+2与x - 5成反比例,则y+2=kx − 5若y与x2成反比例,则y = k( k为常数, k≠0).x2知识点3求反比例函数表达式1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数y=k(k≠0)中只有一个待定系数,因此只需要一对x,y的对应值或图×象上一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其表达式.2 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤特别解读1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值,解一元一次方程.2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关(k为常数,k≠0).系”时,可直接设函数的表达式为y= kx1.2反比例函数的图象与性质知识点1 反比例函数的图象1.图象的画法(描点法):画实际问题中的反比例函数的图象时,要考虑自变量的取值范围,一般地,实际问题的图象是反比例函数图象,在第一象限内的一支或其中一部分.(1)列表:先取一些自变量的值,在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值,如1和-1,2和-2,3和-3等. 求y值时,只需计算原点一侧的函数值,另一侧的函数值可以随之得出.(2)描点:根据表中提供的数据,即点的坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点.(3)连线:用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸,注意双曲线的两支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交.2.图象的特点:(1)反比例函数y= k(k为常数,k≠0)的图象是双曲线.x(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限或第二、四象限.(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).示意图(如图1.2-1).y知识点2 反比例函数的性质反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况,如下表所示.特别提醒在描述反比例函数的增减性时,必须指明"在每个象限内"因为当k> 0(k<0)时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)的,而是函数在每个象限内,y随x的增大而减小(增大).知识点3 反比例函数y= kx(k≠0)中k 的几何性质1.矩形的面积如图所示,过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点p(x,y)分别作x轴,y轴的垂线PM,PN ,所得得矩形PMON得面积为S=PM ·PN =I y I·I x I,因为y= kx, 所以xy= k ,所以S =y=I k I,即过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点作x轴,y轴的垂线,所得得矩形面积为I k I.2.三角形的面积:如图1.2-3, 过双曲线y= kx(k≠0)上的任意一点E作EF垂直于y轴,垂足为F,连接EO,则S▲EOF= I k I2, 即过双曲线y= kx任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为I k I 2.因为y= kx( k≠0)中只有正、负之分,所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时,都要加上绝对值符号.1.3反比例函数的应用知识点1 建立反比例函数模型解实际问题1.在生活与生产中,如果某些问题的两个量成反比例关系,那么可以根据这种关系建立反比例函数模型,再利用反比例函数的有关知识解决实际问题.运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路:(1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系,设出相应的函数表达式,再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值;(2)已知反比例函数模型的表达式,运用反比例函数的图象及性质解决问题.2.建立反比例函数表达式常用的两种方法:(1)待定系数法:若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数,则设函数表达式为y=k,( k为常数,k≠0),再求出k的值;x(2)列方程法:若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确,通常列出关于两个变量的方程,通过变形得到反比例函数表达式 .3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤:(1)审:审清题意,找出题目中的常量、变量;(2)设:根据常量、变量间的关系,设出函数表达式,待定的系数用字母表示;(3)列:由题目中的已知条件列出方程,求出待定系数;(4)写:用函数的图象和性质去解决实际问题.。
反比例函数最全知识点
反比例函数最全知识点反比例函数是一种特殊的函数形式,它表示了一种两个变量之间的相互依赖关系。
在反比例函数中,当一个变量增大时,另一个变量会相应地减小,反之亦然。
本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质、图像变换、实际应用以及解决反比例函数问题的方法等知识点。
一、反比例函数的定义反比例函数可以表示为:y=k/x(k≠0),其中y表示因变量(通常是函数的输出值),x表示自变量(通常是函数的输入值),k表示常数。
该定义中的k称为反比例函数的常数项,它决定了反比例函数的性质,也决定了函数图像的形状。
二、反比例函数的图像特征1.零点:当x=0时,由于分母为0,函数无定义。
因此,反比例函数没有定义在x=0的点,这个点称为函数的零点。
2.渐近线:反比例函数有两条渐近线,分别是x轴和y轴。
当x趋近于无穷大或无穷小时,y趋近于0;当y趋近于无穷大或无穷小时,x趋近于0。
3.反比例函数的图像是一个双曲线,由于分母不能为0,因此函数的图像始终存在。
当x取值较小时,y的取值较大;当x取值较大时,y的取值较小。
图像的形状与常数项k相关,k越大,图像越接近于x轴和y 轴。
三、反比例函数的性质1.定义域:反比例函数的定义域为除去零点以外的实数集合。
2.值域:反比例函数的值域为除去0以外的实数集合。
3.奇偶性:反比例函数是个奇函数,即满足f(-x)=-f(x)。
4.单调性:反比例函数在定义域上是单调递减的。
5.对称轴:反比例函数的对称轴为y=x,即函数图像关于对称轴对称。
四、反比例函数的图像变换对反比例函数进行图像变换可以通过调整常数项k的值来实现。
具体变换如下:1.平移:当k保持不变时,反比例函数的图像向上平移或向下平移。
若向上平移b个单位,则为y=k/(x+b);若向下平移b个单位,则为y=k/(x-b)。
2.拉伸:当k保持不变时,反比例函数的图像可以进行纵向拉伸或纵向压缩。
若纵向拉伸为a倍,则为y=(k/a)/x;若纵向压缩为a倍,则为y=(a*k)/x。
