《点集拓扑》§2.4 导集,闭集,闭包
点集拓扑教学大纲
重点：拓扑空间
难点：基与子基、邻域基
第一节：度量空间与连续映射
内容1度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间；
内容2邻域、开集；
内容3度量空间映射的连续性。
第二节：拓扑空间与连续映射
内容1拓扑空间定义
内容2平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间；
分
配
教学内容：
第一章：集合论初步４（学时数）
掌握内容：集合的基本运算，映射及其性质。
理解内容：关系；可数集、不可数集、基数。
了解内容：选择公理。
重点：集合的基本运算，映射及其性质；
难点：基数；选择公理。
第一节：集合及其运算
内容1集合、集合之间的关系；
内容2集合的运算
第二节：映射
内容1关系、等价关系；
第二节：（有限）积空间
内容1积拓扑、拓扑积空间的概念；
内容2积空间的基、子基
内容3开映射；积空间到分空间投射的性质、积拓扑的性质。
第三节：商空间
内容1商拓扑及其性质；
内容2商映射及其性质；
内容3商空间。
第四章：连通性６（学时数）
掌握内容：连通空间；
理解内容：局部连通、道路连通；
了解内容：连通空间、局部连通、道路连通的关系；
内容3分离性公理的有限可积性。
第六节：可度量化空间
内容1、Urysohn嵌入定理；
内容2、Hilbert空间的可分性；
。
内容3、可分的度量化空间的等价空间第七章：紧致性 Nhomakorabea（学时数）
掌握内容：紧致空间和紧致空间的等价条件；紧致性与分离性的关系；
了解内容：可数紧致、列紧、序列紧，局部紧致空间，仿紧致空间及其之间的关系
《点集拓扑》课件
点集拓扑的基本性质
01
02
03
04
性质1
任意两个不同的点不能是等价 的。
性质2
有限多个开集的并集仍然是开 集。
性质3
闭集的补集是开集。
性质4
连续映射下的开集和闭集保持 不变。
点集拓扑的重要性
应用广泛
点集拓扑在数学、物理学、工程 学等领域都有广泛应用，如微分 几何、代数几何、微分方程等领
域。
基础学科
点集拓扑是数学的一门基础学科， 为其他学科提供了数学工具和语言 ，促进了数学的发展。
理论意义
点集拓扑的研究有助于深入探讨数 学中的一些基本问题，如连续性、 连通性、紧致性等，推动了数学理 论的发展。
02
拓扑空间与基
拓扑空间的定义
总结词
抽象的空间
详细描述
拓扑空间是一个由点集构成的空间，这些点集通过集合的并、交、补等运算形 成。它是一个抽象的概念，不依赖于度量或连续性的具体性质。
连通性与道路连通性
连通性的定义与分类
总结词
连通性是描述点集拓扑空间中点之间的相互关系的重要概念，它分为三种类型：强连通 、弱连通和道路连通。
详细描述
连通性定义为一个点集拓扑空间中任意两点可以通过一系列连续变换（如移动、旋转、 缩放等）相互到达。根据连通性的不同性质，可以分为强连通、弱连通和道路连通三种 类型。强连通是指任意两点都相互可达；弱连通是指任意两点至少有一个可达；道路连
基的定义与性质
总结词
定义与性质
详细描述
基是拓扑空间中一个特殊的子集系统，它具有一些重要的性质，如基的任意并仍 属于基，基的有限交仍属于基等。基是定义拓扑空间的重要工具。
基在拓扑空间中的应用
点集拓扑学教案
点集拓扑学教案为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。
按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。
本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：第一章 朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提.记号: Z, Z +, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集.教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理一. 集合的运算幂集 P )(X , 交∩ 、并∪、差－(补, 余/,A A c).运算律: De Morgan 律: (1) C)-(A B)-(A C)(B -A ⋂=⋃. (2) C)-(A B)-(A C) (B -A ⋃=⋂A-(B∩ C)=(A -B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并, 如记Y Y n i ni i i n n n A A A A A A A A ≤=-==⋃⋃⋃=⋃⋃⋃11121)...(...A i . 规定 0 个集之并是φ, 不用 0 个集之交.二. 关系R 是集合X 的一个关系, 即R y x X X R ∈⨯⊂),(,记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若X x ∈∀, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系.如, Δ(X)={(x, x )|x ∈X}, 恒同关系, 它是等价关系; y} x R,y x,|y) {(x,<∈，小于关系, 它是传递 的, 但不是对称的、不是自反的.设 R 是 X 上等价关系,X x ∈∀, x 的 R 等价类或等价类R [x ]或[x]为 xRy}| X {y ∈,R [x ] 的元称为R [x ] 的代表元; 商集 X} x | {[x]R X/R ∈=.定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则(1)R [x ] x X,x ∈∈∀;(2)X y x, ∈∀，或者[x]R =[y]R , 或者φ=⋂R R [y] [x ]证(2). 设R R [y] [x ]z ⋂∈, 则zRy ZRx ,, 于是R R [y] [x ]⊂且R R [y] [x ]⊃, 于是R R [y] [x ]=.三. 映射函数：Y X f →:.像：}|)({)(,A x x f A f X A ∈=⊂∀； 原像：})(|{)(,1B x f X x B f Y B ∈∈=⊂∀-满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射X i 、限制A f |、扩张、内射X A i A X →:|集合n i X i ≤,, 笛卡儿积∏∏=≤≤≤∈===⨯⨯⨯ni i i n i n i i n n i X x x x x X X X X X 121121},)...,{(...到第i 个坐标集iX 的投射i i X X p →: 定义为i x x p =)(, 其中),..,(1n x x x =.对等价关系,R 集合X 到商集R X /的自然投射R X X p /:→定义为 R x x p ][)(=. 四. 集族数列+∈=Z n n n }{x }{x , 有标集族τγγ∈}{A , 指标集 Γ, 与}{τγγ∈A 不同, 可记有标集族A A A ∈=γγ}{; 类似地, 定义其并Y τγλ∈A (或∪A )、交Iτγλ∈A (或∩ A ),不定义 0 个集的交. 与有限集族有相同的运 算律, 如 De Morgan 律Y IIY τγγτγγτγγτγγ∈∈∈∈=--=-A A A A A A A ,)(,映射对应的集族性质: I Y I Y τγγτγτγγγτγγ∈∈∈∈==)()(),()(A f A f A f A f ,I Y IY τγγτγτγγγτγγ∈-∈∈--∈-==)()(),()(1111B f B f B f B f五. 无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(φ或与某{1, 2, … , n}有一一映射), 无限集, 可数集(φ或存在X 到 Z +的单射),不可数集.易验证: 有限集是可数集, 可数集的子集是可数集, 可数集的映像是可数集. 定理 1.7.3X 是可数集X ⇔是 Z +的映像.由此, Q 是可数集, 两可数集的笛卡儿积集是可数集, 可数个可数集之并集是可数集. 定理 1.7.8 R 是不可数集.利用 Cantor 对角线法证明开区间(0, 1)中的实数不可数 .直观上, 集合 A 中元素的个数称为该集合的基数, 记为card A, 或|A|. |Z +|=a , |R|=c . 若存在 从集合 A 到集合 B 的单射, 则定义|A|≤ |B|.连续统假设: 不存在基数α, 使得c a <<α.选择公理: 若 A 是由非空集构成的集族, 则∈∀A A , 可取定.)(A A ∈ε.由选择公理可证明, 若βα,是基数, 则下述三式中有且仅有一成立: βαβαβα>=<,,第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两 个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边 界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教学重点：拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系； 教学难点：基与子基；可度量化空间2.1 度量空间与连续映射在 R 上, |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离. 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 ,R X X →⨯:ρ. 如果满足正定性、对称性和三角不等式, 则称ρ是X 的一个度量.),(ρX 称为度量空间, y) (x,ρ表示两点 x, y 之间的距离.例 2.1.1 实数空间 R. (x,y)=|x -y|, R 的通常度量.例 2.1.2 n 维欧氏空间 R R R R n⨯⨯⨯=.... 对于nR x ∈, 记 n i i x x ≤≤=1)( 定义∑=-=ni i iy xy x 12)(),(ρ 为 R n 的通常度量, n 维欧氏空间. R 2 称为欧氏平面或平面.例 2.1.3 Hilbert 空间 H.},...),..,({1221∑∞=∞<==i i n x x x x x H∑∞=-=→→⨯12)(),(),(:i i iy xy x y x R H H ρρ定义, 易证ρ为度量 则度量空间 ),(ρH 称为 Hilbert 空间.例 2.1.4 离散度量空间.度量空间),(ρX 称为离散的, 若0,>∃∈x X x δ, 使得不存在X 中的点x y ≠, 满足xy x δρ<),(如对集合X , 按如下方式定义R X X →⨯:ρ 是X 上的离散度量:⎩⎨⎧≠==y x y x y x ,1,0),(ρ定义2.1.2 设),(ρX 是度量空间}),({),(ερε<∈=y x X y x B 称为以x 为心,ε为半径的球形邻域或ε邻域, 或球形邻域. 对(R, |.|), )+x ,-(x =) B(x, εεε.定理 2.1.1 度量空间),(ρX 的球形邻域具有性质: (1)).(,0,εεx B x X x ∈>∈∀(2))2,.(),.(),.(,0,0,,313321εεεεεεx B x B x B x X x ⋂⊂∈>∃>∈∀满足则；(3) 若 0),,(>∃∈δεx B y 使),(),(εδx B y B ⊂ ；证 (2)},m in{0213εεε<<；(3)),(),(),,(εδρεδx B y B y x ⊂-=则 定义 2.1.3X 的子集A 称为),(ρX 的开集, 若A x B A a ⊂>∃∈),(,0,εε使. 每一球形邻域是开集.例 2.1.5 R 中的开区间是开集.),(b a x ∈让},min{x b a x --=ε 则 ),(),(b a x B ⊆ε 同样可证, 无限开区也是开集. 闭区间[a, b] 不是开集.定理 2.1.2 度量空间的开集具有以下性质:(1)φ,X 是开集; (2)两开集的交是开集; (3)任意开集族之并是开集. 证 (1)由定理 2.1.1(1); (2), (3)由定理 2.1.1(2).定义 2.1.4 设X 是度量空间, U X U X x ,,⊆∈ 称为x 的邻域, 若有开集V , 使U V x ⊆∈.