通信原理随机过程
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通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
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随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
通信原理-第3章 随机过程
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
随机过程 (t)的一维分布函数：
F1 (x1, t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
随机过程 (t)的一维概率密度函数：
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
若上式中的偏导存在的话。
6
第3章 随机过程
随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
(t)
a (t )
1 (t ) 2 (t)
n (t)
t 0
9
第3章 随机过程
方差
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。
因为
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
式中 f (x1, t1) － (t1)的概率密度函数
由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，
这样上式就变为
E (t)
xf1 ( x, t)dx
8
第3章 随机过程
E (t)
xf1 ( x, t)dx
(t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表
示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
随机过程 (t)的一维分布函数：
F1 (x1, t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
随机过程 (t)的一维概率密度函数：
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
若上式中的偏导存在的话。
6
第3章 随机过程
随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
(t)
a (t )
1 (t ) 2 (t)
n (t)
t 0
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第3章 随机过程
方差
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。
因为
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
式中 f (x1, t1) － (t1)的概率密度函数
由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，
这样上式就变为
E (t)
xf1 ( x, t)dx
8
第3章 随机过程
E (t)
xf1 ( x, t)dx
(t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表
示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
通信原理第3章(樊昌信第七版)
6
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
f (x) 1 2
f (x)dx 1
a
1
f (x)dx f (x)dx
Байду номын сангаас
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
f (x) 1 2
f (x)dx 1
a
1
f (x)dx f (x)dx
Байду номын сангаас
通信原理 3-5平稳随机过程通过线性系统
输出o(t)的统计特性
2
第3章 随机过程
1.输出过程o(t)的均值 对下式两边取统计平均：
0 (t ) h( ) i (t )d
得到
E[ 0 (t )] E
h( ) iFra bibliotek(t )d
h( )E[i (t )]d
H ( ) (1 e jT ). j 2 cos
所以
2
T
2
e
j
t
2
. j
pY ( ) H ( ) p X ( ) 2(1 cos T ). 2 p X ( )
8
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
R0 (t1 , t1 )
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t )] E[ i (t )] a
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出 过程的均值和时间无关。
3
第3章 随机过程
2. 输出过程o(t)的自相关函数：
0 (t ) lim
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
k 0
(t
k 0 i
通信原理教程3-随机过程
X (t1 ) 和 X (t2 ) 分别是在时刻
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
于是 R (t , t ) 0 1 1
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
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3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
第三章通信原理 随机过程
或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
通信原理第三章随机过程
4、平稳随机过程通过线性系统
4、平稳随机过程通过线性系统
5、窄带随机过程（1）
PX (
f
)
1 4PXL( Nhomakorabeaf
fc ) PXL ( f
fc )
5、窄带随机过程（2）
注意窄带过程为平稳随机过程！
XL (t) Z(t)e j2 fct
Xc t Xˆ s t ?
5、窄带随机过程（3）
试证明
5、窄带随机过程（4）
广义平稳序列，均值为ma，g(t)在一个周 期T内有值，周期平均值为mg。易证这是 一个（非周期）广义平稳的随机过程。
7 循环平稳随机过程
均值 E X t E an E g t nT mamg
n
自相关 Rg Rg t,t
1 T
k
Ra
k
