构造辅助圆解题
浅谈构造辅助圆解决点的问题
浅谈构造辅助圆解决点的问题对于数学中较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目，如果可以根据题干中的基本要素，结合到圆的相应理论，合适地画出辅助圆，一般可以变复杂为简单，变困难为基础，发现答题技巧，添加辅助圆的一般过程是：基于“圆的定义”添加辅助圆、通过“圆周角的性质”添加辅助圆、通过圆周角与圆内外角的联系添加辅助圆、基于“弦切角的模型”添加辅助圆、利用“圆幂定理”添加辅助圆、利用“判定四点共圆的理论”添加辅助圆、利用“两圆相切的定义”添加辅助圆、利用“托勒密理论”添加辅助圆。
标签：数学问题添加辅助圆基础题型从全国高中数学联赛与国际数学奥林匹克中涉及的相关题型来看，可以了解到，数学问题，作为竞赛中最常涉及的内容之一，在数学竞赛中，其地位是数一数二的。
对于一些较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目而言，解题的人哪怕是在灵活运用所学知识与思维逻辑推算方面有着较强的能力，但是难免也会被此绊住脚步。
因此，解题者如果可以通过题干基本框架及特征，从而联系到圆的理论应用，合适地添加辅助圆，通常能够变复杂为简单，变困难为基础，从而发现答题的关键出口。
本篇文章的中心就是介绍如何利用添加辅助圆来达到解题目的。
在日常的教授课程中，老师们常会根据圆的性质来添加辅助圆，由此便将原有问题变成了辅助圆与直线的公共点的相应问题。
一、根据“在同一个圆内，若两弧相等，则两弧对的圆周角相等”添加辅助圆题1 如图所示，平行四边形ABCD中，E在AD，延长CE至F点，使得。
（1）证明：；（2）用做图工具在直线AD上取一点P，使∠CPB=∠PDC（作法不需写，保留作图印记）（1）由题目可知AD//BC，所以。
又，所以可以知道，由此可得。
（2）因为P在直线AD上，又AD//BC，所以。
若要得，就是要使得，从（1）可以知道条件，则只需，也就是和可以视为弧BC对应的圆周角，因此P 点为的外接圆和AD所相交的点。
解（1）省略。
（2）分别在边BF与BC上作垂直平分线，设两垂直平分线交于O点。
部编数学九年级上册专题24定点定长构造辅助圆(解析版)含答案
专题24 定点定长构造辅助圆1．如图，已知AB AC AD==，2CBD BDCÐ=Ð，44BACÐ=°，则CADÐ的度数为( )A．68°B．88°C．90°D．112°【解答】解：如图，AB AC AD==Q，\点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；2CBD BDCÐ=ÐQ，2CAD CBDÐ=Ð，2BAC BDCÐ=Ð，2CAD BAC\Ð=Ð，而44BACÐ=°，88CAD\Ð=°，故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，AB AC AD==，50BACÐ=°则BDCÐ的大小是( )A．30°B．75°C．15°D．25°【解答】解：由AB AC AD==，50BACÐ=°，则可添加辅助圆，\有1252BDC BACÐ=Ð=°，故选：D．3．如图，在矩形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为( )A ．2B ．52C ．3D 【解答】解：连接AM ，Q 点B 和M 关于AP 对称，3AB AM \==，M \在以A 圆心，3为半径的圆上，\当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，5AC ==Q ，3AM AB ==，532CM \=-=，故选：A ．4．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE AB ^，2AF AE =，FC 交BD 于O ，则DOC Ð的度数为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°【解答】解：如图，连接DF 、BF ．FE AB ^Q ，AE EB =，FA FB \=，2AF AE =Q ，AF AB FB \==，AFB \D 是等边三角形，AF AD AB ==Q ，\点A 是DBF D 的外接圆的圆心，1302FDB FAB \Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是正方形，AD BC \=，90DAB ABC Ð=Ð=°，45ADB DBC Ð=Ð=°，FAD FBC \Ð=Ð，FAD FBC \D @D ，15ADF FCB \Ð=Ð=°，60DOC OBC OCB \Ð=Ð+Ð=°．解法二：连接BF ．易知15FCB Ð=°，451560DOC OBC FCB Ð=Ð+Ð=°+°=°故选：A ．5．如图，已知等边ABC D 的边长为8，以AB 为直径的圆交BC 于点F ．以C 为圆心，CF 长为半径作图，D 是C e 上一动点，E 为BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为( )A ．B ．C ．2D ．12【解答】解：点D 在C e 上运动时，点E 在以F 为圆心的圆上运动，要使AE 最大，则AE 过F ，连接CD ，ABC D Q 是等边三角形，AB 是直径，EF BC \^，F \是BC 的中点，E Q 为BD 的中点，EF \为BCD D 的中位线，//CD EF \，CD BC \^，8BC =，4CD =，故BD ===，故选：B ．二．填空题（共6小题）6．如图，点A ，B 的坐标分别为(4,0)A ，(0,4)B ，C 为坐标平面内一点，2BC =，点M 为线段AC的中点，连接OM ，OM 的最大值为 1+ ．【解答】解：C Q 为坐标平面内一点，2BC =，\点C 的运动轨迹是在半径为2的B e 上，如图，取4OD OA ==，连接OD ，Q 点M 为线段AC 的中点，OM \是ACD D 的中位线，12OM CD \=，OM \最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，此时在Rt OBD D 中，BD ==，2CD \=+，OM \的最大值是1+．故答案为：1+．7．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，且3CAD BAC Ð=Ð，若42DBC Ð=°，则CAD Ð= 84° ，BDC Ð= ．【解答】解：AB AC AD ==Q ，\点B ，C ，D 在以A 为圆心的圆上，42DBC Ð=°Q ，284CAD DBC \Ð=Ð=°，3CAD BAC Ð=ÐQ ，1283BAC CAD \Ð=Ð=°，12BDC BAC Ð=ÐQ ，128142BDC \Ð=´°=°．故答案为：84°，14°．8．如图所示，AB AC AD ==，18DBC Ð=°，则CAD Ð= 36° ．【解答】解：AB AC AD ==Q ，B \、C 、D 三点在以点A 为圆心，以AB 为半径的圆上．18DBC Ð=°Q ，236CAD DBC \Ð=Ð=°．故答案为：36°．9．如图，四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC ，CD 的中垂线，80EAF Ð=°，30CBD Ð=°，则ABC Ð= 40° ，ADC Ð= ．【解答】解：连接AC，AEQ、AF分别是BC、CD的中垂线，\==，AB AC ADB\、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，Q，Ð=°CBD30\Ð=Ð=°，DAC DBC260=，Q，CF DFAF CD^DAF\Ð=°，30\Ð=°，ADC60又803050Q，EACÐ=°-°=°\Ð=Ð=°-°=°．905040ABC ACE故答案为：40°，60°．10．如图，AB AC ADÐ是BDCÐ的k倍，那么DBCÐ的 k 倍．Ð是CAB==，如果DAC【解答】解：AB AC AD==Q，\点B、C、D在以A为圆心的圆上，12BDC CAB \Ð=Ð，12DBC DAC Ð=Ð，DAC k CAB Ð=ÐQ ，222k k DBC CAB BDC k BDC \Ð=Ð=´Ð=Ð，故答案为：k11．如图，矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，P 是直线AB 上的一个动点，2AE =，APE D 沿PE翻折形成FPE D ，连接PF 、EF ，则FC 的最小值是 2 ，点F 到线段BC 的最短距离是 ．