1992-2016年南京大学627数学分析考研真题及答案解析-汇编
1992考研数一真题及答案解析
(1) 已知 P( A) P(B) P(C) 1 , P( AB) 0 , P( AC) P(BC) 1 ,则事件 A 、 B 、
4
16
C 全不发生的概率为___________.
(2) 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 E( X e2X ) ___________.
2
2
2
【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：
函数 f (x) 在区间[l, l] 上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有
限个极值点.则 f (x) 在[l, l] 上的傅里叶级数收敛,而且
a0
2
(an
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cos
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x bn
sin
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x)
f (x),
1 2
f
(x
dy dx
y
e x y e x y
y sin(xy ) x sin(xy )
.
【相关知识点】1.复合函数求导法则：
如果 u g(x) 在点 x 可导,而 y f (x) 在点 u g(x) 可导,则复合函数 y f g(x)
在点 x 可导,且其导数为 dy f (u) g(x) 或 dx
面 z a2 x2 y2 的上侧.
六、(本题满分 7 分)
设 f (x) 0 , f (0) 0 ,证明对任何 x1 0, x2 0 ,有 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
七、(本题满分 8 分)
在变力 F yzi zxj xyk 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
1 4t 3t3 0 ,解得 t 1,t 1 .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 3
南京大学数学分析
南京大学1992年数学分析试题一、定0a ，0a ≠k π（k ∈Z ）,设1+n a =sin n a (n=0,1,2,…).1) 求∞→n lim n a ；2）求lim ∞→n 21nna . 二、设f(x) ∈]1,0[C ,在}0{\)1,1(- 内可微，且)0(+'f 及)0(-'f 存在有限,而数列}{},{n n b a满足条件,101<<<<-n n b a 且∞→n lim n a =∞→n lim n b =0，求证存在子序列}{},{k k n n b a 及正数p,q,p+q=1,使∞→n lim )0()0()()(-+'+'=--f q f p a b a f b f k k k k n n n n三、设)(x f 在]1,1[-上（R ）可积，令⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=01,10,)1()(x e x x x nx n n 当当ϕ 1） 证明函数)()(x x f n ϕ在]1,1[-上（R ）可积；2） 又若)(x f 在x=0还是连续的，求证∞→n lim⎰-=11)0()()(2f dx x x f n n ϕ 四、证明⎰∑∞=+-=1011)1(n n n x n dx x . 五、试以u 为因变量，ηξ,为自变量，对方程y z xz ∂∂=∂∂22 进行变量代换z y x y u yy x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==4exp ,1,2ηξ. 六、已知⎰∞+-=0212πdx e x ，求()⎰+∞->00cos 2a bxdx e ax 之值. 七、计算()()()⎰⎰++++++++=Sdxdy b a z dzdx a c y dydz c b x I 222，其中S 为半球面 ()()()c z R c z b y a x ≥=-+-+-,2222的上侧.八、设)(),(),(t t t p ψϕ是区间],[b a 上的连续函数，)(),(t t ψϕ单调增加，0)(>t p ，试证1）⎰⎰⎰⎰⋅≤⋅b a ba b a ba dt t t t p dt t p dt t t p dt t t p ;)()()()()()()()(ψϕψϕ 2）若0)(,)(],[>∈t F C t Fb a 且单调减少，证明⎰⎰⎰⎰≤b a b a ba b a dtt F dt t F dt t tF dtt F t )()]([)()]([22 （2005年5月27日sciphi 输入）。
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程ecos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu =_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限 (A)等于2 (B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(nn a n ∞=--∑常数0)a > (A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0 (B)1 (C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰ 四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值. 八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】sin()sin()x y x y e y xy e x xy ++---【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得(1)sin()()0x yey xy xy y +''+++=.解出y ',即sin()sin()x y x y dy e y xy y dx e x xy ++-'==--.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(2)【答案】{}21,2,29- 【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有2222u x x x y z ∂=∂++；2222u y y x y z ∂=∂++；2222u z z x y z∂=∂++. 由函数的梯度(向量)的定义,有{}2221,,2,2,2u u u gradu x y z x y z x y z⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂++⎩⎭, 所以 {}{}222122,4,41,2,212(2)9Mgradu=-=-++-. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】212π【解析】x π=是[,]ππ-区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x π=处收敛于22111[(0)(0)][11]222f f ππππ-++-=-++=. 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数()f x 在区间[,]l l -上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则()f x 在[,]l l -上的傅里叶级数收敛,而且01(cos sin )2n n n a n n a x b x l lππ∞=++∑[][] (), (,)()1(0)(0), (,)()21(0)(0), .2f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l ⎧⎪∈-⎪⎪=++-∈-⎨⎪⎪-++-=±⎪⎩若为的连续点,若为的第一类间断点,若 (4)【答案】cos cos ,y x x C x C =+为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan 1|cos |xdxe x ⎰=,方程两边同乘1cos x,得 111cos cos y y x C xx '⎛⎫=⇒=+⎪⎝⎭积分.故通解为cos cos ,y x x C x C =+为任意常数. (5)【答案】1【解析】因为矩阵A 中任何两行都成比例(第i 行与第j 行的比为ija a ),所以A 中的二阶子式全为0,又因0,0i i ab ≠≠,知道110a b ≠,A 中有一阶子式非零.故()1r A =.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r 阶子式不为零,而所有的1r +阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r .二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在需要判定左极限0x x -→和右极限0x x +→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的.11211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-, 11211111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++--→→-=+=∞-, 0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111cos()2n n n-→+∞,22(1)(1cos )1cos()2nn n nn ααα --=-→+∞,又因为p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. 所以有 22112n n α∞=∑收敛. 1(1)(1cos )n n n α∞=⇒-- ∑收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：对于正项级数1n n a ∞=∑,确定无穷小n a 关于1n的阶(即与p 级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的t 值.求曲线上的点,使该点处的切向量τ与平面24x y z ++=的法向量{}1,2,1n =垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量{}{}2(),(),()1,2,3x t y t z t t t τ'''==-,0n n ττ⊥ ⇔⋅=,即31430t t -+=,解得 11,3t t ==.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B). (4)【答案】(C)【解析】因33x 处处任意阶可导,只需考查2||()x x x ϕ,它是分段函数,0x =是连接点.所以,写成分段函数的形式,有33,0,(), 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对分段函数在对应区间上求微分,223,0,()3, 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪'⇒=⎨>⎪⎩再考查()x ϕ在连接点0x =处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.30(0)()0x x ϕ++=''==,30(0)()0(0)0x x ϕϕ--='''=-=⇒=,即 223,0,()3, 0.x x x x x ϕ⎧-≤⎪'=⎨>⎪⎩同理可得 6,0,()6, 0,x x x x x ϕ-<⎧''=⎨>⎩ (0)0ϕ''=,即 6,0()6||6, 0x x x x x x ϕ-≤⎧''==⎨>⎩.对于y x =有(0)1,(0) 1.y y +-''==- 所以y x =在0x =不可导,(0)ϕ'''⇒不存在,应选(C). (5)【答案】(A)【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax =两个线性无关的解,故()2n r A -≥.由3n =知()1r A ≤.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα=,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++=那么, 0Ax =有非零解 12n ,,,ααα⇔线性相关()12n r ,,,n ααα⇔< ()r A n.⇔<三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】由等价无穷小有0x →时,22111()22xx --=, 原式=0021sin lim 12x x x x e xx →→--=, 上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cos sin limlim 1x x x x e x e x x →→-+洛必达洛必达1011+==. (2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx∂∂,再求()z y x ∂∂∂∂.由复合函数求导法则得221212(sin )()sin 2x x z f e y f x y f e y f x x x x∂∂∂''''=++=⋅+⋅∂∂∂, 212(sin 2)x z f e y f x x y y∂∂''=+∂∂∂ 111212122(cos 2)sin cos (cos 2)2x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x '''''''''=++++ 21112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y '''''''=⋅+⋅++⋅+⋅. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()310121110(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段01301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭四、(本题满分6分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程223(1)(3)0r r r r +-=-+=有两个根为11,r =23r =-,而非齐次项2,3x e r αα=-=为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解3xY x ae -=⋅,代入方程可得14a =-,故所求通解为33124xxx xy C e C ee --=+-,其中12,C C 为常数. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.五、(本题满分8分) 【解析】将原式表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂. 以考虑用高斯公式来求解,但曲面∑不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S z x y a =+≤,法向量朝下,S 与∑围成区域Ω,S 与∑取Ω的外法向量.在Ω上用高斯公式得323232222()()()3()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV Ω++++++=++⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求右端的三重积分得222222203()3sin ax y z dV d d d ππθϕϕρρρΩ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰455201632sin 32155ad d a a ππϕϕρρππ=⨯=⨯⨯⨯=⎰⎰.注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面积分为SPdydzdx Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰2200(,,0)xySSD R x y dxdy ay dxdy a y dxdy =++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2220sin aa d r rdr πθθ=-⋅⎰⎰ (极坐标变换)422350sin 44aa a d r dr a a ππθθπ=-=-⨯⨯=-⎰⎰.因此 5556295420I a a a πππ=+=. 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中ϕ为向量与z 轴正向的夹角,0ϕπ≤≤；θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线段的角,02θπ≤≤；r 为向量的模长,0r ≤<+∞.球面坐标系中的体积元素为2sin ,dv r drd d ϕϕθ=则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin .f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题满分7分)【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-. 在1[0,]x 上用中值定理,有111()(0)(),0f x f f x x ξξ'-=<<；在212[,]x x x +上用中值定理,又有1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+ 由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,即1212()()()f x x f x f x +<+.证法二：用函数不等式来证明.要证11()()(),0f x x f x f x x +<+>,构造辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+.由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>. 由此,11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.改x 为2x 即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点(,,)M ξηζ时所作的功W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则LLW F ds yzdx zxdy xydz =⋅=++⎰⎰.(2)计算曲线积分：L 的参数方程是 ,,,x t y t z t ξηζ===t 从0到1,1122220()3W t t t dt t dt ηζξξζηξηζξηζξηζ⇒=⋅+⋅+⋅==⎰⎰.化为最值问题并求解：问题变成求W ξηζ=在条件2222221(0,0,0)a b c ξηζξηζ++=≥≥≥下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222(,,,)1F a b c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭,则有22222222220,20,20,10.FaF b F c F abcξηζλξηξζληζξηλγξηζλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,ξηζ得222222,abcξηζ==(0λ≠时)代入第四个方程得,,ξηζ===. 相应的W ==.当0λ=时相应的,,ξηζ得 0W =. 因为实际问题存在最大值,所以当(,,)ξηγ=时W. 【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.八、(本题满分7分)【解析】(1) 1α能由23αα、线性表出.因为已知向量组234ααα、、线性无关,所以23αα、线性无关,又因为123ααα、、线性相关,故1α能由23αα、线性表出. (2) 4α不能由123ααα、、线性表出,反证法：若4α能由123ααα、、线性表出,设 4112233k k k αααα=++. 由(1)知, 1α能由23αα、线性表出,可设11223l l ααα=+,那么代入上式整理得411221233()()k l k k l k ααα=+++.即4α能由23αα、线性表出,从而234ααα、、线性相关,这与已知矛盾. 因此,4α不能由123ααα、、线性表出.【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．九、(本题满分7分)【解析】(1)设112233x x x βξξξ=++,即是求此方程组的解.对增广矩阵123(,,,)ξξξβ作初等行变换,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以()3-加到第三行上,第三行自乘12,有 111111111111123101200120149303820011 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 第三行乘以()2-、()1-分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以()1-加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1 ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭.解出31x =,22x =-,12x =,故12322βξξξ=-+.(2) 由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘A ,得22()()A A A A A ααλαλαλα====,再一直这样操作下去,有n n A αλα=.因为0α≠,故0λ≠.按特征值定义知nλ是n A 的特征值,且α为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)n ni i i i i i A A i ξλξξλξ===,据(1)结论12322βξξξ=-+,有123123(22)22A A A A A βξξξξξξ=-+=-+,于是 123123112233(22)2222n n n n n n n nA A A A A βξξξξξξλξλξλξ=-+=-+=-+121322231112122233223149223n nn n n n n n +++++⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)【解析】由条件概率和乘法公式：从()0P AB =,可知()()(|)P ABC P AB P AB C =0=, 由加法公式：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+1111150044416168=++---+=, 故 3()()1()8P ABC P AB C P A B C ==-=.(2)【解析】依题意,随机变量X 服从参数为1λ=的指数分布,故X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x -⎧ >=⎨ ≤⎩根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出2220()()()()Xxx x E X ex ef x dx x e e dx +∞+∞-----∞+=+=+⎰⎰3014133xx xe dx e dx +∞+∞--=+=+=⎰⎰.十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2(,)XN μσ,所以X的密度函数为22()()x X f x μσ--=,因Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y 的密度函数为11()()2Y f y πππ==--.因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)()()X Y f x y f x f y =.要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤(,)x y zf x y dxdy +≤=⎰⎰()()X Y x y zf x f y dxdy +≤=⎰⎰22()12x x y zdxdy μσπ--+≤=⎰⎰.2222()()1122x x z yz ydy dx dy dx μμππσσππππ--------∞--∞==⎰⎰⎰⎰12z y dy ππμπσ---⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰(由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z 的密度函数为11()()2Z Z z y f z F z dy ππμϕπσσ---⎛⎫'==⎪⎝⎭⎰ 其中()x ϕ 是标准正态分布的概率分布密度.由于()x ϕ 是偶函数,故有z y y z μμϕϕσσ--+-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 111()22Z y z z z f z dy ππμπμπμϕπσσπσσ-+-⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度. 方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Z f z 更为简单. 因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式1()()()2Z X Y f z f z y f y dy π+∞-∞=-⎰2222()()1122z y z y dy dy μμππσσππππ--------==⎰⎰22()12y z dy μπσππ+---=⎰12y z dy ππμπσ-+-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰ 112y z dy ππμϕπσσ-+-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 12z z πμπμπσσ⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.。
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2016南京大学心理学考研626综合真题解析及南京大学心理学考研参考书目
2016南京大学心理学考研学硕自主命题626真题解析南京大学虽然早已自主命题，但是题型分布还是和统考一样，分值比例是没有变化。
南大的分值比较基础，重心放在普通心理学上，所以目标是南大的17年的考生，一定要把基础夯实了才可以。
除了普通心理学这一科，实验、统计、测量这三大难点也是实力相当，并且是结合出题，所以对这几科头疼的考生更不能小觑他们的地位。
南大指定的教材里有一本是《心理学与生活》，考自这本书里的题主要是临床、治疗、发展心理学，《心理学与生活》这本书几乎是涵盖了所有的心理学的学科，那么学习这本教材的时候就要一视同仁，莫要含糊过去。
题目分析及复习策略虽然现在南大还是以统考的题型比例为准，但是现在自命题越来越多，保不齐哪年的考纲就变化了。
通过今年的考试自命题的变化就能感受的到，现在题型和考纲命题是变幻莫测的。
针对题型，井老师先讲一下复习重点和策略。
1、选择题南大是分了单项选择和多项选择，可以看到，单项选择题普通心理的比重占了一半还多，说明南大还是非常注重心理学的基础，比如说：记忆、气质、性格、思维、情绪等等，考察的知识点都是比较基础，比较详细的。
那么有些学生就说了，那么我把普通心理学好好复习就行了呗。
是这个道理但也不绝对，普通心理学是考察的比较基础的知识点，那么也就说明，你要把普通心理学复习的融会贯通，并且不留死角才可以。
那么想了想400多页的课本是不是也有点头疼了？其实，普通心理学是复习专业课万变不离其宗的根本，所以17年的考生是务必要重视的。
选择题中统计和实验的比重也是不小的，那么在复习过程中一定要注重细节。
对于概念性的知识点是一定要弄懂而不是似是而非，不然考试的时候就是他认识你，你不认识他了。
2、简答题简答题大家可以看看分布图，除了测量心理学，但凡是涉及到概念性知识点的科目都是出了一道题的，也就是在提醒大家，复习要均衡，不要有侥幸心理。
当然，简答题的难度也是大家比较关注的，今年在《心理学与生活》是出了一道发展心理学的必考题：皮亚杰的认知发展阶段理论，是不是恍然大悟，哦，不难呢，那么在复习的时候，你是否会觉得他过于简单而绕过他了呢？对于统计这一科，简单是出了一道统计效力的题，所以在统计的复习过程中不单单是要复习计算公式，概念性的考点也是值得大家关注的；其实在统计复习过程中，需要大家识记的概念性知识点也就那么几个，在复习的时候整理一下可能出现主观题的知识点分布，就是能够避开这种尴尬了。
1992考研数学试题全及答案
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定, 则dx dy =xyx e e xy y y x yx sin sin --++. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu ={}9/2,2,12-(3) 设21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则其以2π为周期的傅里叶级数在点π=x 处收敛于 22π. (4) 微分方程x x y y cos tan =+'的通解为x c x y cos )(+=.(5) 设A=111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,0i i a b ≠≠,(1,2,,i n = )，则矩阵A 的秩r(A)= 1 . 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 当x 1→时，函数 112--x x e 11-x 的极限 （D ）(A) 等于2 (B) 等于0. (C) 为∞. (D) 不存在但不为∞.(2) 级数∑∞=--1)cos 1()1(n nnα(常数)0>α (C)(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 收敛性与α有关. (3) 在曲线32,,t z t y t x =-==的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线 (B)(A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在(4) [92-1、2] 设32()3,f x x x x =+ 则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为 (C)(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(5) 要使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110,20121ξξ都是线性方程组AX=0的解, 只要系数矩阵A 为 (A)(A) []112- ； (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110102 ；(C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--110201 ；(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11224110 三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分) (1) 求.111sin lim2xx e x x ----→解：原式2102sin 1lim x x e x x→--=……2分 0cos limx x e xx →-= ……4分 1=.……5分(2) 设22(sin ,)xz f e y x y =+, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求 yx z∂∂∂2.解：12sin 2x ze yf xf x ∂''=+∂……2分 221112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x zf e y y e y y x y f xyf f e y x y∂'''''''=++++∂∂.……5分 (3) 设()f x =21,0,0x x x e x -⎧+≤⎨>⎩ ，求⎰-31)2(dx x f .解：令2x t -=，则原式11()f t dt -⎰=……2分 01210(1)t t dt e dt --=++⎰⎰……4分 713e=- ……5分四、(本题满分6分)求微分方程x e y y y 332-=-'+''的通解.解：对应齐次方程的通解为：312x x y c e c e -=+ ，其中12,c c 为任意常数. ……3分设原方程的一个特解为*3x y Axe -=，代入原方程得14A =-，所以*314x y xe -=- ……5分 所求通解为331214xxx y c e c exe --=+-. ……6分五、(本题满分8分) 计算面积分⎰⎰∑+++++,)()()(232323dxdy ay z dzdx ax y dydz az x其中∑为上半球面z =222y x a --的上侧．解：记S 为平面2220()z x y a =+≤的下侧，Ω∑为与S 所围成的空间区域，则 原式323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰ 323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰ ……2分 22222223()x y a x y z dxdydz ay dxdy Ω+≤=+++⎰⎰⎰⎰⎰……4分22423203sin sin a ad d d a d r dr πππθϕϕρρθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰……6分 55561295420a a a πππ=+=. ……8分六、(本题满分7分)设,0)0(,0)(=<''f x f 证明: 对任何x ,0,021>>x 有)()()(2121x f x f x x f +<+. 证：由微分中值定理，有11111()(0)(),(0)f x f x f x ξξ'-=<<122122212()()(),()f x x f x x f x x x ξξ'+-=<<+.……2分 不妨设12x x <，则有12ξξ<.……4分 由于()0f x ''<，知()f x '单调减少，故21()()f f ξξ''<， 而10x >，所以1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-， ……6分 由1212(0)0()()()f f x x f x f x =+<+即得，.……7分七、(本题满分8分)在变力→→→→++=k xy j zx i yz F 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面1222222=++cz b y a x 上第一卦限的点M(),,ζηξ，问当ζηξ,,取何值时，力→F 所作的功W 最大? 并求出W 的最大值.解：直线段:,,,01OM x t y t z t t ξηζ===从到，……1分 OMW yzdx zxdy xydz =++⎰……2分 1203t dt ξηζξηζ==⎰.……4分222222W 1(0,0,0)abcξηζξηζξηζ=++=≥≥≥下面求在条件下的最大值.222222F(,,)(1)a b c ξηζξηζξηζλ=+---令, ……5分由00F 0F F ξηζ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩，得2222,2,2,a b c ληζξλξζηλξηζ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩……6分2222222222221,,3abcabc ξηζξηζ=====从而即得,,333ξηζ===于是得. ……7分 由问题的实际意义知max 3W =. ……8分八、(本题满分7分)设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα，问： (1) 1α能否由32,αα线性表出？证明你的结论. (2) 4α能否由321,,ααα线性表出？证明你的结论.解：(1) 1α能由32,αα线性表出.……1分 因为已知432,,ααα线性无关，所以32,αα线性无关. ……3分 又因为321,,ααα线性相关，故证得1α能由32,αα线性表出.……4分 (2) 4α不能由321,,ααα线性表出.……5分用反证法.假设4α可由321,,ααα线性表出，即4231312αλααλλα++=. 又由(1)知，12233l l ααα=+，故代入上式得421223133()()l l αλλαλλα=+++. 即4α可由23,αα表出，从而432,,ααα线性相关，这和已知矛盾. 因此，4α不能由321,,ααα线性表出.……7分 九、(本题满分7分)设三阶矩阵A 的特征值为,3,2,1321===λλλ对应的特征值向量依次为.931,421,111321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξξξ 又向量.311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=β(1) 将β用321,,ξξξ线性表出；(2) 求A n n (β为自然数).(1) 解：设112233x x x βξξξ=++，……1分 则由111111111111123101200120149303820022⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分得唯一解(2,2,1)-，故12322βξξξ=-+.……3分 (2) 解一：123(22)n n βξξξ=-+A A……4分 由于,(1,2,3)n ni i i i i ii ξλξξλξ===A A ，……5分 故1231122332222n n n n n n n βξξξλξλξλξ=-+=-+A A A A……6分121321112232122233223149223n nn n n n n n +++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……7分 解二：因1100020003P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中123[,,]P ξξξ=. ……4分故1100020003A P P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11100100020020003003nn n n A P P P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……5分所以112132100111100222302012302022230031490031223n nn nn n n n n n n A P P ββ+-++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪==-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……7分 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分) (1) 已知P (A )=P (B )=P (C )=41,P (AB )=0,P (A C )=P (BC )=161,则事件A ，B ，C 全不发生的概率为3/8(2) 设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望E {}=+-Xe X 24/3.十一、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 独立，X 服从正态分布N(2,σμ)，Y 服从[,]ππ-上的均匀分布， 试求Z =X +Y 的概率分布密度. (计算结果用标准正态分布函数)(x Φ表示，其中)21)(22dt ex xt ⎰∞--=Φπ..解：由题设，X 和Y 的概率分布密度为22()2(),2x X f x x μσπσ--=-∞<<+∞； 1()20Y y f y πππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. ……2分因X 和Y 独立，故可用卷积公式. 考虑到()Y f y 仅在[,]ππ-上才有非零值，所以Z 的概率分布密度为()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰22()222z y edy μπσπππσ----=.……4分令z y t μσ--=，则22()22z t z Z f z edt πμσπμσππ+----=⎰……5分 12z y z y μμπσσ⎡+---⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ……6分数 学（试卷二）一、二、【 同数学一 第一、二题 】三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分) (1) 【 同数学一 第三、（1）题 】 (2) 【 同数学一 第三、（2）题 】(3) 设矩阵X 满足AX + I = A 2+ X, 其中I 为三阶单位阵，又已知101020101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求出矩阵X .解：由题设有2()A I X A I -=-，即()()()A I X A I A I -=-+……2分 因A I -=001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭可逆.……3分故1()()()X A I A I A I A I -=--+=+=201030102⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.……5分四、(本题共3小题，每小题6分，满分18分) (1) 【 同数学一 第四、（1）题 】(2) 求220()()x d x t f t dt dx-⎰，其中()f t 为已知的连续函数. 解：原式222()()x x xf t dt tf t dt '-⎰⎰=[]……3分 2222202()()2()2x x f t dt x f x x x f x x +⋅-⋅⎰= ……5分 22()x x f t dt =⎰.……6分(3) 计算dx e dy dx e dy y yxy yxy ⎰⎰⎰⎰+121212141.