初三反比例函数知识点
初三反比例函数知识点初三反比例函数知识点一一、反比例函数的表达式X是自变量,Y是X的函数y=k/x=k1/xxy=ky=kx^(-1)(即:y等于x的负一次方,此处X必须为一次方)y=k\x(k为常数且k0,x0)若y=k/nx此时比例系数为:k/n二、函数式中自变量取值的范围①k0;②在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量,Y是X的函数,其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k1/xxy=ky=kx^(-1)y=k\x(k为常数(k0),x不等于0)三、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola),反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K0)。
四、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k0),图像上一点P(x,y),作两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P点组成一个矩形,矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中,比例系数k有一个很重要的几何意义,那就是:过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PMPN=|y||x|=|xy|=|k|。
所以,对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k的绝对值。
在解有关反比例函数的问题时,若能灵活运用反比例函数中k的几何意义,会给解题带来很多方便。
五、反比例函数性质有哪些?1.当k0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k0时,函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时,函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。
反比例函数知识点归纳(重点)
(一)反比例函数的概念1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.(二)反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).(三)反比例函数及其图象的性质1.函数解析式:()2.自变量的取值范围:3.图象:(1)图象的形状:双曲线.越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大.(2)图象的位置和性质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.4.k的几何意义如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.图1 图25.说明:(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数1.求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析1.反比例函数的概念(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().A.y=3x B.C.3xy=1 D.(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().A.B.C.D.答案:(1)C;(2)A.2.图象和性质(1)已知函数是反比例函数,①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________.②若y随x的增大而减小,那么k=___________.(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().A.B.C.D.答案:(1)①②1;(2)一、三;(3)四;(4)C;(5)C;(6)B.3.函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则的值为().A.正数B.负数C.非正数D.非负数(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().A.<<B.<<C.<<D.<<(3)下列四个函数中:①;②;③;④.y随x的增大而减小的函数有().A.0个B.1个C.2个D.3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填“增大”或“减小”).答案:(1)A;(2)D;(3)B.注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小.4.解析式的确定(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P (x 0,3).①求x 0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.(5)为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________,自变量x 的取值范围是_______________;药物燃烧后y 关于x的函数关系式为_________________.②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室;③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?5.面积计算(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().A.B.C.D.第(1)题图第(2)题图(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则().A.S=1 B.1<S<2C.S=2 D.S>2(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.第(3)题图第(4)题图(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y 轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小.(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.第(5)题图第(6)题图(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,AB⊥x轴于B且S△ABO=.①求这两个函数的解析式;②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.(7)如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y 轴上,点B在函数(k>0,x>0)的图象上,点P (m,n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.