构造图形 巧妙求解
高中数学构造法求解题技巧
高中数学构造法求解题技巧高中数学构造法是一种解题思路和技巧，它通过构造适当的数学结构，使得问题的求解变得更加简单明了。
构造方法在高中数学中应用广泛，可以用于解决各类题型，包括代数题、几何题、概率题等等。
一、构造法的基本思想构造法是一种通过建立合适的数学结构，简化问题的解决方法和步骤的思想。
通过构造一些符合题意的数学对象，我们可以发现一些规律，从而提供问题的解答方式。
二、构造法的常见技巧1.构造等差数列或等比数列在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个等差数列或者等比数列。
通过构造这样的数列，我们可以找到其中的规律，从而解决问题。
2.构造图形在解决几何问题时，我们可以尝试构造一个与原图形相似或者关联的图形。
通过构造这样的图形，我们可以将复杂的几何问题简化为一些基本的几何性质，从而解决问题。
3.构造排列组合在解决一些概率问题和组合问题时，我们可以尝试构造排列组合。
通过构造排列组合，我们可以得到一些计算公式或者规律，从而解决问题。
4.构造方程组在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个方程组。
通过构造这样的方程组，我们可以得到一些方程之间的关系，从而解决问题。
5.构造递推公式在解决一些数列问题时，我们可以尝试构造一个递推公式。
通过构造递推公式，我们可以找到数列中的规律，从而解决问题。
三、构造法的实例分析1.构造等差数列例题：有一些连续的整数，它们的和是45，这些整数中最小的是多少？解析：我们可以假设这些连续的整数的首项是x，公差是1，那么这些整数的和可以表示为：x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)=45。
通过求和公式，我们可以得到(x+45)/(n+1)=45，进一步化简得到x=15-n。
我们可以发现，当n=30时，x=15-n=0，此时连续整数中的最小值为0。
2.构造图形例题：在平面直角坐标系中，有一条线l过点(0, 0)和(1, 2)，线l与x轴、y轴以及x=y共同围成一个三角形，求这个三角形的面积。
巧妙构圆 简捷求解
巧妙构圆简捷求解巧妙构圆，简捷求解光从字面上看，构圆几乎是一件复杂而艰深的工作，因为它需要从坐标系中的点和它的距离构造出一个圆。
然而，实际上，构圆可以很容易地完成，尤其是当两个点代表圆的圆心和圆上的一点时。
圆的方程：圆看起来是一种很容易计算的图形，但它有一个常见的方程，我们可以用来解决这个问题： (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2，其中(x_0, y_0)是圆心，R是圆的半径。
我们也可以用下面的方法推导出它：假设一个圆心为(x_0, y_0)，半径为R，任意一点P(x,y)在圆上，根据圆心到任意点的距离定义，可以得到下式：d_{P}=sqrt{(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}}=R一般地，一个具有形式(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2的方程就是圆的标准方程。
用两点法构圆：若给定两点这A(x_1, y_1)和B(x_2, y_2)，构圆的简捷方法就是用它们求得圆心(x_0, y_0)和半径R。
求圆心：由两点确定的圆的圆心在线段AB的中点处，可以用下面的公式求得：x_0=frac{x_1+x_2}{2},quad y_0=frac{y_1+y_2}{2} 求半径：有了圆心，就可以求出圆的半径，由两点确定半径R，得到下式：R=sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}从而得到整个圆的方程：(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2注意：以上几个公式中的符号“^”表示幂，即“上标”；而符号“_”表示下标，即“下标”。
应用：构圆的方法应用非常广泛，比如在数学、工程、建筑、计算机图形学等领域。
比如，在数学中，构圆的方法可以用来求出圆周长和圆面积，从而研究圆的特征；在工程建筑上，可以用来求出高楼的圆柱形的外墙的高度，从而给居民提供更好的视野和空气；在计算机图形学上，可以用来构建平滑的曲线，从而增强视觉效果。
总之，构圆是一项实用技术，它不仅能提供实用的解法，而且可以方便地从几何上推导出一个圆。
巧妙构造图形解决数学问题
巧妙构造图形解决数学问题【摘要】巧妙构造图形在数学问题中扮演着重要的角色。
通过巧妙构造图形，可以更清晰地理解几何问题，简化复杂的数学计算，解决代数方程问题并提高数学竞赛的竞争力。
本文将介绍利用巧妙构造图形解决几何问题的方法，探讨巧妙构造图形对理解抽象数学概念的帮助，解释如何简化复杂数学问题的步骤，并探讨巧妙构造图形在代数方程问题和数学竞赛中的应用。
通过对这些内容的讨论，我们可以深刻认识到巧妙构造图形在数学问题中的重要性，以及展望未来在数学研究中更广泛的应用前景。
通过巧妙构造图形，我们可以更高效地解决数学问题，并且推动数学领域的发展。
【关键词】关键词：巧妙构造图形、数学问题、几何问题、抽象概念、数学竞赛、代数方程、简化步骤、重要性、未来应用。
1. 引言1.1 介绍巧妙构造图形解决数学问题的重要性巧妙构造图形在解决数学问题中扮演着非常重要的角色。
通过巧妙构造图形，我们可以更直观地理解和解决各种数学难题。
图形能够帮助我们将抽象的数学概念具体化，从而更容易理解和应用这些概念。
通过构造各种形状和图像，我们可以将复杂的数学问题转化为简单直观的几何图形问题，从而简化问题的处理过程。
巧妙构造图形不仅可以帮助我们解决几何题，还可以应用在代数方程和复杂数学问题的求解中。
通过构造合适的图形，我们可以清晰地展示和分析问题，找到解决问题的突破口。
在数学竞赛中，巧妙构造图形更是必不可少的技能。
通过构造图形，我们可以更快速地解决问题，提高解题效率，从而在比赛中取得更好的成绩。
掌握巧妙构造图形的方法对于数学学习和解题有着重要的意义。
通过运用巧妙构造图形的技巧，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解题能力，培养数学思维。
巧妙构造图形不仅是解决数学难题的利器，更是促进数学学习和研究的有效方法。
深入理解和掌握巧妙构造图形的技巧对于数学学习和研究都具有非常重要的意义。
1.2 阐述巧妙构造图形在数学问题中的应用巧妙构造图形在数学问题中的应用是数学研究中一种重要的解题方法。
巧用构造法解答数学难题
巧用构造法解答数学难题马沁芳(福建省龙岩初级中学ꎬ福建龙岩３６４０００)摘㊀要:解题教学是初中数学教学中的重要环节ꎬ主要检测学生综合运用所学知识处理问题的能力.在初中数学教学中存在一些较难的问题ꎬ对学生的解题水平要求较高.从本质来看ꎬ解题过程即为条件向结论转化的过程ꎬ只不过面对难度较大的数学问题时ꎬ学生无法轻松找到转化方法.教师可指导学生结合条件和结论的特殊性ꎬ建构已知条件与所求结论之间的逻辑关系ꎬ从而顺利解答数学难题.关键词:初中数学ꎻ构造法ꎻ转化ꎻ数学难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００６５－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:马沁芳(１９７９.２－)ꎬ女ꎬ福建省龙岩人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀构造法指的是当采用常规方法㊁按照定向思维无法处理某些数学问题时ꎬ可基于已知条件与所求结论的特殊性ꎬ从新角度出发ꎬ运用新观点去观察㊁分析与理解问题ꎬ把握已知条件和所求结论之间的内在联系ꎬ运用问题的数据㊁外形㊁坐标等特征ꎬ构造新数学对象ꎬ由此达到解题的目的.