离散数学及其应用课件第6章第1节
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G(n) a1G(n 1) a2G(n 2) L akG(n k)
称这个递推方程为齐次方程。
常系数线性齐次递推方程的求解
定义6.2.2 给定常系数线性齐次递推方程如下： G(n) a1G(n 1) a2G(n 2) L akG(n k) 0 （6.2）
, 求解该方程的基本方法是找到形如G(n) = rn的解，其中r是 常数，即 r n a1r n1 a2r n2 L ak r nk 0
从而得线性方程组
3c1 2c21c2
2
0
解得
c1
1, c2
3, 2
因此 解为
an* an
n c3n
3 2 n
是一个特解，根据定理6.2.4，原方程的通
3
2
11
初始条件 带入通解得 c 6 , 因此得原方程的通解为
an
11 3n 6
n
3 2
f(n)是只依赖于n的函数。
将 Gn a1Gn 1 L akGn k 0
称作相伴的线性齐次递推方程。
（6.3）
定理6.2.4 设 G n 是对应的相伴的线性齐次递推方程的
通解，G* n 是方程（6.3）的一个特解，则 Gn Gn G* n
是递推方程（6.3）的通解。
例题
例6.2.5 找出下述递推方程的通解：
例题（续）
解 用 表示第 个月初的兔子对数，n是正整数。那么
f1=1 （最初的兔子对数，第1个月的兔子对数）
f2=1 （第2个月的兔子对数）
f3=1+1=2 （最初的一对加上它们的后代）
f4=2+1=3
（第3个月的2对加上最初的一对的后代）
f5=3+2=5 （第4个月的3对加上第3个月2对的后代）
离散数学及其应用
第6章 高级计数技术
6.1 递推方程 6.2 生成函数
6.1 递推方程
定义6.1.1 设序列 a0, a1,L , an,L , 简记为 {an} 。序列 {an} 的递推方程是一个把 an用序列中在an 前面的一项或多项 ai(i<n) 来表示的等式称作关于序列 {an }的递推方程。
an
3an1 a1 3
2n
解 该方程对应相伴的线性齐次递推方程是 an 3an1 0 它的通解是 c3n，其中c是常数。 设特解 an* c1n c2 ，其中c1,c2 是常数。代入递推方程得
c1n c2 3c1 n 1 c2 2n
例题（续）
整理得 2c1n 3c1 2c2 2n
例题
在股票投资中，复合利息的作用是强大的。“股神”沃 伦·巴菲特(Warren Buffett)据说就是以年平均30%的复利战胜市 场，从而成为举世瞩目的价值投资大师。假设他的初始投资为 10000美元，年投资收益的复利是30%，那么在30年后账上的 总资产有多少钱？
解 令Pn表示n年后的总资产钱数。因为n年后账上的资产总 额等于n-1年账上的资产加上第n年的投资收益，容易知道序列
定义6.2.1 设递推方程满足 G(n) a1G(n 1) a2G(n 2) L akG(n k) f (n) G(0) C0,G(1) C1,G(2) C2,L ,G(k 1) Ck1
其中a1, a2 ,L , ak 为常数, ak 0 ,这Fra Baidu bibliotek方程称为k 阶常系
数线性递推方程。 C0 , C1,L , Ck1 为k 个初值。当 f (n) 0 时， 即
么，除了这种形式的解以外，是否存在其他形式的解?为了解 决这个问题，先定义通解。
定义6.2.3 能够表示递推方程（6.2）的每个解 的表达式称 为该递推方程的通解。
定理
定理6.2.2 设 r1, r2 ,L , rk 是递推方程(6.2)不等的特
征根，则 g(n) c1r1n c2r2n L ck rkn
因此 c1 g1(n) +c2 g2(n) 也是这个递推方程的解。
推论 若 r1, r2 ,L , rk 是递推方程(6.2)的特征根，则
c1r1n c2r2n L ck rkn
也是该递推方程的解，其中 c1, c2 L , ck 是任意常数。