定理 2.1.3U 是X 中点x 的邻域存在ε>0, 使 B(x, ε) ⊂U.定义 2.1.5 设Y X ,是两度量空间.Y X f →:, X x ∈0, 称f 在0x 连续, 若)(0x f 的球形邻域)0(),),((0>εεx f B存在0x 的球形邻域 B(x 0, δ), 使).),(()),((00εδx f B x B f ⊂ 称f 在X 连续, 若f 在X 的每一点连续.定理 2.1.4 设Y X ,是两度量空间. Y X f →:, X x ∈0, 那么 (1)f 在0x 连续若U 是)(0x f 的邻域, 则)(1U f -是0x 的邻域;(2) f 在X 连续若U 是Y 的开集, 则)(1U f-是X 的开集.证 (1)利用定义 2.1.5, 2.1.4.(2)“”f -1 (U)是每一点的邻域.“”证每一点连续,利用(1).由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.2.2 拓扑空间与连续映射定义 2.2.1 设 τ是集合 X 的子集族, 若τ 满足:τττττττφ∈⊂∀∈⋂⇒∈∀∈Y 11,)3(;,)2(;,)1(B A B A X称τ是X 的一个拓扑),(τX 是拓扑空间, τ的元称为X 的开集. 空间 X 的拓扑是 X 的全体开集的族.定义 2.2.2),(ρX 度量空间.ρτ由 X 的所有开集构成的族 . (X, ρτ)称为由度量ρ诱导出的拓扑空间. ρτ简称为度量拓扑.度量空间一定是拓扑空间.例 2.2.1 平庸拓扑},{φτX =平庸空间.例 2.2.2 离散拓扑)(X P =τ. 离散空间. X 的每一子集是开集. 由离散度量空间导出的拓扑是 离散拓扑.例 2.2.4 有限补拓扑}{}{/φτ⋃⊂=的有限子集是X U X U . 验证 τ是 X 上的拓扑. (1)显然 . (2)X B A,⊂， 讨论 A ∩B 时分两种情形, 一是 A, B中有一是φ, 二是 A, B 都不是φ ；（3）ττ⊂1,不妨设10τφ∈≠∃A 利用 De Morgan 律.有限补空间.例 2.2.5 可数补拓扑}{}{/φτ⋃⊂=的可数子集是X U X U 定义 2.2.3 可度量化空间.离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可度量化空间. 度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一. 本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解 .定义 2.2.4 Y X , 是两拓扑空间. Y X f →:称f 连续, 若 Y 中每一开集 U 的原象 f -1(U)是 X 中的开集.定理 2.2.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的.定义 2.2.5 Y X f →:称为同胚或同胚映射, 若f f 是一一映射且f f 及 1-f均连续.定义 2.2.6 称两空间 X 与 Y 同胚, 或 X 同胚于 Y, 若存在从 X 到 Y 的同胚. 定理 2.2.2(2.2.3) 恒同映射同胚(X 与 X 同胚); f 同胚 ⇒1-f同胚 (若 X 与 Y 同胚, 则 Y与 X 同 胚); 同胚的复合是同胚(若 X 与 Y 同胚, 且 Y 与 Z 同胚, 则 X 与 Z 同胚).空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务 :研究拓扑不变性质.抽象化过程:欧氏空间→度量空间→拓扑空间;点距离→度量→开集.2.3 邻域定义 2.3.1 设),(τX 是拓扑空间. X U X x ⊂∈,称为 x 的邻域, 如果存在τ∈V 使U V x ⊆∈; 若 U 是开的, U 称为 x 的开邻域.定理 2.3.1 设U X U .⊂是 X 的开集⇔U 是它的每一点的邻域 .证 由定义得“⇒”; 利用开集之并为开得“⇐”.x 在 X 的所有邻域构成的族称为 x 的邻域系, 记为 U x .定理 2.3.2 U x 的性质:(1) X ∈U x ; U ∈U x , x ∈U;(2) U, V ∈U x U∩ V ∈U x ;(3) U ∈U x 且 U ⊂V ⇒V ∈U x ;(4) U ∈U x ∃⇒V ∈U x 使 V ⊂U 且 V y ∈∀, V ∈U y .证 由定义 2.3.1 得(1); 由开集的交是开集得 (2); 由定义 2.3.1 得(3); 取V 为满足U v x ⊂∈的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, 显得自然 , 但不流行. 利用邻域与开集的关系 (定理2.3.1)导出开集, 从 U x )(X x ∈∀具有定理 2.3.2 的性质的(1)-(4)出发, 定义∈∈∀⊂=U U x X U ,{τU x }, 则),(τX 是拓扑空间, 且这空间中每一点 x 的邻域系恰是 U x . 详见定理 2.3.3.定义 2.3.2(点连续) 映射Y X f →:称为在点 x ∈X 连续, 如果 U 是 f(x)在 Y 中的邻域, 则 f -1(U)是 x 在 X 中的邻域.定理 2.1.4 保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致 . 另一方面 , 关于点的连续性 , 易验证(定理 2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续的函数之复 合仍是点连续的. 定义 2.2.4 与定义 2.3.2 所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理 2.3.5 设 Y X f →: 则 f 连续⇔f 在每一 x ∈X 连续.证 “⇒”若 U 是 f(x)的邻域,∃开集 V 使U V x f ⊂∈)(, x )()(11U f V f x --⊂∈ “⇐”若 U 是 Y 的开集,)(1U f x -∈, U 是 f(x)的邻域, f -1 (U)是 x 的邻域, 所以 f -1 (U)在 X 中开.2.4 导集、闭集 、闭包定义 2.4.1 设x X A ,⊂称为 A 的聚点(凝聚点, 极限点), 如果 x 的每一邻域 U 中有 A 中异于 x 的点, 即 U∩ (A -{x})φ≠. A 的全体聚点之集称为 A 的导集, 记为 d(A). x 称为 A 的孤立点, 若 x 不 是 A 的聚点, 即存在 x 的邻域 U 使 U∩ (A -{x})=φ, 即 U∩ A ⊂{x}.例 2.4.1 X 是离散空间. 若X A ⊂, 则.φ=)(A d,X x ∈∀取 U={x}, 则 U∩ A ⊆{x}, 所以)(A d x ∉.例 2.4.2 X 是平庸空间, X A ⊂若 A=φ, 则φ=)(A d ; 若|A|=1, 则 d(A)=X-A; 若|A|>1,则X A d =)(.对于,X x ∈∀, 若 U 是 x 的邻域, 则 U=X, 于是 U ∩(A-{x})}{}{}){(x A x A x A U ⊄⇔≠-⇔≠-⋂φφ由此, 易计算 d(A). 定理 2.4.1X B A ⊂,, 则(1)φφ=)(d ;(2))()(B d A d B A ⊂⇒⊂;(3) )()()(B d A d B A d ⋃=⋃; (4) )())((A d A A d d ⋃⊆证 由定义 2.4.1 得(1)和(2).关于(3). 由(2)得)()()(B A d B d A d ⋃⊂⋃. 设)()(B d A d x ⋃∉, 分别存在x 的邻域 V U ,使得}{},{x B V x A U ⊂⋂⊂⋂, 令V U D ⋂=, 则}{)(x B A D ⊂⋃⋂.关于(4). 设)(A d A x ⋃∉, 存在x 的邻域U , 使得},{x A U ⊂⋂取x 的开邻域U V ⊂, 则)).((,)(),(,}){(,,A d d x A d V A d y y A V V y A V ∉=⋂∉=-⋂∈∀=⋂φφφ.定义 2.4.2 X A ⊂称为 X 的闭集 , 如果 A d(A)⊂.定理 2.4.2 A 闭⇔/A 开 .证 “⇒”A x ∈∀ ,由于A A d ⊂)(, 存在x 的邻域U 使φ=⋂A U, 于是/A U ⊂.“⇐”),(,,//A d x A A A x ∉=⋂∈∀φ所以 A A d ⊂)(’ 例 2.4.3 R 的闭区间是闭集.),(),(],[/+∞⋃-∞=b a b a 开集.),(b a 不是闭集, 因为a 是聚点.定理 2.4.3 记 F 是空间X 的全部闭集族, 则(1) ∈φ,X F ;(2) ∈B A ,F ∈⇒B A Y F ;(3) F 对任意交封闭.证 利用 De Morgan 定律及拓扑的定义. F }{/τ∈=U U 直接验证可得(1)、(2)、(3)Cantor 集(例 2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子 , 它说明 R 中 的闭集可以是很复杂的, 在此不介绍.定义 2.4.3 A ∪ d(A)称为 A 的闭包, 记为-A A ,_.定理 2.4.5 对X B A ⊂,, 有(1) φφ=-;(2) -⊂A A ;(3)---⋃=⋃B A B A )( ;(4)---=A A )( .证 (3) ---⋃=⋃⋃⋃=⋃⋃⋃=⋃B A B d B A d A B A d B A B A )()()()(.(4) .))(()()())(()(------=⋃=⋃=⋃=A A d d A d A A d A A d A A Y . 上述 4 条确定了闭包运算, 称为 Kuratowski 闭包公理, 由此可建立拓扑空间的概念. 事实上阿记此运算为)(A c , 定义 }U )c(U | X {U //=⊂=τ , 则),(τX 是拓扑空间, 且这空间中每一-=A A c )( , 详见定理 2.4.8.关于闭包的几个相关结果:(1) ⇔∈-A x 对 x 的任一邻域有φ≠⋂A U . (定义 2.4.3 后)(2) --=}){()(x A A d ；(3) A 闭 -=⇔⊂⇔A A A A d )( . (定理 2.4.4)(4 )-A 是闭集. (定理 2.4.6)(5 ) -A 是包含A 的所有闭集之交, 是包含A 的最小闭集. (定理 2.4.7: 设 F 是包含A 的所有闭 集之交, 则F A A F A ⊂⊂⊂--,, 所以-=A F .)定义2.4.5),(ρX 是度量空间.对非空的X x X A ∈⊂,定义}),(inf{),(A y y x A x ∈=ρρ.定理 2.4.9 对度量空间),(ρX 的非空子集 A(1)0),(=⇔∈-A x A x ρ;(2) 0}){,()(=-⇔∈x A x A d x ρ.证明：⇔≠⋂⇔<∈∃>∀⇔=φεερερA x B y x A y A x ),(),(,,00),(-∈⇔≠⋂∈∀A x A U U U x φ,定理 2.4.10 设 Y X f →:, 则下述等价(1)f 连续;(2) 若B 闭于Y , 则)(1B f-闭于X ; (3) --⊂⊂∀)()(,A f A f X A证明；B )2()1(⇒是Y 的闭集，/B 是Y 的开集，/1/1)()(B f B f--=是 X 的开集, f -1(B)是 X 的闭集. )3()2(⇒ --------⊂⊂⊂⊂)()(),)((),)((,)()(1A f A f A f fA A f f A A f A f )1()3(⇒设U 是Y 的开集，/U 是Y 的闭集且/1/1/1/1//1/1)()(),()(,))(())((U f U f U f U f U U f f U f f ----------=⊂⊂⊂是闭，)(1U f -是开2.5 内部、边界定义 2.5.1 若A 是x 的邻域, 则称x 是A 的内点. A 的所有内点的集合称为A 的内部, 记为0A .定理2.5.1对/0///0,,A A A A X A ==⊂--证明：,0A x ∈由于,/φ=⋂A A 于是,/-∉A x 从而.//-∈A x反之x A x A x ∃∉∈--,,.///的邻域0/,,A x A V A V ∈⊆=⋂φ，因此，//0-=A A .从而---===A A A A A /0/////0/,.定理 2.5.3 对X B A ⊂,, 有(1)0X X =; A A ⊂0)2(；000)()3(B A B A ⋂=⋂000)4(A A =.证明：（1），（2）是显然的.00///////0)()(B A B A B A B A ⋂=⋂=⋃=⋂---而0//////00A A A A ===---关于内部的几个结果：（1）A 是x 的邻域0A x ∈⇔；(2)0A 是开集；（3）A 是开集；（4）0A 是A 所包含的所有开集之并，是含于A 内的最大开集.证明：//0)2(-=AA 是开集 （3）A 开/A ⇔闭0////A A A A A ==⇔=⇔--（4）设O 是含于A 内的所有开集之并，O A A O A o o ⊃⊂⊂,所以O A o =定义 2.5.2 x 称为A 的边界点, 若x 的每一邻域, 既含有A 中的点又有 /A 中 的点. A 的边界点 之集称为边界, 记为A ∂.定理2.5.6 对X A ⊂，有A A A A A A A AA A o o ∂-=∂⋃=∂=⋂=∂----)3(;)2();()1(// 证明：;)()()()2(/-----=⋃⋂⋃=⋂⋃=∂⋃A A A A A A A A A A o o o o o（3）o A A A A A A A A A A =⋂=-=⋂-=∂---------///)(2.6 基与子基度量空间→球形邻域→ 开集→ 拓扑 . 在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义 2.6.1 设 τ是空间 X 的拓扑, B τ⊂, 如果τ中每一元是B 中某子集族之并, 称B 是 X 的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理 2.6.2 设B τ⊂ ,B 为 X 的基X x ∈∀⇔ 及x 的邻域 U x ,x V ∃ 使x x U V x ⊂∈. 证 “⇒”存在开集 W x 使得 Ux Wx x ⊂∈, ∃B 1⊂B 使得Y =x W B 1, ∈∃x V B 1 ⊂B 1使x x U V x ⊂∈;“⇐” 设τ∈U ,∈∃∈∀x V U x ,B 使x x U V x ⊂∈, 从而⊂∈}|{U x V x B 且 Y U x x V U ∈=在度量空间中, 所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理 2.6.1). 所有开区间的族是 R 的基.定理 2.6.3 拓扑空间X 的基B 满足:(i) ⋃B X =; (ii) ∈∀21,B B B ,∈∃⋂∈∀321,B B B x B , ,213B B B x ⋂⊂∈∀. 反之, 若集合 X 的子集族 B 满足(1)、(2), 定义}B {11B B ⊂⋃=τ, 则τ是X 的以 B 作为基的唯一拓扑.证 验证 τ是X 的拓扑. (1) φφ⋃=. (2) 先设∈21,B B B , 21B B x ⋂∈ , ∈∃x w B 使21B B W x x ⋂⊂∈,于是τ∈⋂∈=⋂}|{2121B B x W B B x . 如果τ∈21,A A , 设⋃=1A B 1 , ⋃=2A B 2,则∈⋂⋃=⋂12121|{B B B A A B 1, ∈1B B 2}τ∈..(3) 设∃∈∀⊂,,11τττA B A ⊂B , 使得⋃=A B A , 那么{(1⋃⋃=⋃τB A | })1τ∈A .较强于(ii)且易于验证的条件是 (ii)∈∀21,B B B , ∈⋂21B B B . 例 2.6.1 实数下限拓扑空间.令 B b}a R,b a,|b) {[a,<∈=,则B 为 R 上一拓扑的基. 这空间称为实数下限拓扑空间, 记为 R l . 开区间是 R l 中的开集, 因为Y +∈+=Z i b i a b a ),1[),(.定义 2.6.2 设),(τX 是拓扑空间, S τ⊂. 若 S 的元之所有有限交构成的族是τ的基, 则称 S 是τ的子基.S 的元之有限交构成的族∈⋂⋂⋂i n S S S S |...{21S ,}+∈≤Z n i . 显然, 空间X 的基是子基.例 2.6.2 S }|),{(}|),{(R b b R a a ∈-∞⋃∈+∞=是R 的子基.对照定理 2.6.3, 集合 X 的子集族 S 要作为子基生成X 上的拓扑的充要条件是∪S X =. (定理2.6.4)映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理 2.6.5 设Y X ,是两拓扑空间, Y X f →:, 下述等价:(1)f 连续;(2) Y 基 B , 使得 B 中每一元的原像在X 中开;(3) Y 有子基 S , 使得 S 中每一元的原像在X 中开.证 (3)⇒ (2) 设 B 是 S 的元之所有有限交构成的族 , 则 B 满足(2).(2)⇒ (1) 设U 在Y 中开,则⋃=U B 1 , 于是∈=--B B f U f |)({)(11B 1 }在X 中开. 类似地, 可定义点的邻域基与邻域子基的概念, 同时用它们来验证映射的连续性等. 在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.2.7 拓扑空间中的序列可以与R 中一样地定义序列、常值序列、子序列, 见定义 2.7.1, 2.7.3..定义 2.7.2 X 中序列x x i →极限 , 收敛序列 .平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点. 数学分析中的一些收敛性质还是保留的, 如常 值序列收敛, 收敛序列的子序列也收敛 . (定理 2.7.1)定理 2.7.2 {x}-A 中序列)(A d x x x i ∈⇒→证x ∀的邻域,}){(,φ≡-x A U U 所以.)(A d x ∈定理 2.7.3f 在 x 0 连续且)()(00x f x f x x i i →⇒→证 设 U 是)(0x f 的邻域, 则)(1U f -是0x 的邻域, +∈∃Z n , 当n i >时有)(1U f x i -∈, 从而U x f i ∈)(.上述两定理的逆命题均不成立.例 2.7.1 设 X 是不可数集赋予可数补拓扑, 则(1)在X 中+∈∃⇔→Z n x x i , 当n i > 时有.x x i =;(2)若A 是X 的不可数子集, 则X A d =)(.证（1）的必要性，令},|{+∈≠=Z i x x x D i i ，则/D 是x 的邻域，n i Z n >∀∈∃+,时有/D x i ∈，即x x i =证x ∀)2(的邻域/}{,U x A U ⊄-（可数集），所以).(,}){(A d x x A U ∈≠-⋂φ 定理 2.7.2 的逆命题不真. 如例 2.7.1, 取定X x ∈0, 让}{0x X A -=, 则)(0A d x ∈, 但A 中没有序列收敛于0x .定理 2.7.3 的逆命题不真. 取X 是实数集赋予可数补拓扑, 让R X i →:是恒等映射, 若在X 中x x i → , 则在R 中)()(x f x f i →, 但 i 在 x 不连续, 因为x x 在R R 的开邻域)1,1(+-x x 的原像)1,1())1,1((1+-=+--x x x x i 在X 中不是开的.定理 2.7.4 设{x i }是度量空间),(τX 中的序列, 则0),(→⇔→x x x x i i ρ. 证 x x x i ∀⇔→的邻域+∈∃Z n U ,, 当 i>n 时有+∈∃>∀⇔∈Z n U x i ,0ε当 i>n 时有+∈∃>∀⇔∈Z n x B x i .0),(εε当n i >时有0),(→x x i ρ.第三章 子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法, 引入遗传性、可积性、可 商性等概念, 这些是研究拓扑性质的基本构架.教学重点：子空间与积空间；教学难点：子空间、（有限）积空间和商空间3.1 子空间对于空间 X 的子集族 A 及X Y ⊂, A 在 Y 上的限制 A |Y ∈⋂=A Y A |{A }.(定义 3.1.2) 引理 3.1.2 设Y 是空间),(τX 的子集, 则是Y 上的拓扑.证 按拓扑的三个条件逐一验证. 如, 设ττττ∈∃∈∀⊂A Y B A ,,1|1, 使得Y B A A ⋂=, 于是Y A A Y A B A Y B |111})|{(}|{ττττ∈⋂∈⋃=∈⋂⋃=⋃定义 3.1.3 对),(,|Y Y X Y τ⊂称为),(τX 的子空间, Y |τ称为相对拓扑.“子空间”= “子集”+ “相对拓扑”.易验证, 若Z 是Y 的子空间, 且 Y 是X 的子空间, 则Z 是X 的子空间. (定理 3.1.4), 定理 3.1.5(3.1.7) 设 Y 是X 的子空间, Y y ∈, 则(1)若*,ττ分别为Y X ,的拓扑, 则Y |*ττ=; (2)若 F , F *分别为Y X ,的全体闭集族, 则 F *=F |Y ;(3)若 U y , U y *分别为y 在 Y X , 中的邻域系, 则 U y *=U Y y |;(4)若 B 是X 的基, 则 B |Y 是Y 的基.证 (2) ∈*F F *,**Y U F Y F Y Y ⋂=-⇔∈-⇔τ Y F U Y U X F U |**,)(τττ∈⇔∈⋂-=⇔∈. (4) U 开于Y , 存在X 的开集V , 使得Y V U ⋂=, B 1 ⊂B , 满足⋃=V B 1, 则 ⋃=U (B 1 |Y ).在 R 的子空间),0(+∞中]1.0(是闭集.定理 3.1.6 设Y 是X 的子空间,Y A ⊂, 则Y A c A c Y A d A d X Y X Y ⋂=⋂=)()()2(;)()()1(证 (1) )(A d y X ∈在X 中的邻域φ≠-⋂⋂⊃-⋂}){()(}){(,y A Y U y A U U , 所以 Y A d y X ⋂∈)(. 反 之 , 设Y A d y X ⋂∈)(, y 在Y 中 的 邻 域y V ∃,在 X 中 的 邻 域U 使Y U V ⋂=, 于 是φ≠-⋂=⋂-=-}){(})){((}){(y A U Y y A U y A V I I , 所以).(A d y ∈.(2)Y A c Y A A d A Y A d A A d A A c X X X Y Y ⋂=⋃⋂⋃=⋂⋃=⋃=)()())(())(()()(.3.2 有限积空间就平面的球形邻域),(εx B d 而言, 我们知道球形邻域内含有方形邻域 , 方形邻域内含有球形邻域 . 从基的角度而言,形如),(),(222111εεx B x B ⨯的集合就是平面拓扑的基了. 对于两个拓扑空间Y X ,, 在笛卡儿积集Y X ⨯中可考虑形如V U ⨯的集合之全体, 其中 U, V 分别是 X, Y 的开集. 对于有限个空间n X X X ,...,,21, 可考虑形如n U U U ⨯⨯⨯...21的集合. 定理 3.2.2 设),(i i X τ是 n 个拓扑空间, 则n X X X X ⨯⨯⨯=...21 有唯一的拓扑, 以 X 的子集族 B n i U U U U i i n ≤∈⨯⨯⨯=,|...{21τ为它的一个基 .证 验证 B 满足定理 2.6.3 的条件(i), (ii). (1) ∈⨯⨯⨯=n X X X X ...21B ,∪B =X;(2) 若 ∈⨯⨯⨯⨯⨯⨯n n V V V U U U ...,...2121B , 则∈⋂⨯⨯⋂⨯⋂=⨯⨯⨯⋂⨯⨯⨯)(...)()()...()...(22112121n n n n V U V U V U V V V U U U B . 定义 3.2.2 以定理 3.2.2 中 B 为基生成n X X X X ⨯⨯⨯=...21 上的唯一拓扑, 称为拓扑n τττ,...,21的积拓扑.),(τX 称为),,),...(,(),,(2211n n X X X τττ的(有限 )积空间. 定理 3.2.4设n X X X X ⨯⨯⨯=...21是积空间, B i 是i X 的基, 则 B ∈⨯⨯⨯=i n B B B B |...{21Bi,}n i ≤是 积拓扑τ的基.证 利用定理 2.6.2. 设i i U U x ττ∈∃∈∈,使∈∃⊂⨯⨯⨯∈i n B U U U U x ,...21B i 使 i i i U B x ⊂∈, 那么.......2121U U U U B B B x n n ⊂⨯⨯⨯⊂⨯⨯⨯∈.例 3.2.1 形如),(...),(),(2211n n b a b a b a ⨯⨯⨯的集合构成n R 的基.设),(),,(2211ρρX X 是两个度量空间.令22222111),(),(),(y x y x y x ρρρ+=,则ρ是21X X ⨯上的度量, 导出X 上的度量拓扑τ. 对于n 个度量空间之积可类似地定义. (定义3.2.1)定理 3.2.1 度量空间的有限积: 积拓扑与度量拓扑一致.验证2=n 的情形. 易验证),(),(),()2/,()2/,(22112211εεεεεx B x B x B x B x B ⨯⊂⊂⨯于是每一),(εx B 是积拓扑的开集, 且每一),(),(2211εεx B x B ⨯是度量拓扑的开集, 所以导出相同的拓扑.定理 3.2.5 有限积空间n X X X X ⨯⨯⨯=...21以 S },)({1n i U U p i i i i ≤∈=-τ为子基, 其中i τ是i X 的拓扑, i i X X p →:是投射.仅证2=n 的情形.2121221111)(,)(U X U p X U U p ⨯=⨯=--, 所以∈⨯=⋂--21212111)()(U U U p U p B .定义 3.2.3 Y X f →:称为开(闭)映射, 若U 开(闭)于X , 则)(U f 开(闭)于Y . 定理 3.2.6 i i X X p →:是满、连续、开映射, 未必是闭映射.由于n i i i X U X X U p ⨯⨯⨯⨯⨯=-......)(211, 所以i p 连续. 由于i n i i U U U U U p =⨯⨯⨯⨯⨯)......(21, 所以是i p 开的. 但是R R p →21:不是闭的.定理 3.2.7 设映射X Y f →:其中X 是积空间n X X X ⨯⨯⨯..21. 则f 连续i i X Y f p n i →≤∀⇔:,ο连续.证 充分性. 对X 的子基 S )()())((},,)({1111i i i i i i i i U f p U p fn i U U p ----=≤∈=οτ开于Y .多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理 3.2.8 积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑 . 即设τ是积空间n X X X X ⨯⨯⨯=...21的积拓扑, 若集合 X 的拓扑*τ满足: 每一投射i i X X p →),(:*τ连续, 则*ττ⊂.证 由于*1},)({ττ⊆≤∈-n i U U p i i i i ， 所以*ττ⊂.3.3 商空间回忆, 商集R X /, 及自然投射R X X p /:→定义为R x x p ][)(=. 问题: 设X 是拓扑空间, 要在R X /上定义拓扑, 使p 连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形, 设),(τX 是拓扑空间且YX f →:是满射. 赋予集合Y 什么拓扑, 使f 连续的最大的拓扑. 若f 连续, 且U 是Y 的开集, 则)(1U f -是X 的开集. 让})(|{11ττ⋃⊂=-U f Y U , 易验 证1τ是Y 上的拓扑.定义 3.3.1(3.3.2) 称1τ 是 Y 的相对于f 满射而言的商拓扑, ),(),(:1ττY X f →称为商映射. 这时, U 在 Y 中开)(1U f -⇔在X 中开;F 在Y 中闭)(1F f -⇔在X 中闭. 定理 3.3.1 商拓扑是使f 连续的最大拓扑.证 设),(),(:1ττY X f →是商映射. 显然, f 是连续的. 如果2τ是Y 的拓扑使),(),(:1ττY X f →连续, 则ττ∈∈∀-)(,12U fU , 于是,1τ∈U 即,12ττ⊂, 所以1τ 是使 f 连续的最大拓扑. 定理 3.3.2 设Y X f →:是商映射. 对于空间Z , 映射Z Y g →:连续⇔映射Z X f g →:ο连续.证 设Z X f g →:ο连续,W ∀开于))(()()(,111W g fW f g Z ---=ο开于,X 由于f 是商映射, 所以)(1W g -开于Y , 故g 连续.定理 3.3.3 连续, 满开(闭)映射⇒商映射.证 设),(),(:Y X Y X f ττ→是连续的满开(闭)映射, 1τ是Y 的相对于f 而言的商拓扑, 要证Y ττ=1. 由定理 3.3.1, Y ττ⊃1 . 反之,X V f V ττ∈∈∀-)(,11. 对于开映射的情形Y V f f V τ∈=-))((1,; 对于闭映 射的情形, Y V f X f Y V τ∈--=-))((1, 所以总有Y ττ⊂1.定义 3.3.3 设R 是空间),(τX 的等价关系, 由自然投射R X X p i /:→确定了 X/R 的商拓扑, 称),/(R R X τ为商空间, 这时R X X p i /:→是商映射.例 3.3.1 在R 中定义等价关系~: ⇔∈∀y x R y x ~,,或者Q y x ∈,, 或者Q y x ∉,商空间 R/~是由两点组成的平庸空间. 由于 Q 在 R 中既是开集, 也不是闭集, 所以单点集[Q]在 R/~中既不是开集,也不是闭集. 习惯上, 把 R/~说成是在 R 中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例 3.3.2 在1] [0,上定义等价关系⇔∈∀y x y x ~],1,0[,~:或者y x =, 或者~/]1,0}.[1,0{},{=y x 是 在1] [0,中粘合 0, 1 两点所得到的商空间, 这商空间同胚于单位圆周1S .第四章 连通性本章起的四章介绍 4 类重要的拓扑不变性质. 本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及 其在实分析中的一些简单的应用.教学重点：连通空间、局部连通空间；教学难点：连通分支.4.1 连通空间在拓扑中怎样定义连通, 分隔区间(0, 1), (1, 2)的关系与(0, 1), [1, 2)的关系不同, 虽然他们都 不相交, 但相连的程度不一样.定义 4.1.1 设,,X B A ⊂ 若φ=⋂=⋂--B A B A , 则称B A ,是隔离的.区间(0, 1)与(1, 2)隔离, 但区间(0, 1)与[1, 2)不隔离.几个基本事实: (1)两不交的开集是隔离 的; (2)两不交的闭集是隔离的; (3)隔离子集的子集是隔离的 .定义 4.1.2X 称为不连通的, 若X 中有非空的隔离子集B A ,使B A X ⋃=, 即X 可表为两非空 隔离集之并. 否则X 称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通, 平庸空间是连通的.定理 4.1.1 对空间X , 下述等价:(1) X 是不连通的;(2) X 可表为两非空不交闭集之并;(3) X 可表为两非空不交开集之并;(4) X 存在既开又闭的非空真子集.证 (1)⇒(2)设隔离集B A ,之并是B B B A B B A B B X =⋂⋃⋂=⋃⋂=----)()()(,. 同理, A 也是闭的.(2)⇒(3)设X 是两非空不交闭集B A ,之并, 则X 是两非空不交开集B A ,之 并.(3)⇒(4)设X 是两非空不交开集B A , 之并, 则B A , 都是X 的既开又闭的非空真子集.(4)⇒ (1)若A 是X 的开闭集, 则A X A -,隔离.例 4.1.1 Q 不是R 的连通子空间, 因为)),())(,((+∞⋂-∞⋂=ππQ Q Q .定理 4.1.2 R 是连通的.证 若R 不连通, 则R 是两非空不交闭集B A , 之并 . 取定,,B b A a ∈∈ 不妨设b a <. 令B b a B A b a A ⋂=⋂=],[,],[**则**,B A 是R 两非空不交闭集且**],[B A b a ⋃=.让 *sup A c =. 因*A 是闭的, **],(,,B b c b c A c ⊂<∈, 因*B 是闭的, *B c ∈, 从而φ≠⋂**B A , 矛盾.定义 4.1.3 若X 的子空间Y 是连通的, 则称Y 为连通子集, 否则, 称为不连通子集. 定理 4.1.3 设,,X Y B A ⊂⊂, 则B A ,是Y 的隔离集B A ,⇔ 是X 的隔离集. 证 B A c Y B A c B A c X X Y ⋂=⋂⋂=⋂)()()(; 同理, A B c A B c X Y ⋂=⋂)()(.定理 4.1.4 设Y 是X 的连通子集. 如果X 有隔离子集B A ,使B A Y ⋃⊂, 则A Y ⊂ 或B Y ⊂.证Y B Y A ⋂⋂,是Y 的隔离集, 所以φ=⋂Y A , 或 φ=⋂Y B , 于是A Y ⊂ 或B Y ⊂.定理 4.1.5 若Y 是X 的连通子集且-⊂⊂Y Z Y , 则Z 是连通的.证 若Z 不连通, X 的非空隔离集B A , 使Y B A Z ⊃⋃=, 于是A Y ⊂ 或B Y ⊂, 不妨设A Y ⊂, 那 么--⊂⊂A Y Z , 于是 φ=⋂=B Z B , 矛盾.定理 4.1.6 设τγλ∈}{Y 是空间X 的连通子集族. 如果φτγλ≠∈I Y , 则X 连通. 证 若Y τγλ∈Y 是 X 中隔离集B A ,之并, 取定φτγλ≠∈∈I Y x , 不妨设A x ∈, 则A Y ⊂∈∀γτγ,， 所以A Y ⊂∈Y τγλ，于是φ=B .定理 4.1.7 设X Y ⊂. 若X Y y x ∃∈∀,,的连通子集 Y xy 使 Y Y y x xy ⊂∈,, 则Y 连通. 证 设φ≠Y ，取定Y a ∈, 则A Y ay ⊂∈Y τγ且I τγ∈∈ay Y a , 所以Y 连通.定理 4.1.8(连续映射保持) 设Y X f →:连续. 若X 连通, 则)(X f 连通.证 若)(X f 不连通, 则)(X f 含有非空的开闭真子集A . 由于)(:X f X f →连续, 于是)(1A f -是X 的 非空开闭真子集. 连续映射保持性可商性拓扑不变性.有限可积性. 对于拓扑性质 P, 要证有限可积性, 因为n X X X ⨯⨯⨯...21同胚于n n X X X ⨯⨯⨯-11..., 所以只须证: 若Y X ,具性质 P, 则Y X ⨯具有性质 P.定理 4.1.9 (有限可积性) 设n X X X ,...,,21 连通, 则n X X X ⨯⨯⨯...21连通. 证 仅证若Y X , 连通, 则 Y X ⨯连通. 取定Y X y x Y X b a ⨯∈∀⨯∈),(.),( 令 )}})({{(Y a y X S xy ⨯⨯=由于}{y X ⨯同胚于Y a X ⨯}{, 同胚于Y , 所以}{y X ⨯，Y a ⨯}{, 都 连通且)}({}){(),(Y a y X y a ⨯⋂⨯∈， 由定理41.6, xy S 连 通 且xy S y x ∈),(, 再 由 定 理 4.1.7}),(|{Y X y x S Y X xy ⨯∈=⨯连通.4.2 连通性的应用利用 R 连通性的证明(定理 4.1.2)知, 区间都是连通的. 区间有 9 类：无限区间 5 类：],,(),,(),,[),,(),,(b b a a -∞-∞+∞+∞+∞-∞有限区间 4 类：(a, b), [a, b), (a, b], [a, b].定理 4.2.1 设R E ⊂, 则E 连通⇔E 是区间.证 若 E 不是区间,b c a <<∃ , 使E b a ∈,但E c ∉令),(,),(+∞=⋂-∞=c B E c A 则 E 是不交的 非空开集B A , 之并.定理 4.2.2 设X 连通, R X f →:连续, 则)(X f 是 R 的一个区间.注X y x ∈,, 如果 t 介于)(x f 与)(y f 之间, 则X z ∈∃, 使t z f =)(. 事实上, 不妨设)()(y f t x f ≤≤则)()](),([X f y f x f t ⊂∈所以Xz ∈∃, 使t z f =)(. 定理 4.2.3(介值定理) 设R b a f →],[:连续, 若r 介于)(a f 与)(b f 之间, 则],[b a z ∈∃使r z f =)(.定理 4.2.4(不动点定理) 设]1,0[]1,0[:→f 连续, 则]1,0[∈z 使z z f =)(.