构造图形 巧妙求解

构造图形，巧妙求解

（342300 江西于都第三中学 蔡家禄）

数学知识的积累，数学思想方法的感悟大多是通过解题习得的，有时掌握一些基本图形或式子的特点（结论）对于快速形成解题思路是大有裨益的.

例1 题目：已知a+b=2，则4122+++b a 的最小值为 .

分析：由勾股定理a 2+b 2=c 2,

则c =,式子22b a +就可以理解为“以a 、b 为直角边长的直角三角形的斜边长”；而a+b=2，可以理解为线段a 、b 长度之和为2，据此，我们可以构造图1.在图1 中，AB =2, BC =a +b =2,CD =1,∠B =∠C =90°.要求4122+++b a 的最小值，即可将问题转化为求AP +DP 的最小值，显然当A 、P 、D 三点共线时有最小值（两点之间，线段最短，见图2）.如图2，在Rt △AGD 中，直角边AG =3,DG =2,用勾股定理可求得斜边AD

即4122+++b a

（解略）

2A 12

2D A

反思：这是一种“无中生有”式的解题技法，其关键在于“数形结合”，由代数式子想到几何图形！

例2 题目：在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点D 、E 分别为AC 、BC 上的点，将△ABC 沿DE 折叠，使得点A 落在点A 1处.

（1）填空：边AC 的长为 ；设CD =x ，A 1D 的长可用含x 的式子表示为 .

（2）探究1：如图1，当点A 1落在边BC 上时，

①若点A 1是BC 的中点，求CD 的长；

②若CD =94

，则四边形ADA 1E 是菱形，请说明理由； （3）探究2：如图2，当点A 1落在BC 边的下方时，设A 1D 与边BC 交于点M ，A 1E 与边BC 交于点N ，问△A 1

MN 是否为等腰三角形？若能，请求出t an ∠CDM 的值；若不能，请说明理由.

图1 图2

点评：

本题以边长分别为6、8、10最为学生熟悉的特殊直角三角形为背景，以翻折为手段，将轴对称，勾股定理，菱形的判定，列方程求线段长，相似三角形，等腰三角形，分类讨论等初中阶段核心数学知识与解题思想方法融汇在一起，设问构思精巧，立意深远，图形简洁优美，内涵丰富，犹如陈年老酒，入口醇正，沁人心脾，回味无穷.

第（1）小题第一问可直接由勾股定理求得AC =6；第二问由轴对称的性质可知A 1D =AD =6－x.第（2）小题的第①问，当点A 1是BC 的中点时，即已知CA 1=4，在Rt △A 1CD 中，CD =x ，A 1D =6－x ，CA 1=4，由勾股定理列出方程可求得CD 的长；第②问，已知CD 的长，可求CA 1与A 1D 的长，进而可得DA 1∥AB ,∴∠A 1DE =∠AE D=∠ADE ,∴AE =AD = A 1E =A 1D , ∴四边形ADA 1E 是菱形. ①与②实际上是互为照应，①由点的位置，确定线段的长，而②恰好反过来，由线段长来确定点的位置，点的位置确定了，形的大小也就确定了.这通常也是数学研究的一般思维模式，正反互相印证.

（3）若△A 1MN 为等腰三角形，显然应分三种情况讨论，即其三边谁作腰？谁作底？（一般地，对于等腰三角形的分类，通常以谁作顶角的顶点为分类标准可使解题思路清晰，在解题叙述上更为方便简洁.）

（一）若A 1M =A 1N （即A 1为顶角的顶点）（见图2-1）, 则∠A 1MN =∠A 1NM= 1(180)2A ︒-∠=∠DMC ，∴∠CDM =90°－∠DMC= 12A ∠.由12

A ∠想到∠A 的平分线，所以我们可抛开原图，再重新构造一个新图（见图3），AP 平分∠BAC ,过点P 作PQ ⊥A

B 于Q ，设CP =x ，则PQ= CP =x ，P B =8－x ，由

PQ AC PB AB =得6810x x =-，解得x =3. ∴t an ∠CDM =t an 12A ∠=3162

CP AC ==；

（二）若NM = N A 1（即N 为顶角的顶点）（见图2-2），则∠NA 1M =∠NM A 1=∠DMC=∠A ，∠CDM =∠B . ∴t an ∠CDM =t an ∠B =

6384

AC BC ==；

（三）若MN= M A1（即M为顶角的顶点）（见图2-3）, 则∠MA1N=∠M NA1=∠A，过点N 作NG⊥A1 M于G，则有∠CDM=∠M NG=∠M NA1－∠GN A1=∠A－∠B.由∠A－∠B想到构造新图4（见图），作AB的垂直平分线交BC于S，垂足为T，连接AS，则∠CAS=“∠A

－∠B”，BT=1

5

2

AB=,由

SB AB

TB CB

=得

10

58

SB

=，解得SB=

25

4

.

∴CS=8－SB=7

4

.∴t an∠CDM =t an∠CAS =

7

24

CS

AC

=.

综上所述，当△A1MN为等腰三角形时，t an∠CDM的值为1

2

或

3

4

或

7

24

.

反思：

这种根据角的大小重新构造图形来求比值的方法，很新颖，很有创意，它跳出了原图的束缚，开辟了一个新的天地，给求值计算带来简便.