以上推论说明 c1r1n c2r2n L ck rkn 是递推方程的解。那
为该递推方程的通解，其中 c1, c2 L , ck 是任意常数。
证明 此定理是推广了定理6.2.1，证明类似。
，
例题
例6.2.1 求下面递推方程的解：
an an1 2an2
其中 ， a0 2
a1 7
。
解 递推方程的特征方程是 x2 x 2 0 ，它的根是2和-1。
因此，递推方程的通解为 an c12n c2 (1)n
证明 将 g1(n) 和g2(n) 代入到方程(6.2) 得
g1(n) a1g1(n 1) a2 g1(n 2) L ak g1(n k)
g2 (n) a1g2 (n 1) a2g2 (n 2) L ak g2 (n k)
k
c1g1(n) c2 g2 (n) ai (c1g1(n i) c2g2 (n i)) i 1
等式两边同时除以 rn-k，得 r k a1r k 1 a2r k 2 L ak1r ak 0
因此我们将形如方程 xk a1xk1 L ak 0
称为该递推方程的特征方程，特征方程的根r称为递推方程 的特征根。
定，理
定理6.2.1 设g1(n) 和g2(n) 是递推方程(6.2)的两个解， c1,c2 为任意常数，则 c1 g1(n) +c2 g2(n) 也是这个递推方程的解。
例题
例6.2.1 13世纪意大利数学家斐波那契（Fibonacci）提出了 一个有趣的兔子繁殖问题：在一个岛上放了一对刚出生的兔子， 其中一只公兔，一只母兔。经过两个月长成，长成后即可生育， 假定每对兔子每个月都可以生出一对小兔，且新生的小兔也是 一只公兔和一只母兔。如果兔子不会死去，也不会被运走，问 12个月时岛上有多少对兔子?
即 特征根是2，其重数是3，根据定理6.2.3
G1(n) (c1,1 c1,2n c1,3n2 )2n c1,12n c1,2n2n c1,3n2 2n
通解为 G(n) G1(n) c1,12n c1,2n2n c1,3n2 2n
代入初始条件，则有以下方程组 解得 原方程的解为
c1,1 5 2c1,1 2c1,2 2c1,3 4 4c1,1 8c1,2 16c1,3 88
c1,c2是常数。将初值 代入得
cc11
c2 2
c2
2 (1)
7
解得 c1 3, c2 1 , 从而得到递推方程的解为
an 3 2n (1)n
定理
定理6.2.3 设 r1, r2 ,L , rt 是递推方程（6.2）的不相等
的特征根，且 ri的重数为ei ，其中 i 1, 2,L ,t. 那么该递推方程 的通解是 G(n) G1(n) G2 (n) L Gt (n)
其中
Gi (n) (ci,1 ci,2n L ci,ei nei 1)rin
i 1, 2,L , t; ci,1, ci,2 ,L ci,ei 为常数。
例题
例6.2.4 求解以下递推方程
G(n) 6G n 1 12G n 2 8G n 3 0
G(0)
5,
G
1
4,
G
2
88
解 特征方程 为 x3 6x2 12x 8 0
f6=5+3=8 （第5个月的5对加上第4个月3对的后代）
f12=89+55=144 （第11个月的89对加上第10个月55对的后代）
12个月时岛上共有兔子144对。一般的，斐波那契数列满足下列
递推方程
f1 1 f2 1
fn fn1 fn2
数列 f1, f2 L , fn,L 称作斐波那契数列，其 中的每一个数也称作斐波那契数。
{Pn}满足递推关系 Pn Pn1 0.3Pn1
例题（续）
初始条件是P0=10000，我们可以知道 Pn Pn1 0.3Pn1 1.3Pn1 1.3n P0
代入初始条件，得 Pn 1.3n 10000
将n=30代入， P30 1.330 10000
26199956.44美元。
常系数线性齐次递推方程的求解
例题（续）
解得
c1,1
5, c1,2
1 2
, c1,3
13 , 2
原方程的解为
G(n) (5)2n 1 n2n 13 n2 2n (10 n 13n2 )2n1
2
2
常系数线性非齐次递推方程的求解