【解答】解：连接CE ，作EG BC ^于G ，2AE EF ==Q ，\点F 在以E 为圆心，AE 为半径的圆上运动，在Rt CDE D 中，由勾股定理得，CE ===，FC \的最小值为22CE -=，90DAB ABC BGE Ð=Ð=Ð=°Q ，\四边形ABGE 是矩形，4EG AB \==，\点F 到线段BC 的最短距离是2，故答案为：2-，2．三．解答题（共9小题）12．如图，在ABC D 中，AB AC =，过点B 作BD BC ^，BD BC =，连接AD 交BC 于点F ．E 是CD 的中点，连接AE 交BC 于G ．（1）若AB BD =，求ADC Ð的度数；（2）若4BC BF =，且4AB =，求四边形ABDC 的面积．【解答】解：（1）如图1中，AB AC =Q ，BD BC =，AB BD =，AB BC AC \==，ABC \D 是等边三角形，60ABC \Ð=°，BA BC BD ==Q ，A \、C 、D 三点在B e 上，1302ADC ABC \Ð=Ð=°．（2）如图2中，连接BE ．90DBC Ð=°Q ，DE EC =，BE EC DE \==，AB AC =Q ，AE \垂直平分BC ，BG CG \=，设BG CG a ==，则2BC BD a ==，14BF BC =Q ，BF FG \=，//BD AG Q ，BFD GFA \D D ∽，\1BF BD FG AG==，2BD AG a \==，在Rt ABG D 中，222AB AG BG =+Q ，22164a a \=+，2165a \=，21111642222422225ABCD S BC AG BC BD a a a a a \=××+××=´´+´´==四边形．13．如图，AB AC AD ==，2CBD BDC Ð=Ð，40BAC Ð=°，求CAD Ð的度数．【解答】解：AB AC AD ==Q ，B \，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，2CAD CBD \Ð=Ð，2BAC BDC Ð=Ð，2CBD BDC Ð=ÐQ ，40BAC Ð=°，280CAD BAC \Ð=Ð=°．14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC ==，请利用圆规画出过A 、B ．C 三点的圆．若70AOB Ð=°，则ACB Ð= 35° ．如图，Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，30BCA Ð=°，2AB =．（2）已知，如图2．点P 为AC 边的中点，将AC 沿BA 方向平移2个单位长度，点A 、P 、C 的对应点分别为点D 、E 、F ，求四边形BDFC 的面积和BEA Ð的大小．（3）如图3，将AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF ，是否存在这样的a ，使得直线DF 上有一点Q ，满足45BQA Ð=°且此时四边形BADF 的面积最大？若存在，求出四边形BADF 面积的最大值及平移距离a ，若不存在，说明理由．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB Ð=°Q ，35ACB \Ð=°，故答案为35°．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，30BCA Ð=°，2AB =．4AC \=，60BAC Ð=°，BC =．P Q 为Rt ABC D 斜边AC 中点，122BP AC \==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，\四边形ABPE 为菱形，60BAC Ð=°Q ，30BEA \Ð=°，//CF BD Q ，且90ABC Ð=°，\四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC \=+´=´´=，（3）如图所示，当AC 边沿BC 方向平移2个单位至DF 时，满足45BQA Ð=°且此时四边形BADF 的面积最大，此时直角梯形ABFD 的最大面积为，11()22)2422S BF AQ AB =´+´=´+´=+15．在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，BE AC ^，EG 、EF 分别平分AEB Ð和CEB Ð，求证：BG BF =．【解答】解：连接GF ，取GF 中点O ，连接BO ，EO ，BE AC ^Q ，90AEB BEC \Ð=Ð=°，EG Q 、EF 分别平分AEB Ð和CEB Ð，45GEB FEB \Ð=Ð=°，90GEF \Ð=°，在Rt GBFD中，BO，EO分别是斜边的中线，D和Rt GEF==，BO GO FO\==，EO GO FO\===，BO EO GO FO\、B、F、E四点在以O为圆心，BO为半径的圆上，G\Ð=Ð=°，45BGF BEF\D是等腰直角三角形，GBF\=．GB FB16．如图，在ABCÐ=°，连接BDCBD=，DE垂直平分AC，且30D中，AB AC=；（1）求证：AB ADD是等腰三角形，求ABC（2）设AD交BC于点P，若ABPÐ的度数．【解答】解：（1）证明：作BDCD的外接圆，延长DE交圆于点F，连接CF、AF，如图所示，则有30Ð=Ð=°．DBC DFCDEQ垂直平分AC，\=，AF FC\Ð=Ð=°，30AFE CFE\Ð=°，60AFCAFC\D是等边三角形，\=．AF AC=Q，AB AC\==，AF AC AB\点A为所作圆的圆心，AB AD\=．=，（2）①若PA PB则ABC BAPÐ=Ð．Q，AB AC=\Ð=Ð．ABC ACBQ，260Ð=Ð=°DAC DBC\Ð=Ð+Ð=°+Ð，APB PAC ACB ACB60\Ð=°+Ð．APB ABC60Q，Ð+Ð+Ð=°ABC BAP APB180\Ð+°=°，ABC360180解得：40Ð=°ABC=，②若BA BP同理可得：20ABCÐ=°．=，③AB AP此时P与C重合，则D与E重合，不符合题意，故舍去．综上所述：当ABPD是等腰三角形时，ABCÐ的度数为40°或20°．17．【阅读】辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．性质：如图①，若90Ð=Ð=°，则点D在经过A，B，C三点的圆上．ACB ADB【问题解决】运用上述材料中的信息解决以下问题：（1）如图②，已知DA DB DC==．求证：2ADB ACBÐ=Ð．（2）如图③，点A，B位于直线l两侧．用尺规在直线l上作出点C，使得90Ð=°．（要求：ACB要有画图痕迹，不用写画法）（3）如图④，在四边形ABCD中，90^，点F在CA的延长线上，连接DF，CADÐ=°，CB DBÐ=Ð．ADF ABD求证：DF是ACDD外接圆的切线．【解答】解：（1）如图②，由DA DB DC==，可知点A，B，C在以D为圆心，DA为半径的圆上．所以，2Ð=Ð．ADB ACB（2）如图③，点1C ，2C 就是所要求作的点．（3）如图④，取CD 的中点O 为圆心，CD 为直径作圆O ，则O e 是ACD D 的外接圆；由90DAC DBC Ð=Ð=°，可得点B 在ACD D 的外接圆上．ACD ABD \Ð=Ð．ADF ABD Ð=ÐQ ，ACD ADF \Ð=Ð．90ACD ADC Ð+Ð=°Q ，90ADF ADC \Ð+Ð=°．90CDF \Ð=°．即CD DF ^．DF \是ACD D 外接圆的切线．18．在Rt ABC D 中，90A Ð=°，4AC AB ==，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △11AD E ，设旋转角为(0180)a a <°…，记直线1BD 与1CE 的交点为P ．