证 不妨设 1)1(),0(0<<f f .定义R F →]1,0[:使)()(x f x x F -=, 则F 连续且 ]1,0[),1(0)0(∈<<z F F 使得0)(=z F , 即z z f =)(.定义2:R R f →为)2sin ,2(cos )(t t t f ππ=, 则f 连续且1)(S R f =, 于是1S 是连通的. 对121121),(,),(S x x x S x x x ∈--=-∈=称为x 的对径点, 映射11:S S r →定义为x x r -=)(称为对径映射, 则 r 连续.定理 4.2.5(Borsuk-Ulam 定理) 设R S f →1:连续, 则1S x ∈, 使)()(x f x f -=. 证 定义R S F →1:为)()()(x f x f x F --=， 则F 连续. 若1S a ∈ , 使得)()(a f a f -≠ 则0)()(<-⋅a F a F , 由定理 4.2.2,1S z ∈∃, 使得0)(=z F , 即)()(z f z f -=. 定理 4.2.6}0{-n R 连通, 其中.)0,...,0,0(0,1n R n ∈=>证 只证 n=2 的情形. 令})0{(]0,(}),0{(),0[-⨯-∞-⨯+∞=R B R A , 则}0{-=⋃n R B A . 由于})0{(),0[})0{(),0(-⨯+∞⊂⊂-⨯+∞R A R , 所以A 连通. 同理B 连通, 从而B A ,连通.定理 4.2.7 2R 与 R 不同胚.证 若存在同胚R R f →2:, 令R R f g R →-=-}0{:2}0{2, 则g 连续, 从而}0{})0{(22-=-R R g 连通, 矛盾.4.3 连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通子集(“连通分支”)之并.定义 4.3.1 X y x ∈,称为连通的, 若X 的连通子集同时含y x ,, 记为y x ~. 点的连通关系~是等 价关系： z x z y y x x y y x x x ~~,~)3(;~~)2(;~)1(⇒⇔. 定义 4.3.2 空间X 关于点的连通关系的每一等价类称为X 的一个连通分支. x~y ⇔x, y 属于X 的同一连通分支. X 是X 的全体连通分支的互不相交并. 定理 4.3.1 设 C 是空间X 的连通分支, 则(1)若Y 是X 的连通子集且φ≠⋂C Y , 则C Y ⊂;(2)C 是连通的闭集.证 (1)取定Y y C Y x ∈∀⋂∈, 则y x ~所以 .C y ∈(2)取定X C x C c ∃∈∀∈,,的连通集),(x x Y x c Y ∈，由于C Y C Y x x ⊂≠⋂,φ，于是}|{C x Y C x ∈⋃=且}|{C x Y c x ∈⋂∈, 所以 C 是连通的. 从而 -C 连通且φ≠⋂-C C , 于是C C ⊂-, 故 C 闭.以上说明：连通分支是最大的连通子集.连通分支可以不是开集. Q 的连通分支都是单点集, 不是Q 的开子集Q y x ∈∀,, 由定理4.2.1, 不存在Q 的连通子集同时含有y x ,,所以Q 的连通分支都是单点集 .4.4 局部连通空间例 4.4.1 (拓扑学家的正弦曲线 ) 令T S S T x x x S ⋃=-⨯=∈=1],1,1[}0{]},1,0(|)/1sin(,{(,则1S S =-, 于是 S, S 1 连通. 在 S 1 中, S 中点与 T 中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性 .S S 1=S ∪T=ST定义 4.4.1 设X x ∈若x 的每一邻域U 中都含有x 的某一连通的邻域V , 称X 在x 是局部连 通的. 空间X 称为局部连通的, 若X 在每一点是局部连通的.S 1 是连通, 非局部连通的. 多于一点的离散空间是局部连通, 非连通的.定理 4.4.1 对空间X , 下述等价:(1) X 是局部连通;(2) X 的任一开集的任一连通分支是开集;(3) X 有一个基, 每一元是连通的.证 (1)⇒(2)设 C 是X 的开集U 的连通分支. x C x ∃∈∀,的连通的邻域 U V ⊂, 于是 C V C V ⊂≠⋂,φ, 所以 C 是x 的邻域, 故 C 开.(2)⇒ (3)令 B C X C |{⊂= 是X 的开集U 的连通分支}, 则 B 是X 的基.(3)⇒ (1)设U 是x 的邻域, 存在开集V 使U V x ⊂∈, 连通开集 C 使U V C x ⊂⊂∈, 所以X 局部连通.定理 4.4.2 设Y X f →:是连续开映射. 若X 局部连通, 则)(X f 局部连通. 证 )(X f y ∈∀, 及 y 在)(X f 中的邻域U , 取)(1y fx -∈, 则 0(1U f -是x 的邻域, X 的连通开集V 使)(1U f V x -⊂∈, 于是 U V f x f y ⊂∈=)()(.定理 4.4.3 局部连通性是有限可积性, 即设n X X X ,...,,21局部连通, 则n X X X ⨯⨯⨯...21局部连通.证 仅证若21,X X 局部连通, 则21X X ⨯局部连通. 设 B 1, B 2 分别是21,X X 的由连通证 y 1, y 2 f(X), x 1, x 2X 使 f(x 1)=y 1, f(x 2)=y 2,开集组成的基, 则{ 121|B B B ⨯ ∈B 1, ∈2B B 2}是21X X ⨯的由连通开集组成的基(定理 3.2.4).4.5 道路连通空间定义 4.5.1 设X 是拓扑空间, 连续映射 X f →]1,0[:称为X 中的一条道路,)1(),0(f f 分别称为f 的起点和终点, f 称为从)0(f 到)1(f 的一条道路,])1,0([f 称为X 中的一条曲线. 若)1()0(f f =, f 称为闭路.定义 4.5.2 对空间X , 如果X X y x ∃∈∀,, 中从x 到y 的道路, 则称X 是道路连通的.类似可定义道路连通子集.R 是道路连通的, R y x ∈∀,, 定义R f →]1,0[:为ty x t t f +-=)1()(.定理 4.5.1 道路连通⇒连通.证 设 X 道路连通. X X y x ∃∈∀,,中从x 到y 的道路X f →]1,0[:, 这时])1,0([f 是X 中含y x ,的连通子集, 所以X 连通.拓扑学家正弦曲线 S 1 是连通, 非道路连通的空间.定理 4.5.2 设Y X f →:连续. 若X 道路连通, 则)(X f 道路连通.证X x x X f y y ∈∃∈∀2121,),(,使)(),(2211x f y x f y ==，存在道路X g →]1,0[: 使21)1(,)0(x g x g ==, 则 f◦g: [0, 1]→ Y 是 f(X)中从1y 到2y 的道路.定理 4.5.3 道路连通性是有限可积性.证 仅证若21,X X 是道路连通, 则21X X ⨯道路连通.212121),(),,(X X y y y x x x ⨯∈==∀, 则存在道路21]1,0[:X X f i ⨯→使i i i i y f x f ==)1(,)0(，定义21]1,0[:X X f ⨯→为))(),(()(21t f t f t f =, 则 f 是从 x 到 y 的道路.可引进局部道路连通空间的概念. 同时, 与连通分支类似 , 可建立道路连通分支: 空间中最大的道路连通子集.第五章 可数性公理本章主要介绍 4 种与可数性相关的拓扑性质, 它们与度量空间性质、下章要讨论的分离性公 理都是密切相关的. 本章的要点是给出它们之间的基本关系.教学重点：第一与第二可数性公理；教学难点：分离性公理.5.1 第一与第二可数性定理第二章介绍的空间的基, 在生成拓扑空间, 描述局部连通性, 刻画连续性等方面都发挥了积 极的作用. 较少的基元对于进一步讨论空间的属性是重要的.定义 5.1.1 若X 有可数基, 称X 满足第二可数(性)公理, 或是第二可数空间, 简称2A 空间.定理 5.1.1 . 2A R ⇒证 令 B },|),{(Q b a b a ∈=, 定理 2.6.2, B 是 R 的可数基. 离散空间X 具有可数基X 是可数集.下面讨论“局部基”性质. (定义 2.6.3)对X x ∈, 设 U x 是x 的邻域系, 若 V x ⊂U x 满足: ∈∀U U x , ∈∃V V x 使U V ⊂, 则称 V x 是 x 的邻域基, 若更设 V x 中每一元都是开的,则称 V x 是 x 的开邻域基或 局部基. 易验证, (1) 若 V x 是x 在X 的邻域基, 则∈V V o |{V x }是x 在 X 的局部基; (2)(定理 2.6.7) 若 B 是空间X 的基, X x ∈, 则 B x ∈=B {B }B x ∈是x 的局部基.定义 5.1.2 若X 的每一点有可数邻域基, 称X 满足第一可数(性)公理, 或是第一可数空间, 简 称1A 空间.定理 5.1.2 度量空间1A ⇒.证}|)/1,({+∈=Z n n x B B x 是x 的可数邻域基.例 5.1.1 不可数多个点的可数补空间X ， 非1A证X x ∈有可数局部基V ，∈∃-∈∀y V x X y },{V 使//}{,}{y y V y y V ⊂⊂从而不可数集}{}{//y V x ⋃⊂可数集, 矛盾.定理 5.1.3 12A A ⇒.证 若 B 是X 的可数基, 则 B x ∈=B {B }|B x ∈是X x ∈的可数邻域基.。
《点集拓扑学》课件
映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质 的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它提供了一 个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来 说，如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的，那么这 个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集，或者 将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在 研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆 盖都有有限子覆盖，则称该空间 是紧致的分离公理可以推导出紧致性，反 之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最 基础的空间，它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数是一种定义在 点集上的复值函数。点集拓扑学为理 解波函数的性质和行为提供了重要的 理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题，如涡旋的 形成和演化，需要用到点集拓扑的知 识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方 法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明，对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同 胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它指出对于一个可微分的 闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续 映射和同胚映射的性质时非常有用，特别是在处理一些复杂的几何问题时。
第二章 拓扑空间与连续映射
-1
2.3 邻域
定义2 定义2.3.1 设(X, T)是拓扑空间. x∈X, UX称为x 的邻域, 如果存在V∈T使x∈VU; 若U是开的, U称 为x的开邻域. 定理2.3.1 设UX. U是X的开集U是它的每一 定理2 点的邻域. 证 由定义得“”; 利用开集之并为开得 “” . x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系, 记为 Ux.
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宁德师范高等专科学校
9
2.2 拓扑空间与连续映射(3)
定义2 定义2.2.3 可度量化空间. 离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可 度量化空间. 度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之 一. 本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解. 定义2 定义2.2.4 X, Y是两拓扑空间. f: X→Y. 称f连续, 若Y中每 -1 一开集U的原象f (U)是X中的开集. 定理2 定理2.2.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的. 定义2.2.5 f: X→Y称为同胚或同胚映射, 若f是一一映射且 定义2 -1 f及f 均连续.
设f是包含a的所有闭集之交20121027宁德师范高等专科学校2224定理249对度量空间x20121027宁德师范高等专科学校232420121027宁德师范高等专科学校2425定义251a的所有内点的集合称为a的内部记为a20121027宁德师范高等专科学校2525是a所包含的所有开集之并是含于a内的最大开集
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2.3 邻域(3)
利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集, 从Ux(x∈X) 具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发, 定义 T={UX|x∈U, U∈Ux}, 则(X, T)是拓扑空间, 且这空间中每一点x的邻域系 恰是Ux. 详见定理2.3.3. 定义2.3.2(点连续) 映射f: X→Y称为在点x∈X连续, 如果U 定义2 -1 是f(x)在Y中的邻域, 则f (U)是x在X中的邻域. 定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出 的拓扑空间中的点的连续性的一致. 另一方面, 关于点的连 续性, 易验证(定理2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续 的函数之复合仍是点连续的.
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划第一章拓扑空间和拓扑不变量数学分析中连续函数的定义和和域是欧几里德空间(直线、平面或空间)或其一部分。
本章将首先抽象连续函数的定义域和值域的主要特征来定义度量空间，然后抽象连续函数的主要特征来定义度量空间的连续映射。
然后将两者再次抽象，给出了拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
然后是拓扑空间的一些基本问题，如邻域、开集、闭集、闭包、聚集点、导集、内部、边界、序列、极限等。
都是一步步提出来的。
此外，还介绍了重要的拓扑不变性，如紧性、连通性、可数性和可分性1.1拓扑空间，开集，闭集，聚集点，闭包，邻域一、问题介绍在数学分析中，我们知道在连续函数的定义中只涉及距离的概念。
该域是一维欧几里德空间，即实空间。
距离d(x，y)=|x-y|，即两个实数之差的绝对值。
该域是n维欧几里德空间。
两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) d(x，y)= 1(x1？y1)2？…+(xn？yn)2 .无论它是多维空间，它的距离都有以下属性:1.d(x，y)≥0，？x，y∈R；2.d(x，y) = 0？x = y。
3.d(x，y) = d(y，x)？x，y∈R；4.d(x，z) ≤ d(x，y) + d(y，z)，？x，y，z∈R；这些属性反映了距离的特征。
通过将R推广到一般集合，我们可以从距离中抽象出度量和度量空间的定义。
Nnnn (1)度量空间1.定义定义1设X是一个集合，ρ: x x x → r，如果对于任何X，y，z∈X，有①(正定性)ρ(x，y)≥0且ρ (x，y) = 0？x = y。
(2)(对称性)ρ (x，y) = ρ (y，x)；(3)(三角形不等式)ρ (x，z) ≤ρ (x，y)+ρ (y，z)在集合x中称为ρ a测度。
1吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划如果ρ是集合x中的度量，那么偶对(x，ρ)是度量空间，或者直径x 是度量空间。
点集拓扑学教学大纲
《点集拓扑学》教学大纲课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology课程性质：数学与应用数学专业必修课学时数：36教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版.主要参考书：《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版.《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版.《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版.《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主所属院系：数学学院数学与应用数学系课程基础：《数学分析》、《实变函数论》一、课程简介拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始.泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间.X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚.要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚.一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等.在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进.二、教学目的点集拓扑近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科.该课程从点集拓扑学的发展简史出发，深入浅出地阐述了点集拓扑学的基本理论、基本问题和基本方法.内容包括：点集拓扑基础、拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等.其中各部分主题鲜明，逻辑性强，通过对各部分内容由浅入深的讲解，使学生透彻地理解基本概念，努力将每个知识点与中学数学的知识及已经学过的大学其它数学课程(例如实变函数论)联系起来，便于学生比较理解，增加对知识背景的认识.三、教学要求本课程研究点集拓扑学的基本理论和基本方法。
点集拓扑
《点集拓扑》课程教学大纲课程编号:02200018课程名称：点集拓扑英文名称： General Topology课程类型: 必修课总学时： 36 讲课学时：60 习题课学时：12学分： 2适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科二年级上学期先修课程：数学分析、高等代数、近世代数一、课程简介拓扑学是几何学的一个分支，是研究拓扑空间在拓扑变换下保持不变的性质或不变量。
它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。
本课程介绍关于拓扑空间、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等拓扑学的最基本的，最常用的概念及其性质。
拓扑学是基础数学专业的一门必修专业基础课程，拓扑学虽诞生于二十世纪之初但目前已发展成为一门重要的数学分支，成为现代数学的一门基础学科. 因此对于数学专业本科学生而言必须掌握这门课程的基本理论和基本知识。
四、教学内容第一章朴素集合论（讲课3习题课0）§1. 集合的基本概念§2. 集合的基本运算§3. 关系§4. 等价关系§5. 映射§6. 集族及其运算§7. 可数集，不可数集，基数§8. 选择公理第二章拓扑空间与连续映射（讲课15习题课3）§1. 度量空间与连续映射§2. 拓扑空间与连续映射§3. 邻域与邻域系§4. 导集，闭集，闭包§5. 内部，边界§6. 基与子基§7. 拓扑空间中的序列第三章子空间，（有限）积空间，商空间（讲课7习题课2）§1. 子空间§2.（有限）积空间§3. 商空间第四章连通性（讲课8习题课2）§1. 连通空间§2. 连通性的某些简单应用§3. 连通分支§4. 局部连通空间§5.道路连通空间第五章有关可数性的公理（讲课5习题课1）§1. 第一可数与第二可数公理§2. 可分空间§3. Lindeloff空间第六章分离性公理（讲课6习题课1）§1.0T、1T、Hausdorff空间§2. 正则、正规、3T、4T空间（讲课0习题课0）§3. Urysohn引理和Tietze扩张定理§4. 完全正则空间、Tychonoff 空间§5. 分离性公理与子空间，(有限)积空间和商空间§6. 可度量化空间第七章紧致性（讲课6习题课1）§1. 紧致空间§2. 紧致性与分离性公理§3. n维欧氏空间n R中的紧致子集§4. 几种紧致性及其间的关系§5. 度量空间中的紧致性§6. 局部紧致空间，仿紧致空间第八章完备度量空间（讲课3习题课1）§1. 度量空间的完备化§2. 度量空间的完备性与紧致性，Baire定理第九章基本群及其应用（讲课7习题课1）§1. 基本群的定义§2. 连续映射诱导同态§3. 圆周的基本群§4. 2维Brouwer不动点定理§5. Jordan分割定理十、推荐教材和教学参考书教材：《点集拓扑讲义》，熊金城编著，高等教育出版社，2003年．参考书：1、《拓扑学引论》，江泽涵编著，上海科学技术出版社，1978年．2、《拓扑学》，蒲保明编著，高等教育出版社，1985年．大纲制订人：贾兴琴、白永强大纲审定人：吴可制订日期：2010年7月1日。
导集闭集闭包
定理2.4.4 拓扑空间 X 的子集 A
是闭集的充要条件是 A A.
证明：必要性：若 A 是闭集，则
d(A) A ，从而 A A d (A) A ; 充分性：若 A A，即 A d (A) A
显然有 d(A) A ,故 A 是闭集.
定理2.4.5 设 X 是一个拓扑空
例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集
解：设 A 是 X 的任意一个子集.
(1) 若 A 是 空集，显然有 d (A)
(2) 若 A 是一个单点集，令 A {a}
对任意 x X , x a ，点 x 有唯的一
个邻域 X ,使得 X (A {x}) ，
即 x d (A) . 对 a 的唯一的邻域 X ,有X (A {a}) 故 a d ( A) ，由以上的讨论我们有: d(A) X A
故x有一个邻域U使得 U (A {x})
任取x的一个开邻域V,使得 V U 此时也有V (A {x}) ，由于 x A
因此 V A ，这样对 y V
有V (A {y}) ，由于 V 是 y 的一个
开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点，
从而 V (d(A) {x})
A X 则 A 是一个闭集，当且仅当 A
的补集 A 是一个开集.
证明：必要性：设 A 是一个闭集 ，
对 x A,则 x A ，从而 x d (A) 这样
x 有一个邻域 U 使得 U (A {x}) 由于
x A ，故 U A ，即 U A ,因此 A 是 x 的一个邻域. 所以 A是一个开集.
§2.4 导集，闭集，闭包
定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间,
167;2.4导集闭集闭包
§2.4导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝．例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A．第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X．定理2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．则（l）d（）=；（2）A B蕴涵d（A）d（B）；（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；（4）d（d（A））A∪d（A）．证明（1）由于对于任何一点x∈X和点x的任何一个邻域U，有U∩（2）设A B．如果．这证明了d（A）d（B）．（3）根据（2），因为A，B A∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），从而d（A）∪d（B）d（A∪B）．另一方面，如果综上所述，可见（3）成立．(这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法:要证,只要证即可．)（4）设：即（4）成立．定义2.4.2 设X是一个拓扑空间，A X．如果A的每一个凝聚点都属于A，即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．例如，根据例，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．定理2.4.2 设X是一个拓扑空间，A X．则A是一个闭集，当且仅当A的补集是一个开集．证明必要性：设A是一个闭集充分性：设：即A是一个闭集．例2.4.3 实数空间R中作为闭集的区间．设a，b∈R，a＜b．闭区间[a，b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a，b]的补集=（-∞，a）∩（b，∞）是一个开集．同理，（-∞，a]，[b，∞）都是闭集，（-∞，∞）＝R显然更是一个闭集．然而开区间（a，b）却不是闭集，因为a是（a，b）的一个凝聚点，但a（a，b）．同理区间（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是闭集．定理2.4.3 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则：（1）X，∈F（2）如果A，B∈F，则AUB∈F（从而如果)（3）如果≠在此定理的第（3）条中，我们特别要求≠的原因在于当=时所涉及的交运算没有定义．证明根据定理2.4.2，我们有T={|U∈F}其中，T为X的拓扑．（1）∵X，∈T，∴（2）若A、B∈F ，则（3）令：定理证明完成．总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．定义2.4.3 设X是一个拓扑空间,A X,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记作或容易看出,(注意:与x∈d(A)的区别)定理2.4.4 拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)A而这又当且仅当A=A∪d(A)定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：证明（1）成立是由于是闭集．（2）成立是根据闭包的定义．（3）成立是因为（4）成立是因为＝A∪d（A）∪d（d（A))＝A∪d（A）=在第（3）条和第（4）条的证明过程中我们分别用到了定理定理2.4.6 拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集．证明根据定理定理2.4.7 设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．证明因为A包含于，而后者是一个闭集，由定理有另一方面，由于是一个闭集，并且，所以(“交”包含于形成交的任一个成员)综合这两个包含关系，即得所求证的等式．由定理，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集．在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画．定义2.4.5 设（X，ρ)一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离ρ（x，A）定义为ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}根据下确界的性质以及邻域的定义易见：ρ（x，A）＝0当且仅当对于任意实数ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，换言之即是：对于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U有U∩A≠，应用以上讨论立即得到．定理2.4.9 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．则（1）x∈d（A）当且仅当ρ（x，A-{x}）=0；（2）x∈当且仅当ρ（x，A）＝0．以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．定理设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：（l）f是一个连续映射；（2）Y中的任何一个闭集B的原象(B)是一个闭集；（3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即；(4)对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即．证明（1）蕴涵（2）．设B Y是一个闭集．则是一个开集，因此根据（1），是X中的一个开集，因此(B)是X中的一个闭集．(2)蕴涵（3）设A X．由于f（A），根据（2），成立．(3)蕴涵(4)设A Y集合(B)X应用（3）即得（4）蕴涵（l）．设U是Y中的一个开集．则是Y中的一个闭集．对此集合应用（4）可见:．总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?作业:P69 1．2。
点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射 ppt课件
包含于B的闭包的原象，即 f1(B)f1(B)
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证明 (1)蕴涵(2)．设 BY是闭集 则 B c 是一个开集，因此根据 (1)
f1(Bc)(f1(B)c)是X中的一个开集，因此 f 1(B) 是X中的一个闭集．
A的所有开集的并称为集合A的内部,记为: A
A是含于A里的最大开集
定理2.19. 设X是一个拓扑空间，AX,则
A是开 集的任充取分x必要( A条c件)c,是则Ax=AA. c , 定理所2以.2,0存. 在对xA的X邻, 域VA,使得(:Ac),c A((Ac))c
证明: V 任取{ A xc { Ax } ,则 xV } AA cc , 从 而 x( Ac )c.