①求B点坐标和k的值;②当时,求点P的坐标;③写出S关于m的函数关系式.6.综合应用(1)若函数y=k1x(k1≠0)和函数(k2 ≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().A.互为倒数B.符号相同C.绝对值相等D.符号相反(2)如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A(,1),B(1,n).①求反比例函数和一次函数的解析式;②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.(3)如图所示,已知一次函数(k≠0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.①求点A、B、D的坐标;②求一次函数和反比例函数的解析式.(4)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).①利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值;②双曲线上是否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(5)不解方程,判断下列方程解的个数.①;②.。
反比例函数常用知识点总结
反比例函数常用知识点总结一、反比例函数的定义反比例函数也叫做倒数函数,通常用y=k/x表示,其中k为非零常数。
这种函数的图像是一个双曲线,具有对称轴。
二、反比例函数的性质1. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域为x≠0,值域为y≠0。
2. 反比例函数的奇偶性反比例函数通常不具有奇偶性。
3. 反比例函数的单调性反比例函数在定义域内单调递减或递增。
4. 反比例函数的渐近线反比例函数的图像有两条渐近线,分别是x轴和y轴。
5. 反比例函数的对称性反比例函数的图像关于原点对称。
6. 反比例函数的零点和极限反比例函数有唯一的零点,即x=±√k。
当x→0时,y→±∞。
三、反比例函数的图像1. 反比例函数的基本图像反比例函数的基本图像是一个双曲线,具有对称轴。
2. 反比例函数的平移和缩放改变k的值可以使反比例函数的图像进行平移和缩放。
3. 反比例函数的特殊情况当k为正数时,反比例函数的图像在第一和第三象限。
当k为负数时,反比例函数的图像在第二和第四象限。
四、反比例函数的应用1. 反比例函数在物理学中的应用反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系,比如牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例函数。
2. 反比例函数在经济学中的应用反比例函数可以用来描述供求关系,比如需求曲线和供给曲线都是反比例函数。
3. 反比例函数在工程学中的应用反比例函数可以用来描述工程中的一些量与距离的关系,比如声音的传播距离与声音的强度之间的关系。
五、反比例函数的解题方法1. 求反比例函数的定义域和值域根据函数的定义,可以求出反比例函数的定义域和值域。
2. 求反比例函数的零点和极限根据函数的性质,可以求出反比例函数的零点和极限。
3. 求反比例函数的图像可以根据函数的性质和图形变换的知识,画出反比例函数的图像。
4. 求反比例函数的应用问题可以根据反比例函数在物理学、经济学和工程学中的应用问题,解决实际问题。
六、反比例函数的常见错误1. 关于定义域和值域的错误很多学生容易忽略反比例函数的定义域和值域,导致在解题过程中出现错误。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义一般地,形如xky =(k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数;⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式:①xky =(0k ≠),②1kx y -=(0k ≠), ③k y x =⋅(定值)(0k ≠);⑸函数xk y =(0k ≠)与y kx =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。
(k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,xky =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像与画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置与函数值的增减情况,如下表:反比例函数xky =(0k ≠)k 的符号0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠,y 的取值范围是0y ≠②当0k >时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结一、反比例函数定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0,x ≠ 0) 的函数,其中 k 为常数,称为比例常数,x 为自变量,y 为因变量。
二、图象特征1. 反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 当 k > 0 时,双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限。
3. 当 k < 0 时,双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限。
4. 双曲线的对称轴是 y 轴。
三、性质1. 反比例函数不是定义在全体实数上的函数,其定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
2. 反比例函数的值域为全体实数 R。
3. 反比例函数是奇函数,具有对称性,其对称中心为原点 (0, 0)。
4. 当 x 的值增大时,y 的值减小;当 x 的值减小时,y 的值增大。
5. 反比例函数没有渐近线,但当 x 趋向于 0 时,y 趋向于无穷大或负无穷大。
四、运算法则1. 反比例函数的加法法则:若 y1 = k1/x1,y2 = k2/x2,则 y1 + y2 = (k1x2 + k2x1) / (x1x2)。
2. 反比例函数的减法法则:若 y1 = k1/x1,y2 = k2/x2,则 y1 - y2 = (k1x2 - k2x1) / (x1x2)。
3. 反比例函数的乘法法则:若 y1 = k1/x1,y2 = k2/x2,则 y1 * y2 = (k1 * k2) / (x1 * x2)。
4. 反比例函数的除法法则:若 y1 = k1/x1,y2 = k2/x2,则 y1 /y2 = (k1 / k2) * (x2 / x1)。
五、实际应用反比例函数在物理学、经济学、生物学等领域有广泛的应用。
例如,在电路分析中,电流与电阻的关系可以由欧姆定律表示为 I = V/R,其中 V 为电压,I 为电流,R 为电阻,这可以看作是反比例函数的一个特例。
六、常见问题及解析1. 问题:如何确定反比例函数的定义域和值域?解析:反比例函数的定义域为除去 0 的所有实数,即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y = k/x(k 为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中,x 是自变量,y 是因变量。