在初中数学解题训练中ꎬ针对一些难题ꎬ学生运用常规方法和定向思维很难解决ꎬ教师可指引学生巧用构造法ꎬ结合题设条件和结论构造新对象ꎬ最终解答数学难题[１].１巧妙构造方程ꎬ解答数学难题方程是学生从小学时期就开始学习的一类数学知识ꎬ步入初中阶段以后ꎬ学生需学习更多有关方程的内容.除一元一次方程以外ꎬ还涉及一元二次方程㊁方程组㊁分式方程等知识ꎬ属于初中数学教学的一项重要内容ꎬ在解题中有着广泛应用.在初中数学解题训练中ꎬ有的题目难度较大ꎬ教师可指引学生结合题干中提供的条件和数量关系构造新方程ꎬ获得全新的解题思路ꎬ让学生结合方程知识转化问题ꎬ难题就迎刃而解[２].例１㊀已知ｘꎬｙꎬｚ是三个互不相等的实数ꎬ且ｘ>ｙ>ｚꎬ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎬｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ那么ｘ＋ｙ的范围是什么?分析㊀题目中给出的方程关系较为特殊ꎬ是三元一次方程与三元二次方程形式ꎬ学生采用常规方法很难进行解题.此时ꎬ教师可指导学生运用构造方程的方法ꎬ将已知条件与所求结论联系到一起ꎬ利用方程知识求得结果.解㊀根据ｘ＋ｙ＋ｚ＝１可得ｘ＋ｙ＝１－ｚꎬ两边同时平方ꎬ得ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＝１－２ｚ＋ｚ２.又因为ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ所以ｘｙ＝ｚ２－ｚ.由一元二次方程的根与系数的关系可以看出ꎬｘꎬｙ是方程ｍ２＋(ｚ－１)ｍ＋(ｚ２－ｚ)＝０两个不相等的实数根ꎬ再结合Δ>０可以得到－１３<ｚ<１ꎬ即为－１３<１－(ｘ＋ｙ)<１ꎬ则ｘ＋ｙ的范围是４３>ｘ＋ｙ>０.例２㊀已知实数ｘꎬｙꎬｚ满足ｘ＋ｙ＝３ꎬｚ２＝ｘｙ＋ｙ－４ꎬ求ｘ＋３ｙ＋２ｚ的值.分析㊀这是一道比较特殊的代数式求值类问题.教师可要求学生先对题目中的条件展开变形ꎬ把５６原式转变成两个式子的求解问题ꎬ再观察两个已知式子的形式ꎬ通过变形以后构造新方程ꎬ然后让学生结合方程的相关知识求解.解析㊀根据题意可得(ｘ＋１)＋ｙ＝４ꎬ(ｘ＋１)ｙ＝ｚ２＋４ꎬ通过观察易发现ꎬｘ＋１ꎬｙ是一元二次方程ｔ２－４ｔ＋ｚ２＋４＝０的两个实数根ꎬ然后结合一元二次方程根的判别式确定方程根的情况即可解决问题ꎬ求解过程从略.２巧构造不等式ꎬ解答数学难题不等式是用 >ꎬ<ꎬȡꎬɤꎬʂ 等符号表示大小关系的式子ꎬ学生在小学阶段也有所接触.在初中数学学习中ꎬ学生学习的不等式知识难度更大ꎬ深度也有所提升ꎬ涉及一元一次不等式㊁一元一次不等式组等内容ꎬ不少问题中都会用到不等式相关知识.在初中数学解题教学中ꎬ当遇到部分难题时ꎬ教师需提示学生注意题目中 最大 最小 不低于 不高于 等关键词ꎬ引导其尝试构造不等式模型ꎬ然后利用不等式知识解答难题[３].例３㊀已知某工厂存储有甲㊁乙两种原料ꎬ质量分别为３６０ｋｇ和２９０ｋｇꎬ现在准备利用这两种原料生产Ａ㊁Ｂ两种商品共计５０件ꎬ其中生产一件Ａ商品需要甲㊁乙两种原料分别为９ｋｇ㊁３ｋｇꎬ利润是７００元ꎬ生产一件Ｂ商品需要甲㊁乙两种原料分别为４ｋｇ㊁１０ｋｇꎬ利润是１２００元.(１)根据条件和要求生产Ａ㊁Ｂ两种商品一共有多少种方案?(２)设生产Ａ㊁Ｂ两种商品获得的总利润是ｙ(元)ꎬ生产Ａ商品ｘ件ꎬ请写出ｙ与ｘ之间的函数关系式ꎬ且利用函数的性质说明哪种生产方案能够获得最大利润?最大利润为多少?分析㊀先把题目中的文字语言转变成规范的数学语言ꎬ根据已知条件利用构造法建立一个不等式组ꎬ再结合不等式知识处理函数问题ꎬ然后根据实际生产情况确定方案.解㊀(１)设生产Ａ商品ｘ件ꎬ则Ｂ商品的数量为(５０－ｘ)件ꎬ根据题意可得不等式组９ｘ＋４(５０－ｘ)ɤ３６０ꎬ３ｘ＋１０(５０－ｘ)ɤ２９０.{解之得３０ɤｘɤ３２ꎬ由于ｘ的值只能是正数ꎬ故ｘ只能取３０ꎬ３１ꎬ３２ꎬ也就是Ａ商品的件数ꎬ那么根据(５０－ｘ)可以求得Ｂ商品的件数分别是２０ꎬ１９ꎬ１８ꎬ则一共有３种生产方案ꎬ即Ａ商品３０件ꎬＢ商品２０件ꎻＡ商品３１件ꎬＢ商品１９件ꎻＡ商品３２件ꎬＢ商品１８件.(２)根据题意可得ｙ＝７００ｘ＋１２００(５０－ｘ)＝－５００ｘ＋６００００ꎬ根据一次函数的性质可知ꎬ该函数中ｙ随ｘ的增大而减小ꎬ所以当ｘ＝３０时有最大利润ꎬ即生产Ａ商品３０件㊁Ｂ商品２０件获得的利润最大ꎬ此时ｙ＝－５００ˑ３０＋６００００＝４５０００ꎬ最大利润为４５０００元.ｙ与ｘ之间的函数关系式ｙ＝－５００ｘ＋６００００ꎬ由此可知ꎬ(１)中的方案１获得的利润最大ꎬ最大利润是４５０００元.３巧妙构造函数ꎬ解答数学难题函数在初高中数学课程体系中占据着重要地位ꎬ学好函数知识能够为数学学习带来诸多便利.原因在于不少题目都能够借助构造函数的方法解决ꎬ即使无法直接求解ꎬ也能够打开解题思路[４].例４㊀如图１所示ꎬ一位篮球员进行投篮练习ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ然后顺利命中篮筐ꎬ其中篮筐的高度是３.０５ｍ.图１㊀篮球的运行路线图(１)篮球在空中运行的最大高度是多少?(２)假如该篮球运动员在跳投时ꎬ篮球出手距离地面的高度是２.２５ｍꎬ那么他距离篮筐中心的水平距离是多少?分析㊀对于问题(１)ꎬ应该把整个函数图象构造出来ꎬ求出篮球在空中运行过程中距地面的最高点ꎻ对于问题(２)ꎬ要构造平面直角坐标系ꎬ结合二次函数知识与图象的性质等求解问题ꎬ从而求出运动员与篮筐中心之间的水平距离.６６解㊀(１)根据已知条件可知ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ该抛物线的顶点坐标是(０ꎬ３.５)ꎬ如图１所示大致画出篮球的运行路线ꎬ即为该抛物线的一部分ꎬ验证后可知最高点在函数的定义域内ꎬ由此可知篮球运行的最大高度是３.５ｍ. (２)建立如图１所示的平面直角坐标系ꎬ审题后可以发现求出该运动员位置的横坐标就是问题的答案ꎬ篮筐处的高度是ｙ＝３.０５ｍꎬ由此可知ｘ＝１.５ｍꎻ再根据该篮球运动员的出手高度ｙ＝２.２５ｍꎬ此时ｘ＝－２.５(ｘɤ０)ꎬ则运动员距篮筐中心的水平距离是４ｍ.例５㊀已知分式ｘ－３ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ无论ｘ取何值ꎬ该分式都有意义ꎬ那么ｍ的取值范围是什么?分析㊀因为本题中的分式恒有意义ꎬ这说明分母ｘ２－６ｘ＋ｍ的值永远不会是０.可据此构建一个二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ把分式问题转变为一个二次函数取值问题进行研究ꎬ结合二次函数的性质来解题ꎬ找出ｙʂ０的情况ꎬ以此确定ｍ的取值范围.解㊀令ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ根据题意可知ꎬｙ的值永远都不等于０ꎬ由于该抛物线的开口方向是向上的ꎬ所以该二次函数的图像不会与ｘ轴相交ꎬ则Δ＝３６－４ｍ<０ꎬ解之得ｍ<９ꎬ即为ｍ的取值范围是ｍ<９.４巧妙构造图形ꎬ解答数学难题初中数学课程主要分为代数与几何两大方面的内容.用构造法解答数学难题时ꎬ不仅可以根据题意构造代数方面的式子ꎬ还能够构造出相应的几何图形ꎬ利用数形结合思想解题.在初中解题教学中ꎬ将 数 和 形 结合起来ꎬ不少难题就易于解答.例６㊀如图２所示ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ对角线ＡＣꎬＢＤ相交于点Ｏꎬ而且ＡＣ与ＢＤ的长度相等ꎬ点ＥꎬＦ分别为对角线ＡＢ与ＣＤ的中点ꎬＥＦ分别同ＢＤꎬＡＣ相交于点ＧꎬＨ.求证:ＯＧ＝ＯＨ.分析㊀在几何图形中出现多个中点ꎬ大多数情况下都要利用中位线的性质进行解题ꎬ所以本题可以先取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦꎬ因为ＥꎬＦꎬＭ分别是ＡＢꎬＣＤꎬＢＣ的中点ꎬ由此可构造中位线ＥＭꎬ图２㊀例６题图ＭＦꎬ然后结合三角形中位线定理解题.