常系数线性非齐次递推方程的标准形是
Gn a1Gn 1 L akGn k f n
其中 n k, ak 0, f n 0
称这个递推方程为齐次方程。
常系数线性齐次递推方程的求解
定义6.2.2 给定常系数线性齐次递推方程如下： G(n) a1G(n 1) a2G(n 2) L akG(n k) 0 （6.2）
, 求解该方程的基本方法是找到形如G(n) = rn的解，其中r是 常数，即 r n a1r n1 a2r n2 L ak r nk 0
从而得线性方程组
3c1 2c21c2
2
0
解得
c1
1, c2
3, 2
因此 解为
an* an
n c3n
3 2 n
是一个特解，根据定理6.2.4，原方程的通
3
2
11
初始条件 带入通解得 c 6 , 因此得原方程的通解为
an
11 3n 6
n
3 2
f(n)是只依赖于n的函数。
将 Gn a1Gn 1 L akGn k 0
称作相伴的线性齐次递推方程。
（6.3）
定理6.2.4 设 G n 是对应的相伴的线性齐次递推方程的
通解，G* n 是方程（6.3）的一个特解，则 Gn Gn G* n
是递推方程（6.3）的通解。
例题
例6.2.5 找出下述递推方程的通解：
例题（续）
解 用 表示第 个月初的兔子对数，n是正整数。那么
f1=1 （最初的兔子对数，第1个月的兔子对数）
f2=1 （第2个月的兔子对数）
f3=1+1=2 （最初的一对加上它们的后代）
f4=2+1=3
（第3个月的2对加上最初的一对的后代）
f5=3+2=5 （第4个月的3对加上第3个月2对的后代）
离散数学及其应用
第6章 高级计数技术
6.1 递推方程 6.2 生成函数
6.1 递推方程
定义6.1.1 设序列 a0, a1,L , an,L , 简记为 {an} 。序列 {an} 的递推方程是一个把 an用序列中在an 前面的一项或多项 ai(i<n) 来表示的等式称作关于序列 {an }的递推方程。
an
3an1 a1 3
2n
解 该方程对应相伴的线性齐次递推方程是 an 3an1 0 它的通解是 c3n，其中c是常数。 设特解 an* c1n c2 ，其中c1,c2 是常数。代入递推方程得
c1n c2 3c1 n 1 c2 2n
例题（续）
整理得 2c1n 3c1 2c2 2n
例题
在股票投资中，复合利息的作用是强大的。“股神”沃 伦·巴菲特(Warren Buffett)据说就是以年平均30%的复利战胜市 场，从而成为举世瞩目的价值投资大师。假设他的初始投资为 10000美元，年投资收益的复利是30%，那么在30年后账上的 总资产有多少钱？
解 令Pn表示n年后的总资产钱数。因为n年后账上的资产总 额等于n-1年账上的资产加上第n年的投资收益，容易知道序列
定义6.2.1 设递推方程满足 G(n) a1G(n 1) a2G(n 2) L akG(n k) f (n) G(0) C0,G(1) C1,G(2) C2,L ,G(k 1) Ck1
其中a1, a2 ,L , ak 为常数, ak 0 ,这Fra Baidu bibliotek方程称为k 阶常系
数线性递推方程。 C0 , C1,L , Ck1 为k 个初值。当 f (n) 0 时， 即
么，除了这种形式的解以外，是否存在其他形式的解?为了解 决这个问题，先定义通解。
定义6.2.3 能够表示递推方程（6.2）的每个解 的表达式称 为该递推方程的通解。
定理
定理6.2.2 设 r1, r2 ,L , rk 是递推方程(6.2)不等的特
征根，则 g(n) c1r1n c2r2n L ck rkn
因此 c1 g1(n) +c2 g2(n) 也是这个递推方程的解。
推论 若 r1, r2 ,L , rk 是递推方程(6.2)的特征根，则
c1r1n c2r2n L ck rkn
也是该递推方程的解，其中 c1, c2 L , ck 是任意常数。
以上推论说明 c1r1n c2r2n L ck rkn 是递推方程的解。那
为该递推方程的通解，其中 c1, c2 L , ck 是任意常数。