（1）如图1，当90a =°时，线段1BD 的长等于 线段1CE 的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当135a =°时，求证：11BD CE =，且11BD CE ^；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【解答】（1）解：90A Ð=°Q ，4AC AB ==，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，2AE AD \==，Q 等腰Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △11AD E ，设旋转角为(0180)a a <°…，\当90a =°时，12AE =，190E AE Ð=°，1BD \==1E C ==故答案为：，；（2）证明：当135a =°时，如图2，Rt Q △11AD E 是由Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转135°得到，11AD AE \=，11135D AB E AC Ð=Ð=°，在△1D AB 和△1E AC 中Q 1111AD AE D AB E AC AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，\△1D AB @△1()E AC SAS ，11BD CE \=，且11D BA E CA Ð=Ð，记直线1BD 与AC 交于点F ，BFA CFP \Ð=Ð，90CPF FAB \Ð=Ð=°，11BD CE \^；（3）解：如图3，作PG AB^，交AB 所在直线于点G ，1D Q ，1E 在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当1BD 所在直线与A e 相切时，直线1BD 与1CE 的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形11AD PE 是正方形，12PD =，则1BD ==故30ABP Ð=°，则2PB =+，故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：1PG =．19．如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为BC 边上的动点，将FCE D 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，求点P 到边AB 距离的最小值．【解答】解：如图，延长FP 交AB 于M ，2FP CF ==Q ，\点P 在以F 为圆心，CF 为半径的圆上运动，当FP AB ^时，点P 到AB 的距离最小，A A Ð=ÐQ ，90AMF C Ð=Ð=°，AMF ACB \D D ∽，\AF FM AB BC=，2CF =Q ，6AC =，8BC =，4AF \=，10AB ==，\4108FM =，3.2FM \=，2PF CF ==Q ，1.2PM \=，\点P 到边AB 距离的最小值为1.2．20．如图，ABC D 中，4AC BC ==，90ACB Ð=°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．（1）小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，AEB Ð的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：AC BC EC ==Q ，A \、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上．AEB \Ð=ACB = °．（2）若2BE =，求CF 的长．（3）线段AE 最大值为 ；若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为 ．【解答】解：（1）AC BC EC ==Q ，A \、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，1452AEB ACB \Ð=Ð=°，故答案为：12，45；（2）由折叠可知，CD 垂直平分BE ，BE CD \^，设CD 、BE 交于点G ，则112GE BG BE ===，90FGE \Ð=°，45AEB Ð=°Q ，1FG GE \==，在Rt CEG D 中，由勾股定理得，CG ==1CF CG FG \=-=-；（3）A Q ，B ，E ，三点在以C 为圆心，以AC 为半径的圆上，\当AE 经过圆心C 时，线段AE 的最大值为28AC =，在Rt ABC D 中，4AC BC ==，90ACB Ð=°，AB \==122BM CM BC ===，45ABC BAC Ð=Ð=°，连接BF ，取AB 的中点O ，连接OF ，如图，CD Q 垂直平分BE ，45AEB Ð=°，BF EF \=，45EBF AEB \Ð=Ð=°，90EFB \Ð=°，90AFB \Ð=°，12OF AB OA OB \====，\点F 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上，90ACB Ð=°Q ，\点C 在O e 上，\当OF 经过点M 时，MF 最短，此时OF BC ^，tan 212OM BM ABC \=×Ð=´=，2MF OF OM \=-=-，即线段MF 的最小值为2，故答案为：8；2．。
精心构造辅助圆,解决问题少困难
精心构造辅助圆 解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科） 设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____． （-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线 上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那 么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存 在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所 以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”， 所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。
巧构辅助圆 难题也简单
图２
‘
、
辫 如 ２ 条 知点只 图 ， 件 ，Ｐ 由
能在 直 线Ｚ 即直 线Ｂ 与 直 线 Ｚ ， 。 （ Ｅ） 上
』 ４～
’
６
‘
、
，
？．
其 中ｚ ２ 与直线Ｃ Ｄ的距 离等于￡ 与直线
为半径的辅助圆。则点０ 给在圆周上．
此 时直 径 ＝ ．Ｅ ７ ＝． 据 相 层 ８Ｄ ＝ ，Ｄ １ 根
交 弦 定 理 可 得 ＡＤ・ ＝ ＤＣ ＤＥ・ ＝ ．故 ＤＢ ７ 本题 应选 Ｂ ．
图７
② 当 ＜ Ｑ ｌ时 ， ｃ ＜２ 圆与直线Ａ Ｂ
ｊ
图９
有 两个 交 点 ，当点腿 动 到 两个 交 点
的联 系， 而找到 简捷 、 进 巧妙 的解题方法 而“ ” 从 圆 满地 解决 问题 ．
嘲嗽 如 １在 ＡＣ ， 图 ， ＡＢ中
ＬＣ ２ ， 证 ：Ｂ＝ Ａ ・Ｃ ＝ ＬＢ 求 Ａ ２ Ａ ＣＢ ．
… － －－ －
ｒ
棼８ 取
警 Ｉ§ 例Ｉ 在正五边形Ａ Ｃ Ｅ ２ Ｂ Ｄ 所在
Ｃ Ｄ ’ ・
＇
， ，
的公切 线． 因此满足条件的直线共有
３ 条．故 本题应 选Ｒ
一
翰
以 Ａ 圆 ，长 半 点 为 心 为 曰
…
…
…
…
…
…
ｚ
／
径 作 圆 ， 的 延 长线 交 圆 于 点Ｄ， ＢＣ 向
两 侧 延 长ＡＣ 别 交 圆 于 点 Ｅ． 因 为 分 Ａ ＝ Ｂ ＡＤ。 以 ＬＢ Ｄ 因 为 ＡＣ 所 ＝ ． Ｂ＝
初数-构造辅助圆解题教法解析
■七 口工 思路： .1 ADCB^AFCB ADAB^ADAF InllSlll FD=BD=FB zDBF=60° zCBD=30° izUlE^ Example
在平面直角坐标系中，已知A (-3, 0) , B (1, 0),点P
在y轴上，且4ABP为直角三角形，NAPB=90° .请问满
足条件的点P有几个？并求出它们的坐标.
思路：作以AB为直径的圆，P在圆 与y轴的交点上，根据圆的定义和 勾股定理即可求P坐标
例题 Example
二、作三角形的外接 园
总结：直角三角形斜边即为直角三 角形外接圆半径
求证：ZCPO=ZDPO.
思路：切线长定理可知，OA^AP,
AM±OP,可得AM2=OM・MP,由
相交弦定理可知CM.MD=AM. MB, 因此可得CM.MD=OM.MP,所以C、
圆，由CO=BO即
Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助 国 （不在11月月考范围内）
总结：若四边形A5CD的一组对边A3、DC的延长线相交于居
LilI心角关系定理：同B0或等国中, “知一推二”
周角定理及推论
1 .圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2 .推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.
