2008中国数学奥林匹克解答

2008中国数学奥林匹克解答

第一天

1. 设锐角 △ABC 的三边长互不相等. O 为其外心, 点A '在线段AO 的延长线上, 使得 BA A CA A ''∠=∠. 过点A '分别作1A A AC '⊥, 2A A AB '⊥, 垂足分别为1A , 2A . 作A AH BC ⊥, 垂足为A H . 记△12A H A A 的外接圆半径为A R , 类似地可得B R , C R . 求证:

1112A B C R R R R

++=, 其中R 为△ABC 的外接圆半径.（熊斌提供）

证明 首先, 易知,,,A B O C '四点共圆.

事实上，作△BOC 的外接圆，设它与AO 相交于点P 不同于A '，则BPA BCO CBO CPA ∠=∠=∠=∠，于是，△PA C '≅△PA B '，可得A B A C ''=，故AB AC =，矛盾。

所以01802BCA BOA C ''∠=∠=-∠, 1A CA C '∠=∠.

22cos sin A H A AA A AA C AC AA '==∠=∠', 22

A A AH A AC

B π

'∠=∠=-∠. 所以△2A A AH ∽△A AC '. 同理, △1A A H A ∽△A BA '. 所以21,A A A H A ACA A H A ABA ''∠=∠∠=∠, 则

12212A A A A H A A H A A H A π∠=-∠-∠

2ACA ABA π''=-∠-∠

22A A A ππ⎛⎫

=∠+-∠=-∠ ⎪⎝⎭

.

所以,

121212

2sin 2sin A

A R

R R A A A R A A A H A ∠==∠2sin 2sin R A R

AA A AA ∠==''∠.

作AA ''⊥A C '，垂足为A ''，因为1ACA A CA C '''∠=∠=∠，所以A AA AH ''=，于是

()02sin cos cos sin 90ABC A A S AH AH AA AA AA C A a A

A ''

'=

===

'∠∠∠-∠,

故

()1cos cos 11cot cot sin sin A ABC a A A B C R S R B C R

∠∠===-∠∠∠∠, 同理,

()111cot cot B C A R R =-∠∠, ()111cot cot C A B R R

=-∠∠, 注意到 cot cot cot cot cot cot 2A B B C C A ∠∠+∠∠+∠∠=,

所以

1112

A B C R R R R

++=. 2. 给定整数3n ≥. 证明: 集合{}21,2,3,,X n n =-能写成两个不相交的非

空子集的并, 使得每一个子集均不包含n 个元素1212,,,,n n a a a a a a <<

<, 满

足11

2

k k k a a a -++≤

, 2,,1k n =-.（冷岗松提供）

证明 定义{}{}22221,

,,1,,k k S k k k T k k k =-+=++, 1,2,

,1k n =-.

令1

1

n k k S S -==

, 1

1

n k k T T -==

. 下面证明,S T 即为满足题目要求的两个子集.

首先, S T =∅, 且S T X =.

其次, 如果S 中存在n 个元素1212,,

,,,n n a a a a a a <<

< 满足

11

2

k k k a a a -++≤

, 2,,1k n =-.

则

11,2,

, 1.k k k k a a a a k n -+-≤-=- (*)

不妨设1i a S ∈. 由于1n S n -<, 故1i n <-. 12,,

,n a a a 这n 个数中至少有

i n S n i -=-个在11i n S S +-中. 根据抽屉原理, 必有某个()j S i j n <<中含有

其中至少两个数, 设最小的一个为k a , 则1,k k j a a S +∈, 而11

1k j a S S --∈. 于

是111k k j a a S j +-≤-=-, 111k k j a a T j ---≥+=.所以11k k k k a a a a +--<-, 与(*)矛盾.

故S 中不存在n 个元素满足题中假设.

同理, T 中亦不存在这样的n 个元素. 这表明,S T 即为满足题中要求的两个子集.

3. 给定正整数n , 及实数1212,,n n x x x y y y ≤≤

≤≥≥≥ 满足

1

1

n

n

i i

i i ix iy

===∑∑.

证明: 对任意实数α, 有

[][]1

1

n n

i

i

i i x i y i αα==≥∑∑.

这里, []β表示不超过实数β的最大整数.（朱华伟提供）

证明1 我们先证明一个引理, 对任意实数x 和正整数n , 有

[][]1

1

1

.2

n i n i n αα-=-≤

∑ 引理证明 只需要将[][][]()i n i n ααα+-≤对1,2,

,1i n =-求和即得.

回到原题, 我们采用归纳法对n 进行归纳, 当1n =时显然正确.

假设n k =时原命题成立, 考虑1n k =+. 令1122

,i i k i i k a x x b y y k k ++=+=+, 其

中1,2,

,.i k = 显然我们有12,k a a a ≤≤

≤ 12k b b b ≥≥

≥, 并且通过计算得知

1

1

k

k

i

i

i i ia ib

===∑∑, 由归纳假设知

[][]1

1

k

k

i

i

i i a i b i αα==≥∑∑.

又11k k x y ++≥, 否则若

11k k x y ++<, 则121121k k x x x y y y ++≤≤≤<≤≤≤,

111

1

k k i

i

i i ix iy

++===∑∑, 矛盾.

从而

[][]1

11k k

i i i i x i a i αα+==-∑∑()[]1121k k i x k i k αα+=⎧⎫

=+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭

∑ ()[][][]111

1

1

21,

k k i k k

i i i i y k i k y i b i αααα+=+==⎧⎫

≥+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭=-∑∑∑ 由此可得[][]11

1

1

k k i i i i x i y i αα++==≥∑∑. 由归纳法知原命题对任意正整数n 均成立.

证明2 记i i i z x y =-, 则120n z z z ≤≤≤

≤且10n

i i iz ==∑, 只需要证明