kT
Rg
均和第一种形式的周期平稳随机信号在一个周期内的平均相等。
1 T
k
Ra
k
g* u g u
kT du
1 T
k
Ra
k
Rg
kT
1 T
k
Ra
k
kT
Rg
PX
f
1 T
Eg
f
Pa
f
1 T
G
f
2
Ra
k
k exp
jk 2
fT
7 循环平稳随机过程
对于基带过程
X t ang t nT ② n
其中α是[0,T]上均匀分布的RV。an序列为
功率谱密度
PX
f
1 T
Eg
f
Pa
f
1 T
G
f
2
第3章-通信原理-随机过程
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
第三章_通信原理《随机过程》
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
x1 x2 f x1 , x2; t1 , t2 dx1dx2 t2 t1
x1 x2 f x1 , x2; t1 , t1 dx1dx2
Rt1, t2
x1 x2
f
x1 ,
x2 ;
dx1dx2
R
即平稳随机过程的自相关函数仅仅是时间间隔 的函数。
结论：平稳随机过程的均值（和方差是与时间t无关 的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数，而与所 选取的时间起点无关。
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
R代0,1表 求 t1 时0, t2 的1 自相关t函 数。
R 0,1 E 0 1 E2cos 2cos2
E 4cos2 4E cos2
4 1 cos2 0 1 cos2
2
2 2
2
3.2平稳随机过程
平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程， 它在通信系统的研究中有着极其重要的意义。
在工程中，我们常用这两个条件来直接判断随机 过程的平稳性，并把同时满足均值为常数、自相关
函数只与时间间隔 有关的随机过程定义为广义平稳
随机过程。
显然，严平稳必定是广义平稳，反之不一定成立。
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为 平稳的随机过程。以后的讨论除特殊说明，均假定 是广义平稳的，简称平稳。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
x1 x2 f x1 , x2; t1 , t2 dx1dx2 t2 t1
x1 x2 f x1 , x2; t1 , t1 dx1dx2
Rt1, t2
x1 x2
f
x1 ,
x2 ;
dx1dx2
R
即平稳随机过程的自相关函数仅仅是时间间隔 的函数。
结论：平稳随机过程的均值（和方差是与时间t无关 的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数，而与所 选取的时间起点无关。
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
R代0,1表 求 t1 时0, t2 的1 自相关t函 数。
R 0,1 E 0 1 E2cos 2cos2
E 4cos2 4E cos2
4 1 cos2 0 1 cos2
2
2 2
2
3.2平稳随机过程
平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程， 它在通信系统的研究中有着极其重要的意义。
在工程中，我们常用这两个条件来直接判断随机 过程的平稳性，并把同时满足均值为常数、自相关
函数只与时间间隔 有关的随机过程定义为广义平稳
随机过程。
显然，严平稳必定是广义平稳，反之不一定成立。
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为 平稳的随机过程。以后的讨论除特殊说明，均假定 是广义平稳的，简称平稳。
通信原理 3-5平稳随机过程通过线性系统
因此输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和这个和也是高斯随机变量因而输出过程也为高斯过程
通信原理
3.5 平稳随机过程通过线性系统
1
第3章 随机过程
一 确知信号通过线性系统：
y(t ) h(t ) f (t ) h( ) f (t )d
式中 f(t)－ 输入信号， y(t)－ 输出信号 二 随机信号通过线性系统：
3
第3章 随机过程
2. 输出过程o(t)的自相关函数：
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
R0 (t1 , t1 )
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
8
4. 输出过程o(t)的概率分布
因为 可以表示为：
0 (t ) h( ) i (t )d
0 (t ) lim
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
k 0
(t
k 0 i
k
)h( k ) k
h( )E[i (t )]d
设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t )] E[ i (t )] a
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出 过程的均值和时间无关。
微分
延时T
7
第3章 随机过程
解 （1）因为线性系统的的输入是平稳信号，所以其输出 Y（t）也是平稳的。 （2）该线性系统的传输函数为：
通信原理
3.5 平稳随机过程通过线性系统
1
第3章 随机过程
一 确知信号通过线性系统：
y(t ) h(t ) f (t ) h( ) f (t )d
式中 f(t)－ 输入信号， y(t)－ 输出信号 二 随机信号通过线性系统：
3
第3章 随机过程
2. 输出过程o(t)的自相关函数：
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
R0 (t1 , t1 )
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
8
4. 输出过程o(t)的概率分布
因为 可以表示为：
0 (t ) h( ) i (t )d
0 (t ) lim
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
k 0
(t
k 0 i
k
)h( k ) k
h( )E[i (t )]d
设输入过程是平稳的 ，则有
E[ i (t )] E[ i (t )] a
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出 过程的均值和时间无关。
微分
延时T
7
第3章 随机过程
解 （1）因为线性系统的的输入是平稳信号，所以其输出 Y（t）也是平稳的。 （2）该线性系统的传输函数为：
现代通信原理 第3章 随机过程
(3-3)