3 .推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
4 .推论3:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角
思路：连DF, EF,寻找PD、PE、PF之间的
・关系，证明△PDF-Z\PFE,而发现P、D、B、
“构造辅助圆”在初中数学解题中的灵活运用
２０２３年９月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀构造辅助圆 在初中数学解题中的灵活运用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀王㊀雪㊀㊀摘要:在数学解题过程中,常规的解题思路并不能应对一些比较复杂的几何问题,这时候就需要转换思路,有时利用 圆 ,就可以有效解答一类问题．借助 辅助圆 将几何问题中分散的条件集中,有助于发现题目中的隐含条件,从而起到化繁为简的作用．本文中通过实例分析,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．关键词:辅助圆;初中数学;几何问题㊀㊀构造辅助圆 是指在原有的几何图形上,构建一个辅助圆,利用圆的特性来完成题目的解答．通过辅助圆的构造,能够将几何题目中较为繁杂的已知条件进行集中处理,同时能够发现几何图形中的隐藏条件,利用对这部分条件的分析,快速解决问题．本文中结合实例,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．１构造辅助圆 解决数学问题的应用现状目前初中生在解题的过程中,较少应用辅助圆,且应用效果不理想．在几何题的解答过程中,辅助线的应用是比较常见的,但是有部分题目通过辅助线来解答依旧存在难度,甚至需要多条辅助线才能完成,如果学生用这种方法应对选择题和填空题,就会浪费大量的时间．而应用辅助圆则可以为相关问题披上圆的外衣,这样就可以依据圆的性质进行解题,从根本上起到化繁为简的作用[１]．２构造辅助圆 解决数学问题的实际案例２．１辅助圆在求线段长度的几何问题中的应用在解决求线段长度的几何问题中,通常是利用相同端点的线段构造辅助圆,以端点作为圆心,选取相等的线段作为半径或直径,完成辅助圆的构建后再利用圆的基本性质求解线段长度[２]．例１㊀在四边形D C B E 中,点A 在B E 上,A E ʊC D ,A B ＝A C ＝A D ＝A E ＝５c m ,且B C ＝１９c m ,求对角线B D 的长度．解析:由A E ʊC D ,得øB D C ＝øD B E ．图１由A B ＝A C ＝A D ＝A E ,将点D ,C ,B ,E 视为圆上的点构建辅助圆,如图１．于是弦D E 与弦B C 的长度相等．又由B C ＝１９c m ,得B C ＝D E ＝１９c m ．因为E B 为辅助圆的直径,所以øE D B ＝９０ʎ．所以在R tәE D B 中,根据勾股定理可知,B D ＝E B ２－E D ２．又A B ＝５c m ,E B 为圆A 的直径,则E B ＝１０c m ．所以B D ＝１０２－(１９)２＝９(c m )．２．２辅助圆在求度数的几何问题中的应用在解决求度数的几何问题中,通常可以将公共点作为顶点,作三角形的外接圆．在构建辅助圆的过程中要将三角形与辅助圆建立明确的关系．图２例２㊀如图２所示,әA B C为等腰三角形,且A B ＝A C ,直线A P 为әA B C 外侧直线,点B 与点D 关于A P 轴对称．求证:ø１＝ø２．证明:ȵ点B ,D 关于直线A P 对称,ʑ直线A P 为线段B D 的垂直平分线．ʑәA D B 为等腰三角形．图３ʑA D ＝A B ＝A C ．故可以A C 为半径,点A 为圆心,构建如图３所示的辅助圆．ȵP 为B D 中点,且A P 为过点E 的直线,ʑәD E B 为等腰三角形．ʑD E ＝B E ．ʑøE D B ＝øE B D ．ʑø２＝２øE D B ．又ø１＝２øC D B (同弧所对的圆心角是圆周角的２倍),ʑø１＝ø２．２．３辅助圆在求图形面积问题中的应用在数学中考题中,涉及面积的题型也很多,当题目条件较多且分散的几何图形很难运用面积公式时,可以尝试构建辅助圆,利用圆的基本性质以及圆的面３７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年９月下半月㊀㊀㊀积公式进行计算[３]．例３㊀如图４,әA B C 为等边三角形,且A B ＝A D ,AH ʅC D 于点H ,且P C ʅBC ,C P 与AH 交于点P ,求证:S әA B C ＝３４A PB D ．图４㊀㊀㊀图５解析:依题意可知A B ＝A C ＝B C ＝A D ,构建以点A 为圆心,A B 为半径的圆,得到如图５所示的辅助圆．ȵәA B C 为等边三角形,ʑøB A C ＝øA C B ＝øA B C ＝６０ʎ．ʑøB D C ＝１２øB A C ＝３０ʎ．又øB C P ＝９０ʎ,øB C A ＝６０ʎ,ʑøP C A ＝øC D B ＝３０ʎ．ȵøC B D ＝１２øC A D ＝øP A C ,ʑәB C D ʐәA P C ．ʑB C ʒA P ＝B D ʒA C ．又B C ＝A C ,ʑB C ２＝A P ˑB D ．ʑS әA B C ＝３４A PB D ．２．４辅助圆在求线段比或面积比问题中的应用图形中的某两条线段成比例或图形面积成比例这类题型是中考的难点和重点．利用辅助圆则可以结合圆的性质,通过圆中的线与角的关系进行求解．构建辅助圆时,要将有关线段置于辅助圆的关键位置,例如,可作为直径㊁半径或弧所对的弦．这样容易发现线段之间的关系,从而更加简便地进行解答[４]．例４㊀在R t әA B C 中,A C ＝B C ,øA C B ＝９０ʎ,P是C B 延长线上的一点,B P ʒB C ＝k ,已知０ɤk ɤ１,过点B 作A B 的垂线,过点P 作A P 的垂线,使两条垂线相交于点Q ,且A P ＝P Q ,连接A Q ,求әA B C 与әA P Q 的面积比．分析:根据已知条件分析,әA P Q 的面积较难求解,所以可以根据әA P Q 来构建辅助圆．解析:以A Q 为直径,A Q 的中点O 为圆心,构建如图６所示的辅助圆．ȵA P ＝P Q ,且øA P Q ＝９０ʎ,ʑәA P Q 为等腰直角三角形．设B C ＝A C ＝m ．图６ȵB P ʒB C ＝k ,ʑB P ＝k m ,P C ＝(k ＋１)m ．ʑP A ＝m ２＋[(k ＋１)m ]２＝m k ２＋２k ＋２．ʑS әA B C ʒS әA P Q＝１２A C ２１２P A ２＝１２m ２１２(k ２＋２k ＋２)m ２＝１ʒ(k ２＋２k ＋２)．２．５辅助圆在求线段极值问题中的应用辅助圆在求线段极值问题中有着广泛的应用,特别是在数学竞赛中经常遇到．例５㊀在边长为４的正方形A B C D 中,P 为对角线B D 上的一个动点,且与点B ,D 不重合,连接A P ,过B 作A P 的垂线,垂足为H ,连接DH ,求线段DH 的最小值．图７分析:由于无论点P 如何运动,A B 的长度都不会改变,因此可以A B 为直径,A B 的中点E 为圆心构建辅助圆,通过圆确定点H 的运动轨迹．解析:取A B 中点E ,连接D E ,构建如图７所示的几何图形,可得D E ＝(１２A B )２＋A D ２＝４２＋２２＝２５．当点H 与点M 重合时,线段DH 的长度最短,此时DH ＝DM ＝D E －M E ＝２５－２．综上所述, 构造辅助圆 在初中数学解题中的广泛应用,不仅包含大量的几何问题,而且部分代数问题中也可使用．构建辅助圆时,要结合题目的具体情况,根据四点共圆的条件确定辅助圆．通过辅助圆在不同类型几何问题中的应用,明确构建辅助圆在初中数学解题中的可行性与实用性,通过辅助圆的灵活应用,提升学生的实际解题能力．参考文献:[１]刘怀权． 构造辅助圆 在初中数学解题中的应用[J ]．数理天地(初中版),２０２２(１２):２１Ｇ２２．[２]蒋天林．从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用[J ]．中学生数理化(高考使用),２０２０(５):１１Ｇ１２．[３]黄磊． 圆 来如此简单 辅助圆 构造的解题探究[J ]．数理化解题研究,２０２１(１４):１０Ｇ１１．[４]徐勤．辅助圆在中考数学试题中的应用[J ]．科学大众:科学中考,２０２２(４):１３Ｇ１５．Z４７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型
中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。