(2)蕴涵(3). 设 AX , 由于f(A) 根据(2)，
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成立．
(3)蕴涵(4)设 BY, 集合 f1(B)X 应用(3)即得:
(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集． 则 U c是Y中的一个闭集．对此集合应用(4) 可见: f1(Uc)f1(Uc)f1(Uc)
充分性：设：
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即A是一个闭集．
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集．
（a，b]，[a，b）是否闭集?
回答: 不是
例2.5. 平庸空间中集合的凝聚点和导集．
d(A) X A
点集拓扑知识点总结
点集拓扑知识点总结点集拓扑是数学中一个重要的分支，研究的是空间中的点和点之间的关系。
在点集拓扑中，我们主要关注的是点集之间的连通性、紧致性以及开放性等性质。
本文将从基础概念、连通性、紧致性和开放性等方面对点集拓扑进行总结。
1. 基础概念•点：点集拓扑的基本元素，可以是任意维度的对象，如点、线、面等。
•集合：由多个点组成的集合，可以是有限的也可以是无限的。
•空间：点集拓扑研究的对象，可以是欧氏空间、度量空间等。
•区域：空间中的一个开集，可以是任意维度的对象，如开区间、开球、开盘等。
2. 连通性在点集拓扑中，连通性是一个重要的概念，用来描述一个空间是否可以被分割成多个不相交的部分。
•连通集：一个空间中，如果不存在非空的开集既是它的一个子集，又是它的补集，那么这个空间就是连通的。
•连通分支：一个连通集的极大连通子集称为连通分支。
一个空间可能有多个连通分支。
•非连通集：一个空间中，如果可以被分割成多个不相交的连通集，那么这个空间就是非连通的。
3. 紧致性紧致性是点集拓扑中的另一个重要概念，用来描述一个空间中的点集是否可以被覆盖。
•紧集：一个空间中的点集，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么这个点集就是紧致的。
•有界集：一个空间中的点集，如果它存在一个有界的开覆盖，那么这个点集就是有界的。
4. 开放性与闭包开放性与闭包是点集拓扑中用来描述点集性质的重要概念。
•开集：在一个空间中，如果一个点集的所有点都是内点，那么这个点集就是开集。
•闭集：在一个空间中，如果一个点集包含了它的所有极限点，那么这个点集就是闭集。
•内点：在一个点集中，如果存在一个开集包含于该点集，那么这个点就是内点。
•极限点：在一个点集中，如果每一个邻域都包含除该点本身之外的点，那么该点就是极限点。
•闭包：一个点集的闭包指的是这个点集加上它的所有极限点。
5. 拓扑空间拓扑空间是点集拓扑的基础，它是由一个点集和该点集上的拓扑结构组成的。
•拓扑结构：一个点集上的拓扑结构由这个点集上的所有开集组成。
《点集拓扑学》§2.4 导集,闭集,闭包
§2.4 导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A 并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x 为A的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝．例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A．第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X．定理2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．则（l）d（）=；（2）A B蕴涵d（A）d（B）；（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；（4）d（d（A））A∪d（A）．证明（1）由于对于任何一点x∈X和点x的任何一个邻域U，有U∩（2）设A B．如果．这证明了d（A）d（B）．（3）根据（2），因为A，B A∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），从而d（A）∪d（B）d（A∪B）．另一方面，如果综上所述，可见（3）成立．(这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法:要证,只要证即可．)（4）设：即（4）成立．定义2.4.2 设X是一个拓扑空间，A X．如果A的每一个凝聚点都属于A，即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．例如，根据例2.4.l和例2.4.2中的讨论可见，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．定理2.4.2 设X是一个拓扑空间，A X．则A是一个闭集，当且仅当A的补集是一个开集．证明必要性：设A是一个闭集充分性：设：即A是一个闭集．例2.4.3 实数空间R中作为闭集的区间．设a，b∈R，a＜b．闭区间[a，b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a，b]的补集=（-∞，a）∩（b，∞）是一个开集．同理，（-∞，a]，[b，∞）都是闭集，（-∞，∞）＝R显然更是一个闭集．然而开区间（a，b）却不是闭集，因为a是（a，b）的一个凝聚点，但a（a，b）．同理区间（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是闭集．定理2.4.3 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则：（1）X，∈F（2）如果A，B∈F，则AUB∈F（从而如果)（3）如果≠在此定理的第（3）条中，我们特别要求≠的原因在于当=时所涉及的交运算没有定义．证明根据定理2.4.2，我们有T={|U∈F}其中，T为X的拓扑．（1）∵X，∈T，∴（2）若A、B∈F ，则（3）令：定理证明完成．总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．定义2.4.3 设X是一个拓扑空间,A X,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记作或容易看出,(注意:与x∈d(A)的区别)定理2.4.4 拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)A而这又当且仅当A=A∪d(A)定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：证明（1）成立是由于是闭集．（2）成立是根据闭包的定义．（3）成立是因为（4）成立是因为＝A∪d（A）∪d（d（A))＝A∪d（A）=在第（3）条和第（4）条的证明过程中我们分别用到了定理2.4.l中的第（3）条和第（4）条．定理2.4.6 拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集．证明根据定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得．定理2.4.7 设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．证明因为A包含于，而后者是一个闭集，由定理2.4.5(4)与定理2.4.4有另一方面，由于是一个闭集，并且，所以(“交”包含于形成交的任一个成员)综合这两个包含关系，即得所求证的等式．由定理2.4.7可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A 的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集．在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画．定义2.4.5 设（X，ρ)一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离ρ（x，A）定义为ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}根据下确界的性质以及邻域的定义易见：ρ（x，A）＝0当且仅当对于任意实数ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，换言之即是：对于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U有U∩A≠，应用以上讨论立即得到．定理2.4.9 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．则（1）x∈d（A）当且仅当ρ（x，A-{x}）=0；（2）x∈当且仅当ρ（x，A）＝0．以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：（l）f是一个连续映射；（2）Y中的任何一个闭集B的原象(B)是一个闭集；（3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即；(4)对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即．证明（1）蕴涵（2）．设B Y是一个闭集．则是一个开集，因此根据（1），是X中的一个开集，因此(B)是X中的一个闭集．(2)蕴涵（3）设A X．由于f（A），根据（2），成立．(3)蕴涵(4)设A Y集合(B)X应用（3）即得（4）蕴涵（l）．设U是Y中的一个开集．则是Y中的一个闭集．对此集合应用（4）可见:．总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?作业:P69 1．2。
(完整word版)《点集拓扑讲义》第二章 学习笔记
第2章度量空间与连续映射从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．§2.1度量空间与连续映射本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法．首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R 称为在点∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x-|<δ时,有|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何x，y，z∈X，有（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）例2.1.2 n维欧氏空间．对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R定义ρ：×→R如下：对于任意x=（）,y=，令ρ（x，y）＝容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ是的一个度量，因此偶对(，ρ)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量ρ，称为的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H＝{x=()|<∞}定义ρ如下：对于任意x＝（），y＝（）∈H令ρ(x,y)=说明这个定义是合理的（即验证<∞）以及验证ρ是H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert空间．例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X 的一个离散度量，如果对于每一个x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（x，y）＞对于任何y∈X，x≠y，成立．例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有ρ(x,y)=容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义 2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}记作B（x，ε），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．(2)如果B（x，）和B（x，）是x∈X的两个球形邻域，任意选取实数ε＞0，使得ε＜min{ }，则易见有B（x，ε）B（x，）∩B（x，）即B（x，ε）满足要求．（3）设y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）．显然．＞0．如果z∈B （y，），则ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε所以z∈B（x，ε）．这证明B（y，）B（x，ε）．定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：（1）集合X本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．（2）设U和V是X中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V．根据定理2.1.1（2），x有一个球形邻域B（x，ε）同时包含于B（x，）和B （x，），因此B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．（3）设*Α是一个由X中的开集构成的子集族．如果，则存在∈*A使得x∈由于是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于．这证明是X中的一个开集．此外，根据定理2.1.1（3）可见，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈V U，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈V U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．定义2.1.5 设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及∈X如果对于f()的任何一个球形邻域B（f(),ε），存在的某一个球形邻域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），则称映射在点处是连续的．如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果设ρ和分别是度量空间X和Y中的度量，则f在点处连续，可以说成：对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有(f(x),f())＜ε.（即f(x)∈B（f()，ε））．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．定理2.1.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X．则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1）*和（2）*：（1）f在点处是连续的；（1）*f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．证明条件（1）蕴涵（1）*：设（1）成立．令U为f（）的一个邻域．根据定理2.1.3，f（）有一个球形邻域B（f（），ε）包含于U．由于f 在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以B（，δ）（U），这证明（U）是的一个邻域．条件（1）*蕴涵（1）．设条件（1）*成立．任意给定f（）的一个邻域B（f(),ε），则（B（f()，ε）是的一个邻域．根据定理2.1.3，有一个球形邻域B（，δ）包含于（B（f（），ε）．因此f（B（，δ））B（f（），ε）．这证明f在点处连续．条件（2）蕴涵（2）*．设条件（2）成立．令V为Y中的一个开集，U＝（V）．对于每一个x∈U，我们有f（x）∈V．由于V是一个开集，所以V是f（x）的一个邻域．由于f在每一点处都连续，故根据（1）*，U是x 的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得Ux U．易见U＝∪x∈UUx．由于每一个Ux都是开集，根据定理2.1.2，U是一个开集．条件（2）*蕴涵（2）．设（2）*成立，对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域，即存在包含f（x）的一个开集V U．从而x∈（V）（U）．根据条件（2）*，（V）是一个开集，所以（U）是x的一个邻域，对于x 而言，条件（1）*成立，于是f在点x处连续．由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理2.1.2）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念作业：P47 1.2.3.4.§2.2拓扑空间与连续映射本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．定义2.2.1 设X是一个集合，τ是X的一个子集族．如果τ满足如下条件：（l）X，∈τ；（2）若A，B∈T，则A∩B∈τ；（3）若则称τ是X的一个拓扑．如果τ是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，τ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑τ而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，τ）或（X）中的一个开集．即：A∈τA是开集.（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，）因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．设X是一个集合．令T={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．设X是一个集合．令T=P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个离散空间.在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令T ={U X|是X的一个有限子集}∪{}先验证T是X的一个拓扑：（1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T．（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．（3）设．令,显然有如果，则设任意选取．