高中数学核心知识点常考题型精析：集合(理)
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高中数学核心知识点常考题型精析：集合（理）或或
A={x|x
∪（（[[
，
B=
={
高中数学核心知识点常考题型精析：集合（理）
参考答案与试题解析
一、选择题（共20小题）
2
．已知集合，
或
，解得
5．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”
+
10．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，
还有一根，只要
++++
正确．
17．若集合A={x|x≥}，则∁R A=（）
∪（，，[，[ x，
≥
∪（
，，则（
或﹣＜
或
，
24．已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=﹣1，n=
26．已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．t=时取等号，所以
化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同
30．对正整数n，记I n={1，2，3…，n}，P n={|m∈I n，k∈I n}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个={={，，，}
={
{，，，，
={，，，={，，
{，，，，，} ={，，，}={，，，}
{|m
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高中数学集合基础知识及题型归纳复习
集合基础知识及题型归纳总结1、集合概念与特征：例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数例：下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2、元素与集合、集合与集合间的关系元素集合的关系：∈∉或 集合与集合的关系=⊆或例：下列式子中，正确的是（ ）A ．R R ∈+B ．{}Z x x x Z ∈≤⊇-,0|C ．空集是任何集合的真子集D ．{}φφ∈3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集）例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =⋃的集合B 的个数是4、集合的运算:(交集、并集、补集)例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=<（1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,求m 的取值范围例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人例5：方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-。
(完整word版)高中数学集合总结+题型分类+完美解析.doc
集合【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“”、不属于“” .3.集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集个数= 2n；真子集个数 = 2n1.5.交集：A B x | x A且 x B并集： A B x | x A或 x B补集： C U A x | x U 且 x A6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1 定义 & 性质】1.下列命题中正确的个数是（）①方程x 2 y 2 0 的解集为2, 2②集合 y | y x2 1, x R 与 y | y x 1, x R 的公共元素所组成的集合是0,1③集合x | x 1 0 与集合 x | x a, a R 没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构成的集合，而是 x 和 y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A详解：在①中方程x 2 y 2x 2 0 x 20 等价于2，即y。
因此解集应为y 0 22, 2 ，错误；在②中，由于集合y | y x2 1, x R 的元素是 y ，所以当 x R 时， y x2 1 1 .同理， y | y x 1, x R 中 y R ，错误；在③中，集合x | x 1 0 即 x 1，而 x | x a, a R ，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选 A.2.下列命题中，（1）如果集合A是集合（2）如果集合A是集合（3）如果集合A是集合（4）如果集合A是集合错误的命题的个数是（B的真子集，则集合B的子集，则集合B的子集，则集合B的子集，则集合）B中至少有一个元素；A 的元素少于集合B 的元素；A 的元素不多于集合B 的元素；A 和B 不可能相等．A ． 0B． 1C． 2 D ． 3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合M 是集合N的子集，那么M 中的元素个数要小于或等于N中元素的个数；如果集合 M 是集合N的真子集，那么 M 中的元素个数要小于N中元素的个数 .答案： C详解：（ 1）如果集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 B 中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 的元素少于或等于集合的 B 元素，故（2）不正确；（3）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 的元素不多于集合 B 的元素，故（3）正确；（4）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 和 B 可能相等，故（4）不正确．故选 C ．3.设P、Q为两个非空实数集，P 中含有 0，2， 5 三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 aP , b Q ，则 P Q 中元素的个数是（）A.9B.8C.7D.6分析：因为 a P ， b Q ，所以 P Q 中的元素 a b 是 P 中的元素和 Q 中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案 ：B详解 ：当 a 0 时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别为 1,2,6；当 a 2时， b 依次取 1,2,6，得当 a 5 时， b 依次取 1,2,6，得a b 的值分别 3,4,8；a b 的值分别 6,7,11；由集合的互异性得P Q 中的元素为 1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个，故选 B.4.设数集 M 同时满足条件 ① M 中不含元素1,0,1，②若 aM ，则1aM .1 a则下列结论正确的是 ()A ．集合 M 中至多有 2 个元素；B ．集合 M 中至多有3 个元素； C ．集合 M 中有且仅有4 个元素；D ．集合 M 中有无穷多个元素.分析：已知 a M 时，1 aM .那么我们可以根据条件多求出几个M 集合的元1 a素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：C1 a11a111a1详解 ：由题意，若 a MM ，则 1 aM ，a M ， ，则a 1 a a 1 a111a11 a1 a1 2a1a，则 a 2则a 1 a M ，若 a 1，无解，同理可证明这四个元素中，1 a 1 21 aa 1任意两个元素不相等，故集合M 中有且仅有 4 个元素．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【 No2.表达方式】5.下列集合表示空集的是（）A. x R | x 5 5B. x R | x 5 5C. x R | x2 0D. x R | x2 x 1 0分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D详解： x2 x 1 0 ，1 4 1 130方程无实数解，故选 D.6.用描述法表示下列集合：(1)0,2,4,6,8 ；(2)3,9,27,81, ；1 3 5 7；(3) , , , ,2 4 6 8(4)被 5 除余 2 的所有整数的全体构成的集合．分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来. 但是要注意题中给出的元素的范围详解：(1) x N | 0 x 10,且 x是偶数；(2) x | x3n,n N；(3) x | x 2n 1, n N ；2n(4) x | x 5n 2,n Z ．======================================================================题型二、不含参数⑴⑴ 中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分，，的区别；②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③ A B A A BA B A B AA B从A和B两方面讨论.【 No.1 判断元素 / 集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①00 ；② 0 0 ；③；④ a a ；⑤0 ；⑥ 0 ；⑦0 ；⑧0其中正确的是（）A. ②③④⑧B. ①②④⑤C.②③④⑥D. ②③④⑦分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：-- “属于”，用于表示元素和集合的关系；，-- “包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系 .答案：A详解：①错误，应为0 0 ；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为0 ；2.若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若A B ,则 C U A C U B U（2）若A B U ,则 C U A C U B（3）若A B ，则 A BA ．0个B ．1个C．2个D．3个分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（ 1）C U A C U B C U A B C U U ；（ 2）C U A C U B C U A B C U U；（ 3）证明：∵A A B ,即 A，而 A ，∴A；同理 B，∴A B；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【 No.2子集、真子集】3.从集合U a, b, c, d 的子集中选出 4 个不同的子集，须同时满足以下两个条件：①， U 都要选出；②对选出的任意两个子集 A 和 B ，必有 A B 或 B A .那么共有种不同的选法.分析：由①可以知道选出的子集中一定有和U，我们要求得只剩两个集合。
高三数学高考集合知识点梳理
高三数学高考集合知识点梳理集合是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个数学分支。
在高考数学中，集合也是一个重要的考点。
本文将对高三数学高考集合知识点进行梳理，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、集合的定义与表示方法集合是由一些特定对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
常用的表示方法主要有以下几种：1. 列举法：直接列举出集合的所有元素，用大括号{}表示。
2. 描述法：通过给出元素满足的条件来描述集合，用大括号{}表示，并用逗号分隔元素。
二、集合间的关系与运算1. 子集关系：若集合A的所有元素同时也是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
特别地，一个集合是其本身的子集。
2. 并集运算：将两个集合中的所有元素放在一起组成一个集合，记作A∪B。
3. 交集运算：两个集合中相同的元素组成的集合，记作A∩B。
4. 差集运算：从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素后得到的集合，记作A-B或者A\B。
5. 互斥集：两个集合没有相同的元素，记作A∩B=∅，称为互斥集。
6. 补集运算：对于给定的全集U，集合A的补集是指所有不属于集合A的元素组成的集合，记作A'或者Ā。
三、集合的性质与定理1. 幂集性质：集合A的幂集是指以A的所有子集为元素的集合，记作P(A)。
对于一个有n个元素的集合来说，它的幂集将有2^n个元素。
2. 交换律、结合律、分配律等：并集和交集运算满足交换律、结合律、分配律等基本的运算性质。
3. 德摩根律：对于给定的全集U、集合A和集合B，德摩根律表示为以下两个公式：(A∪B)' = A'∩B'(A∩B)' = A'∪B'四、集合的应用集合在数学中有着广泛的应用，它不仅在高考数学中出现，还涉及到概率、统计、逻辑等许多领域。
1. 概率：在概率计算中，集合用于描述事件的样本空间以及事件的发生情况，通过集合的交并运算和概率的定义，可以计算出事件发生的概率。
集合知识点及题型归纳总结(含答案)
集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃． （5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。
高一数学集合经典题型归纳总结
精心整理高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。
元素与集合之间的关系：属于--不属于--常有集合NZRQ加星号或者+号表示对应集合的正的集合3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用venn图来表示。
4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重要，特别是在集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。
例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
集合知识点汇总及题型解析
§1.1集合考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示 运算集合语言图形语言记法并集{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B交集 {x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B 补集{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A常用结论1．若集合A 有n (n ≥1)个元素，则集合A 有2n 个子集，2n －1个真子集． 2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．( × ) (2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.( × ) (4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )．( √ ) 教材改编题1．(多选)若集合A ＝{x ∈N |2x ＋10>3x }，则下列结论正确的是( ) A ．22∉A B ．8⊆A C ．{4}∈A D ．{0}⊆A答案 AD2．已知集合M ＝{a ＋1，－2}，N ＝{b ,2}，若M ＝N ，则a ＋b ＝________. 答案 －1解析 ∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－1.3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∩B ＝____________，A ∪(∁U B )＝____________.答案 {x |2≤x ≤3} {x |－2<x ≤3}解析 ∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≤－2或x ≥2}， ∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |－2<x ≤3}.题型一 集合的含义与表示例1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素． (2)若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案 0或1解析 ①当a －3＝－3时，a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}， ②当2a －1＝－3时，a ＝－1， 此时A ＝{－4，－3，－3}舍去，③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}， 综上，a ＝0或1. 教师备选若集合A ＝{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k 的取值集合是________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，14解析 依题意知，方程kx 2＋x ＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝1－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝14，∴k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，14.思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1 (1)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪4x －2∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵4x －2∈Z ，∴x －2的取值有－4，－2，－1,1,2,4， ∴x 的值分别为－2,0,1,3,4,6， 又x ∈N ，故x 的值为0,1,3,4,6. 故集合A 中有5个元素．(2)已知a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则a 2 023＋b 2 023＝________.答案 0解析 ∵{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 且a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ， ∴{1,0，－b }＝{0，－1，b }， ∴b ＝1，a ＝－1， ∴a 2 023＋b 2 023＝0.题型二 集合间的基本关系例2 (1)设集合P ＝{y |y ＝x 2＋1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是( ) A ．M ＝P B ．P ∈M C ．M P D ．PM答案 D解析 因为P ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，因此P M .(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1，＋∞)解析 ∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2； ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．延伸探究 在本例(2)中，若把B ⊆A 改为B A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1，＋∞)解析 ①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，∴m >2； ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1<4或⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1>－3，m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 教师备选已知M ，N 均为R 的子集，若N ∪(∁R M )＝N ，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ⊆∁R N D ．∁R N ⊆M答案 D解析 由题意知，∁R M ⊆N ，其Venn 图如图所示，∴只有∁R N ⊆M 正确．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－6x <0}，则满足A C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．8答案 C解析 ∵A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}， 且A C ⊆B ，∴集合C 的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为________． 答案 0，±1解析 ∵M ＝{－1,1}，且M ∩N ＝N ， ∴N ⊆M .若N ＝∅，则a ＝0；若N ≠∅，则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，∴1a ＝1或1a ＝－1， ∴a ＝±1综上有a ＝±1或a ＝0. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T 等于( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z 答案 C解析方法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s ＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T.方法二S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S ＝T.(2)(2022·济南模拟)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，则集合(∁R A)∪B等于() A．[－1,5) B．(－1,5)C．(1,4] D．(1,4)答案 B解析因为集合A＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，又B＝{x|1＜x＜5}，所以∁R A＝(－1,4)，则集合(∁R A)∪B＝(－1,5)．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案 D解析由题意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－103或a >12B ．a ≤－103或a ≥12C ．a <－16或a >2D ．a ≤－16或a ≥2答案 B解析 A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤1， ①B ＝∅，2a ≥a ＋3⇒a ≥3，符合题意；②B ≠∅，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ＋3≤－13或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a ≥1， 解得a ≤－103或12≤a <3.∴a 的取值范围是a ≤－103或a ≥12.教师备选(2022·铜陵模拟)已知A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，若A ∩(∁R B )≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．1≤a ≤2 B ．1<a <2 C ．a ≤1或a ≥2 D ．a <1或a >2答案 D解析 A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}， 所以∁R B ＝{x |a －1<x <a ＋1}； 又A ∩(∁R B )≠∅， 所以a －1<0或a ＋1>3， 解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2.思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3 (1)(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N 等于( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <4 C ．{x |4≤x <5} D ．{x |0<x ≤5}答案 B解析 因为M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤5， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <4. (2)(2022·南通模拟)设集合A ＝{1，a ