一元一次方程的等积变形问题课件
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一元一次方程的等积变形问题PPT课件
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是______r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2 __x） （_____0_._3_2_×)0.5
解：设水面将升高x米, 根据题意得 方程为：_____0_._5_2__x_=__0_.3_2_×__0._5 解这个方程：_____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_0__.1_8m。
V r 2h
V 1 r 2h
3
延伸 等 积 变 形
相等 体（面）积
周长
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个 长比宽长10米的长方形，问这个长方形的
长和宽各是多少米？
示图分析
100米
(X+10)
米ห้องสมุดไป่ตู้
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长 方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的 旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行 的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
所以仓库的长为:x+10=30+10=40米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
一元一次方程的等积变形问题
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子，可以消去分母，使方程化为一元一次方程。
通过这种方式，可以将方程中的某些项消去，简化方程。
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子
等积变形的步骤与技巧
#O3
识别等积变形的机会
观察方程 在解一元一次方程时，要时刻观察方程的形式，判断是否可以通过等积变形简化问题。 寻找等式两边的共同因子 如果等式两边有共同因子，可以通过提取共同因子简化方程。 寻找等式两边的同类项 如果等式两边有同类项，可以通过合并同类项简化方程。
03
重量不变问题
在称重过程中，当两个物体质量相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
01
体积不变问题
在容器中装有一定体积的水，将水倒入另一个容器，保持水的体积不变，可以通过等积变形来求解相关问题。
02
面积不变问题
在平面几何中，当两个相似图形面积相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
数学题目中的等积变形ຫໍສະໝຸດ 在解代数方程时，可以通过等积变形将方程转化为更易于解决的形式。
在几何图形中，可以通过等积变形将图形转化为更易于计算面积或体积的形式。
几何图形的等积变形
代数方程的等积变形
等积变形在解题中的应用
简化计算过程
通过等积变形可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而简化计算过程。
寻找未知数
在某些问题中，可以通过等积变形来寻找未知数，从而解决问题。
解决实际问题
在解决实际问题时，等积变形可以帮助我们更好地理解问题，并找到合适的解决方案。
等积变形的注意事项与挑战
#O5
等积变形的适用范围
等积变形适用于解一元一次方程时，当方程的解为分数或根号形式时，需要进行等积变形。
《一元一次方程的应用-等积问题》公开课教学PPT课件【初中数学人教版七年级上册】
一、导入新课
一、一元一次方程
只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程.
二、运用方程解决实际问题的一般步骤
1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系; 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示 ( 例如x) ; 3.列方程:根据相等关系列出方程; 4.解方程:求出未知数的值; 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案.
解：将下底缩短xm,则长方形的长是（60 －x), 由题意得：
（30+60） ×30 ÷2=1350
30（60 —x)=1350
解得：x=15
30m
30m
经检验：x=15是方程的解，且符合题意.
答：将下底由60m缩小到45m.将上底30m放大到45m.
60m
四、小结
运用一元一次方程解决等积问题
1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系; 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示 ( 例如x) ; 3.列方程:根据相等关系列出方程; 4.解方程:求出未知数的值; 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案.
再见
200 x
等量关系：圆柱体体积=长方体体积
解：设应截取的圆柱体钢长为x mm，根据题意得方程
3.14
200 2
2
x
300 300
90
解方程，得 x 258
.
30
300
0
90
经检验，x 258 是方程的解. 答：应截取258毫米长的圆柱体钢.
三、巩固练习
练习：把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不 变，则应将原梯形的上下底边作怎样的调整？
第三章 一元一次方程
华东师大版七年级数学下册第6章一元一次方程6.3.2等积变形问题教学课件(17张ppt))
故当小花圃才长为12米，宽为6米时，其面积最大，为72米2
解得x=5 经检验，符合题意。 因此，水箱的高度变成了5 m.
进行维修改造，为减少楼顶原有储水 箱的占地面积，需要将它的底面直径 由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变 的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
总结
本题用抓不变量法寻找等量关系．在解等积变形 问题的方程时，遇到π不要急于化为近似值3.14，若 方程的两边均含有π，可约去．
mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是( B )
A．1 200 mm
B.180 mm
C．120π mm
π D．120 mm
分析：设圆柱体的高为xmm,根据题意得： π×502x＝150×150×20
x
15001500 20 50 50π
180
x＝
π
3. 用直径为4 cm的圆柱形钢铸造3个直径为2 cm，
高为16 cm的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱
图形变化问题选做题：
学校建花坛余下24米长的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，建一 个一面砖墙、三面围栏的长方形小花圃(长边靠墙）。 （1）请你设计一下，使长比宽多3米，算一算这时的面积。 （2）请你再设法改变长与宽，扩大花圃的面积，并和其他同学比一比，看谁设 计的花圃面积最大。
解:(1)设这个长方形小花圃的宽为x米，则长为（x+3）米，
形钢？ 导引：此题中存在的等量关系为铸造前圆柱形钢的体积
＝铸造后3个圆柱形零件的体积之和．
解：设需要截取x cm长的圆柱形钢．由题意得：
解得x＝12π.g
4 2
2
gx＝3π×
2 2
2
×16，
经检验，符合题意
答：需要截取12 cm长的圆柱形钢．
解得x=5 经检验，符合题意。 因此，水箱的高度变成了5 m.
进行维修改造，为减少楼顶原有储水 箱的占地面积，需要将它的底面直径 由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变 的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
总结
本题用抓不变量法寻找等量关系．在解等积变形 问题的方程时，遇到π不要急于化为近似值3.14，若 方程的两边均含有π，可约去．
mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是( B )
A．1 200 mm
B.180 mm
C．120π mm
π D．120 mm
分析：设圆柱体的高为xmm,根据题意得： π×502x＝150×150×20
x
15001500 20 50 50π
180
x＝
π
3. 用直径为4 cm的圆柱形钢铸造3个直径为2 cm，
高为16 cm的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱
图形变化问题选做题：
学校建花坛余下24米长的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，建一 个一面砖墙、三面围栏的长方形小花圃(长边靠墙）。 （1）请你设计一下，使长比宽多3米，算一算这时的面积。 （2）请你再设法改变长与宽，扩大花圃的面积，并和其他同学比一比，看谁设 计的花圃面积最大。
解:(1)设这个长方形小花圃的宽为x米，则长为（x+3）米，
形钢？ 导引：此题中存在的等量关系为铸造前圆柱形钢的体积
＝铸造后3个圆柱形零件的体积之和．
解：设需要截取x cm长的圆柱形钢．由题意得：
解得x＝12π.g
4 2
2
gx＝3π×
2 2
2
×16，
经检验，符合题意
答：需要截取12 cm长的圆柱形钢．
一元一次方程经典讲义之等积变形
第四讲等积变形数字问题【基本数量关系】原料体积=成品体积数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c 均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
【典型例题】1.用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？2.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
3.一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π不需化成3.14）4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，十位与个位上的数字和是这个两位数的1/6，这两个数是多少？5.有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
【课堂精练】1.要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？2.某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？3.将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？4.一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米？5.有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？6.有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。
沪科版七年级数学上册 第三章 3.2 一元一次方程的应用 第1课时 等积变形和行程问题 上课课件
解 设x天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍， 根据题意，得 432 – 20x=2（96 – 4x） 解方程，得 x=20
答：20天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
3.甲、乙两地相距180km，一人骑自行车从 甲地出发每时行15km；另一人骑摩托车从乙地 同时出发，两人相向而行，已知摩托车车速是自 行车车速的3倍，问多少时间后两人相遇？
圆柱体体积=长方体体积
解 设应截取的圆柱体钢长为 x mm. 根据题意，得
3.14×
200
2
x =300×300×90
2
解方程，得 x≈258.
答：应截取约258mm长的圆柱体钢.
用方程解应用题的关键是什么？
列方程解应用题的关键就是审题，弄清 题意，分清类型，熟悉题中所用的数量关系； 找出题中已知量和未知量，明确它们之间的 关系，找出题中的变量和不变量，即等量关 系.
3.2 一元一次方程的应用
第1课时 等积变形和行程问题
沪科版 七年级数学上册
学习目标
【知识与技能】 1.通过一元一次方程解决实际问题，进一步体会方程这一数学模型的重要作用，增强数学的 应用意识. 2.掌握一元一次方程解应用题的一般步骤，能根据问题的意义，检验结果的合理性. 【过程与方法】 从学生熟悉的一元一次方程及一元一次方程的解法的基础上，引出利用一元一次方程解决实 际问题.通过各种师生活动加深学生对“列一元一次方程解应用题的一般步骤”的理解；让 学生在经历知识的获得过程中，体会数学模型思想.过程中还培养了学生的运算能力，提高了 教学效率. 【情感态度】 经历将数学问题实际化的过程，感受数学在生活中的应用，进一步体会方程模型的重要性. 【教学重点】 重点是掌握列一元一次方程解决实际问题. 【教学难点】 难点是灵活运用一元一次方程解等积变形和行程问题.
答：20天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
3.甲、乙两地相距180km，一人骑自行车从 甲地出发每时行15km；另一人骑摩托车从乙地 同时出发，两人相向而行，已知摩托车车速是自 行车车速的3倍，问多少时间后两人相遇？
圆柱体体积=长方体体积
解 设应截取的圆柱体钢长为 x mm. 根据题意，得
3.14×
200
2
x =300×300×90
2
解方程，得 x≈258.
答：应截取约258mm长的圆柱体钢.
用方程解应用题的关键是什么？
列方程解应用题的关键就是审题，弄清 题意，分清类型，熟悉题中所用的数量关系； 找出题中已知量和未知量，明确它们之间的 关系，找出题中的变量和不变量，即等量关 系.
3.2 一元一次方程的应用
第1课时 等积变形和行程问题
沪科版 七年级数学上册
学习目标
【知识与技能】 1.通过一元一次方程解决实际问题，进一步体会方程这一数学模型的重要作用，增强数学的 应用意识. 2.掌握一元一次方程解应用题的一般步骤，能根据问题的意义，检验结果的合理性. 【过程与方法】 从学生熟悉的一元一次方程及一元一次方程的解法的基础上，引出利用一元一次方程解决实 际问题.通过各种师生活动加深学生对“列一元一次方程解应用题的一般步骤”的理解；让 学生在经历知识的获得过程中，体会数学模型思想.过程中还培养了学生的运算能力，提高了 教学效率. 【情感态度】 经历将数学问题实际化的过程，感受数学在生活中的应用，进一步体会方程模型的重要性. 【教学重点】 重点是掌握列一元一次方程解决实际问题. 【教学难点】 难点是灵活运用一元一次方程解等积变形和行程问题.
浙教版七年级上册数学 5.4一元一次方程的应用2(等积变形)(共23张PPT)
4、请列出方程解答
有一个底面直径是20cm，高9cm的形圆柱， 工人叔叔要把它锻造成地面直径是10cm的形 圆柱，工人叔叔想知道锻造后的圆柱有多少 高？你能告诉他吗？
20cm
9cm
?cm
10cm
?cm
9cm
20cm
10cm
1、本题中有什么等量关系？
锻造前圆柱的体积=锻造后圆柱的体积
2、根据这个等量关系怎样列方程？
30m
60m
x 30m
30m
解：设长方形的长为x米，根据题意，得
30x=(30+60)×30÷2
解这个方程，得
x=45
60-45=15（米） 45-30=15（米）
答：应将梯形的上底边缩短15米，下底边延长15米。
1.一书架能放厚为6.3cm 的书45本.现在准备 放厚为2.1cm 的书,问能放这种书多少本?
解：形状改变，体积不变
做一做 若用一根长60cm的铁丝围成一个长方形
1、如果宽是长的 2 ， 求这个长方形的长和宽?(只
需列出方程)
3
题中有什么等量关系？
长方形的周长=铁丝的长度
x 解：设长为x
cm，则宽为
2 3
cm，根据题意，得
2
2(x+ x)=60
3
2、同样60厘米长的铁丝围成一个长方形，如果 宽比长少12厘米，求这个长方形的面积.
20cm
30cm
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
xcm
xห้องสมุดไป่ตู้
20cm
等积变形和行程问题ppt课件
七年级数学上〔HK〕 教学课件
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程的运用
第1课时 等积变形和行程问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目的
1.会用一元一次方程处理等积变形和行程问题. 〔重点、难点〕 2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程根据 的主要等量关系.(难点〕 3.掌握用一元一次方程处理实践问题的根本过程. (重点)
解方程，得 x=71.
答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.
例3 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站 开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出， 每小时行140千米．
(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而 行．问快车开出多少小时后两车相遇？
解：(1)设快车开出x小时后两车相遇．
根据题意，得 2(x+3)=2.5(x-3)
解方程，得 x=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时.
课堂小结
1.设未知数；
步
2.找等量关系 ；3.列方程；
直接设元
用一元一
ห้องสมุดไป่ตู้
骤
4.解方程；
简接设元
次方程处
5.检验作答.
理问题
等积变形：变形前后的
运
面〔体)积相等
用 行程问题：
路程=时间×平均速度
课堂小结
根据等量关系列出方程，得： 等积变形就是无论物体
怎样变化都存在一个等
（ 20） 2 0x300 300 90. 量关系，即物体变化前
2
后面积或体积不变
解方程，得： x25.8
答：应截取258mm长的圆柱体钢.
归纳总结
列方程解运用题的普通步骤： 1:弄清题意和题中数量关系，用字母〔如 x,y)表示问题中的未知数；
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程的运用
第1课时 等积变形和行程问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目的
1.会用一元一次方程处理等积变形和行程问题. 〔重点、难点〕 2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程根据 的主要等量关系.(难点〕 3.掌握用一元一次方程处理实践问题的根本过程. (重点)
解方程，得 x=71.
答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.
例3 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站 开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出， 每小时行140千米．
(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而 行．问快车开出多少小时后两车相遇？
解：(1)设快车开出x小时后两车相遇．
根据题意，得 2(x+3)=2.5(x-3)
解方程，得 x=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时.
课堂小结
1.设未知数；
步
2.找等量关系 ；3.列方程；
直接设元
用一元一
ห้องสมุดไป่ตู้
骤
4.解方程；
简接设元
次方程处
5.检验作答.
理问题
等积变形：变形前后的
运
面〔体)积相等
用 行程问题：
路程=时间×平均速度
课堂小结
根据等量关系列出方程，得： 等积变形就是无论物体
怎样变化都存在一个等
（ 20） 2 0x300 300 90. 量关系，即物体变化前
2
后面积或体积不变
解方程，得： x25.8
答：应截取258mm长的圆柱体钢.
归纳总结
列方程解运用题的普通步骤： 1:弄清题意和题中数量关系，用字母〔如 x,y)表示问题中的未知数；
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2（x+x+10 ）=100 2(2x+10)=100 4x=80 X=20
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为 30米，宽为20米.
.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
.
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40 米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
.
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积 =小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是 _____?_r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2_?_x） （______0._3_2_×)0.5 ?
解：设水面将升高 x米, 根据题意得 方程为： _____0_._5_2_?_x_=__0_.3_2_×__0_.5 ? 解这个方程： _____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_. _0_.1_8m 。
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等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短 Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
60m
30（60 —x)=1350
解得： x=15
经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根 15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。
解：形状改变，体. 积不变
例题学习
例1：用直径为200 毫米的圆柱体钢，锻造一个长、 宽、高分别为300 毫米、300 毫米和90 毫米的长方 体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢？（计算时
∏ ×52 ×36= ∏ ×102x
X=9
经检验:x=9 是方程的解，且符合题意。
答：高变成了9厘米。
.
……….
练
习
2.已知一圆柱形容器底面半径为 0.5m, 高线长为 1.5m, 里面盛有1m 深的水，将底面半径为 0.3m ， 高线长为0.5m 的圆柱形铁块沉入水中，问容器内 水面将升高多少 ?
——三、等积变形问题
.
常见图形周长及面积公式
名称
正方形 三角形
梯形
c
圆 平行四边形
图形
用字母表示公式
周长（C）
面积（S）
a C ? 4a S ? a 2
bh c a
C?a?b?c
S ? 1 ah 2
b h
d C? a?b?c?d
S ? 1 (a ? b)h 2
a
r
C ? 2?r S ? ?r 2
h b C ? 2?a ? b ? S ? ah
长和宽各是多少米？
.
示图分析
100米
(X+10)米
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长 方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的 旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行 的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
库的长和宽？
.
解：设长方形的宽X米. 根据题意得：
答：应截取圆柱体钢的长约为258毫米。
.
练
习
1.将一个底面直径为 10厘米，高为 36厘米的“瘦 长”形圆柱锻压成底面直径是 20厘米的“矮胖” 形圆柱，高变成了多少？
锻压
等量关系：变形前的体积 =变形后的体积
解:高变成了 x厘米，由题意得：
∏ ×52 ×36= ∏ ×. 102x
练
习
解:高变成了 x厘米，由题意得：
合作讨论
如图，有A,B 两个圆柱形容器，A容器的底面 积是B容器底面积的2倍，B容器的壁高为 22cm 。已知A 容器内装水的高度为10cm ，若 把这些水倒入B容器，水会溢出吗？
10cm
22cm
A
.
B
小结： 列方程解应用题的一般步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1 、审题： 分析题意，找出题中数量及其关系； 2 、设元： 选择一个适当的未知数用字母表示； 3、列方程：根据等量关系列出方程 . 4、解方程：求出未知数的值 . 5 、检验： 检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案 .
.
布置作业
1、全效B 2、课本P138—139
的7、8
.
?取3.14. 要求结果误差不超过1毫米）
200
x 90
圆柱体钢
300 300
. 长方体毛坯
分析题意，找出等量关系 ： 圆柱体钢体积 = 长方体毛坯体积
解：设应截取圆柱体钢长为x毫米，根据题意 可得：
3.14 ? ?? 200 ??2 x ? 300 ? 300 ? 90 ?2?
解得： x ? 258
a
.
名称
正方体 长方体 圆柱体 圆锥体
图形
a
c ab
h r
h r
常见图形的体积公式
用字母表示公式 体积（V）
V ? a3
V ? abc
V ? ?r 2h
V ? 1 ?r 2h
.
3
延伸 等 积 变 形
相等 体（面）积
周长
.
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个 长比宽长10米的长方形，问这个长方形的
答：将下底由 60m 缩小到45m. . 将上底30m 放大到45m.
体积的变形
.
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变， 体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
.
想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，
哪些量保持不变？ 1、把一小杯水倒入另一只大杯中；
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为 30米，宽为20米.
.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
.
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40 米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
.
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积 =小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是 _____?_r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2_?_x） （______0._3_2_×)0.5 ?
解：设水面将升高 x米, 根据题意得 方程为： _____0_._5_2_?_x_=__0_.3_2_×__0_.5 ? 解这个方程： _____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_. _0_.1_8m 。
.
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短 Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
60m
30（60 —x)=1350
解得： x=15
经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根 15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。
解：形状改变，体. 积不变
例题学习
例1：用直径为200 毫米的圆柱体钢，锻造一个长、 宽、高分别为300 毫米、300 毫米和90 毫米的长方 体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢？（计算时
∏ ×52 ×36= ∏ ×102x
X=9
经检验:x=9 是方程的解，且符合题意。
答：高变成了9厘米。
.
……….
练
习
2.已知一圆柱形容器底面半径为 0.5m, 高线长为 1.5m, 里面盛有1m 深的水，将底面半径为 0.3m ， 高线长为0.5m 的圆柱形铁块沉入水中，问容器内 水面将升高多少 ?
——三、等积变形问题
.
常见图形周长及面积公式
名称
正方形 三角形
梯形
c
圆 平行四边形
图形
用字母表示公式
周长（C）
面积（S）
a C ? 4a S ? a 2
bh c a
C?a?b?c
S ? 1 ah 2
b h
d C? a?b?c?d
S ? 1 (a ? b)h 2
a
r
C ? 2?r S ? ?r 2
h b C ? 2?a ? b ? S ? ah
长和宽各是多少米？
.
示图分析
100米
(X+10)米
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长 方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的 旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行 的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
库的长和宽？
.
解：设长方形的宽X米. 根据题意得：
答：应截取圆柱体钢的长约为258毫米。
.
练
习
1.将一个底面直径为 10厘米，高为 36厘米的“瘦 长”形圆柱锻压成底面直径是 20厘米的“矮胖” 形圆柱，高变成了多少？
锻压
等量关系：变形前的体积 =变形后的体积
解:高变成了 x厘米，由题意得：
∏ ×52 ×36= ∏ ×. 102x
练
习
解:高变成了 x厘米，由题意得：
合作讨论
如图，有A,B 两个圆柱形容器，A容器的底面 积是B容器底面积的2倍，B容器的壁高为 22cm 。已知A 容器内装水的高度为10cm ，若 把这些水倒入B容器，水会溢出吗？
10cm
22cm
A
.
B
小结： 列方程解应用题的一般步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1 、审题： 分析题意，找出题中数量及其关系； 2 、设元： 选择一个适当的未知数用字母表示； 3、列方程：根据等量关系列出方程 . 4、解方程：求出未知数的值 . 5 、检验： 检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案 .
.
布置作业
1、全效B 2、课本P138—139
的7、8
.
?取3.14. 要求结果误差不超过1毫米）
200
x 90
圆柱体钢
300 300
. 长方体毛坯
分析题意，找出等量关系 ： 圆柱体钢体积 = 长方体毛坯体积
解：设应截取圆柱体钢长为x毫米，根据题意 可得：
3.14 ? ?? 200 ??2 x ? 300 ? 300 ? 90 ?2?
解得： x ? 258
a
.
名称
正方体 长方体 圆柱体 圆锥体
图形
a
c ab
h r
h r
常见图形的体积公式
用字母表示公式 体积（V）
V ? a3
V ? abc
V ? ?r 2h
V ? 1 ?r 2h
.
3
延伸 等 积 变 形
相等 体（面）积
周长
.
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个 长比宽长10米的长方形，问这个长方形的
答：将下底由 60m 缩小到45m. . 将上底30m 放大到45m.
体积的变形
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要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变， 体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
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想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，
哪些量保持不变？ 1、把一小杯水倒入另一只大杯中；