这时是X 的一个有限子集，所以根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T ={U X|是X的一个可数子集}∪{}通过与例2.2.4中完全类似的做法容易验证（请读者自证）T 是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称（X，P）是一个可度量化空间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例2.2.3中给出的那个空间只含有三个点，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是比可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y中每一个开集U 的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y 是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．证明（l），所以连续．（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射这证明gof连续．在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X是一个同胚；（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；（3）如果f ：X→Y 和g ：Y→Z 都是同胚，则gof ：X→Z 也是一个同胚． 证明 以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理l ．5．3和定理1．5．4．（l ）是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚．（2）设f ：X→Y 是一个同胚．因此f 是一个—一映射，并且f 和都是连续的．于是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚．（3）设f ：X→Y 和g ：Y→Z 都是同胚．因此f 和g 都是—一映射，并且f ，，g 和都是连续的．因此gof 也是—一映射，并且gof 和都是连续的．所以gof 是一个同胚．定义2.2.6 设X 和Y 是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f ：X→Y，则称拓扑空间X 与拓扑空间Y 是同胚的，或称X 与Y 同胚，或称X 同胚于Y ．粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．定理2.2.3 设X ，Y 和Z 都是拓扑空间．则（1）X 与X 同胚；（2）如来X 与Y 同胚，则Y 与X 同胚；（3）如果X 与Y 同胚，Y 与Z 同胚，则X 与Z 同胚．证明从定理2.2.2直接得到．根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．定义2.3.1 设（X，P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈V U，则称U是点x的一个邻域．点x 的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x 的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．证明定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性．如果U是空集，当然U是一个开集．下设U≠．根据定理中的条件，使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．定理2.3.2 设X是一个拓扑空间．记为点x∈X的邻域系．则：（1）对于任何x∈X，≠；并且如果U∈，则x∈U；（2）如果U，V∈，则U∩V∈；（3）如果U∈并且U V，则V∈；（4）如果U∈，则存在V∈满足条件：(a)V U和(b)对于任何y∈V，有V∈．证明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定义,如果U∈，则x∈U（2）设U，V∈．则存在U．∈P和∈P使得和成立．从而我们有,T,∴U∩V∈（3）设U∈，并且（4）设U∈．令V∈P满足条件．V已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一个拓扑T使得对于每一点x∈X，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P)中的邻域系．(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果f（x）∈Y的每一个邻域U的原象（U）是x∈X的一个邻域，则称映射f 是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发．并且该定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y 的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y 的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X在每一点x∈X处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．这就证明了f连续．作业:掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法．§2.4导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U 中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝．例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：。
拓扑学课件
下面验证T 是X的一个拓扑. (i)显然 T ;对于任意 x X ,由条件(1),U x , 取
U U x , 显然有 x U X , 由条件(3)可知 X 是点 x
的邻域,因此 X T . (ii)设 A, B T,如果 x A B, 因此 x A, x B , 因此 必有 A, B U x ,由条件(2)可知 A B U x ,由 x 的任
T -(4),令 = {U X|如果x U,则U U x }, 则 T 是 X 唯一
的一个拓扑使得对于每一点 x X ,子集族U x 是点x在
拓扑空间(x,T )中的邻域系. 证明:
T {U X | 如果x U , 则U U x }
即 T {U X | U是它的每一点的邻域 }
X , T ;
(2) 如果 A, B T ，则 A B T ； (3) 若 T1 T ,则 AT A T1 .
1
则称 T 是X的一个拓扑.
设T 是X的一个拓扑，由于T 中的每一个元素是拓
扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理
解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件： (1) X , 是开集 (2) 任意两个开集的交集是开集 (3) 任何开集族的并是开集.
第二章 拓 扑 空 间
§2.1
拓扑空间 §2.2 拓扑基与邻域系,邻域基 §2.3 度 量 拓 扑 §2.4 闭集,闭包 §2.5 导集,内 部, 边 界 §2.6 拓扑空间中的序列 §2.7序 拓 扑
§2.1 拓 扑 空 间
重点：拓扑空间定义的理解 难点：拓扑空间定义的理解
定义2.1.1 设X是一个集合,T P (X ) (P(X )表示X的幂 集),即 T 是X的一个子集族.如果T 满足如下条件: (1)
点集拓扑学-拓扑空间和连续映射2
（3）f(x)有一个邻域子基Wf ( x ) ,使得对于任何
V∈ Wf ( x ) ,原象 f 1 (V )是x的一个邻域；
定理2.25 设X是一个拓扑空间，x∈X．则 （1）如果B是X的一个拓扑基，则 Bx={B∈B |x∈B} 是点x的一个邻域基； （2）如果 是X的一个子基，则
x {S x S}
使得当i＞M 时,有 xi U 则称点x是序列 { xi }iZ 的一个极限点 ,也称序
x
AB1 AB1
A
A
所以,存在某个 A B1 ,使得 x A
充分性: 对于 U x ,和每一个 x U ,
} V Vx B s.t x Vx U 于是: U { xU Vx x U
xU xU xU
定理2.22 设X是一个集合，B是集合X的一个子 集族,如果B满足条件： (1)
个子集A，有
A
BF . A B
B
定理2.19
设X和Y是两个拓扑空间，f :X→Y．
则以下条件等价：
(l) f 是一个连续映射
f 1 ( B) 是闭集 (2) Y中的任何一个闭集B的原象
(3) 对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象 包含于A的象的闭包，即 f ( A ) f ( A) (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭 包含于B的闭包的原象，即 f 1 ( B) f 1 ( B )
f 1 ( B) 是X中的一个开集； B∈B，
S , f 1 ( S ) 是X中的一个开集；
定义2.18
设X是一个拓扑空间，x∈X．记 Ux 为x
的邻域系． x的子族 V 如果满足条件：对于每一个 U x
U Ux , V V ,使得 x V U ,则称 V 是点 x 的 x x 一个邻域基. Ux 的子族 Wx 如果满足条件： x 每一个有限 W
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§2.4 导集，闭集，闭包
本节重点：
熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；
区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；
掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；
掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．
如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．
定义 2.4.1设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都
有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻
域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A 的一个孤立点．
即:(牢记)
在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．
某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．
例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．
设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得
，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝
．
例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．
设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：
第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即
d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）
第2种情形：A是一个单点集，令A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这
时，所以
；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d （A）．然而对于的惟一邻域X有：
所以
d（A）=X-A．
第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X．
定理 2.4.1设X是一个拓扑空间，A X．则
（l）d（）=；
（2）A B蕴涵d（A）
d（B）；
（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；
（4）d（d（A））A∪d（A）．证明（1）由于对于任何一点x∈X和点x的任何一个邻域U，
有U∩
（2）设A B．如果
．
这证明了d（A）d（B）．
（3）根据（2），因为A，B A∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），从而d（A）∪d（B）d（A∪B）．
另一方面，如果
综上所述，可见（3）成立．(这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法:要证,只要证
即可．)
（4）设：
即（4）成立．
定义 2.4.2设X是一个拓扑空间，A X．如果A的每一个凝聚点都属于A，
即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．
例如，根据例2.4.l和例2.4.2中的讨论可见，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．
定理 2.4.2设X是一个拓扑空间，A X．则A是一个闭集，当且仅当A的补
集是一个开集．
证明必要性：设A是一个闭集
充分性：设：
即A是一个闭集．
例2.4.3 实数空间R中作为闭集的区间．
设a，b∈R，a＜b．闭区间[a，b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a，b]
的补集=（-∞，a）∩（b，∞）是一个开集．
同理，（-∞，a]，[b，∞）都是闭集，（-∞，∞）＝R显然更是一个闭集．然而开区间（a，b）却不是闭集，因为a是（a，b）的一个凝聚点，但
a（a，b）．同理区间（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是闭集．
定理2.4.3 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则：
（1）X，∈F （2）如果A，B∈F，则AUB∈F
（从而如果)
（3）如果
≠
在此定理的第（3）条中，我们特别要求
≠
的原因在于当
=时所涉及的交运算没有定义．
证明根据定理 2.4.2，我们有T={|U∈F}其中，T为X的拓扑．
（1）∵X，∈T，∴
（2）若A、B∈F ，则
（3）令：
定理证明完成．
总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．
（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．定义 2.4.3设X是一个拓扑空
间,A X,集合A与A的导集d(A)的并
A∪d(A)称为集合A的闭包,记作或
容易看出,(注意:与x∈d(A)的区别)
定理 2.4.4拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=
证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当
d(A)A而这又当且仅当A=A∪d(A)定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：
证明（1）成立是由于是闭集．（2）成立是根据闭包的定义．
（3）成立是因为
（4）成立是因为
＝A∪d（A）∪d（d（A))
＝A∪d（A）=
在第（3）条和第（4）条的证明过程中我们分别用到了定理2.4.l中的第（3）条和第（4）条．
定理 2.4.6拓扑空间X的任何一个子集A的闭包
都是闭集．
证明根据定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得．
定理2.4.7 设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有
即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．
证明因为A包含于，而后者是一个闭集，由定理
2.4.5(4)与定理2.4.4
有
另一方面，由于是一个闭集，并且
，所以
(“交”包含于形成交的任一个成员)
综合这两个包含关系，即得所求证的等式．
由定理2.4.7可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A 的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集．
在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画．
定义2.4.5 设（X，ρ)一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离ρ（x，A）定义为
ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}
根据下确界的性质以及邻域的定义易见：ρ（x，A）＝0当且仅当对于任意实数ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，换言之即是：对于任意B（x，ε）
有B（x，ε)∩A≠，而这又等价于：
对于x的任何一个邻域U有U∩A≠，应用以上讨论立即得到．
定理2.4.9 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．则
（1）x∈d（A）当且仅当ρ（x，A-{x}）=0；
（2）x∈当且仅当ρ（x，A）＝0．以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．
定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：
（l）f是一个连续映射；
（2）Y中的任何一个闭集B的原象
(B)是一个闭集；
（3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即
；
(4)对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即
．
证明（1）蕴涵（2）．设B Y是一个闭集．则是一个开集，因此根据
（1），是X中的一个开集，因此
(B)是X中的一个闭集．
(2)蕴涵（3）设A X．由于f（A）
，
根据（2），成立．
(3)蕴涵(4)设A Y集合
(B)
X应用（3）即得
（4）蕴涵（l）．设U是Y中的一个开集．则
是Y中的一个闭集．对此集合应用（4）可见:
．
总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?
作业:
P69 1．2。