代数式的认识与应用

第15讲 代数式的认识及应用

第1部分 重难点分析、知识图解

1.学习目标：理解并掌握代数式的有关概念，进一步理解用字母表示数的意义；能说出代数式所表示的数量关系，并能解释一些简单代数式的实际背景和几何意义；理解代数式与代数式之间的关系，能在具体的情境中求出代数值的值。

重难点分析：灵活运用代数式的有关概念及意义解决实际问题 2.知识图解：

代数式的定义 用运算符号把数和字母表示数的字母连接而成的式子

代数 代数式的意义列代数式 用字母和数表示实际问题中的数量关系 式 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式 代数式的值 中运算关系计算出的数值叫做代数式的值

第2部分 教材详解

知识点一、代数式的定义

用运算符号把数和字母表示数的字母连接而成的式子

注意：a.代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； b.含有等号或不等号的式子不是代数式； c.单独的一个数或一个字母也是代数式。 例1 （1）在1，a ，a ＋b ，

2

x ，x 2y ＋xy 2

，3>2，3＋2＝5中，代数式有( )。 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 （2）下列式子中，是代数式的有（ ）。 a 3

；2x ；S=πr 2

；x=2；m>n ；5；x-y 。

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个 （3）指出下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①

32x+1； ②ab=ba ；③3；④n ；⑤[-(-6)]2

；⑥S=4m ；⑦32>3

1；⑧x-y 是代数式的有： ；不是代数式的有： 。

知识点二、列代数式

列代数式时，首先要弄清楚题目中的数量关系运算关系的词，如和、差、积、商等，其次要分清运算顺序，遵循“先读先写，后读后写”的原则。

注意：a.列代数式的实质就是把文字语言转化为数学语言，即用代数式表示。 b.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数。 c.代数式中出现除法运算时，一律写成分数的形式。 例2 用代数式表示下列各题：

（1）a ，b 两数的平方和减去它们乘积的2倍； （2）a ，b 两数的和的平方减去它们的差的平方； （3）a ，b 两数的和与它们的差的乘积； （4）用字母表示n 不是奇数和偶数； （5）y 与7的和乘以x ； （6）a 与b 的差的平方的

3

1； （7）农贸市场某天黄瓜的价格为a 元/千克，西红柿的价格为b 元/千克，买了3千克黄瓜和2千克西红柿用的钱数是多少？ 知识点三、代数式的意义

解释代数式的意义时，一般有两种情况：

a.实际背景。如3a 可解释为：葡萄的价格为3元/千克，买3千克葡萄需要3a 元。

b.几何意义。如3a 可解释为：等边三角形的边长为a ，这个等边三角形的周长为3a 。 注意：根据具体问题情境灵活选择解释代数式实际意义的方法，但一定要做到合情合理。

例3 （1）说出下列代数式的意义：

① 代数式 2a 2

-3 的意义是： ； ② 代数式 4（x-y)3

的意义是： 。 ③ 代数式 a 2

-b 2

的意义是： 。

（2）对代数式 4a2作合理的解释是： （写出实际意义）。 知识点四、求代数式的值

概念：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中运算关系计算出的数值叫做代数式的值。

注意：a.代数式的求解方法是用具体数值代替代数式中字母，然后按照代数式指明的运算顺序计算出结果。

b.代数式的值是由字母的取值和代数式中的运算关系共同决定的。

c.在代入数值时，代数式中省略的“×”要还原，并且代入的数值是分数或负数时，还要根据具体情况适当添加括号。

例4 （1）当a=8，b=4时，代数式b 2

（a-

a

1

）的值为（ ）。 A.62 B.63 C.126 D.1022 （2）当a=12

1,b=0.5时，代数式12a 2-（a+b ）·（a 2+b 2

)的值是多少？

（3）当a=21,b=-3

1时，代数式2a 2+6ab+3b 2

的值是多少？

知识点五、代数式在实际问题中的应用

例5 （1）如图所示，某水渠的横断面为梯形，如果水渠的上口宽为a 米，水渠的下口宽为b 米，深为h 米，完成下面两个小题： a

①请你用代数式表示这个水渠横断面的面积； h ②当a=3,b=1时，水渠的横断面的面积是多少平方米？

B

（2）某种商品的销售价是在进价的基础上加一定的利润确定的，现有某种商品的销售数量x 与售价的关系如下表所示，请你根据表中提供的信息，列出售价y 与x 的关系，并求

（3）某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，需要购买行李票。用y （元）表示行李费，x （千克）表示行李的质量，那么y=5

1

x-6，回答下列各题：

①若一个人托运40千克行李，则需要支付的行李费多少元？ ②问旅客最多可免费携带行李多少千克？

技巧1 巧用“的”字列代数式

“的”字的作用是：一方面能帮组分清题目的层次；另一方面能帮助你分清各层次的数量关系。

例1 （1）根据下列条件列出代数式： ①a 与b 的和的31是多少？ ②a 与b 的3

1

的和是多少？

（2）关于代数式a+2b 的叙述正确的是（ ）。 A.a 与b 的和的2倍； B.a 与2的和的b 倍； C.a 与2b 的和； D.a 加上2与b 的和。

技巧2 代数式求值问题中的“添加”与“对号”问题

a.省略的“×”应该添上，当字幕的取值是负值或底数是分数的乘方时要适当添加括号等。

b.代数式中字母较多时，要“对号入座”，防止“张冠李带”。 例2 （1）当a =2

1、b=4、c=-5时，代数式8a 3

+6bc-2abc 的值是多少？

（2）已知x=4

1

，y=-2，则代数式5x-(4y-3x)+2y 的值是多少？

技巧3 巧用整体思想求代数式的值

注意：当将字母的值直接代入不能求出代数式的值时，一定要从“整体代入”的思想上考虑求值。

例3 （1）已知代数式（x+y)m 3

-9，且m=2时，这个代数式的值是7，那么当m=-2时，这个代数式的值是多少？

（2）已知代数式2x 2

+3x+7的值为8，试求代数式4x 2

+6x-9的值。

（3）已知代数式mx 5

+nx 3

+px-4，当x=2时，此代数式的值为5，则x=2时，这个代数式的值是多少？