先证明әＥＭＦ是等腰三角形ꎬ根据 等边对等角 ꎬ即可证明øＭＥＦ＝øＭＦＥꎬ利用平行线的性质证明øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ最后根据 等角对等边 即可解决问题.解㊀如图２所示ꎬ取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦ.因为ＭꎬＦ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ则ＭＦʊＢＤꎬＭＦ＝ＢＤ.同理可得ＭＥʊＡＣꎬＭＥ＝ＡＣ.因为ＡＣ＝ＢＤꎬ所以ＭＥ＝ＭＦꎬøＭＥＦ＝øＭＦＥ.又因为ＭＦʊＢＤꎬ所以øＭＦＥ＝øＯＧＨ.同理可得øＭＥＦ＝øＯＨＧꎬ所以øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ所以ＯＧ＝ＯＨ.５结束语在初中数学解题教学中ꎬ有的题目难度比较大ꎬ采用常规方法和思路很难解答.面对这些难题ꎬ教师可引导学生巧妙运用构造法ꎬ重新处理题目中给出的条件和结论.把问题与熟悉的理论知识联系起来ꎬ通过构造方程㊁不等式㊁函数㊁几何图形等数学模型把问题实质清楚地反映出来ꎬ架构起结论和条件之间的桥梁ꎬ让学生从中寻求解题问题的切入点ꎬ确定合适的解题方案ꎬ继而准确解答数学难题.参考文献:[１]连继莹.例说初中数学的解题方法:以 构造法 为例[Ｊ].中学课程辅导(教师教育)ꎬ２０２１(９):１１４.[２]吴月红.巧用构造法解初中数学题[Ｊ].语数外学习(初中版)ꎬ２０２０(８):２８－２９.[３]张梅.构造法在初中数学解题中的有效运用[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０２０(４):８０－８１. [４]张文贺.初中数学解题技巧的有效运用[Ｊ].数学大世界(下旬)ꎬ２０２０(１):７７.[责任编辑:李㊀璟]７６。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是一种常用的解题方法，在高中数学中有着广泛的应用。
它通过巧妙地构造一些数学对象或者利用某些数学性质，来解决问题。
下面将介绍构造法在高中数学解题中的常见应用方法。
1.构造图形构造图形是构造法的一种常见应用方法。
在解决几何问题时，我们可以通过构造一些特殊的图形，来辅助求解。
要证明一个角为直角，可以通过构造一个等腰直角三角形；要证明两条线段相等，可以构造两个相等的线段等等。
通过构造图形，我们可以更加直观地理解问题，并且根据构造出的特殊图形进行推理和证明。
2.构造等式构造等式是构造法的另一种常见应用方法。
在解决代数问题时，我们可以通过构造一些特殊的等式，利用等式的性质和关系来推导和求解。
要解方程组可以通过构造一个与原方程组等价的等式，从而利用等式的性质消去未知数。
又要证明两个多项式恒等，可以通过构造一个等式，使得等式两边的多项式进行运算后得到相同的结果。
通过构造等式，我们可以把复杂的问题转化为更简单的等式求解问题。
3.构造序列4.构造方法构造方法是构造法的一个重要应用。
在解决问题时，我们可以通过构造一种方法或者算法，来找到问题的解决思路。
要证明一个命题成立，可以通过构造一个反证法，假设命题不成立，然后推导出矛盾；要解决一个最优化问题，可以通过构造一个函数或者模型，然后利用函数的性质进行优化。
通过构造方法，我们可以建立问题与数学方法之间的联系，从而解决问题。
构造法是一种重要的解题方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过构造图形、构造等式、构造序列和构造方法等，我们可以更加直观地理解问题，利用数学性质和关系进行推理和证明，以达到解决问题的目的。
希望通过这些介绍，能够帮助到学生在高中数学中更好地运用构造法解题。
应用“构造法”解题例析
应用“构造法”巧解数学问题例析河北省隆化县职业中学 曹瑞民（068150）构造法是初中数学的一种重要的数学方法，利用构造法可以巧妙的解决数学中的很多难题。
一、构造矛盾，巧证几何题例1、 求证：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
证明：如图1，已知∆ABC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠,的平分线。
BD=CE ，要证AB=AC 。
假设AB ,AC ≠不妨设AB>AC,则有ACB ∠>ABC ∠ A因而ACE ∠>ABD ∠构造ECF ∠=ABD ∠. F设CF 分别交AB 、BD 于G ，则CEF BFG ∆≈∆。
E G D 即BF ：CF=BG ：CE但BF>CF ∴BG>CE B C BD>BG ∴ BD>CE (图1)这显然与已知BD=CE 相矛盾，故AB ≠AC 的假设不成立，而必有AB=AC 。
二、构造对偶式，巧求非对称式的值例2、设x 21x 是方程x 2＋5x ＋2=0的两根，不解方程；求21x x 的值。
分析：21x x 是非对称式，构造其对偶式12x x （即将21x x 中的2,1x x 互换位置）以后，组合成对称式再进行运算。
22124)5(2)(11,221212212122211221=--=-+=+=+∴==x x x x x x x x x x y y y x x y x x 则解：设即2y 2－21y ＋2=0,解之得 4175212,1±=y 三、构造方程，巧解几何最值问题例2、 如图2，平行四边形MNPQ 的一边在ABC ∆的边BC 上， A 另两个顶点分别在AB ，AC 上。
M H N 求证：平行四边形MNPQ 的面积的最大值为ABC ∆面积的一半。
分析：题设中出现两个相关图形——平行四边形，三角形；结论是证明面积最值问题，面积问题自然联想到作高AG ， 与两个图形面积有关的元素有四个：MN 、HG 、BC 、AG 。
构造全等三角形的七种常用方法
构造全等三角形的七种常用方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊构造全等三角形的七种常用方法。
这可真是个有趣又实用的知识领域啊！咱先说说第一种方法，那就是“平移法”。
就好像你有两个形状差不多的拼图块，通过平移一下，嘿，它们就能完美地重合在一起啦！这就像你走路的时候，从这边走到那边，位置变了，但本质没变呀。
还有“翻折法”，这就像是把一张纸对折起来，两边瞬间就一模一样啦。
想象一下，这多神奇呀，就像变魔术一样。
“旋转法”也很有意思哦。
就好比一个玩具在那转呀转，转到某个角度的时候，哇，和另一个完全一样了。
这多好玩呀！“倍长中线法”呢，就好像给一条线打了激素，让它变长，然后就能找到对应的全等啦。
“截长补短法”就像是裁剪衣服一样，多了的就剪掉，少了的就补上，让它们变得一样整齐。
“作平行线法”，这就像是给三角形铺了一条平行的道路，顺着这条路就能找到全等的伙伴啦。
“利用角平分线法”，角平分线就像是一个裁判，公平地把三角形分成相等的部分。
这七种方法呀，每一种都有它独特的魅力和用处。
就像你有七把不同的钥匙，能打开不同的门，进入全等三角形的奇妙世界。
在解决问题的时候，你就得像个聪明的侦探一样，找到最合适的那把钥匙。
比如说，遇到一个复杂的图形，别慌呀，静下心来分析分析，看看哪种方法能派上用场。
可能一开始会觉得有点难，但只要多练习，多尝试，你就会发现自己越来越厉害啦！想象一下，你掌握了这些方法，就像是拥有了超能力一样，可以轻松地解决那些看似很难的问题。
而且呀，当你在考试或者做作业的时候用上这些方法，那感觉就像打了一场胜仗，多有成就感呀！所以呀，朋友们，可别小瞧了这七种常用方法哦。
它们就像是你的秘密武器，能在关键时刻帮你大忙呢！好好去探索，去发现吧，全等三角形的世界正等着你去闯荡呢！。
