三水平试验方差分析
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试验优化设计
吉林大学材料科学与工程学院 李欣
a
1
第二节 三水平正交试验方差分析
例 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量
要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合 格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机 的输出力矩。根据工程技术人员的经验，取试验因素和相应水 平如下表：
sA93(y2jiy2j2y2j3)P 1(24.38834.84497.566)47.87645.4
3
同理，SB=6.49，SC=0.31，Se=0.83（空列）
a
10
自由度：fA＝fB＝fC＝fe＝3-1=2
计算方差
SA 45.4 22.7 fA 2
SB 6.493.23 fB 2
SC 0.310.155 fC 2
a
2
解：选用正交表L9(34)
表头设计：
试验计划与试验结果：
a
3
a
4
详细计算如下：
P 1 (1651 ) 2 302866 .78 9
Q
A
1 3
( 308025
352836
252004
) 304288
.3
1 Q B 3 ( 235225 430336 260100 ) 308553 .7
QC
1 3
( 308025
273529
328329
) 303294
.3
S A Q A P 1421 .6
S B Q B P 5686 .9
S C Q C P 427 .6
9
S Q P
y
2 i
P
310519
302866
.78 7652 .2
i1
S e S S A S B S C 116 . 2 a
0.05
C△
0.31
2
0.16
误差e
0.83
2
0.41
误差e△ 1.14
4
0.285
总和
53.03
a
11
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优水 平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影响，
3
2
11.4
8
3
2
Baidu Nhomakorabea
1
3
10.9
9
3
3
2
1
8.95
yj1
15.76 25.18 22.65 20.74
yj2
18.57 21.41 21.45 21.87 T65.58
yj3
31.25 18.99 21.48 22.97
yj12
248.38 634.03 513.02 430.15
yj22
344.84 458.39 460.10 478.30
2
31
. 30
2
35
. 88
2)
376
. 29 ,
QC
1 9
( 6 . 27
2
35
. 21
2
59
. 16
2)
531
. 00 ,
Q ( A B )1
1 9
( 35
. 63
2
32
. 08
2
32
. 93
2)
375
. 89 ,
Q ( A B )2
1 9
( 34
. 30
2
31
. 73
2
34
. 61
2)
5
列方差分析表如下：
最佳条件的选择： 对显著因子应取最好的水平，对不显著因子的水平可以 任意选取；在实际中通常从降低成本操作方便等角度加 以选择，上面的例子中对因子A与B应选择A2B2，因子C 可以任选，譬如为节约材料可选择C1
a
6
验证试验：
对A2B2C1进行三次试验，结果为：234，240，220，平均 值为231.3. 此结果是满意的
375
. 68 ,
Q ( A C )1
1 9
( 32
. 94
2
34
. 66
2
33
. 04
2)
375
. 33 ,
Q ( AC )2
1 9
( 34
. 21
2
33
. 13
2
33
. 30
2)
375
. 20 ,
Q ( B C )1
1 9
( 33
. 33
2
33
. 04
2
34
. 27
2)
375
. 22 ,
2.0
7.0
2.4
7.5
2.8
a
8
表1 试验方案及结果分析表
处理号
A
B
C
空列
试验结果
yi
1
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1
6.25
2
1
2（7.0） 2（2.4） 2
4.97
3
1
3（7.5） 3（2.8
3
4.54
4
2（55） 1
2
3
7.53
5
2
2
3
1
5.54
6
2
3
1
2
5.5
7
3（58） 1
a
13
L27(313)交互列表
a
14
a
15
解：(选用正交表L27(313)
P 1 (100 . 64 ) 2 375 . 13 , 27
根据前面的公式作如下计算：Q A
1 ( 36 . 73 2 30 . 70 2 33 . 21 2 ) 377 9
. 17 ,
QB
1 9
( 33
. 46
从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。即温度为 58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
a
12
例 (有交互作用):
为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压 力和溶液浓度。每个因素都取3个水平，具体数值见表。考虑 因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的 工艺条件。
yj32
976.56 360.62 a461.39 527.62
9
（1）计算
计算各列各水平的yjk值
计算各列各水平对应数据之和yj1、yj2、yj3及其平方yj12、 yj22、yj32。
计算各列偏差平方和及自由度 Sj bakb1y2jk1a(in1yi)2
Sj Qj P PT2 65.582 47.876 a9
Q (B C )2
1 9
( 32
. 98
2
33
. 43
2
34
. 23
2)
375
. 22
a
16
由此得出
SAQAP2.04, SBQBP1.17, SCQCP15.857, SABS(AB)1 S(AB)2 Q(AB)1 Q(AB)2 2P1.32
类似地
SACQ(AC)1 Q(AC)2 2P0.28 SBCQ(BC)1 Q(BC)2 2P0.18
（2）显著性检验
Se 0.830.415 fe 2
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表
方差分析表
变异来源 平方和 自由度 均方
F值
Fa
显著性水平α
A
45.40
2
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
0.01
B
6.49
2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
a
7
例：自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒 酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验 指标为自溶液中蛋白质含量（％）。试验因素水平，试验 方案及结果分析见表。试对试验结果进行方差分析。
因素水平表
水平
1 2 3
温度（℃） A 50 55 58
试验因素
pH值 加酶量（％）
B
C
6.5
吉林大学材料科学与工程学院 李欣
a
1
第二节 三水平正交试验方差分析
例 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量
要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合 格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机 的输出力矩。根据工程技术人员的经验，取试验因素和相应水 平如下表：
sA93(y2jiy2j2y2j3)P 1(24.38834.84497.566)47.87645.4
3
同理，SB=6.49，SC=0.31，Se=0.83（空列）
a
10
自由度：fA＝fB＝fC＝fe＝3-1=2
计算方差
SA 45.4 22.7 fA 2
SB 6.493.23 fB 2
SC 0.310.155 fC 2
a
2
解：选用正交表L9(34)
表头设计：
试验计划与试验结果：
a
3
a
4
详细计算如下：
P 1 (1651 ) 2 302866 .78 9
Q
A
1 3
( 308025
352836
252004
) 304288
.3
1 Q B 3 ( 235225 430336 260100 ) 308553 .7
QC
1 3
( 308025
273529
328329
) 303294
.3
S A Q A P 1421 .6
S B Q B P 5686 .9
S C Q C P 427 .6
9
S Q P
y
2 i
P
310519
302866
.78 7652 .2
i1
S e S S A S B S C 116 . 2 a
0.05
C△
0.31
2
0.16
误差e
0.83
2
0.41
误差e△ 1.14
4
0.285
总和
53.03
a
11
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优水 平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影响，
3
2
11.4
8
3
2
Baidu Nhomakorabea
1
3
10.9
9
3
3
2
1
8.95
yj1
15.76 25.18 22.65 20.74
yj2
18.57 21.41 21.45 21.87 T65.58
yj3
31.25 18.99 21.48 22.97
yj12
248.38 634.03 513.02 430.15
yj22
344.84 458.39 460.10 478.30
2
31
. 30
2
35
. 88
2)
376
. 29 ,
QC
1 9
( 6 . 27
2
35
. 21
2
59
. 16
2)
531
. 00 ,
Q ( A B )1
1 9
( 35
. 63
2
32
. 08
2
32
. 93
2)
375
. 89 ,
Q ( A B )2
1 9
( 34
. 30
2
31
. 73
2
34
. 61
2)
5
列方差分析表如下：
最佳条件的选择： 对显著因子应取最好的水平，对不显著因子的水平可以 任意选取；在实际中通常从降低成本操作方便等角度加 以选择，上面的例子中对因子A与B应选择A2B2，因子C 可以任选，譬如为节约材料可选择C1
a
6
验证试验：
对A2B2C1进行三次试验，结果为：234，240，220，平均 值为231.3. 此结果是满意的
375
. 68 ,
Q ( A C )1
1 9
( 32
. 94
2
34
. 66
2
33
. 04
2)
375
. 33 ,
Q ( AC )2
1 9
( 34
. 21
2
33
. 13
2
33
. 30
2)
375
. 20 ,
Q ( B C )1
1 9
( 33
. 33
2
33
. 04
2
34
. 27
2)
375
. 22 ,
2.0
7.0
2.4
7.5
2.8
a
8
表1 试验方案及结果分析表
处理号
A
B
C
空列
试验结果
yi
1
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1
6.25
2
1
2（7.0） 2（2.4） 2
4.97
3
1
3（7.5） 3（2.8
3
4.54
4
2（55） 1
2
3
7.53
5
2
2
3
1
5.54
6
2
3
1
2
5.5
7
3（58） 1
a
13
L27(313)交互列表
a
14
a
15
解：(选用正交表L27(313)
P 1 (100 . 64 ) 2 375 . 13 , 27
根据前面的公式作如下计算：Q A
1 ( 36 . 73 2 30 . 70 2 33 . 21 2 ) 377 9
. 17 ,
QB
1 9
( 33
. 46
从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。即温度为 58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
a
12
例 (有交互作用):
为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压 力和溶液浓度。每个因素都取3个水平，具体数值见表。考虑 因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的 工艺条件。
yj32
976.56 360.62 a461.39 527.62
9
（1）计算
计算各列各水平的yjk值
计算各列各水平对应数据之和yj1、yj2、yj3及其平方yj12、 yj22、yj32。
计算各列偏差平方和及自由度 Sj bakb1y2jk1a(in1yi)2
Sj Qj P PT2 65.582 47.876 a9
Q (B C )2
1 9
( 32
. 98
2
33
. 43
2
34
. 23
2)
375
. 22
a
16
由此得出
SAQAP2.04, SBQBP1.17, SCQCP15.857, SABS(AB)1 S(AB)2 Q(AB)1 Q(AB)2 2P1.32
类似地
SACQ(AC)1 Q(AC)2 2P0.28 SBCQ(BC)1 Q(BC)2 2P0.18
（2）显著性检验
Se 0.830.415 fe 2
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表
方差分析表
变异来源 平方和 自由度 均方
F值
Fa
显著性水平α
A
45.40
2
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
0.01
B
6.49
2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
a
7
例：自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒 酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验 指标为自溶液中蛋白质含量（％）。试验因素水平，试验 方案及结果分析见表。试对试验结果进行方差分析。
因素水平表
水平
1 2 3
温度（℃） A 50 55 58
试验因素
pH值 加酶量（％）
B
C
6.5