因为 x 在分母上,所以自变量 x 的取值范围是x≠0。
例如,y = 3/x,y =-5/x 等都是反比例函数。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式:1、 y = k/x(k 为常数,k≠0)2、 xy = k(k 为常数,k≠0)3、 y = kx^(-1)(k 为常数,k≠0)这三种形式在本质上是相同的,只是形式上有所不同,我们可以根据具体的题目条件灵活选择使用。
三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。
当 k>0 时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小;当 k<0 时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
需要注意的是,反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交,因为自变量x≠0,函数值y≠0。
四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形。
对称轴有两条,分别是直线 y = x 和直线 y = x。
对称中心是坐标原点(0,0)。
2、增减性在每个象限内,当 k>0 时,y 随 x 的增大而减小;当 k<0 时,y 随 x 的增大而增大。
3、渐近线双曲线无限接近于 x 轴和 y 轴,但永远不会与它们相交。
五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y = k/x(k≠0)图象上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN,垂足为 M、N,则矩形 PMON 的面积 S = PM·PN =|y|·|x| =|xy| =|k|。
2、三角形面积若连接 PO,则三角形 POM 的面积 S = 1/2 |k| 。
六、反比例函数与一次函数的综合应用1、求交点坐标联立反比例函数和一次函数的解析式,组成方程组,解方程组即可得到交点坐标。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点归纳知识点1 反比例函数的定义反比例函数是指形如 y = k/x(k为常数,k≠0)的函数。
其中,自变量x的取值范围为x≠的一切实数,而函数值y的取值范围为y≠0.知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数只有一个待定系数k,因此只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,有两个分支,分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,与原点对称。
由于自变量x≠,函数值y≠,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点。
画反比例函数的图像应该先列表,再描点,最后用光滑的曲线连接。
知识点4 反比例函数的性质反比例函数的图像位置与函数值的增减情况与k的符号有关。
当k>0时,函数图像的两个分支分别在一、三象限,在每个象限内,y随着x的增大而减小;当k<0时,函数图像的两个分支分别在二、四象限,在每个象限内,y随着x的增大而增大。
反比例函数的图像位置和函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。
在每个象限内,当k>0时,y随x的增大而减小;当k0.反比例函数y=k/x中,k的几何意义可以通过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线,得到矩形OEPF的面积S=k=xy=x*y=PF*PE。
在反比例函数y=k/x中,k越大,双曲线y=k/x越小,离坐标原点越远;k越小,双曲线y=k/x越大,离坐标原点越近。
双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x和直线y=-x。
练题:1、反比例函数是y=k/x,其中k≠0.2、函数y1=kx和y2=1/2x的图象如下所示,自变量x的取值范围相同的是第四象限。
3、函数y=m/x和y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是第一象限和第三象限。
4、反比例函数y=k/x的图象的两个分支分别位于第一象限和第三象限。
初三反比例知识点总结数学
初三反比例知识点总结数学一、反比例的性质和规律1. 反比例函数的定义反比例函数是指一个变量的变化导致另一个变量的变化与之成反比的函数。
通常表示为y=k/x,其中k是常数。
2. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的曲线,即双曲线。
当x无限增大时,y趋于0;当x无限接近于0时,y趋于无穷大。
3. 反比例函数的性质(1)当x增大时,y减小;当x减小时,y增大。
(2)当x1>x2时,y1<y2;当x1<x2时,y1>y2。
4. 反比例函数与直线的关系反比例函数的图像在第一象限内有一条反比例函数的零点在原点的直线。
其斜率为常数k,而且直线关于原点对称。
二、反比例函数的应用1. 反比例函数在实际中的应用反比例函数在实际生活中有很多应用,比如说人均时间和工作效率、工程材料的数量和造价、飞机的飞行时间和速度、光合作用的速率和光照强度等。
这些都可以用反比例函数来表示并解决实际问题。
2. 反比例函数的解决问题在解决实际问题中,可以使用反比例函数来理解和分析问题,比如说通过反比例函数计算出两个变量之间的关系,由此得出一个变量的值;或者通过反比例函数的特性分析出两个变量之间的变化规律。
三、反比例函数的解析式与图像的绘制1. 反比例函数的解析式反比例函数的一般形式为y=k/x,其中k是比例系数。
在实际问题中,可以根据已知条件求出k,然后写出反比例函数的解析式。
2. 反比例函数的图像绘制绘制反比例函数的图像时,可以取三个以上的点,并将这些点连成光滑的曲线。
反比例函数的图像总是呈现出一种双曲线的形状,且与x轴和y轴都有渐近线。
四、反比例函数的解决问题1. 反比例函数的基本解法(1)一元一次反比例函数问题的解法:可以通过列方程,代入已知条件,解出未知量的值。
(2)一元二次反比例函数问题的解法:可以通过列方程,利用二次函数的解法来求得未知量的值。
2. 反比例函数问题的实例分析通过反比例函数的性质、规律,可以应用到各种实际问题中,比如有关时间、速度、数量、工作效率等各种问题。
反比例函数知识点
反比例函数知识点知识点l.反比例函数的概念一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x或y=kx-1(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的概念需注意以下几点:(1)k是常数,且k不为零;(2)k/x中分母x的指数为1,如y=kx-2不是反比例函数。
(3)自变量x的取值范围是x≠0一切实数.(4)自变量y的取值范围是y≠0一切实数。
知识点2.反比例函数的图象及性质反比例函数y=k/x的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。
它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交。
画反比例函数的图象时要注意的问题:(1)画反比例函数图象的方法是描点法;(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是k≠0,因此不能把两个分支连接起来。
(3)由于在反比例函数中,x和y的值都不能为0,所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴,但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的性质:y=k/x(k≠0)的变形形式为xy=k(常数)所以:(1)其图象的位置是:当k﹥0时,x、y同号,图象在第一、三象限;当k﹤0时,x、y异号,图象在第二、四象限。
(2)若点(m,n)在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上,则点(-m,-n)也在此图象上,故反比例函数的图象关于原点对称。
(3)当k﹥0时,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k﹤0时,在每个象限内,y随x的增大而增大;知识点3.反比例函数解析式的确定。
(1)反比例函数关系式的确定方法:待定系数法,由于在反比例函数关系式y=k/x(k≠0)中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。
因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标,代入y=k/x(k≠0)中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。
(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:①设所求的反比例函数为:y=k/x(k≠0);②根据已知条件,列出含k的方程;③解出待定系数k的值;④把k值代入函数关系式y=k/x(k≠0)中。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( ) A .反比例函数 B .正比例函数 C .一次函数 D .反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数,则m =________,解析式为________.题型二:反比例函数解析式例3 已知A (﹣1,m )与B (2,m ﹣3)是反比例函数图象上的两个点.则m 的值 .例4 已知y 与2x -3成反比例,且41=x 时,y =-2,求y 与x 的函数关系式.变式3已知y 与x 成反比例,当x =2时,y =3.(1)求y 与x 的函数关系式;(2)当y =-23时,求x 的值.变式4 已知函数12y y y =-,其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例,且当x =1时,y =1;x =3时,y =5.求:(1)求y 关于x 的函数解析式; (2)当x =2时,y 的值.1、反比例函数的图像(1)形状与位置:反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。
(2)变化趋势:由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质(1)对称性:反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形,同时也是轴对称图形,有两条对称轴,分别是一、三象限和二、四象限的角平分线,即直线y x =±。
(注:过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称)(2)双曲线的位置:当k>0时,双曲线位于一、三象限(x ,y 同号);当k<0时,双曲线位于二、四象限(x ,y 同号异号),反之也成立。
(3)增减性: 当k>0时,双曲线走下坡路,在同一象限内,y 随x 的增大而减小;当k<0时,双曲线走上坡路,在同一象限内,y 随x 的增大而增大。
反比例函数最全知识点
反比例函数的图象和性质知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念(1)定义:形如y=kx(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数.(2)形式:反比例函数有以下三种基本形式:①y=kx;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0)例:函数y=3x m+1,当m=-2时,则该函数是反比例函数.2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1)判断点是否在反比例函数图象上的方法:①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式;②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.失分点警示(2)反比例函数值大小的比较时,首先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,若不在则不能运用性质进行比较,可以画出草图,直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限(x、y同号)每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征(1)由两条曲线组成,叫做双曲线;(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交;(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.例:若(a,b)在反比例函数kyx=的图象上,则(-a,-b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是y=3/x.知识点二:反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义(1)意义:从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.(2)常见的面积类型:失分点警示已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0.例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积;②也要注意系数k的几何意义.例:如图所示,三个阴影部分的面积按。
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反比例函数知识点归纳
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题
一、基础知识
(一)反比例函数的概念
1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;
2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;
3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.
(二)反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).
(三)反比例函数及其图象的性质
1.函数解析式:()
2.自变量的取值范围:
3.图象:
则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.
图1
图2
5.说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个
分支分别讨论,不能一概而论.
(2)直线与双曲线的关系:
当时,两图象没有交点;当
时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数
1.求函数解析式的方法:
(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.
2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.
(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析
1.反比例函数的概念
(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.y=3x B.
C.3xy=1 D.
(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.B.C.D.
答案:(1)C;(2)A.
2.图象和性质
(1)已知函数是反比例函数,
①若它的图象在第二、四象限内,那么
k=___________.
②若y随x的增大而减小,那么
k=___________.
(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第
________象限.
(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.
(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,
则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比
例函数图象上的两点,
则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().
A.B.C.
D.
答案:(1)①②1;(2)一、三;(3)四;(4)C;(5)C;(6)B.
3.函数的增减性
(1)在反比例函数的图象上有两点
,,且,则的值为().
A.正数B.负数C.非
正数D.非负数
(2)在函数(a为常数)的图象上
有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().
A.<<B.<<
C.<<D.<<
(3)下列四个函数中:①;②;
③;④.
y随x的增大而减小的函数有().A.0个B.1个C.2个D.3个
(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而
(填“增大”或“减小”).
答案:(1)A;(2)D;(3)B.
注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小.
4.解析式的确定
(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().
A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定
(2)若正比例函数y=2x与反比例函数
的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.
(3)已知反比例函数的图象经过点
,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.
(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数
()的图象在第一象限内的交点为P (x 0,3).
①求x 0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.
(5)为了预防“非典”,某学校对教室采用
药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为
___________,自变量x 的取值范围是
_______________;药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________.
②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室;
③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
答案:(1)B;(2)4,8,(,);
(3)依题意,且,解得.
(4)①依题意,解得
②一次函数解析式为,反比例函数解析式为.
(5)①,,;
②30;③消毒时间为(分钟),所以消毒有效.
5.面积计算
(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().
A.B.
C.D.
第(1)题图
第(2)题图
(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则().
A.S=1 B.1<S<2
C.S=2 D.S>2
(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.
第(3)题图
第(4)题图
(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的
垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小.
(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.
第(5)题图
第(6)题图
(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,
AB⊥x轴于B且S△ABO=.
①求这两个函数的解析式;
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.
(7)如图,已知正方形OABC 的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在
x轴、y轴上,点B在函数(k>0,x>0)的图象上,点P (m,n)是函数(k>0,x >0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y 轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.
①求B点坐标和k的值;
②当时,求点P的坐标;
③写出S关于m的函数关系式.
答案:(1)D;(2)C;(3)6;
(4),,矩形O Q 1P1 R 1的周长为8,O Q 2P2 R 2的周长为,前者大.(5)1.
(6)①双曲线为,直线为;
②直线与两轴的交点分别为(0,)和(,0),且A(1,)和C(,1),
因此面积为4.
(7)①B(3,3),;
②时,E(6,0),;
③.
6.综合应用
(1)若函数y=k1x(k1≠0)和函数(k2 ≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().
A.互为倒数B.符号相同
C.绝对值相等D.符号相反
(2)如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A (,1),B(1,n).
①求反比例函数和一次函数的解析式;
②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
(3)如图所示,已知一次函数(k≠0)
的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.
①求点A、B、D的坐标;
②求一次函数和反比例函数的解析式.
(4)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD (O是坐标原点).
①利用图中条件,求反比例函数的解析式
和m的值;
②双曲线上是否存在一点P,使得△POC 和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(5)不解方程,判断下列方程解的个数.
①;②.
(2)①反比例函数为,一次函数为
;
②范围是或.
(3)①A(0,),B(0,1),D(1,0);
②一次函数为,反比例函数为
.
(4)①反比例函数为,;
②存在(2,2).
(5)①构造双曲线和直线,它们无交点,说明原方程无实数解;
②构造双曲线和直线,它们有两个交点,说明原方程有两个实数解.。