教程-训练-指数运算与指数函数

指数运算与指数函数

【知识概述】

一、根式的性质：

1.a a n

n =)(

2.当n 为奇数时，a a n n

=

3.当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n

二、幂的有关概念：

正整数指数幂：()n

a a a a n N *=⋅⋅

⋅∈n 个

零指数幂：)0(10

≠=a a ， 负指数幂：∈=-p a a p

p (1

Q ， 正分数指数幂：m a a a

n m n

m ,0(>=、∈n N * 且)1>n

三、有理指数幂的运算性质 1.r a a a a s

r s

r

,0(>=⋅+、∈s Q ），

2.r a a

a s

r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ），

3.∈>>⋅=⋅r b a b a b a r

r

r ,0,0()( Q ） 四、指数函数

1．指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x

且称指数函数，函数的定义域为R ，值域为

),0(+∞

2．函数图像：

3．性质：（1）图象都经过点（0，1）

（2）1a >时，x

y a =为增函数；10a >>时，x

y a =为减函数 （3）x

y a =为非奇非偶函数

【学前诊断】

1. [难度]易

计算：（１）(

)

)

12

10

2

3

170.0272179--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

（2

（3

． 2. [难度]中

函数e e e e

x x

x x

y --+=-的图象大致为( )．

3. [难度]中

若函数x

x

x f -+=3

3)(与x

x x g --=3

3)(的定义域均为R ，则（ ）.

A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数

B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数

C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数

D.)(x f 为偶函数，)(x

g 为奇函数

D

【经典例题】

例1. 已知13x x -+=，求下列各式的值：

（1）1

12

2

x x

-+； （2）332

2

x x

-+.

解：题目中给出的关于x 与1x -的式子，观察到2

12

x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，2

112x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，而

3312

2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3

31

22x x --⎛

⎫= ⎪⎝⎭

.

（1）∵ 1

111112

2

2

112

222

2

2()()2()2325x x x x x

x x x ---

-+=+⋅+=++=+=．

由1

3x x

-+=， 可知0x >， ∴112

2

x x

-+=

（2）∵33111111113

3

2

2

2

2

222

2

22

2

2)()()[()()]x x x x x x x x x

x ---

--

++=+-⋅+＝（

1112

2

()[()1]1)x x x x -

-=++-=-=

例2． 函数2

2x

y x =-的图象大致是（ ）.

解：因为当2x =或4时，2

20x

x -=，即函数图象在y 轴右侧与x 轴有两个交点，所以排除B ，C ；

当2x =-时，2

1

2404

x

x -=-<，故排除D ，所以选A ．

例3． 函数41

()2

x x

f x +=的图象（ ）. A. 关于原点对称

B. 关于直线y x =对称

C. 关于x 轴对称

D. 关于y 轴对称

解：根据选项特点，只需确定函数是奇函数、偶函数，或点（x ，y ）是否在函数图象上.

∵)(2

41214)(x f x f x

x

x x =+=+=--- )(x f ∴是偶函数，图象关于y 轴对称．

例4. 图中曲线表示指数函数

（1）x

y a =，（2）x

y b =，（3）x

y c =，（4）x

y d =

的图象，则,,,a b c d 与1的关系是（ ） A.1a b c d <<<< B.1b a d c <<<< C.1a b c d <<<< D.1a b d c <<<<

解法1：指数函数x

y a =中，当1a >时，函数是单调递增

的，当01a <<时，函数是单调递减的，所以③④的底数大于１，①②的底数小于１．

当指数函数底数大于１时，图象随底数越大越靠近y 轴，即1d c <<；当指数函数底数小于１时，图象随底数越小越靠近y 轴，即1b a <<，所以1b a d c <<<<，选B ．

解法2：令1x =，则四个函数所得的函数值分别为,,,a b c d ，从图象可以明显看出

1b a d c <<<<．

例5. 函数11()(

),,,,02x

f x x a b x x b a =+∈∈≠+R R 定义域为且，已知5

(2)3

f =. （1） 求函数()f x 的解析表达式； （2） 判断函数()f x 的奇偶性.

解：（1）∵函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，即当x =0时函数解析式没有意义，

∴当0x =时，210x

b b +=+=， ∴1b =-． ∵()523f =

，∴2

1152213a ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，∴2a =．∴()1

1212x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭

．