证明 此定理是推广了定理6.2.1，证明类似。
，
例题
例6.2.1 求下面递推方程的解：
an an1 2an2
其中 ， a0 2
a1 7
。
解 递推方程的特征方程是 x2 x 2 0 ，它的根是2和-1。
因此，递推方程的通解为 an c12n c2 (1)n
证明 将 g1(n) 和g2(n) 代入到方程(6.2) 得
g1(n) a1g1(n 1) a2 g1(n 2) L ak g1(n k)
g2 (n) a1g2 (n 1) a2g2 (n 2) L ak g2 (n k)
k
c1g1(n) c2 g2 (n) ai (c1g1(n i) c2g2 (n i)) i 1
等式两边同时除以 rn-k，得 r k a1r k 1 a2r k 2 L ak1r ak 0
因此我们将形如方程 xk a1xk1 L ak 0
称为该递推方程的特征方程，特征方程的根r称为递推方程 的特征根。
定，理
定理6.2.1 设g1(n) 和g2(n) 是递推方程(6.2)的两个解， c1,c2 为任意常数，则 c1 g1(n) +c2 g2(n) 也是这个递推方程的解。
例题
例6.2.1 13世纪意大利数学家斐波那契（Fibonacci）提出了 一个有趣的兔子繁殖问题：在一个岛上放了一对刚出生的兔子， 其中一只公兔，一只母兔。经过两个月长成，长成后即可生育， 假定每对兔子每个月都可以生出一对小兔，且新生的小兔也是 一只公兔和一只母兔。如果兔子不会死去，也不会被运走，问 12个月时岛上有多少对兔子?
即 特征根是2，其重数是3，根据定理6.2.3
G1(n) (c1,1 c1,2n c1,3n2 )2n c1,12n c1,2n2n c1,3n2 2n
通解为 G(n) G1(n) c1,12n c1,2n2n c1,3n2 2n
代入初始条件，则有以下方程组 解得 原方程的解为
c1,1 5 2c1,1 2c1,2 2c1,3 4 4c1,1 8c1,2 16c1,3 88
c1,c2是常数。将初值 代入得
cc11
c2 2
c2
2 (1)
7
解得 c1 3, c2 1 , 从而得到递推方程的解为
an 3 2n (1)n
定理
定理6.2.3 设 r1, r2 ,L , rt 是递推方程（6.2）的不相等
的特征根，且 ri的重数为ei ，其中 i 1, 2,L ,t. 那么该递推方程 的通解是 G(n) G1(n) G2 (n) L Gt (n)
其中
Gi (n) (ci,1 ci,2n L ci,ei nei 1)rin
i 1, 2,L , t; ci,1, ci,2 ,L ci,ei 为常数。
例题
例6.2.4 求解以下递推方程
G(n) 6G n 1 12G n 2 8G n 3 0
G(0)
5,
G
1
4,
G
2
88
解 特征方程 为 x3 6x2 12x 8 0
f6=5+3=8 （第5个月的5对加上第4个月3对的后代）
f12=89+55=144 （第11个月的89对加上第10个月55对的后代）
12个月时岛上共有兔子144对。一般的，斐波那契数列满足下列
递推方程
f1 1 f2 1
fn fn1 fn2
数列 f1, f2 L , fn,L 称作斐波那契数列，其 中的每一个数也称作斐波那契数。
{Pn}满足递推关系 Pn Pn1 0.3Pn1
例题（续）
初始条件是P0=10000，我们可以知道 Pn Pn1 0.3Pn1 1.3Pn1 1.3n P0
代入初始条件，得 Pn 1.3n 10000
将n=30代入， P30 1.330 10000
26199956.44美元。
常系数线性齐次递推方程的求解
例题（续）
解得
c1,1
5, c1,2
1 2
, c1,3
13 , 2
原方程的解为
G(n) (5)2n 1 n2n 13 n2 2n (10 n 13n2 )2n1
2
2
常系数线性非齐次递推方程的求解
常系数线性非齐次递推方程的标准形是
Gn a1Gn 1 L akGn k f n
其中 n k, ak 0, f n 0