随机过程ξ (t)的n维概率密度函数
n Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1,t2 ,, tn ) f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ) x1 x2 xn
(3-4)
（3）随机过程的二维概率分布函数
随机过程ξ (t)的二维概率分布函数
(3-20)
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
R( ) R( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
• “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程
的所有可能状态。因此， 使“统计平均”化为“时间平均”，使实
际测量和计算的问题大为简化。
•具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过
(3-17)
为常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕 着一水平线起伏。
同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=
常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是 常数。 而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数 R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
互协方差与互相关函数
设ξ (t)与η (t)分别表示两个随机过程，则
• 互协方差函数定义为
B t1 , t2 E t1 a t1 t2 a t2
(3-12)
• 互相关函数定义为
R t1 , t2 E t1 t2
0 2
2
0
随机过程ξ (t)的n维概率密度函数
n Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1,t2 ,, tn ) f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ) x1 x2 xn
(3-4)
（3）随机过程的二维概率分布函数
随机过程ξ (t)的二维概率分布函数
(3-20)
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
R( ) R( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
• “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程
的所有可能状态。因此， 使“统计平均”化为“时间平均”，使实
际测量和计算的问题大为简化。
•具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过
(3-17)
为常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕 着一水平线起伏。
同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=
常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是 常数。 而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数 R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
互协方差与互相关函数
设ξ (t)与η (t)分别表示两个随机过程，则
• 互协方差函数定义为
B t1 , t2 E t1 a t1 t2 a t2
(3-12)
• 互相关函数定义为
R t1 , t2 E t1 t2
0 2
2
0
通信原理 第二章随机过程
P ( ) R( )
P ( ) F [ R( )] [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 1 1 离散的 S P ( )d （ ） 2 2 2 2 2
高斯过程
用途：通信信道的噪声，通常可以用高斯过程 来描述 性质: 高斯过程若是宽平稳，则是严平稳 若高斯过程中的随机变量之间互不相关， 则它们也是统计独立的
R(t, t ) E[sin(0t ) sin((0t 0 )]
使用三角公式： sin(a b) sin a cosb cosa sin b
E{sin( 0t )[sin( 0t ) cos0 cos(0t ) cos0 ]}
1 f ( x) e 2
1 x2 2
1 f ( x) e 2 ( x a )2 2 2
, x
求此时刻的统计平均功率和平均电平(或电流) 解： （1）平均电平=a2=0 （2）平均功率=直流功率+交流功率 a2=0 + σ2=1 所以，平均功率=1
平稳随机过程
平稳随机过程
各态历经性
aa 数学期望： a 数学期望 数学期望： a a 数学期望： 2 2 2 2 2 2 方差： 方差： 方差 方差： 自相关： R ( ) R ( ) 自相关： R ( ) R ( ) 自相关函数 自相关： R ( ) R ( )
பைடு நூலகம்
2
2 2
平稳随机过程
| FT ( ) |
2 T /2 T / 2
T
(t )e
jt
第三章通信原理《随机过程》
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第三章通信原理《随机过程》
•结论：平稳随机过程的均值（和方差是与时间t无关 的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数，而与所 选取的时间起点无关。
• 在工程中，我们常用这两个条件来直接判断随机 过程的平稳性，并把同时满足均值为常数、自相关 函数只与时间间隔 有关的随机过程定义为广义平稳 随机过程。
• 显然，严平稳必定是广义平稳，反之不一定成立。
• 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为 平稳的随机过程。以后的讨论除特殊说明，均假定 是广义平稳的，简称平稳。
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第三章通信原理《随机过程》
• 下面我们来看一道例题，来判断一个随机过程 是否是平稳随机过程？
•例题：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波， •其相位值是随机的，即 •式中： 与 为常数， 在 内均匀分布随 •机变量，试证明其为广义平稳过程。
•是二维概率密度函数。
• 协方差函数、 相关函数体现了随机过程
的二维统计特性。
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第三章通信原理《随机过程》
(3) 协方差函数与 相关函数的关系：
若随机过程的数学期望为零，则协方差函数与相 关函数是相同的。即使数学期望不为零，协方差函数 与相关函数尽管形式不同，但它们所描述的随机过程 内部联系的效果是相同的。本书将采用相关函数。
一维分布函数：
一维概率密度函数：
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第三章通信原理《随机过程》
•一般情况下： 一维分布函数： 一维概率密度函数：
和
即是 的函数，又是时间 的函数。很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程
在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分，
通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
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4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
T 2T T
12
通信原理
2
遍历随机过程（即时间平均代替统计平均）
宽 遍历
X(t)的均值和自相关均为遍历的
严 若X(t)的所有统计平均特性和其样 遍历 函数所有相应的时间平均特性相等
13
通信原理
例3.2.1 已知X (t) cos(2 f0t )，其中 f0为常数，
RX
(t,t
)
2 2
cos(0
)
PX () F[RX ( )]
2 2
[
(
0
)
(
0
)]
（4）PX
2 R[0]
2
37
通返信回原目理录
3.4 高斯白噪声
噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声 噪声分类：确知噪声、随机噪声 随机噪声根据性质分为三种： ① 窄带噪声：主要是无线电干扰 ② 脉冲噪声：工业中的电火花、雷电等。 ③ 起伏噪声：一种连续波随机噪声，可认为是一
16
通信原理
4.复平稳过程
设X(t)，Y(t)联合平稳，则复随机过程 Z(t) X (t) jY(t) 为复平稳过程。
复平稳过程的自相关函数满足共轭对称性。 RZ ( ) E Z*(t)Z(t )
任何零均值复随机过程的实部和虚部是零 均值的实随机过程。
17
通信原理
px1, x2,..., xn,t1,t2,...tn
p(x1, x2,..., xn,t1 ,t2 ,tn ) 则称X(t)为严平稳随机过程
该定义说明，平稳随机过程是指其统计 特性不随时间的推移而变化。
（2）宽平稳随机过程
•若X(t)的数学期望 EX(t) mX为常数，且
自相关函数 RX (t1, t2 ) RX ( ) 只与t2 t1
有关，则称X(t)为宽平稳随机过程。
注意：
一个严平稳随机过程一定是广义平稳 随机过程，但反过来一般不成立。
通信系统中所遇到的信号及噪声，大 多数可视为平稳的随机过程。
以后讨论的随机过程除特殊说明外， 均假定是平稳的，且均指广义平稳随 机过程，简称平稳过程。
22
通信原理
X(t)的平均自相关函数
R X
(t , t
)
1 T
T /2 T /2
RX
(t , t
)dt
RX
(
)
平均功率谱密度
pX ( f )
RX
(
)e
j
2
f
d
通信原理
补充 在通信系统中，有三种常见的
平稳随机过程：
① 以白噪声为代表的高斯过程； ② 以窄带噪声包络为代表的瑞利分布； ③ 以正弦波加窄带高斯过程的包络为代表
R(t
,
t
)
2 A
2
a2
cos
0
PX
(
f
)
(
2 A
4
a2 ) [ (
f
f0) (
f
f0 )]
4、平均功率
S
R(t, t
)
0
2 A
2
a2
33
通信原理
随堂作业 随机过程X (t) Acos(0t )，式中0 为常
数， 是在 (0,2 )内均匀分布的随机变量，
在（0，2）均匀分布。
求mx, RX和PX(f)
解：mX (t) E[cos(2 f0t )]
E[cos 2 f0t cos sin 2 f0t sin]
cos2
f0t
2 0
1 2
cos d
sin 2
f0t
2 0
1 2
sin d
0
A～(a,
2 A
)的高斯随机分布
1
( x a)2
fX0 (x)
exp( 2 A
2
2 A
)
X (t) t1 A,
X
(1)～(a,
2 A
)的高斯分布
1
( x a)2
fX1 ( x)
exp( 2 A
2
2 A
)
31
通信原理
解：
2. t=0和t=1时刻,均值不同,一维特征与时间有关
5.零均值平稳过程通过滤波器
Y (t) X (t) h(t)
X (u)h(t u)du h(u)X (t u)du
18
通信原理
3
统计特性
（1）均值
E[Y (t)] E[
X (u)h(t u)du] mX
h(t u)du 0
20
通信原理
6.平稳序列
若随机序列{Xn}的均值EXn mX 为常数，
自相关函数 E[XnXnm ] RX (m) 只与时间 差m有关，则称{Xn}为宽平稳序列。
21
通信原理
7.循环平稳过程
定义：若随机过程X(t) 的统计平均值(数 学期望)和自相关函数是时间的周期函数， 则X(t)称作周期平稳随机过程或循环平稳 随机过程。
erf ( x) 2 x et2 dt
0
√④ 互补误差函数 erfc( x) P( X x) 2 eu2du
x
Q( x) 1 erfc( x )
2
2
通信原理
2.联合高斯 X AZ b
其中A是任意的k×n阶矩阵，Z是随机列向 量，b是确定的实向量。
3.高斯过程 （1）高斯过程与确定信号的乘积是高斯过程. （2）高斯过程与确定信号的卷积是高斯过程.
E[ A2 ] 2
E cos(0
)
cos(20t
0
2 )
2 2
cos(0
)
因此X(t)为广义平稳随机过程。
35
通信原理
(2)
1 mx 2T
T
1
x(t)dt
T
2T
T
T Acos(0t )dt 0
Rx (
)
1 2T
T
x(t)x(t )dt
的莱斯分布。
24
通返信回原目理录
4
3.3 高斯过程
1.一维高斯分布:
pX (x)
1
( xa)2
e 2 2
2 2
均值为a,
方差为 2
概率是概率密度的面积。
P(x1 X x2 )
x2 x1
pX
(x)dx
在计算错判概率时常用到Q函数和互补 误差函数等。
26
通信原理
① 概率积分函数
∵
cos 2
f0
1[ ( 2
f
f0)
(
f
f0 )]
∴
PX(f)1 [ ( 4f
f0) (
f
f0 )]
15
通信原理
3.联合平稳
•若X(t)，Y(t)是宽平稳随机过程，且
RXY (t1, t2 ) E XtY (t ) RXY ( )
其中 t2 t1 则称X(t)，Y(t)为联合宽平稳随机过程
29
通信原理
例 随机过程 X(t) Acost ，A是均值为
a，方差为
2的高斯随机变量，求：
A
① X (t ) t0 及 X (t ) t1的两个一维概率密度。 ② X (t)是否广义平稳？
③ X (t) 的功率谱?
④ 平均功率是多少？