解：原式=y xD e dxdy ⎰⎰2112y xxxdx e dy ⎰⎰= ……3分11231()82x x e e dx e e =-=⎰ ……6分五~九、【 同数学一 第五~九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设 ⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π，其中f 可导且0)0(≠'f ，则0=t dx dy= 3 .(2) 函数2cos y x x =+在区间[]2/,0π上的最大值为6/3π+ .(3) =---→x e x xx cos 11lim 20 0 . (4) =+⎰∞+12)1(x x dx 1ln 22. (5) 由曲线xy xe =与直线y ex =所围成的图形的面积S =12e-. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 0→x 时，sin x x -是2x 的 （B ）(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 设⎩⎨⎧>+≤=.0,,0,)(22x x x x x x f ，则 (D)(A) ⎩⎨⎧>+-≤-=-.0),(,0,)(22x x x x x x f (B) ⎩⎨⎧≥-<+-=-.0,,0),()(22x x x x x x f (C) ⎩⎨⎧>-≤=-.0,,0,)(22x x x x x x f (D) ⎩⎨⎧≥<-=-.0,,0,)(22x x x x x x f(3) 【 同数学一 第二、（1）题 】 (4) 设()f x 连续，F (x) =dt t f x )(22⎰,则)(x F '等于 (C)(A) ).(4x f (B) )(42x f x (C) ).(24x xf (D) )(22x xf(5) 若)(x f 的导数是sin x ，则)(x f 有一个原函数为 (B)(A) 1sin x +. (B) 1sin x -. (C) 1cos x +. (D) 1cos x - 三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)(1) 求 21)63(lim -∞→++x x xx解：原式123lim(1)6x x x-→∞-=++……1分 3(1)62(6)33lim[(1)]6x x x x x--+-+→∞-=++ ……3分 32e -=.……5分(2) 设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22=x dx yd 的值.解：在方程两边对x 求导得''0y y y e xe y --=，……1分 在上式两边再对x 求导得2'''('''')0y y y y y e y e y xe y xe y --++=， ……3分由题设知1x =时1y =，代入上面两式解得2'(0),''(0)2y e y e ==.即22022x d y e x =∣=∂. ……5分(3) 求.123dx xx ⎰+ 解：原式222(1)21d x x ++=……1分 2221(1(1)21x d x x =+++⎰ ……3分 3122221(1)(1)3x x c =+-++ . ……5分(4) 求.sin 10dx x ⎰-π解：原式20(sin cos )22x xdx π-⎛⎜⎠=……1分 0sin cos 22x xdx π=-⎰ ……3分 202(cos sin )(sin cos )2222x x x xdx dx πππ=-+-⎰⎰ ……4分 2022[sin cos ]2[cos sin ]4(21)2222x x x x πππ=+-+=.……5分(5) 求微分方程 02)(3=--xdy dx x y 的通解.解：原方程可化为2122x y y x '-=-，……1分这是一阶线性方程，其通解为11222(())2dxdxx x x y ee dx C -⎰⎰=-+⎰.……3分 即521()5y x x C =-+.315y x x =.……5分四、(本题满分9分) 【 同数学一 第三、（3）题 】 五、(本题满分9分)求微分方程x xe y y y =+'-''23的通解. 解：原方程的特征方程为2320r r -+=, ……1分其根为121,2r r ==，于是对应齐次方程的通解为21212,(,)x x y C e C e C C =+为任意常数.……3分由于1λ=是特征方程的单根，故可设原方程的一个特解为：*()x y x ax b e =+， ……5分将其代入原方程得22ax a b x -+-=，解得1,12a b =-=-. ……7分所以2*()2xx y x e =-+，从而所求通解为2212()2x x x x y C e C e x e =+-+. ……9分六、(本题满分9分)计算曲线2ln(1)y x =-上相应于021≤≤x 的一段弧的长度. 解：12201'S y dx =+……2分 122221()1x dx x -=+-……4分 1222011x dx x +=-⎰ ……5分 12011(1)11dx x x =+-+-⎰ ……7分1201[ln(1)ln(1)]ln 32x x x =+---=-.……9分七、(本题满分9分) 求曲线y x =l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小.解：因2y x'=,故y x t t （）处切线l 的方程为)2y t x t t-. ……2分即2ty t=.于是 2042()[(]32t S t x x dx t t t==⎰ 312211'()22S t t t --=-+. ……5分 令'()0S t =，得驻点1t =.……7分由于''10S >（），故1t =时，S 取最小值，此时，l 的方程为122x y =+. ……9分八、(本题满分9分)【 同数学一 第六题 分值不同 】数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设商品的需求函数为Q = 100 - 5P, 其中Q, P 分别表示需求量和价格, 如果商品需求弹性 的绝对值大于1, 则商品价格的取值范围是 (10，20 ] .(2) 级数 ∑∞=-124)2(n nnn x 的收敛域为 ( 0, 4 ) . (3) 交换积分次序⎰⎰-=1022),(ydx y x f dy y⎰⎰⎰⎰-+1212022),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx .(4) 设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且,A a =,B b =C =00A B⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 =C abmn )1(-(5) 将C,C,E,,E,I,N,S 等七个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为1/1260.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设F(x)=⎰-xa dt t f ax x ,)(2其中f(x)为连续函数,则)(lim x F a x →等于 (B) (A) 2a . (B) )(2a f a . (C) 0 . (D) 不存在.(2) 当x 0→时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量? (D)(A) 2x . (B) x c o s1- (C) .112--x (D) x x t a n- (3) 设A 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组AX = 0仅有零解的充分条件是 (A)(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关(4) 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则 (B)(A) P (C )≤ P (A )+P (B )-1 (B) P (C )≥P (A )+P (B )-1(C) P (C ) = P (AB ) (D) ()()P C P A B = (5) 设n 个随机变量12,,,n X X X 独立同分布，21σ=DX ,11ni i X X n ==∑, ∑=--=ni i X X n S 122)(11,则 (C) (A) S 是σ的无偏估计量 (B) S 是σ的最大似然估计量 (C) S 是σ的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立.三、(本题满分5分)设函数()f x =ln cos(1),11sin 21,1x x x x π-⎧≠⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩若若，问函数()f x 在1x =处是否连续? 若不连续，修改函数在1x =处的定义，使之连续．解：因为111sin(1)ln cos(1)cos(1)lim ()lim lim 1sin cos222x x x x x x f x x xπππ→→→----==--……1分12(1)limcos2x tg x x ππ→-=2112cos (1)lim sin 22x x x πππ→-=- ……2分24π=-.……3分 而(1)1f =，故1lim ()(1)x f x f →≠. 所以函数在1x =处不连续……4分 若令24(1)f π=-，则函数在1x =处连续.……5分四、(本题满分5分)计算I=dx ee arc xx⎰cot . 解：x x I arcctge de -=-⎰……1分 21xxxxxe e arctge e dx e -=--+⎰ ……2分 21x x xdxe arctge e=--+⎰ ……3分 22(1)1x x xxe e arcctge dx e -=---+⎰ ……4分 21ln(1)2x x x e arcctge x e C -=--+++.……5分五、(本题满分5分)设sin()(,)xz xy x yϕ=+，求2z x y ∂∂∂. 其中),(νϕu 有二阶偏导数.解：记,x u x v y ==，有1cos()u v z y xy x yϕϕ∂=++∂ ……2分于是222211cos()sin()()()()uv v vv z x x xy xy xy x y y y y yϕϕϕ∂=-+-+-+-∂∂2231cos()sin()uv v vv x xxy xy xy y y yϕϕϕ=----.……5分六、(本题满分5分)求连续函数)(x f , 使它满足.)(2)(02⎰=+xx dt t f x f解：两边求导，得'()2()2f x f x x +=. ……1分记()2,()2P x Q x x ==，有通解()()()[()]p x dx p x dxf x e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……2分 22(2)x x e xe dx C -=+⎰……3分 2x Ce x -=+-12. ……4分由原方程易见(0)0f =，故1C 2=，从而所求函数211()22x f x e x -=+-. ……5分七、(本题满分6分)求证:当1x ≥时, 212arccos 214x arctgx x π-=+. 证：令212()arccos 214x f x arctgx x π=--+， ……1分则22222222112(1)4()12(1)41(1)x x f x x x xx +-'=+++-+2222221112(1)0(1)121(1)x x x x x x +-=+⋅⋅≡>+-+. ……3分 因为()f x 在[1,)+∞连续，所以()f x 在[1,)+∞上为常数，故 ……4分 ()(1)0f x f ==.……5分 212arccos 214x arctgx x π-=+即. ……6分八、(本题满分9分) 设曲线方程为(0)x y e x -=≥.(1) 把曲线x y e -=、x 轴、y 轴和直线(0)x ξξ=>所围平面图形绕x 轴旋转一周, 得一旋转体，求此旋转体体积()V ξ；并求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a . (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.解：(1) 222200()(1)22x x V y dx e dx e e ξξξξππξππ---===-∣=-⎰⎰.……2分 于是lim ()2V ξπξ→+∞=，2()(1)2a V a e π-=-……3分故由1()lim ()2V a V ξξ→+∞=，有224a ππ-（1-e ）=.由此可见1ln 22a =……4分 (2) 设切点为,e αα-()，则切线方程为()y e e x ααα---=-- ……5分令0x =，得(1)y e αα-=+；令0y =，得1x α=+，故切线与坐标轴所夹面积21(1)2S e αα-=+ ……6分于是221111'(1)(1)(1)()(1)2222S e e e e ααααααααα----=+-+=+-=-， ……7分令'S ＝0，得121,1αα==-，其中2α应舍去.由于当1α<时，S'>0；当1α>时，S'0<，故当1α=时，面积S 有极大值，即最大值.此时，所求切点为1(1,)e -，最大面积2111S=222e e --⋅=. ……9分九、(本题满分7分)设矩阵A 与B 相似，其中20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， (1) 求x 和y 的值；(2) 求可逆矩阵P,使得P .1B AP =-解：(1) 因为~A B ，故其特征多项式相同，即||||I A I B λλ-=-， ……1分 亦即2(2)[(1)(2)](1)(2)()x x y λλλλλλ+-++-≡+--.……2分 令0λ=，得2(2)2x y -=，即2y x =-；令1λ=，得2y =-，即0x =；……4分(2) 由(1)知，200100202020311002A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，.对应于A 和B 共同的特征值1,2,2--的特征向量为123(0,2,1),(0,1,1),(1,0,1)T T T ξξξ=-==- ……6分则可逆矩阵001210111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，满足1.P AP B -=……7分十、(本题满分6分)已知三阶矩阵0B ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ，(1) 求λ的值； (2) 证明 .0=B解：(1) 因0B ≠，故B 中至少有一个非零列向量. 