二、典例精析类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（）A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140．4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝度，∠DBC＝_____度．【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．故答案为：12.5，37.5．法二：∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D 在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D 在以AB为直径的圆上．7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ 的范围．【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D，①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.类型3 四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出点M在以AC 为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE＝180°，2∠CDF+∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可证明∠CMF＝∠CDM+∠DCM＝∠CAO+∠OAD＝∠CAD＝45°）∵O是AC中点，连接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。
巧解初中几何问题——以构造辅助圆为例
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀巧解初中几何问题以构造辅助圆为例◉江苏省靖江市外国语龙馨园学校㊀徐㊀乐㊀㊀圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系．所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决．因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题．下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明．１角的问题例１㊀在әA B C 中,A B ＝A C ,øA B C 的平分线交A C 于点D ,已知B C ＝B D ＋A D ,求øA 的度数．分析:根据题中所给已知条件,可以判定әA B C为等腰三角形,但是想要根据已知条件通过常规方式求øA 的度数存在一定困难．结合题中所给的角平分线,可以联想圆中共顶点的角的问题,作әA B D 的外图１接圆,与әA B C 的B C 边交于点E ,连接D E ,如图１．根据B D 是øA B C 的角平分线,可以知道A D ＝D E ,同时还能得到这个辅助圆为四边形A B E D 的外接圆．根据圆内接四边形的对角互补的性质可得øA B C ＝øE D C ,根据әA B C 为等腰三角形可知øA B C ＝øE D C ＝øC ,于是可得øB E D ＝２øC ,且әE D C 为等腰三角形．所以D E ＝C E ,则A D ＝D E ＝C E ,然后结合B C ＝B E ＋A D 得到B D ＝B E ,所以øB D E ＝øB E D ＝２øC ．这样就可以在әB D E 中计算øC 的度数,即１２øC ＋２øC ＋２øC ＝１８０ʎ,所以øC ＝４０ʎ,最后计算得出øA ＝１００ʎ．在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行．本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解．教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题．２线段长度的问题图２例２㊀如图２所示,在R t әA B C中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是R t әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 的最小值为(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２C ．８１３１３D．１２１３１３图３分析:根据A B ʅB C 可以知道øA B C ＝９０ʎ,结合øP A B ＝øP B C 可得到øA P B ＝９０ʎ,所以әA B P 是直角三角形．根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是９０ʎ,可知点P 在以A B 为直径的圆上．以A B 的中点O 为圆心,A B 为直径作圆,如图３所示．这样就可得到当P C 的值最小时,点P 正好在线段O C 上．因为A B ＝６,所以O B ＝３．在R t әO B C 中,B C ＝４,根据勾股定理得到O C ＝５,于是可求出P C 的最小值为２．所以正确答案是选项B ．例２的解题关键是需要判断点P 的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到øA P B ＝９０ʎ,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P 在以直线A B 为直径的圆上,然后就能够求解最小值．因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路．教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路．很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的．因此结合已知条件来对试９７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式．教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题．３三角形相似的问题例３㊀әA B C 中,A D 是øB A C 的外角平分线,交B C 的延长线于点D ,求证:B D D C ＝A BA C．分析:A B ,A C 是әA B C 的两条边,而B D ,D C则是线段B D 上的两条线段,根据所学的知识,要证明B D D C ＝A BA C ,线段成比例关系可以通过证明三角形相似来解决．因此需要将线段B A 延长至点F ,连接D F ,构建出әB A C ʐәB D F ,得到A B A C ＝B DD F,然后证明C D ＝D F 就可以了,从而将证明的关键转化为证明C D ＝D F ．结合题意,øB A C 的外角平分线交B C的图４延长线于点D ,如图４,根据例题１中的方式构造әA C D 的外接圆,B A 的延长线与圆交于点F ,连接D F ．根据圆的性质可以得到C D ＝D F ,通过相似三角形的证明就可以解决问题．几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解．在这个过程中,需要充分结合例题１和例题２中辅助圆构造的方式来找到相应的关系．４动点的问题图５例４㊀如图５所示,边长为３的等边三角形A B C ,D ,E 分别是B C ,A C 边上的两个动点,且B D ＝C E ,A D ,B E 交于点P ,求点P 的运动路径长和C P 的最小值．分析:首先需要对点P 的运动路径进行判定．根据等边三角形的相关性质和B D ＝C E 可以得到әA B D ɸәB C E ,这样就得到øC B E ＝øB A D ,然后通过øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ得到øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ,于是øA P B ＝１２０ʎ．可以发现在点D 和点E 移动的过程中,øA P B ＝１２０ʎ是恒成立的,所以可以认为点P 在A B 为弦的圆上．假设弦A B 所在圆的圆心为O ,连接O P ,O A ,O B ,根据圆的性质㊁әA B C 的边长为３可计算出圆O 的半径O A ＝３,然后计算出点P 的运动路径长度为２３３π,C P 的最小值为３．解:由A B ＝B C ,øA B D ＝øB C E ,B D ＝C E 得әA B D ɸәB C E ．由øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ,得øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ．所以øA P B ＝１２０ʎ．故点P 的运动轨迹是以A B 为弦的圆上的一段弧．图６如图６所示,作әA B P 的外接圆,圆心为O ,连接O A ,O B ,O P ,O C ．由O A ＝O B ,A C ＝B C ,得әA O C ɸәB O C ．所以øO A C ＝øO B C ,øA C O ＝øB C O ＝１２øA C B ＝３０ʎ,øA O C ＝øB O C ＝１２øA P B ＝６０ʎ．故øO A C ＝９０ʎ．根据勾股定理,可得O A ＝３,O C ＝２３．所以,弦A B 所对的弧长为３ˑ２３π＝２３３π;当O ,P ,C 三点共线时,C P 最小,且最小值为３．在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题．本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化．例如,在例题２中通过计算所得到的角度为９０ʎ的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上．例４中这个角度为１２０ʎ,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决．本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明．在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解．因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养．Z０８。
构造辅助圆-巧解中考压轴题--以陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例
图 2 图 1 图3构造辅助圆 巧解中考压轴题—以2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例柯贤华 (陕西省洋县教研室)关于动点对定线段所张的角为定值问题，从表面上看似与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆,再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果,还考查了学生创造性思维，有利于培养学生分析问题的能力。
这里，构造辅助圆实则成了解题的关键。
为此，下面遴选2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例,对辅助圆的构造策略与方法作一介绍，以飨读者。
1 案例1及解法简析1.1 题目展示 （2014年陕西中考数学第25题)问题探究（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4,如果BC 边上存在点P ，使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD ,并求出此时BP 的长；（2）如图2,在△ABC 中，∠ABC=60°,BC=12，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点．当AD=6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF=90°，求此时BQ 的长. 问题解决(3）有一山庄，它的平面图为如图3的五边形ABCDE ,山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使∠AMB 大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m ，ED=285m ，CD=340m ，问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长；若不存在，请说明理由。
1.2 解法简析本题第（1）问相对简单，这里分析第（2）（3）问。
（2）由条件“当AD=6时，BC 边上存在一点Q,使∠E Q F=90°”，动点Q 对定线段EF 所张的角为直角，因此联想到“直径所对的圆周角是直角”，以EF 为直径作⊙O ，易证⊙O 与BC 相切，从而得到符合条件的点Q 唯一，然后通过添加辅助线,借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ 长；（3)要满足动点M 对定线段AB 所张的角∠AMB=60°，由此联想到“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，于是可构造以AB 为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD 的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可求出符合条件的DM 的长。
“圆”来如此简单——“辅助圆”构造的解题探究
数理化解题研究2021年第14期总第507期“圆”来如此简单—“辅助圆”构造的解题探究黄磊(江苏省泰兴市济川中学教育集团阳江校区225400)摘 要：解决“直线型”图形问题，如果巧作“辅助圆”，结合图形性质和圆周角定理等,能够收到事半功倍的效果.关键词：辅助圆；图形解题；案例释法;优先解法中图分类号：G632 文献标识码:A 面对一些“直线型”图形问题,如果忽视图形的几何 特征，直接解答往往会增加出错的可能.但是,如果注意挖掘和利用其中的一些隐藏条件，巧作“辅助圆”，往往能简便地解决问题.一、问题引入，对中考题四种解法的教学 反思泰州中考数学卷案例:第25题.已知正方形ABCD ,P 为射线AB 上的一点，以BP 为边作正方形BPEF ,使点F在线段CB 的延长线上，连接EA 、EC.若点P 在线段AB 上，如图1,设AB - a ,BP - b.当EP 平分乙AEC 时，求a :b 及乙AEC 的度数.图1本题当年中考得分率较低，主要失分点是有好多同学第一问就求不出a : b ,或者在求出a : b 后，绝大多数考生被卡在第二问“求乙AEC 的度数”上.事实上,从参考答案中的解法可以看出,命题者是把这一问作为一个难点来设置的.需设AB 、CE 交于点 G ,先证出a : b - 2 ： 1,得到a - 2 b.经汇总考卷参考 答案、笔者解法和所教学生的解法,加在一起共有4文章编号:1008 - 0333 (2021) 14 - 0010 - 02种解法.第一种：考卷参考答案的解法.图2因为EP 平分乙AEC , EP 丄AG ,所以AP - PG - a -b ,BG - a - (2 a - 2 b ) - 2 b - a ,因为 PE 〃 CF ,所以Z PEG 二 Z BCG.又 Z PGE 二 Z BGC ,所 以△ PGE s △ BGC.所以 PE : BC - PG : GB.即 b : a - ( a - b ) : (2b-a ),解得 a - M2 b.过G 作GH 丄AC ,垂足为H.如图2,因为Z CAB -45°, 所以 HG - 2 AG -jx(22 b -2 b ) - (2 - 2) b.又 BG -2 b - a - (2 - 2) b ,所以 GH - GB ,又 GH 丄AC ,GB 丄BC ，再证明A HCG 与△ BCG 全等，所以Z HCG -Z BCG ,因为 PE 〃CF ,所以 Z PEG - Z BCG ,所以 Z AEC -Z ACB -45°.所以 a : b - 2：1,Z AEC -45°.教者评析 此解法综合运用了等腰三角形的性质定 理、角平分线性质定理的逆定理,及相似三角形和正方形的性质等，但过程繁琐，考生拿到题目也不容易想到辅助线的作法.第二种:所教学生的解法.收稿日期：2021 -02 -15作者简介:黄磊(1980. 6 -)，男，江苏省泰兴人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.—10—2021年第14期总第507期数理化解题研究连接BE,a二AB二2b,BE二2b,.AB二BE,又Z ABE二45°,.Z EAG二67.5°.在A AEG中，Z AEG二180°-2x67.5°-45°.教者评析此法在求Z AEC的度数时,综合用到正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等.第三种:所教学生的解法.连接BE,v Z EBF-45°二Z BCE+Z BEC,BC二BE, .Z BCE二1Z EBF-22.5°.PE〃CB,.Z PEG-Z BCE-22.5°..Z AEG-2Z PEG-45°教者评析此法综合用到三角形外角的性质、等腰三角形性质定理、 平行线的性质.第四种：笔者的解法.同样先连接BE.BC-BA-BE,以B为圆心,BC长为半径作圆B,. Z AEC二1Z ABC二1x90°-45°.22教者评析总结反思上述4种解法,对比之下发现最简洁的思路还是解法4.二、“辅助圆”应用的情境分析1.江苏常州中考数学模拟卷案例一如图3,直线y-%+b(b>0)与%、y轴分别相交于A、B两点，点C(1,0),过点C作垂直于%轴的直线/，在直线I上取一点P,满足PA-PB,点A关于直线/的对称点为点D,以D为圆心,DP为半径作O D.其中第(3)小题，请 试说明：直线BP与O D相切.教者分析回答第(3)小题，如果按照一般思路，要证直线BP与O D相切，只要证BP丄PD.要证BP丄PD,大多数人的思路是:过点B作直线/的垂线，通过证明三角形全等来证明Z BPD-90°,而证明三角形全等的条件又不齐备，还需证明PC-OC-1,解题过程非常繁琐.仔细分析题目条件，如果结合图形的性质加以解决,则可找到证明Z BPD-90°的简便方法：因为点D是点A关于直线I的对称点,所以根据轴对称图形的性质可以得到PA-PD,再结合已知条件PA-PB,所以PA-PD-PB.以点P为圆心,PA的长为半径作O P,则点A、点B 和点D都在O P上.根据Z BAC-45°,由圆周角定理便能快速证到Z BPD-90°,从而证得BP丄PD,所以直线BP与O D相切.2.江苏常州中考数学模拟卷案例二在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)、B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当Z BCA-45。
构造辅助圆探求最值问题
构造辅助圆探求最值问题最值问题是中考舞台上的常青树，涉及知识面广，解决的方法活，且富有一定的技巧，所以倍受命题老师的青睐.下面就谈谈辅助圆在求最值时的精彩，供学习时借鉴.1.构造辅助圆直接求线段的最小值例1 如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A.32B. 2C.813D.1213分析：如图1，根据已知条件，我们不难发现，动点P在以AB为直径的圆上运动，而点C 在辅助圆的外部，根据点与圆的关系，知道，当O,P，C三点共线时，CP最短.解：因为∠PBA+∠PBC=90°，∠PAB=∠PBC，所以∠PBA+∠PAB=90°，所以∠APB=90°，所以点P在以AB为直径的圆上，当O,P，C三点共线时，CP最短，因为AB=6,所以OB=3,因为BC=4，所以OC=5，所以CP=OC-OP=5-3=2,所以CP的最小值为2，所以选B.点评：构造辅助圆，把不容易确定的线段的最小值问题转化为点与圆的关系是解题的关键，要学会这门技巧.2.构造辅助圆间接求线段的最小值例2 如图2，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A. 5B. 7C. 8D.13 2分析：如图2，当点Q在运动时，不难发现点A的对称点A'在以P为圆心，PA为半径的圆上，由BP=3，知道PA=5，连接PC与圆交于点F，由点C是圆P外的一点，根据点与圆的关系知道，当A'与点F重合时，CF=C A'最短，找到了最短位置，接下来就是求CQ的数值了. 根据图形的对称性知道：∠QPA=∠CPQ，根据菱形的性质，知道：AB∥CD，所以∠QPA=∠CQP，所以∠CPQ=∠CQP，，所以CQ=CP.过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据三角形ABC 是等边三角形，且AB=8，所以3,因为BP=3，所以EP=1，在直角三角形CEP中，2222(43)1CE EP+=+所以CQ=7.解：选B.点评：巧妙把线段的最小值转化成圆外一点与圆的关系是解题的关键，也是一种常用的方法，希望平时学习时多加练习.3.直接应用给定的半圆，探求最值例3 如图3，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值和最小值的和是（）1332 3分析：要想求最值的和，首先要结合条件，确定PQ的最大值在什么位置上取的，最小值在什么位置上取的，并能求得，和自然就得到.解：如图3，当点Q与点E重合，点P与点B重合时，线段PQ有最大值，设半圆与AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，因为AB=10,AC=8,BC=6,所以BC⊥AC，所以OD∥BC，因为OA=OB，所以OD是三角形ABC的中位线，所以AD=DC=4,OD=OE=OF=3,所以AE=OA-OE=5-3=2,所以线段PQ的最大值为PQ=10-2=8；过点O作ON⊥BC，交半圆于点M，过点M作GH∥BC,所以当点Q与点M重合，点P与点N重合时，线段PQ有最小值，PQ=MN=CH=DC-DH=4-3=1,,所以线段PQ的最小值为PQ=1；所以PQ的最大值与最小值的和为8+1=9，所以选C.点评：能顺利找到PQ取的最大值与最小值时，线段所对应的位置和条件，是解题的关键.4.构造辅助圆，借助弦心距的最大值求解例4 如图4，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．分析：如图4-3，我们不难发现，点N在以A为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A作AH ⊥BF，垂足为H，在整个运动过程中，直线BF与圆A的关系，从相交逐步演绎到相切，直到相离，此时圆心到弦的弦心距AH，遵循着从小到大，再到无得变化规律，当弦心距最大时，BN是圆的切线，在直角三角形ABN中，AB长度不变，AH（AN）最大，此时BN取得最小值，且满足点F和点M重合，如图4-4，这种条件下，三角形ABN和三角形BFC是全等三角形，也就是说此时CF 恰好取到最小值，由于DC 的长度是一个定值，从而DF 取到最大. 解：（1）因为△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM ，根据折叠的性质，得∠DAM=∠NAM ，因为AN 平分∠MAB 时，所以∠NAM=∠NAB ，所以∠DAM=∠NAM=∠NAB ，因为∠DAB=90°，所以∠DAM=30°，所以DM=ADtan30°=3×33=3； （2）如图4-2，延长MN 交AB 延长线于点Q ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，∠DMA=∠MAQ, 由折叠的性质，知 ∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,所以∠MAQ=∠AMQ,所以QM=QA,设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在直角三角形ANQ 中，222AQ QN AN =+,所以222(1)3x x +=+，解得x=4，所以NQ=4,AQ=5,设点N 到AB 的距离为h ，所以AQ ×h=3×4，所以h=125，因为三角形ABN 和三角形ANQ 同高，所以三角形ABN 的面积为：11124225AB h ⨯⨯=⨯⨯=245； （3）因为点N 在以A 为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A 作AH ⊥BF ，垂足为H ，当弦心距AH 最大时，BN 是圆的切线，在直角三角形ABN 中，AB 长度不变，AH （AN ）最大，此时BN 取得最小值，且满足点F 和点M 重合，如图4-4，所以BN=2243-=7,因为AN=BC, ∠ABN=∠BNC,∠ANB=∠BCN,所以△ABN ≌△BNC ，所以CF=2243-=7,所以DF=CD-CF=4-7，所以DF 的最大值为4-7.点评：灵活把线段的最大值，先转化为弦心距的最大值，再把弦心距的最大值转化为线段的最小值，最后借助线段的差把最小值再转化为所求线段的最大值，这是平时解题不常见的方法，需要加强训练.5.构造辅助圆，借助同圆的半径相等求解例5 如图5是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.分析：根据对称性，知道覆盖圆的圆心一定在直线l 上，且圆心到点B ，点A 的距离一定相等，这样我们就可以利用半径相等，借助勾股定理建立起等式，求最小的半径.解：设圆心为O ，OD=x ，则OC=70-x ，根据勾股定理，得 22223040(70)x x +=+-，解得x=40,所以圆的半径为50mm.点评：根据对称性，假定圆心，利用勾股定理建立等式求解是解题的关键.。
构造辅助圆_巧解题_王献春
关系时作圆
判断直线之间的位 置 关 系 （平 行 或 垂 直）， 本质上是判断与之相关 的 角 度 之 间 的 关 系 ，根 据条件做出辅助圆 ，利用 圆 心 角 与 圆 周 角 的 关
系可以巧妙地解决问题．
例４ 已 知 如 图 ８，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，
∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，Ｒｔ△ＡＤＥ 中，ＡＤ ＝ ＤＥ，连接 ＥＣ，取 ＥＣ 中 点 Ｍ ，连 接 ＤＭ、ＥＭ， 判断 ＢＭ，ＤＭ 的数量关系和位置关系．
例１ 如 图 １，一 次 函 数 ｙ＝２ｘ－２ 图 像与 ｘ 轴、ｙ 轴 交 于 Ａ、Ｂ 两 点，试 在 坐 标 轴 上 找一点 Ｐ，使得△ＰＡＢ 为等腰三角形．
图２
二、与 等 腰 三 角 形 有 关，在 求 证 比 例 式 时 作圆
在求证比 例 式 的 过 程 中 最 易 想 到 的 就 是 相似三角形，而证明相似 三 角 形 更 多 的 时 候 是 利用平行线分线段成比 例 定 理 、两 角 相 等 的 两 三角形相似、邻边成比例 夹 角 相 等 的 两 三 角 形 相似．由于 三 角 形 有 唯 一 的 外 接 圆 ，等 腰 三 角 形的两底角相等 ，可以通 过 同 弧 所 对 圆 周 角 进 行转化，自 然 出 现 相 似 三 角 形 ，再 把 式 子 进 行 适 当 变 形 ，使 问 题 得 以 解 决 ．
（２）在图６ 中，点 Ｐ 不 与 点 Ｂ、Ｍ 重 合，线 段 ＣＱ 的 延 长 线 与 射 线 ＢＭ 交 于 点 Ｄ，猜 想 ∠ＣＤＢ 的大小 （用 含 α 的 代 数 式 表 示 ），并 加 以证明．
等 腰 三 角 形、三 角 形 内 角
和 等 知 识，可 以 求 出 ∠Ｄ
的 度 数．如 果 深 入 考 察 题
图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题
图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题圆，规范简约且具有丰富的性质。
尽管在许多几何问题的条件中可能并不明确涉及到圆，但是如果能够根据问题的条件和图形的特点构造一个圆，转机或许因此出现。
这就需要我们有明亮的眼光、明锐的视角发现图中的“隐形圆”，充分利用圆的众多性质，为解决问题铺设“桥梁”。
本文讲述两种常用的构造辅助圆的模型：(1)定点定长构造辅助圆；(2)定弦定角构造辅助圆。
一、模型介绍类型一：定点定长构造辅助圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A 为圆心，AB长为半径的圆上(如图1).依据的是圆的定义:圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。