巧妙构造,让数学解题更精彩
应考方略数学有数GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG 巧妙构造，让数学解题更精彩■江苏省太仓市明德高级中学王佩其数学解题，贵在巧思，巧思方可得妙解.而巧思中最为推 崇的解法是构造法，这种方法体现了数学思维的创新性，是 数学解题的最高境界.通过对题目的条件与结论进行对比分 析，找到一座沟通它们之间的桥梁，这座桥梁可以是一个函 数，一个方程，一个图形等，借助这座桥梁，可以让原问题 圆满解决，这就是所谓的构造法.本文举例说明，供同学们 参考._、巧构几何体，速解立几题在立体几何中，我们通常把正方体、长方体、正四面体 等这些形状优美，性质优美且特殊的几何体称作完美几何体. 在立体几何中，这些几何体有着十分重要的地位，起着不可 替代的作用，有些几何问题，往往可以通过对比与联想，构 造出完美几何体，借助于完美几何体的优美性质，让原问题 快速解决，同时也让我们感受到数学的奇异美.例1.已知一个棱长是a的正四面体的四个顶点均在同一 个球面上，则这个球的表面积是（)A. 37T02B-T na2C.^rTTa}D.各•jra2解析j正四面体有六条相等的棱，而正方体的六个面都是 全等的正方形，因此它们的对角线都相等，于是可以采用补 形的方法，将正四面体“还原”成正方体（如图1),那么正 方体的外接球就是与正四面体的外接球.因为四面体的棱长为a,所以正方体的棱长是A f a,于是正方体对角线f就是这个球的直径，故球半径= S:477"/?2=~^-7ra2.所以本题选 D.正方体是立方体中最完美的图形，它与它的内切球 与外接球之间的关系，能帮助我们快速找到解题“突破口 对于正四面体，将其“放入”正方体中，可以快速求出它的 外接球的半径.例2.已知乙/10B是平面a内的一个直角，0是直角顶 点，又0C是平面a的斜线，且乙4O C=Z S O C=60°,则直线 0C与平面a所成的角的大小是______._如图2所示，作正四棱锥且它的每一个侧面都是正三角形.于是a4, O B,0C满足已知条件，这相当于把题设所给的线面关系“搬到”了正四棱锥中，于是原问题等价于求侧棱C0与正四棱锥的底面a4A B所成的角.设底面中心为£,则乙C0£：即为所求的角.经图2计算可知，〇£=C£，故乙C O£=45。
巧构圆，妙解解析几何题
解析几何问题通常较为复杂，解题过程中的运算量较大.在解题时，我们通常要采用各种不同的手段，如构造几何图形、运用曲线的定义、设参等来简化运算，提升解题的效率.有些解析几何问题中会涉及隐圆，如何挖掘出有关隐圆的信息，巧妙构造出圆，运用圆的性质或者方程来解题呢？下面结合实例进行探讨.一、根据圆的性质构造圆圆的性质很多，如：（1）圆是轴对称图形，也是中心对称图形；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（4）直径所对的圆周角为直角.在解答解析几何问题时，我们可以寻找与圆的性质相关的几何关系，如对称、互补、垂直等，以构造出圆，运用圆的性质、方程来解题.例1.已知圆O:x2+y2=4，过圆外一点P()4,2作圆的切线，切点为A,B，则ΔABP的外接圆方程为______.解：画出如图1所示的图形.图1因为AB是圆O的切线，所以OA⊥PA,OB⊥PB,则∠OAP+∠OBP=π，即∠OAP与∠OBP互补，所以A,O,B,P四点共圆，且OP的中点M()2,1，半径r=||OP2=5，所以ΔABC的外接圆与四边形AOBP的外接圆为同一个圆，所以ΔABP的外接圆方程为()x-22+()y-12=5.我们根据题意可判定∠OAP与∠OBP互补，那么就可以根据圆的性质：圆内接四边形的对角互补，判定A,O,B,P这四个点就在同一个圆上，这样就构造出一个新圆，确定圆的圆心和半径，即可求得问题的答案.2.在平面直角坐标系xOy中，直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x-y-4=0的最大距离为_____.解：由题可知，直线l1:kx-y+2=0的斜率为k1=k，且过定点A()0,2，直线l2:x+ky-2=0的斜率为k2=-1k，且过定点B()2,0，得k1k2=-1,即l1⊥l2，则两直线l1与l2互相垂直，所以∠APB=90°，则PA⊥PB，所以交点P在以M()1,1为圆心、半径为2的圆上，可得圆的方程为()x-12+()y-12=2，因此圆上的点到直线x-y-4=0的最大距离，即为圆的圆心到直线x-y-4=0的距离加上圆的半径，所以d max=||1-1-412+12=22+2=32.解答本题的关键是根据PA∙PB=0()PA⊥PB，以及圆的性质：直径所对的圆周角为直角，判定动点P的轨迹是圆.确定了圆的圆心坐标和半径，即可求得圆的方程，再根据点到直线的距离公式进行求解即可.二、根据圆的定义构造圆我们知道，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，这是圆的定义.在解答解析几何问题时，我们要注意寻找“定点”“定长”这样的隐含信息，并将其与圆的定义关联起来，求得圆的方程，利用据圆的性质和方程来解题.例3.如果圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_____.解：设动点的坐标为()x,y，则动点到原点的距离为1，由圆的定义可得动点的轨迹方程为x2+y2=1，则该圆的圆心为()0,0，半径为1，由(x-2a)2+(y-a-3)2=4可知圆的圆心为()2a,a+3,半径为2，要使圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，需使这两个圆相交，因此1<()2a2+()a+32<3，解得：-65<a<0.此题侧重于考查同学们对圆的定义的理解.命题图2备考指南xyOxy者将有关圆的信息隐藏在题目中，如果我们没有发现的话解题的计算量就会很大.我们根据圆的定义求得新圆的方程，即可将问题转化为两圆的位置关系问题.例4.已知线段AB 是圆C :x 2+y 2=4的一条动弦，且||AB =23，若点P 为直线x +y -4=0上的任意一点，则|| PA +PB 的最小值为（）.A.22-1B.22+1C.42-2D.42+2解：由题意画出如图3所示的图形.图3取AB 的中点M ，连接OM ,PM ，因为AB 是圆C :x 2+y 2=4的一条动弦，且||AB =23，所以||OM =1,所以M 点的轨迹是以O 为圆心、1为半径的圆，则其方程为x 2+y 2=1，因为M 是AB 的中点，所以 PA + PB =2PM ，则||PA + PB =||2 PM =2|| PM ，所以||PA + PB 的最小值即为直线x +y -4=0上任意一点到圆x 2+y 2=1上任意一点的距离的最小值，可知||PA + PB min =20+0-41=42-2.我们将O 视为定点，将||OM =1视为定长，即可根据圆的定义确定点M 的方程，将求|| PA +PB 的最小值转化为求直线x +y -4=0上任意一点到圆x 2+y 2=1上任意一点的距离的最小值.三、根据圆的方程构造圆圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2，其中圆的圆心为()a ,b ，半径为r .在解答解析几何问题时，若根据题意可得到形如(x -a )2+(y -b )2=r 2，(x -a )2+(y -b )2的式子，我们就可以将其视为圆的方程，构造出圆，根据圆的性质、定义来解题.例5.已知等边ΔABC 的边长为2，点P 在线段AC上，若满足 PA ∙PB =λ的点P 有两个，则实数λ的取值范围为_____.解：绘制如图4所示的图形，并建立平面直角坐标系.