依题意，所给齐次线性方程组有非零解，故必有系数行列式||A =122210311λ--=-. ……2分由此可得1λ=.……3分 (2) 因B 的每一列向量都是原方程组的解，故有0AB =. ……4分因此由0A ≠必有||0B =. 事实上，倘若不然，设||0B ≠，则B 可逆. 故在0AB =两边右乘1B -，得0A =，这与条件矛盾，可见必有||0B =.……6分十一、(本题满分6分)设,A B 分别为m ，n 阶正定矩阵,试判定分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B AC 00是否正定矩阵. 解：设m n +维列向量(,)T T T Z X Y =,其中1212(,,,),(,,,)T T m m m m n X x x x Y y y y +++== .若0Z ≠，则,X Y 不同时为0.不妨设0X ≠，因A 是正定矩阵，所以0TX AX >. ……3分 又因为B 是正定矩阵，故对任意n 维向量Y ，有0TY BY ≥.……4分 于是有0()00T T T T TA X Z CZ X Y X AX Y BYB Y ⎡⎤⎡⎤==+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ……6分又显然C 是对称阵，故C 是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差X ～N (0,210),试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量 误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有 效数字λ1 2 3 4 5 6 7 λ-e0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001解：设p 为每次测量误差的绝对值大于19.6的概率，则 ||19.6||{||19.6} 1.960.05101010X X p P X P P ⎧⎧⎫⎫=>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎭⎭⎩⎩. ……3分又记μ为100次独立重复测量中事件}{||19.6X >出现的次数，知μ服从参数为100n =，0.05p =的二项分布，故所求概率为{3}1{3}P P αμμ=≥=-<100999821009910.951000.950.050.950.052⨯=--⨯⨯-⨯⨯. ……5分由泊松定理，知μ近似服从参数为1000.055np λ==⨯=的泊松分布，故21(1)2e λλαλ-≈-++10.00718.50.87=-⨯≈.……7分十三、(本题满分5分)一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和 0.30. 假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调的部件数，试求X 的数学期望EX 和方差DX.解一：设i A ={第i 个部件需要调整}，1,i=1,2,30i i i A X A ⎧=⎨⎩若出现；（），若不出现； ……1分易见()()[1()]i i i i i EX P A DX P A P A ==-；，……2分 123X X X X =++，……3分 因此，由123,,X X X 独立，可见0.10.20.30.6EX =++=，……4分 0.10.90.20.80.30.70.46DX =⨯+⨯+⨯=.……5分解二：【 见数学五 第十四题 分值不同 】 十四、(本题满分4分)设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-它其00),(y x e y x f y ，求：(1) 求随机变量X 的密度)(x f X ； (2) 概率{}1≤+Y X P .解：(1) ,0()(,)00y x x X e dy e x f x f x y dy x +∞--+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰.……2分(2) {}112011(,)xy xx y P X Y f x y dxdy dx e dy --+≤+≤==⎰⎰⎰⎰……3分11(1)122[]12x xee dx e e-----=--=+-⎰. ……4分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设xx t x t x t t f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→lim )(,则=')(t f 2(21)t e t +. (2) 【 同数学四 第一、（1）题 】(3) 设2()sin ,[()]1f x x f x x ϕ==-，则2()arcsin(1)x x ϕ=-(4) 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111111111111111A 的非零特征值是 4 . (5) 设对于事件A,B,C,有P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=81，则A,B,C 三个事件中至少出现一个的概率为 5 / 8 .二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、（1）题 】(2) 当x 0→时，下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量? (D)(A) 2x . (B) x c o s1- (C) .112--x (D) s i n x x -(3) 设A, B, A+B, A11--+B 均为n 阶可逆矩阵, 则(A 111)---+B 等于 (C)(A) A11--+B (B) A + B (C) A(A + B)1-B (D) (A + B)1-(4) 设12,,,m ααα 均为n 维向量，那么下列结论正确的是 (B)(A) 若 11220m m k k k ααα+++= ，则12,,,m ααα 线性相关.(B) 若对任意一组不全为零的数1,2,,m k k k ，都有11220m m k k k ααα+++≠ ，则12,,,m ααα 线性无关.(C) 若12,,,m ααα 线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ，都有11220m m k k k ααα+++= .(D) 若120000m ααα+++= ，则12,,,m ααα 线性无关.(5) 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则 (D)(A) P (C ) = P (AB ) (B) ()()P C P A B = (C) P(C)≤P(A)+P(B)-1 (D) P(C)≥P(A)+P(B)-1三、(本题满分5分) 求极限1ln cos(1)lim1sin2x x xπ→--.解：11sin(1)ln cos(1)cos(1)lim lim 1sin cos222x x x x x x xπππ→→----=--……2分12(1)limcos2x tg x x ππ→-= ……3分212sec (1)limsin 22x x xπππ→-=- ……4分24π=-.……5分四、(本题满分5分)【 同数学四 第四题 】 五、(本题满分6分) 求连续函数()f x ,使它满足⎰+=1.sin )()(x x x f dt tx f解：令tx u =，则原式变为01()()sin xf u du f x x x x =+⎰，……2分即20()()sin xf u du xf x x x =+⎰两边求导数，得2()()'()2sin cos f x f x xf x x x x x =+++ 即'()2sin cos f x x x x =-- ……3分 积分，得()2cos sin f x x xd x =-⎰……4分2cos sin sin 2cos sin cos x x x xdx x x x x C =-+=--+⎰cos sin x x x C =-+.……5分六、(本题满分5分)【 同数学四 第五题 】 七、(本题满分6分)设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x 时的边际成本函数为240203MC x x =--+， 边际收入函数为3210MR x =+，试求：(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.解：(1) 总成本函数223010(40203)104010xC x x dx x x x =+--+=--+⎰. ……1分总收入函数20(3210)325xR x dx x x =+=+⎰，……2分总利润函数22323(325)(104010)107215R C x x x x x x x x π=-=+---+=-++- ……3分(2) 由2,402033210MC MR x x x =--+=+知，2330720x x --=……4分 1212,2()x x ==-于是舍去……5分2'72303,''306;x x x ππ=+-=-由于112''0,(0,+)x ππ=∣<∞在内只有一个极大值点.可见，当产量为12时,总利润最大.……6分八、(本题满分6分)求证：方程0cos =++x q p x 恰有一个实根，其中,p q 为常数，且01q <<． 证明：令()cos f x x p q x =++，……1分由lim ()x f x →+∞=+∞，知存在b ，使()0f b >；又由lim ()x f x →-∞=-∞，知存在a ，使()0f a <；故由介值定理可见，()0f x =在[,]a b 至少存在一个实根.……3分又因为()1sin 0f x q x '=->，故()f x 在(,)-∞+∞内单调，所以()0f x =在(,)-∞+∞内 至多有一个实根. 综上所述，cos 0x p q x ++=恰有一个实根……6分九、(本题满分8分) 给定曲线21x y =， (1) 求曲线在横坐标为0x 的点处的切线方程； (2) 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度. 解：(1) 因曲线上横坐标为0x 点为0201(,)x x ，故曲线在该点切线的斜率为0302x x y x ='∣=-……2分 所以过此点的切线方程为：0230012()y x x x x -=--.……3分(2) 设所求点的横坐标为0x ，则过此点的切线方程如（1）所求，由此可得切线在x 轴与y 轴的截距分别为02033,2X x Y x == ……4分 设切线被坐标轴所截线段长度为l ，则222220044009919()44x l X Y x x x =+=+=+.……5分令2z l =，由005049()0,22x z x x '=-==±02x =±故由61209()02z x ''=+>，知l 在02x =±……7分 因此所求最短长度为221279()444l =+=，332l =.……8分十、(本题满分5分)【 同数学二 第三、（3）题 】 十一、(本题满分5分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ的系数矩阵为A,三阶矩阵B ≠0,且AB=0.试求λ的值.解：设123(,,)B B B B =，其中123,,B B B 是三维列向量.由于0B ≠，至少存在一个非零的列向量，不妨设为10B ≠.由123()0AB A B B B ==，知10AB =.……3分 因此线性方程组有非零解1B ，所以122||210311A λ-=-=-，……4分 从而解得1λ=.……5分十二、(本题满分6分)已知实矩阵33()ij A a ⨯=满足条件：(1) ij ij A a =（,1,2,3i j =），其中ij A 是ij α的代数余子式；(2)011≠a . 计算行列式|A|.解： 因为ij ij a A =，所以*TA A =. 由*||T AA AA A E == ……2分 两边取行列式，得23||||A A =，从而||1A =或||0A =.……4分由于011≠a ，可知222111112121313111213||0A a A a A a A a a a =++=++≠.于是||1A =. .……6分 十三、(本题满分7分)【 同数学四 第十二题 】十四、(本题满分7分)【 同数学四 第十三题 分值不同 】解：设i A ={第i 个部件需要调整}(1,2,3)i =，则123,,A A A 独立，于是有123{0}()0.90.80.70.504P X P A A A ===⨯⨯=； 123123123{1}()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；……2分123123123{2}()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++0.10.20.70.10.80.30.90.20.30.092=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；123{3}()P X P A A A ==0.10.20.30.006=⨯⨯=.……4分因此X 的概率分布为0123~0.5040.3980.0920.006X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦从而10.39820.09230.0060.6EX =⨯+⨯+⨯=；……5分 222()10.39840.09290.006(0.6)DX EX EX =-=⨯+⨯+⨯-0.820.360.46=-=.……7分。
南京大学数学分析1992真题
[ F (t )] dt F (t )dt
2 a b a
b
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n
二、设 f(x) C[ 0,1] ,在 ( 1,1) \ {0}
n
满足条件
1 a n 0 bn 1, 且 lim a n = lim bn =0，求证存在子序列 {a nk }, {bnk }
及正数 p,q,p+q=1,使
lim
n
f (bnk ) f (a nk ) bnk a nk
b
a
p (t ) (t )dt p (t ) (t )dt p (t )dt p (t ) (t ) (t )dt ;
a a a
b
b
b
2）若 F (t ) C[ a ,b ] , F (t ) 0 且单调减少，证明
b
a
t[ F (t )]2 dt
b a
tF (t )dt
x2 y exp 4y z .
2 1 ，求 e ax cos bxdxa 0 之值. 0 0 2 2 2 2 七、计算 I x b c dydz y c a dzdx z a b dxdy ，其中 S 为半球面
pf (0 ห้องสมุดไป่ตู้) qf (0 )
三、设 f ( x) 在 [ 1,1] 上（R）可积，令
n (1 x) , 当0 x 1 n ( x) nx e , 当 1 x 0
1） 证明函数 f ( x) n ( x) 在 [ 1,1] 上（R）可积； 2） 又若 f ( x) 在 x=0 还是连续的，求证
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2016年南京大学数学分析考研试题(Xiongge)
南京大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
————————————————————————————————————————1.(20分)计算:(1)lim n →∞(1n +1n +1+···+12n );(2)∫π2dx1+sin x.2.(20分)计算三重积分∫∫∫Ω(x 2+y 2+z 2)dxdydz ,其中Ω={(x ,y ,z )∈R 3||x |+|y |+|z |≤1}.3.(15分)设函数f :R →R 在每一点附近都单调递增,即∀x 0∈R ,∃δ>0,使f 在(x 0−δ,x 0+δ)中单调递增.证明f 在整个R 中单调递增.4.(15分)设级数∞∑n =1√na n 收敛.证明级数∞∑n =1a n 也收敛.5.(20分)方程x 2+2y 2+3z 3+2xy −z =7在(1,−2,1)附近决定了隐函数z =z (x ,y ).计算二阶偏导数∂2z∂x ∂y (1,−2).6.(20分)证明:存在常数c >0,使得当f ∈C 1[0,1]且∫1f (x )dx =0时成立∫1f 2(x )dx ≤c∫1|f ′(x )|2dx .7.(20分)设A =(a ij )为n 阶实正定对称方阵,b i (i =1,2,···,n )为实数.考虑R n 中的函数f (x 1,x 2,···,x n )=n∑i ,j =1a ij x i x j −n∑i =1b i x i .证明:f 在R n 中有唯一的最小值点.8.(20分)设f :R →R 为连续函数.证明:f 为凸函数当且仅当对任意区间[a ,b ]⊂R ,均有f (a +b 2)≤1b −a ∫ba f (x )dx .注：本试题由南大考研群小碎花提供.考试科目：数学分析第1页共1页。
1992考研数学一真题及答案解析
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则dydx=____________. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu =____________. (3) 设21, <0,()1, 0<,x f x x x ππ--≤⎧=⎨+≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于____________.(4) 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =____________.(5) 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中0,0,1,2.i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (2) 级数1(1)(1cos )n n n α∞=--∑(常数0α>) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与α有关 (3) 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在(4) 设32()3||f x x x x =+,则使(0)nf 存在的最高阶数n 为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(5) 要使121 00, 121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为 ( )(A) ()2 1 1- (B) 2 0 1 0 1 1-⎛⎫⎪⎝⎭(C) 1 0 2 0 1 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D) 011422011-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求x x →.(2) 设22(sin ,)xz f e y x y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.(3) 设21, 0,(), >0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨⎪⎩求31(2)f x dx -⎰.四、(本题满分6分.)求微分方程323xy y y e -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()()xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为上半球面z =.六、(本题满分7分)设()0f x ''<,(0)0f =,证明对任何120,0x x >>,有1212()()()f x x f x f x +<+.七、(本题满分8分)在变力F yz zx xy i j k =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,)M ξηζ,问当,,ξηζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、(本题满分7分)设向量组123ααα、、线性相关,向量组234ααα、、线性无关,问：(1) 1α能否由23αα、线性表出？证明你的结论. (2) 4α能否由123ααα、、线性表出？证明你的结论.九、(本题满分7分)设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===,对应的特征向量依次为1231111,2,3149ξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又向量123β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, (1) 将β用123,,ξξξ线性表出. (2) 求nA β(n 为自然数).十、填空题(本题满分6分,每小题3分.) (1) 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,1()()16P AC P BC ==,则事件A 、B 、 C 全不发生的概率为___________.(2) 设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2()XE X e -+=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,)N μσ,Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数()x φ表示,其中22()t xx e dt φ--∞=).1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】sin()sin()x y x y e y xy e x xy ++---【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得(1)sin()()0x yey xy xy y +''+++=.解出y ',即sin()sin()x y x y dy e y xy y dx e x xy ++-'==--. 【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(2)【答案】{}21,2,29- 【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有2222u x x x y z ∂=∂++；2222u y y x y z ∂=∂++；2222u z z x y z ∂=∂++. 由函数的梯度(向量)的定义,有{}2221,,2,2,2u u u gradu x y z x y z x y z⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂++⎩⎭, 所以 {}{}222122,4,41,2,212(2)9Mgradu=-=-++-.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】212π【解析】x π=是[,]ππ-区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x π=处收敛于22111[(0)(0)][11]222f f ππππ-++-=-++=. 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数()f x 在区间[,]l l -上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则()f x 在[,]l l -上的傅里叶级数收敛,而且01(cos sin )2n n n a n n a x b x l lππ∞=++∑ [][] (), (,)()1(0)(0), (,)()21(0)(0), .2f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l ⎧⎪∈-⎪⎪=++-∈-⎨⎪⎪-++-=±⎪⎩若为的连续点,若为的第一类间断点,若 (4)【答案】cos cos ,y x x C x C =+为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan 1|cos |xdxe x ⎰=,方程两边同乘1cos x,得 111cos cos y y x C xx '⎛⎫=⇒=+⎪⎝⎭积分.故通解为cos cos ,y x x C x C =+为任意常数. (5)【答案】1【解析】因为矩阵A 中任何两行都成比例(第i 行与第j 行的比为ija a ),所以A 中的二阶子式全为0,又因0,0i i ab ≠≠,知道110a b ≠,A 中有一阶子式非零.故()1r A =.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r 阶子式不为零,而所有的1r +阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r .二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在需要判定左极限0x x -→和右极限0x x +→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的.11211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-, 11211111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++--→→-=+=∞-, 0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111cos()2n n n -→+∞, 22(1)(1cos )1cos()2nn n nnααα --=-→+∞,又因为p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. 所以有 22112n nα∞=∑收敛. 1(1)(1cos )n n n α∞=⇒-- ∑收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：对于正项级数1n n a ∞=∑,确定无穷小n a 关于1n的阶(即与p 级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的t 值.求曲线上的点,使该点处的切向量τ与平面24x y z ++=的法向量{}1,2,1n =垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量{}{}2(),(),()1,2,3x t y t z t t t τ'''==-,0n n ττ⊥ ⇔⋅=,即31430t t -+=,解得 11,3t t ==.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B). (4)【答案】(C)【解析】因33x 处处任意阶可导,只需考查2||()x x x ϕ,它是分段函数,0x =是连接点.所以,写成分段函数的形式,有33,0,(), 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 对分段函数在对应区间上求微分,223,0,()3, 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪'⇒=⎨>⎪⎩ 再考查()x ϕ在连接点0x =处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.30(0)()0x x ϕ++=''==,30(0)()0(0)0x x ϕϕ--='''=-=⇒=,即 223,0,()3, 0.x x x x x ϕ⎧-≤⎪'=⎨>⎪⎩同理可得 6,0,()6, 0,x x x x x ϕ-<⎧''=⎨>⎩ (0)0ϕ''=,即 6,0()6||6, 0x x x x x x ϕ-≤⎧''==⎨>⎩.对于y x =有(0)1,(0) 1.y y +-''==- 所以y x =在0x =不可导,(0)ϕ'''⇒不存在,应选(C). (5)【答案】(A)【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax =两个线性无关的解,故()2n r A -≥.由3n =知()1r A ≤.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα=,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++=那么, 0Ax =有非零解 12n ,,,ααα⇔线性相关()12n r ,,,n ααα⇔< ()r A n.⇔<三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】由等价无穷小有0x →时,22111()22xx --=, 原式=0021sin lim 12x x x x e xx →→--=,上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cos sin lim lim 1x x x x e x e x x →→-+洛必达洛必达1011+==.(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx∂∂,再求()z y x ∂∂∂∂. 由复合函数求导法则得221212(sin )()sin 2x x z f e y f x y f e y f x x x x∂∂∂''''=++=⋅+⋅∂∂∂, 212(sin 2)x z f e y f x x y y∂∂''=+∂∂∂ 111212122(cos 2)sin cos (cos 2)2x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x '''''''''=++++ 21112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y '''''''=⋅+⋅++⋅+⋅. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()310121110(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段01301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭四、(本题满分6分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程223(1)(3)0r r r r +-=-+=有两个根为11,r =23r =-,而非齐次项2,3x e r αα=-=为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解3xY x ae -=⋅,代入方程可得14a =-,故所求通解为33124xxx xy C e C ee --=+-,其中12,C C 为常数. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.五、(本题满分8分) 【解析】将原式表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂.以考虑用高斯公式来求解,但曲面∑不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S z x y a =+≤,法向量朝下,S 与∑围成区域Ω,S 与∑取Ω的外法向量.在Ω上用高斯公式得323232222()()()3()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV Ω++++++=++⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求右端的三重积分得222222203()3sin ax y z dV d d d ππθϕϕρρρΩ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4552001632sin 32155a d d a a ππϕϕρρππ=⨯=⨯⨯⨯=⎰⎰.注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面积分为SPdydzdx Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰2200(,,0)xySSD R x y dxdy ay dxdy a y dxdy =++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2220sin a a d r rdr πθθ=-⋅⎰⎰ (极坐标变换)422350sin 44aa a d r dr a a ππθθπ=-=-⨯⨯=-⎰⎰.因此 5556295420I a a a πππ=+=. 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中ϕ为向量与z 轴正向的夹角,0ϕπ≤≤；θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线段的角,02θπ≤≤；r 为向量的模长,0r ≤<+∞.球面坐标系中的体积元素为2sin ,dv r drd d ϕϕθ=则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin .f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题满分7分)【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-. 在1[0,]x 上用中值定理,有111()(0)(),0f x f f x x ξξ'-=<<；在212[,]x x x +上用中值定理,又有1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+ 由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,即1212()()()f x x f x f x +<+.证法二：用函数不等式来证明.要证11()()(),0f x x f x f x x +<+>,构造辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+.由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>. 由此,11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.改x 为2x 即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点(,,)M ξηζ时所作的功W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则LLW F ds yzdx zxdy xydz =⋅=++⎰⎰.(2)计算曲线积分：L 的参数方程是 ,,,x t y t z t ξηζ===t 从0到1,1122220()3W t t t dt t dt ηζξξζηξηζξηζξηζ⇒=⋅+⋅+⋅==⎰⎰.化为最值问题并求解：问题变成求W ξηζ=在条件2222221(0,0,0)abcξηζξηζ++=≥≥≥下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222(,,,)1F a b c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭,则有22222222220,20,20,10.Fa Fb Fc F abcξηζλξηξζληζξηλγξηζλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,ξηζ得222222,a b c ξηζ==(0λ≠时)代入第四个方程得,,ξηζ===. 相应的9W ==.当0λ=时相应的,,ξηζ得 0W =. 因为实际问题存在最大值,所以当(,,)ξηγ=时W. 【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.八、(本题满分7分)【解析】(1) 1α能由23αα、线性表出.因为已知向量组234ααα、、线性无关,所以23αα、线性无关,又因为123ααα、、线性相关,故1α能由23αα、线性表出. (2) 4α不能由123ααα、、线性表出,反证法：若4α能由123ααα、、线性表出,设 4112233k k k αααα=++. 由(1)知, 1α能由23αα、线性表出,可设11223l l ααα=+,那么代入上式整理得411221233()()k l k k l k ααα=+++.即4α能由23αα、线性表出,从而234ααα、、线性相关,这与已知矛盾. 因此,4α不能由123ααα、、线性表出.【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．九、(本题满分7分)【解析】(1)设112233x x x βξξξ=++,即是求此方程组的解.对增广矩阵123(,,,)ξξξβ作初等行变换,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以()3-加到第三行上,第三行自乘12,有 111111111111123101200120149303820011 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 第三行乘以()2-、()1-分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以()1-加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1 ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭.解出31x =,22x =-,12x =,故12322βξξξ=-+.(2) 由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘A ,得22()()A A A A A ααλαλαλα====,再一直这样操作下去,有n n A αλα=.因为0α≠,故0λ≠.按特征值定义知nλ是n A 的特征值,且α为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)n ni i i i i i A A i ξλξξλξ===,据(1)结论12322βξξξ=-+,有123123(22)22A A A A A βξξξξξξ=-+=-+,于是 123123112233(22)2222n n n n n n n nA A A A A βξξξξξξλξλξλξ=-+=-+=-+121322231112122233223149223n nn n n n n n +++++⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)【解析】由条件概率和乘法公式：从()0P AB =,可知()()(|)P ABC P AB P AB C =0=, 由加法公式：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+1111150044416168=++---+=, 故 3()()1()8P ABC P AB C P A B C ==-=.(2)【解析】依题意,随机变量X 服从参数为1λ=的指数分布,故X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x -⎧ >=⎨≤⎩ 根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出2220()()()()X x x x E X e x e f x dx x e e dx +∞+∞-----∞+=+=+⎰⎰3014133xx xe dx e dx +∞+∞--=+=+=⎰⎰.十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2(,)XN μσ,所以X的密度函数为22()()x X f x μσ--=,因Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y 的密度函数为11()()2Y f y πππ==--.因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)()()X Y f x y f x f y =.要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤(,)x y zf x y dxdy +≤=⎰⎰()()X Y x y zf x f y dxdy +≤=⎰⎰22()12x x y zdxdy μσπ--+≤=⎰⎰.2222()()1122x x z yz ydy dx dy dx μμππσσππππ--------∞--∞==⎰⎰⎰⎰12z y dy ππμπσ---⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰(由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z 的密度函数为11()()2Z Z z y f z F z dy ππμϕπσσ---⎛⎫'==⎪⎝⎭⎰ 其中()x ϕ 是标准正态分布的概率分布密度.由于()x ϕ 是偶函数,故有z y y z μμϕϕσσ--+-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 111()22Z y z z z f z dy ππμπμπμϕπσσπσσ-+-⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度. 方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Z f z 更为简单. 因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式1()()()2Z X Y f z f z y f y dy π+∞-∞=-⎰2222()()1122z y z y dy dy μμππσσππππ--------==⎰⎰22()12y z dy μπσππ+---=⎰12y z dy ππμπσ-+-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰ 112y z dy ππμϕπσσ-+-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 12z z πμπμπσσ⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.。
新版南京大学数学考研经验考研真题考研参考书
得到拟录取消息的前些天一直忐忑不安，想象着自己失败时的沮丧或者自己成功时的兴奋。
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南京大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(627)数学分析和(801)高等代数参考书目为：南京大学《数学分析》1996-2017年考研历年真题。
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先说英语吧。
词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。
从初中学英语开始就不爱背单词。
在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。
所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。
考研到底背多少个单词足够？按照大纲的要求，大概是5500多个。
1992考研数二真题及解析
ln x 1
lim 1 ln( x2 b2
b
1) 1
lim ln
b
b b2 1
1 ln 2
2
Born to win
lim ln
b
b2 b2 1
1 ln 2 2
ln1 1 ln 2 2
1 ln 2 . 2
(5) 【答案】 e 1 2
【解析】联立曲线和直线的方程 , 解得两曲线的交点为 (0,0),(1, e) , 则所围图形面积为
(1)
3 求 lim(
x
)
x1 2
.
x 6x
(2) 设函数 y
y( x) 由方程 y xey
1 所确定
,求
d2 y dx 2
x
的值 .
0
(3) 求
x3 dx .
1 x2
(4) 求 1 sin xdx . 0
(5) 求微分方程 ( y x3) dx 2xdy 0 的通解 .
Born to win
()
四、 ( 本题满分 9 分 )
面积最小 .
八、 ( 本题满分 9 分 )
已知 f ( x) 0, f (0) 0 , 试证：对任意的二正数 x1 和 x2 , 恒有
成立 .
f ( x1 x2 ) f (x1) f ( x2 )
Born to win
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 .)
Born to win
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上 .)
1992考研数二真题及解析
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设3(),(1),tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导,且(0)0f '≠,则0t dydx ==＿＿＿＿＿＿. (2) 函数2cos y x x =+在[0,]2π上的最大值为＿＿＿＿＿＿.(3) 01lim cos xx e x→-=-＿＿＿＿＿＿. (4)21(1)dxx x +∞=+⎰＿＿＿＿＿＿. (5) 由曲线xy xe =与直线y ex =所围成的图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当0x →时,sin x x -是2x 的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价的无穷小(2) 设22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩,则 ( )(A) 22 , 0()(),0x x f x x x x ⎧-≤⎪-=⎨-+>⎪⎩ (B) 22(),0() , 0x x x f x x x ⎧-+<⎪-=⎨-≥⎪⎩ (C) 22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪-=⎨->⎪⎩ (D) 22,0() , 0x x x f x x x ⎧-<⎪-=⎨≥⎪⎩ (3) 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0(C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (4) 设()f x 连续,220()()x F x f t dt =⎰,则()F x '等于 ( )(A) 4()f x (B) 24()x f x (C) 42()xf x (D) 22()xf x(5) 若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 求123lim()6x x x x-→∞++. (2) 设函数()y y x =由方程1yy xe -=所确定,求22x d ydx=的值.(3)求3dx .(4)求π⎰.(5) 求微分方程3()20y x dx xdy --=的通解.四、(本题满分9分)设21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,求31(2)f x dx -⎰.五、(本题满分9分)求微分方程32xy y y xe '''-+=的通解.六、(本题满分9分)计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的长度.七、(本题满分9分)求曲线y =的一条切线l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)已知()0,(0)0f x f ''<=,试证：对任意的二正数1x 和2x ,恒有1212()()()f x x f x f x +<+成立.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】3【解析】由复合函数求导法则可得 33/3(1)/()t t dy dy dt e f e dx dx dt f t '-==',于是03t dy dx ==. 【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)6π【解析】令12sin 0y x '=-=,得[0,]2π内驻点6x π=.因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值. 又 (0)2y =,()66y ππ=,()22y ππ=,可见最大值为()66y ππ=.(3)【答案】0【解析】由等价无穷小,有0x →时,22111()22x x --=,故 2001()12lim lim cos cos x x x x x e x e x→→--=--, 上式为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有 原式0lim 0sin x x xe x→==+.(4)【答案】1ln 22【解析】令b →+∞,原式2222111limlim (1)(1)bb b b dx x x dx x x x x →+∞→+∞+-==++⎰⎰211lim ()1b b xdx x x →+∞=-+⎰(分项法) 221111lim ln lim 21b bb b x dx x →+∞→+∞=-+⎰ (凑微分法) 2111lim ln limln(1)2b bb b x x →+∞→+∞=-+1lim ln 22b →+∞=+1lim ln 22b →+∞=1ln1ln 22=+1ln 22=. (5)【答案】12e- 【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为(0,0),(1,)e ,则所围图形面积为1()x S ex xe dx =-⎰,再利用分部积分法求解,得11200122x x e e S x xe e dx ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭⎰.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)【解析】20sin limx x x x →-为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有 2000sin 1cos sin lim lim lim 022x x x x x x xx x →→→--===,故选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算.22(), 0()()(), 0x x f x x x x ⎧--≤⎪-=⎨-+-->⎪⎩22,0,, 0.x x x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 所以应选(D).(3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在,需要判定左极限0x x -→和右极限 0x x +→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的.11211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-, 11211111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++--→→-=+=∞-. 0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).(4)【答案】(C)【解析】 2222240()[()][()]()2()x F x f t dt f x x xf x '''==⋅=⎰,故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(5)【答案】(B)【解析】由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【答案】32e-【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xx e x→∞+= 将函数式变形,有6311362233lim()lim(1)66x x x x x x x x x+---⋅⋅-+→∞→∞+=-++ 3131lim6262lim x x x x x x ee→∞----⋅⋅++→∞==32e -=.(2)【答案】22e【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方法1：在方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得0yyy e xe y ''--⋅=,即 1yye y xe'=-, 把0,1x y ==代入可得(0)y e '=.两边再次求导,得2(1)()(1)y y y y y y e y xe e e xe y y xe ''-++''=-,把0,1x y ==,(0)y e '=代入得(0)y ''=2222x d ye dx ==.方法2：方程两边对x 求导,得0yyy e xe y ''--=； 再次求导可得2()0yyyyy e y e y xe y xe y '''''''--++=,把0,1x y ==代入上面两式,解得(0)y e '=,(0)y ''=2222x d ye dx ==.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅, 2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.3.分式求导公式： 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭. (3)【答案】322(1)x C + 其中C 为任意常数. 【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有3222211(1)(1)22x x =+=+21(1)2d x =+⎰2211(1)(1)22x x =+-+3221(1)3x C =+ 其中C 为任意常数. 方法2：令tan x t =,则2sec dx tdt =,3322tan sec tan (sec )(sec 1)(sec )dx t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰332211sec sec (1)33t t C x C =-+=+-,其中C 为任意常数. 方法3：令2t x =,则x dx ==,312=此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法32211(1)23dt x C ==+⎰,其中C 为任意常数. (4)【答案】1)()(),f x f x =≠不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上是分段函数的积分.由二倍角公式 sin 2sincos22ααα=⋅,则有2221sin sin cos 2sin cos sin cos 222222ααααααα⎛⎫-=+-⋅=- ⎪⎝⎭.所以0sin cos 22x x dx πππ==-⎰⎰⎰ 202cos sin sin cos 2222x x x x dx dx πππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 2022sin cos 2cos sin 2222x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)=.(5)【答案】315y x =,其中C 为任意常数【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 21122y y x x '-=-. 由一阶线性微分方程的通解公式,得1122212dx dx xx y e x edx C -⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰315x = 其中C 为任意常数.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰,其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()31012111(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段1301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭五、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程2320r r -+=有两个根为121,2r r ==,而非齐次项1,1x xe r αα==为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解()xY x ax b e =+, 代入方程可得1,12a b =-=-,所求解为212(2)2x x x xy C e C e x e =+-+,其中12,C C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分) 【解析】由于2ln(1)y x =-,2222222(1),1,1(1)x x y y x x -+''=+=--2211,(0)12x ds dx x x +==≤≤-,所以 221/21/222012(1)11x x s dx dx x x +--==--⎰⎰1/21/21/22000211111112dx dx dx x x x ⎛⎫=-=+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰⎰ 1/2111ln ln 3122x x +⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭. 【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线AB 的显式表示为()y f x =()a x b ≤≤,则弧微分为ds =,弧长as =⎰,其中()f x 在[],a b 有连续的导数.七、(本题满分9分)【解析】过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.如图所示,设曲线上一点(t 处的切线方程为)y x t -=-,化简即得2y =. 面积2()S t dx ⎡⎛==⎢⎢⎭⎣⎦⎰, 其一阶导数3/21/211()22S t t t --'=-+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为122x y =+.八、(本题满分9分)【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-.在1[0,]x 上用中值定理,有 11()(0)(),f x f f x ξ'-=10x ξ<<,在212[,]x x x +上用中值定理,又有 1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+,由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,即 1212()()()f x x f x f x +<+.证法二：用函数不等式来证明.要证 11()()(),0f x x f x f x x +<+>. 令辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+.由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>,由此,11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.改x 为2x 即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.。
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