图1经典例题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4,点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______分析：CF为定长，翻折得PF=CF，故无论E点如何运动，点P随着点E的运动而始终在以点F为圆心，1为半径的圆上，将问题转化为⊙F上一点到直线AB 的距离的最小值。
解：如图，构造以F为圆心，CF为半径的圆。
过F作FG⊥AB于点G，交⊙F 于点P，此时PG的值最小，最小值为AF×sinA-1=2×-1=.模型总结：利用“定点定长”构造辅助圆的关键在于寻找一个定点，使目标动点到该定点的距离为定值。
类型二：定弦定角构造辅助圆固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的部分。
在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等。
如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C固定，根据圆的知识可知点C不唯一。
当∠C ＜90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB 是圆的直径；当∠C＞90°时，点C在劣弧上运动。
图2经典例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P为一动点，且PA⊥PC，连结BP，则BP的最大值为____________。
绝杀中考压轴题：“辅助圆模型”
辅助圆模型1 . 共端点，等线段模型分析：（1）若有共端点的三条等线段，可思考构造辅助圆。
一般来说，构造辅助圆是为了利用圆的性质来解决角度问题。
例子：如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。
求证：∠1+∠2=90°。
证明：利用模型构造辅助圆，∵AB=AC，∴∠ABC=∠2，∵∠BAC=2∠1，∴2∠2+2∠1=180°，∴∠1+∠2=90°。
方法二：利用模型构造辅助圆，延长CA交圆于点E，联结BE，∵CA是直径,∴∠EBC=90°。
∴∠E+∠2=90°，∵∠1=∠E，∴∠1+∠2=90°针对训练：如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E。
求证：∠1=∠2。
提示：可知AD=AB=AC,构造辅助圆可知关键的相等关系，∠1=2∠BDC,∠BDC=∠EBD，∠2=2∠BDC，∠1=∠2。
模型2. 直角三角形共斜边模型分析：共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有四点共圆，再根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的代替，是证明角相等的思路之一。
例子：如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，求证：∠ADF=∠ADE。
证明：利用模型，可知B、C、E、F四点共圆，∴∠FBE=∠FCE,B、D、H、F四点共圆，∴∠ADF=∠FBE,D、C、E、H四点共圆，∴∠ADE=∠FCE,∴∠ADF=∠ADE。
针对训练：如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。
求：∠AHD=∠AHE。
提示：利用模型可知，A、D、T、E四点共圆，且AT为直径，联结OH,∵AH⊥BC，∴△ATH是直角三角形。
∴OH=1/2AT（O是AT中点）,∴点H在圆上，∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC。
∴△ATD≌△ATE,∴AD=AE,∴∠AHD=∠AHE。
构造辅助圆解题
1、平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=3，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是．2、如图，线段AB=3，以AB 为一边画三角形ABC ，使∠C=45°，CH⊥AB 于H ，直接写出CH 的最大值是。
3、如图：在△ABC 中，AD⊥BC，BD=3，DC=5,且∠BAC=45°,线段AD 的长.4、如图：在△ABC 中，AD⊥BC，BD=3，AD 的长.5()m n x mn +-<0＜m ＜n A 、B 两点，A 点在B点左边（1）若抛物线的对称轴是3x =，交y 轴于<0，－5），求抛物线的解读式；在<1）的条件下，有点C 坐标为<0，1），若在y 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB=∠ADB，请直接写出点D 的坐标；b5E2RGbCAP 在<1）的条件下，y 轴的正半轴上是否存在点P ，使∠APB=30°，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；p1EanqFDPw （4） 在y 轴的正半轴上有一动点M ，当∠AMB 最大时，直接写出M 的坐标<用含m 、n 的代数式表示）.1、平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=3，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是．DXDiTa9E3d2、如图，线段AB=3，以AB 为一边画三角形ABC ，使∠C=45°，CH⊥AB 于H ，直接写出CH 的最大值是。
3、如图：在△ABC 中，AD⊥BC，BD=3，DC=5,且∠BAC=45°,线段AD 的长.4、如图：在△ABC 中，AD⊥BC，BD=3，,则线段AD 的长.5()m n x mn +-<0＜m ＜n A 、B 两点，A 点在B 点左边（5）若抛物线的对称轴是3x =，交y 轴于<0，－5），求抛物线的解读式；在<1）的条件下，有点C 坐标为<0，1），若在y 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB=∠ADB，请直接写出点D 的坐标；RTCrpUDGiT A 第3题第3题在<1）的条件下，y 轴的正半轴上是否存在点P ，使∠APB=30°，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；5PCzVD7HxA （8） 在y 轴的正半轴上有一动点M ，当∠AMB 最大时，直接写出M 的坐标<用含m 、n 的代数式表示）.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
构造辅助圆解题
构造辅助圆解题
谢雅礼
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1998(000)004
【摘要】(本讲适合初中) 某些直线形平面几何赛题,用常规方法求解难度很大,技巧性强,且不易奏效。
但若能针对题目的本质特征,恰当地构造辅助圆,巧妙地运用圆的有关知识找到解题捷径,往往可化难为易,化繁为简。
构造辅助圆解题的关键是要善于发现隐含于题中与圆有关的信息,抓住题目的特征,拓宽解题思路。
因此,构造辅助圆在竞赛解题中具有不可忽视的作用。
【总页数】4页(P4-7)
【作者】谢雅礼
【作者单位】福建省永春县玉斗中学 362616
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.化难为易化繁为简——构造辅助圆解题 [J], 杨峰
2.无中生圆圆满解题——从一道厦门市质检题谈辅助圆的构造方法和解题技巧 [J], 许伟
3.构造辅助圆突破教学难点的实践策略——谈数学专题课《构造辅助圆》 [J], 孙明
4."圆"来如此简单
——"辅助圆"构造的解题探究 [J], 黄磊
5.“圆”来如此简单——“辅助圆”构造的解题探究 [J], 黄磊
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例1：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC， ∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A.68°B． 88° C． 90° D．DEF全等，点B、C、D在同 一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE 为直角的点P的个数是( ) A．0 B .1 C．2 D．3
巧构辅助圆解题
在一些几何问题中，有时从表面上看这题与圆 无关，但如果我们根据题目中的已知条件添加辅 助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能 使问题中原来不清的关系和性质在辅助圆中清晰 地关联出来，从而简单地解决问题，起到化隐为 显、化难为易的解题效果。现以经典题特别是中 考试题为例并加以归类，与同学们分享一下辅助 圆的妙用。
分析：由题意，欲确定∠APE＝900时点P的个数，
我们不妨连接AE、以AE的中点O为圆心，
AE为半径构造辅助圆，利用“直径所对的圆周 角为直角”解决。 如图，连接AE、取AE的中点O，然后以点O为圆 心， 以OA为半径作圆O与BD交于点C、P， ∵AE为直径，∴∠ACE＝90°，∠APE＝90° ∴使∠APE为直角的点的个数有2个。 解：选C