图4由等边ΔABC 的边长为2知A ()-1,0,B ()1,0,C ()0,3，设P ()x ,y ，∵ PA ∙PB =λ,∴()-1-x ,-y ·()1-x ,-y =λ，∴x 2-1+y 2=λ，即x 2+y 2=λ+1，∵点P 在线段AC 上，且有两个P 点，2+y 2=λ+1与线段AC 有两个交点，<λ+1≤1,∴34<λ+1≤1,∴-14<λ≤0.由x 2+y 2=λ+1，我们可以联想到圆的方程，于是构造以（0,0）为圆心、半径为λ+1的圆，将问题转化为圆x 2+y 2=λ+1与线段AC 有两个交点问题来求解.例6.已知A ()-m ,0,B ()m ,0()m >0，若圆C :x 2+y 2+6x -8y +21=0上存在一点P ，使得||PA 2+||PB 2=4m 2，则m 的范围_____.解：设点P ()x ,y ，∵||PA 2+||PB 2=4m 2，∴éëêùûú()x +m 2+()y -022+éëêùûú()x -m 2+()y -022=4m 2,∴()x +m 2+y 2+()x -m 2+y 2=4m 2,∴2x 2+2y 2+2m 2=4m 2，∴x 2+y 2=m 2，又点P 在圆C :x 2+y 2+6x -8y +21=0上，∴点P 是圆C :x 2+y 2+6x -8y +21=0与圆x 2+y 2=m 2的交点，∴||2-m ≤5≤2+m ，即3≤m ≤7.由||PA 2+||PB 2为定值，可以得出x 2+y 2=m 2，显然该方程为圆的方程，则可以判定点P 的轨迹是圆，那么只需要根据圆与圆的位置关系解题即可.在解答解析几何问题时，要仔细挖掘隐含条件，将问题与圆的方程、性质、定义关联起来，构造出圆，利用圆的方程、性质、定义，根据直线与圆、圆与圆之间的位置关系来解题.（作者单位：山东省博兴县第三中学）备考指南xyxy61。
用勾股定理构造图形解决问题 2 蚂蚁
用勾股定理构造图形解决问题2蚂蚁1( 20 )如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少？2()如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？3( 25 )如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，在点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点爬行到点去吃蜂蜜，蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？请通过画图和计算进行解答．4( )已知如图，长方体的长，宽，高，点在上，且，一只蚂蚁如果沿沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少？5( 10 )一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？8(34 )如图，圆柱形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，在蜘蛛正对面的圆柱形容器的外侧，距上底1.5cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短距离．9()如图，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线底面直径，如图所示，设长度为．路线2：侧面展开图中的线段，如图所示，设长度为．请按照小明的思路补充下面解题过程：（1）解：；（2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）①此时，路线1：__________．路线2：_____________．②所以选择哪条路线较短？试说明理由．10( 50<58<68 )如图，已知长方体的长AC＝3cm，宽BC＝2cm，高AA′＝5cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？。
构造几何图形巧解代数问题
构造几何图形巧解代数问题
今天，越来越多的学生通过构造几何图形来解决代数问题。
几何图形的构造是一种灵活的数学技术，它可以帮助我们解决各种复杂的数学问题，特别是平面几何中的许多代数问题。
本文将讨论使用几何图形构造解决代数问题的优势和局限性，以及构造几何图形以解决代数问题的一般方法。
使用几何图形解决代数问题的优势很明显。
最重要的是，它有助于我们更好地理解和记住代数问题的解决过程。
求解代数问题时，学生可以藉由几何图形的构造来更好地理解每步操作。
另外，利用图形构建办法，学生可以更轻松地发现问题解决的可能性，以求得最终结果。
尽管构造几何图形解决代数问题有很多优势，但也存在一些局限性。
首先，学生必须掌握几何图形的构建方法，以使用几何图形解决数学问题。
其次，学生必须熟悉数学基础知识，有能力熟练使用数学符号和概念，才能够有效地利用几何图形来解决代数问题。
构造几何图形以解决代数问题有一般的方法，包括以下步骤。
首先，学生应了解问题的背景并熟悉和分析问题中所涉及的数学概念。
接下来，学生定义必要的几何图形，根据代数表达式在图形中构成特定的点。
随后，学生应该绘制数学表达式中出现的所有元素，如直线、圆等，以构建几何图形。
最后，学生利用几何图形来解决给定的问题，并可以得出结果。
总的来说，使用几何图形来解决代数问题是一种有效的方法，可
以更好地帮助学生掌握数学概念，促进学生对数学问题的解决理解。
因此，老师可以把构造几何图形来解决代数问题纳入学生的学习计划，以帮助学生更好地掌握数学知识，提升数学技能。
用勾股定理构造图形解决问题 3蚂蚁
用勾股定理构造图形解决问题3蚂蚁1( 25 )如图是一个高为，底面周长为的无盖圆柱，为底面的直径，一只蚂蚁在圆柱的侧棱的中点处，处有一粒食物，蚂蚁爬行的速度为，则蚂蚁最少要花多长时间才能吃到食物？2( )如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝BB′＝2，AD＝3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？3()已知长方体的长为1cm、宽为1cm、高为4cm（其中AC=1cm,BC=1cm，CG=4cm）．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程是多少？4( 50cm; )葛藤是一种刁钻的植物，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线前进的．解决下列问题：(1)若树干的周长(即图中圆柱的底面周长)为30cm，葛藤绕一圈升高(即圆柱的高)40cm，则它爬行一圈的路程是多少？(2)若树干的周长为80cm，葛藤绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？5( 25 )如图是一个三级台阶，它的第一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，点和点是这个台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是多少？6( 17 )如图，圆柱形玻璃容器，高8cm，底面周长为30cm，在外侧下底的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度．（画出侧面展开图并计算）7(20 )如图,圆柱形玻璃杯的高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为多少?8( 13 )有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B 处，如图所示.已知杯子高8 c m，点B距杯口3 c m(杯口朝上)，杯子底面半径为 4 c m，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少?(π取3)。
构造模型巧解四棱锥外接球问题
2020年12月1日理科考试研究•数学版• 29 •减少了计算量，但对学生数学抽象及对问题进行转化 的能力要求较高.师:有兴趣的同学可以进一步探究双曲线中的类 似问题.设计意图让学生体会圆锥曲线是一个整体.练习已知抛物线C :y2=2p*(P >0)过点/1(1，1).(1) 求抛物线C 的方程；(2) 如图1，直线M /V 与抛物线C 交于两个不同点（均与点4不重合），设直线的斜率分 别为名且h +h =3,求证:直线M V 过定点，并求 出定点.设计意图通过练习，发现上述解法可以解决斜 率之和为定值，直线过定点问题.思考上述练习（2)中，若条件改为斜率之积为 定值或斜率之和为定值《，直线过定点吗？能 否将此结论推广到椭圆和双曲线？试探究.设计意图留给学生探究，进一步熟悉圆锥曲线 中斜率之积、斜率之和为定值，直线过定点问题的计 算技巧.5结束语在二轮复习中，笔者认为应将圆锥曲线作为一个 整体进行复习.在教学过程中，应留给学生足够的时 间去尝试、去探索.鼓励学生探索不同解题思路，完善 解题过程，从而找到一类问题的最佳解决方案.通过 不同思路、不同解法的训练，培育学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.(收稿日期=2020 -07 -05)构造棋型巧鮮四枝锥外接球问题李虎(中山市第一中学广东中山528400)摘要：多面体的外接球问题是近几年高考考查的热点，各类模拟题中也有非常多类似的题目，为了便于学生发现这类题的解题规律，教师给出了关于外接球的多种总结，比如：墙角模型，对棱相等四面体模型，正四面模型，由公共斜 边的直角三角形组成的四面体模型等.但在具体考題中，由于数量关系和空间位置关系的不同给法，学生往往束手无 策，究其根源，学生没有抓住问题的本质.本文以一类四棱锥外接球问题为例，谈一谈怎样活用模型巧解外接球问题.关键词：四棱锥；外接球；模型1拓展的墙角模型引理如图1，四面体0-.4B C 满足丄平面则此四面体的外接球的半径7?=加22+(2r)~(其中r 为A 4S C 外接圆的半径）•证明李海玲证明了空间中过不共面的四点存 在外接球"].从证明过程中还可以看出唯一性也是成 立的.即空间内过不共面的四面有唯一的外接球.记 A /1S C 的外接圆的圆心为0,连接C O 并延长交外接圆于点S '连接如图2，/lC丄 ■45'，由/!£)丄平面可得丄 平面4B 'C ，则四棱锥£» -/IB'C 即 为墙角模型的四面体.由于厶4B C 的外接圆上的点都在四面体0 -/IfiC的外接球上，结合唯一性可得 D -的外接球和的 外接球是同一个球.因为/1C2 +_4f i ，2 = (2r)2，基金项目：中山市2018年重点项目课题“高中数学学科核心素养之数学建模的教学实践研究”（项目编号：A 2018021 ).作者简介：李虎（ 1982 -),男，河北赵县人，领士，中学一级教师，研究方向：高中数学教学.• 30 •理科考试研究•数学版2020年12月1日故评注（1)此结论在已知线面垂直的情形下，只需底面的三角形便可以求得外接圆直径，即可求得外 接球的半径.D图2(2)此引理还指出，外接球问题本质上只需不共 面的四点即可唯一确定一个外接球，当顶点数较多 时，只需选取容易计算的不共面的四个顶点即可.例题1如图3,在四棱锥中，底面/1B-C O为正方形，= 2/1P= 4,乙= 60。
构造等边三角形的解题技巧
构造等边三角形的解题技巧
从几何学的角度来看，构造等边三角形的方法有多种，其中一
种方法是利用圆和直线的性质。
首先，我们可以利用圆规在一张纸
上画一个任意长度的线段AB，然后以A为圆心，AB为半径画一个圆，再以B为圆心，AB为半径画另一个圆。
两个圆的交点分别记为C和D，连接CD，则三角形ACD就是一个等边三角形。
这个方法的原理
是利用圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都相等，因此AC和
AD的长度相等，所以三角形ACD是一个等边三角形。
另一种方法是利用直线的性质，我们可以先在纸上画一个任意
长度的线段AB，然后以A为起点，利用量角器画出一个60度的角，再以B为起点，同样利用量角器画出一个60度的角，连接AB上的
这两个60度角的顶点，得到一个等边三角形ABC。
这个方法的原理
是利用等边三角形内角相等的性质，以及利用量角器可以准确地画
出指定角度的性质。
从数学方法来看，构造等边三角形也可以利用坐标系和向量的
方法。
假设我们要构造一个等边三角形，我们可以先随意选取一个
顶点的坐标，然后利用向量的平移和旋转性质，可以求得另外两个
顶点的坐标，使得这三个顶点构成一个等边三角形。
总的来说，构造等边三角形的解题技巧有很多种，可以通过利用几何学的性质，也可以通过数学方法来实现。
希望以上介绍对你有所帮助。
几何构造法在初中数学解题过程中的妙用
２０２３年１０月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀几何构造法在初中数学解题过程中的妙用◉江苏省泰州市扬子江初级中学㊀李琴霞㊀㊀摘要:针对初中数学解题过程中常见的数学问题,巧妙利用几何构造法突破并巧解几种特殊角的三角函数值㊁线段比例问题㊁三角形角与线段关系㊁代数最值问题㊁几何最值问题,提升学生数学解题能力与综合素养．关键词:几何构造;初中数学;解题过程;巧妙运用㊀㊀构造法是一种富有创造性的解题方法,它很好地体现了数学中发现㊁类比㊁化归的思想,也渗透着猜想㊁试验㊁探索㊁归纳㊁概括㊁特殊化等重要的数学方法．利用构造法解题的思维模式是建立在灵活运用数学思想方法的基础之上的,效果独特,思维跨度之大,有时出乎意料,但构造不是轻而易举之事,只有对数学知识有深刻的理解,把握其内在联系,这样才会从 山重水复 至 柳暗花明 ．特别是在构造一些特殊几何图形的过程中,能更加巧妙地突破难点,解决相关问题．本文中归纳了初中数学解题过程中几种几何构造法的巧妙运用．１构造直角三角形巧解特殊角的三角函数值例１㊀求s i n １５ʎ,c o s １５ʎ,t a n １５ʎ的值．针对此类问题,我们一般都是利用相关工具书来解答,直接求出它们具体值的大小有些困难,但如果考虑到构造直角三角形则可以巧妙破解这类问题．图１如图１,先构造R t әA B C ,令øB A C ＝３０ʎ,øC ＝９０ʎ,再延长C A 至点D ,使得A D ＝A B ,连接B D ,这样再次构造了直角三角形B C D ,从中可以计算得到øD ＝１５ʎ,从而利用线段之间的关系可求解s i n １５ʎ,c o s １５ʎ,t a n １５ʎ的值．同样地,根据上述构造方法,也可以求出７５ʎ和２２．５ʎ的三角函数值．２构造最短路径模型巧解代数最值问题例２㊀已知x 为实数,则x ２－４x ＋１３＋x ２＋２x ＋２的最小值为．遇到此类问题,很难一下子找到解题思路．但是根据题意发现,x ２－４x ＋１３与x ２＋２x ＋２可以转化为(x －２)２＋３２与(x ＋１)２＋１２．根据式子结构特点可以看作点P (x ,０)到点A (２,３)和点B (－１,１)的图２距离之和．于是,建立平面直角坐标系x O y ,如图２,点P 在x 轴上,(x －２)２＋３＋(x ＋１)２＋１即表示点P 到点A ,B 的距离和,求其最小值,符合最短路径问题,从而建立将军饮马模型,巧妙解答此题．３构造相似三角形巧解线段比例问题在解答求长度㊁比值㊁乘积的问题时,常要借助相似三角形的性质,这就需要在问题情景所体现的图形中找到相似三角形．如果没有明显的相似三角形模型,则需要根据条件构造相似三角形[１]．图３例３㊀如图３,在R tәA B C中,øA B C ＝９０ʎ,A B ＝４,B C ＝２．D 为边A B 上的一点,连接C D ,且t a n øB C D ＝１２,E 为B C 的中点,连接A E 交C D 于点F ,求E FA E的值．图４遇到此类问题,很难一下子找到求E F 和A E 的值的思路．如图４,根据E 是B C 的中点,按常规思路可以延长中线构造全等三角形．故延长A E 至点K ,使E K ＝A E ,连接C K ,得到әA B E ɸәK C E ,则øB A E ＝øC K E ,从而得到７６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀A B ʊC K ．于是得到әA D F 与әK C F 是相似三角形,则A F F K ＝A D C K ,再结合t a n øB C D ＝１２设出E F 的长度,构造方程求出相应线段的大小,从而问题得解．４构造三角形中位线巧解角的有关问题当问题条件中出现两个或两个以上的中点条件时,常常可将它们分别看成是三角形两边的中点构造第三边或者搭建具有公共边的两个三角形,使其能构造出两个三角形的中位线,并转化为相等的两条边,从而转化为等腰三角形,进而解决角的有关问题[２]．图５例４㊀如图５,在四边形A B C D 中,A B ＝C D ,E ,F 分别是B C ,A D 的中点,连接E F 并延长,分别与B A ,C D 的延长线交于点M ,N ,则øB M E ＝øC N E ．图６看到这个问题,我们发现øB M E 和øC N E 没有直接联系,故不好直接比较两个角的大小,但我们看到题干中多次提到了中点,而点E ,F 又不能直接连在一起形成中位线,所以此时可以根据它们所在的位置,重新构造线段．如图６,连接B D ,取B D 的中点为H ,连接H E ,H F ,从而构造了两个三角形的中位线,很容易根据A B ＝C D 得到H E ＝H F ,从而得到øH F E ＝øH E F ．又øH F E ＝øB M E ,øH E F ＝øC N E ,所以øB M E ＝øC N E ,问题得证．５构造全等三角形巧解线段问题如图７,四边形A B C D 是正方形,一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与点A 重合,将此三角板绕点A 旋转时,两边分别交线段B C ,C D 于点M ,N ,试判断B M ,MN ,D N 长度的关系．图７㊀㊀㊀图８对于几条线段长度之间的关系,解题时不可能采用测量的办法,这就需要通过线段的位置进行转化,将它们放在一条线段上或者一个三角形中,故需要重新构造三角形才能突破难点,将问题化繁为简．于是过点A 作A G ʅA N 交C B 的延长线于点G (如图８),证明әA B G ɸәA D N (A S A ),由全等三角形的性质得出A G ＝A N ,B G ＝D N ．再证明әAM G ɸәAMN (S A S )．由全等三角形的性质得出MN ＝M G ＝M B ＋B G ＝M B ＋D N ．６构造圆巧解几何最值问题例５㊀如图９,E ,F 是正方形A B C D 的边A D 上两个动点,满足A E ＝D F ．连接C F 交B D 于点G ,连接B E 交A G 于点H ．若正方形的边长为１,试求线段DH 长度的最小值．图９㊀㊀㊀图１０几何动态最值问题,最好的解决办法就是根据题意化动为静,确定取得最小值时的静态问题,从而借助相关条件可以得到解答[３]．根据条件很容易证明әA B E 和әD C F 全等,әA D G 和әC D G 全等,从而可得øA B E ＝øD C G ,øD C G ＝øD A G ,则øA B E ＝øD A G ,然后求出øAH B ＝９０ʎ．这样不管E F 如何运动,H 都是以A B 为斜边的直角三角形的顶点,故可以考虑构造圆．如图１０,以A B 的中点O 为圆心,以A B 为直径在正方形内部作半圆,连接O D 交半圆于点H ᶄ,此时DH ᶄ即为DH 的为最小值,再利用相关条件即可求解．综上所述,可以看出构造法在解决一些问题过程中的巧妙之处,这就需要教师在教学中要特别注意构造几何图形,再借助数形结合突破问题难点,让学生从疑难之中解脱出来,提高分析解题的能力,从而更好地借助训练提升综合素养．参考文献:[１]王春凤．挖掘题目信息构造几何模型 例谈直观想象素养的培养[J ]．中学数学教学参考,２０２０(Z ３):３Ｇ４．[２]宋亚洲．构造几何模型巧解竞赛难题[J ]．中学生数学,２０２１(１７):３３Ｇ３４．[３]铁馨． 构造法 在数学解题中的运用[J ]．中学生数理化(学习研究),２０１６(１０):１３．Z ８６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
构造全等三角形,巧求不规则图形面积
2020年第10期中学数学教学参考（下旬）想方法构造全等三角形，—一 —|巧求不规则图形面积刘凤山（安徽省阜阳市颍上县五十铺乡中心学校）摘要：对一道中考题从不同的思路入手，构造全等三角形，巧妙求出不规则四边形的面积，从而体验和感 悟构造法解决数学问题的魅力，并且通过探究归纳总结出相关结论，提升对问题的认知能力。
关键词：构造法；四边形；全等三角形 文章编号：1002-2171 (2020) 10-0054-021引例2问题探究图如图1，在五边形A B C D E中，=D E ，点M是C D 边的中点。
求证:A M 丄C D 。
分析：从待证结论可以看出，A M 是C D 边的垂直平分线，结合垂直平分线的判 定定理“和一条线段两个端点距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上”可知，我们应先联结A C ，A D ， 然后设法证明A C =A D 。
根据已知条件“AB = A £，D E ”，联想到全等三角形的判定定理“S A S ”，而A C ，A D 这两条辅助线具有“一箭双 雕”的作用.既构造了一对全等三角形（A A B C 和 △A E D ),又构造了一个等腰三角形A C D ，用到了构造法。
所谓构造法，就是为了解决某一数学问题，我们 可以构造一个式子、一个方程或函数、一个几何图形， 甚至是一个新的数学问题，从而沟通已知与未知的联 系，达到顺利解决问题的目的。
下面笔者以一道中考 题为例说明如何应用构造全等三角形的方法求不规 则四边形的面积，从而让学生体验和感悟构造法解决 数学问题的魅力。
题目：（2017年陕西中考题）如图2,在四边形A B C D 中，Z D A B = Z B C D =90°，A B = A D ，对角线 A C =6,求四边形A B C D 的面积。
分析：该题中的四边形A B C D是一个不规则四边形，无法直接 利用特殊四边形（正方形、矩形、平行四边形）的公式来求面积，这时则需要另辟蹊径。
巧妙构圆 简捷求解
巧妙构圆简捷求解
以“巧妙构圆，简捷求解”为标题，今天我们将讨论如何用简洁高效的数学方法巧妙构圆。
据已知，构圆是一种把一个空间或物体投射到圆上的过程，其中对象的形状可能与圆形不同，可以是矩形，三角形等。
圆的构造主要用于制作工具、汽车零件、建筑物等物体，但传统的构圆方法并不能满足大多数用途要求，其效率低下。
为此，人们开始寻求更有效的构圆方法。
朴素圆构建是一种构圆方法，该方法由三角形构成，通过对坐标轴进行变换，将给定的点逐一投射到圆上，最后得到一个精确的圆形图像。
然而，由于朴素圆构建过程中需要消耗大量的计算资源，其使用效率很低，并不能满足实际需要。
于是，研究者开始研发更高效的构圆方法，并发展出了能够更加简捷求解的数学算法。
该算法有助于用简单而又高效的运算实现高精度的圆形构建。
首先，研究者把空间中的原始图形抽象为一个矩形网格，把各个网格点的坐标分别记录下来。
接下来，用贝塞尔曲线的概念把这些网格点连接起来，实现构圆的目的。
因为贝塞尔曲线具有参数化的特点，只要把参数调节得当，便可以很容易的构成几乎任何形状的圆。
此外，巧妙的构圆算法还可以有效地利用计算机的多处理器来加快构圆的过程。
通常，把一个复杂的图形投射到圆上可能需要时间，而多处理器可以将计算任务分解，有利于提高构圆的运算效率。
总之，巧妙的构圆，简捷求解是一种非常高效的构圆方法，它可
以辅助传统的构圆方法，实现更加精确快捷的构圆过程。
它可以有效利用计算机硬件，实现大规模构圆处理；还可以节省许多计算资源，提高构圆的效率。
因此，今天，巧妙的构圆算法被越来越多的应用于实际环境中。
鲁教版7年级下册数学巧妙构造 灵活运用
方法点击巧妙构造灵活运用江西漆发明“直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，这是与30°角有关的重要性质.利用这个性质解题需要注意两个问题：一是图形中含有30°的角；二是这个30°的角必须在直角三角形中.有时题目条件不具备利用这个性质解题，往往需要添加适当的辅助线，构造适合利用这个性质求解的图形.下面分类举例说明.例1 如图1，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．分析：观察图形，可知CD无法直接求出，考虑作辅助线，延长AD，BC交于点E，可得到△EDC是等边三角形，在Rt△ABE中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．解：延长AD，BC交于点E.因为∠A=30°，∠B=90°，所以∠E=60°.因为∠ADC=120°，所以∠EDC=60°.所以∠ECD=60°.所以△EDC是等边三角形.所以CD=CE=DE.设CD=CE=DE=x，因为∠A=30°，∠B=90°，所以AE=2BE，即x+4=2(1+x)，解得x=2.所以CD=2．例2 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，（1）求：此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问：轮船有没有触礁的危险？请说明理由．分析：（1）观察图形可知有30°的角，过点P作PD⊥AB，可求得∠PBD及∠P AD的度数，得到△APB是等腰三角形，进而得解；（2）利用含30°角的直角三图2 角形的性质求出PD的长，和3海里比较即可判断．解：（1）过点P作PD⊥AB于点D.因为∠PBD=90°-60°=30°，∠PBD=∠P AB+∠APB，∠P AB=90°-75°=15°，所以∠APB=15°.所以∠P AB=∠APB.所以BP=AB=7海里.所以此时轮船与小岛P的距离BP是7海里.（2）轮船没有触礁的危险.理由：由（1），知PB=7海里.因为∠PBD=30°，PD⊥AB，所以PD=12PB=3.5＞3.所以该船继续向东航行，轮船没有触礁的危险．。
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构造图形，巧妙求解
（342300 江西于都第三中学 蔡家禄）
数学知识的积累，数学思想方法的感悟大多是通过解题习得的，有时掌握一些基本图形或式子的特点（结论）对于快速形成解题思路是大有裨益的.
例1 题目：已知a+b=2，则4122+++b a 的最小值为 .
分析：由勾股定理a 2+b 2=c 2,
则c =,式子22b a +就可以理解为“以a 、b 为直角边长的直角三角形的斜边长”；而a+b=2，可以理解为线段a 、b 长度之和为2，据此，我们可以构造图1.在图1 中，AB =2, BC =a +b =2,CD =1,∠B =∠C =90°.要求4122+++b a 的最小值，即可将问题转化为求AP +DP 的最小值，显然当A 、P 、D 三点共线时有最小值（两点之间，线段最短，见图2）.如图2，在Rt △AGD 中，直角边AG =3,DG =2,用勾股定理可求得斜边AD
即4122+++b a
（解略）
2A 12
2D A
反思：这是一种“无中生有”式的解题技法，其关键在于“数形结合”，由代数式子想到几何图形！
例2 题目：在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点D 、E 分别为AC 、BC 上的点，将△ABC 沿DE 折叠，使得点A 落在点A 1处.
（1）填空：边AC 的长为 ；设CD =x ，A 1D 的长可用含x 的式子表示为 .
（2）探究1：如图1，当点A 1落在边BC 上时，
①若点A 1是BC 的中点，求CD 的长；
②若CD =94
，则四边形ADA 1E 是菱形，请说明理由； （3）探究2：如图2，当点A 1落在BC 边的下方时，设A 1D 与边BC 交于点M ，A 1E 与边BC 交于点N ，问△A 1
MN 是否为等腰三角形？若能，请求出t an ∠CDM 的值；若不能，请说明理由.
图1 图2
点评：
本题以边长分别为6、8、10最为学生熟悉的特殊直角三角形为背景，以翻折为手段，将轴对称，勾股定理，菱形的判定，列方程求线段长，相似三角形，等腰三角形，分类讨论等初中阶段核心数学知识与解题思想方法融汇在一起，设问构思精巧，立意深远，图形简洁优美，内涵丰富，犹如陈年老酒，入口醇正，沁人心脾，回味无穷.
第（1）小题第一问可直接由勾股定理求得AC =6；第二问由轴对称的性质可知A 1D =AD =6－x.第（2）小题的第①问，当点A 1是BC 的中点时，即已知CA 1=4，在Rt △A 1CD 中，CD =x ，A 1D =6－x ，CA 1=4，由勾股定理列出方程可求得CD 的长；第②问，已知CD 的长，可求CA 1与A 1D 的长，进而可得DA 1∥AB ,∴∠A 1DE =∠AE D=∠ADE ,∴AE =AD = A 1E =A 1D , ∴四边形ADA 1E 是菱形. ①与②实际上是互为照应，①由点的位置，确定线段的长，而②恰好反过来，由线段长来确定点的位置，点的位置确定了，形的大小也就确定了.这通常也是数学研究的一般思维模式，正反互相印证.
（3）若△A 1MN 为等腰三角形，显然应分三种情况讨论，即其三边谁作腰？谁作底？（一般地，对于等腰三角形的分类，通常以谁作顶角的顶点为分类标准可使解题思路清晰，在解题叙述上更为方便简洁.）
（一）若A 1M =A 1N （即A 1为顶角的顶点）（见图2-1）, 则∠A 1MN =∠A 1NM= 1(180)2A ︒-∠=∠DMC ，∴∠CDM =90°－∠DMC= 12A ∠.由12
A ∠想到∠A 的平分线，所以我们可抛开原图，再重新构造一个新图（见图3），AP 平分∠BAC ,过点P 作PQ ⊥A
B 于Q ，设CP =x ，则PQ= CP =x ，P B =8－x ，由
PQ AC PB AB =得6810x x =-，解得x =3. ∴t an ∠CDM =t an 12A ∠=3162
CP AC ==；
（二）若NM = N A 1（即N 为顶角的顶点）（见图2-2），则∠NA 1M =∠NM A 1=∠DMC=∠A ，∠CDM =∠B . ∴t an ∠CDM =t an ∠B =
6384
AC BC ==；
（三）若MN= M A1（即M为顶角的顶点）（见图2-3）, 则∠MA1N=∠M NA1=∠A，过点N 作NG⊥A1 M于G，则有∠CDM=∠M NG=∠M NA1－∠GN A1=∠A－∠B.由∠A－∠B想到构造新图4（见图），作AB的垂直平分线交BC于S，垂足为T，连接AS，则∠CAS=“∠A
－∠B”，BT=1
5
2
AB=,由
SB AB
TB CB
=得
10
58
SB
=，解得SB=
25
4
.
∴CS=8－SB=7
4
.∴t an∠CDM =t an∠CAS =
7
24
CS
AC
=.
综上所述，当△A1MN为等腰三角形时，t an∠CDM的值为1
2
或
3
4
或
7
24
.
反思：
这种根据角的大小重新构造图形来求比值的方法，很新颖，很有创意，它跳出了原图的束缚，开辟了一个新的天地，给求值计算带来简便.。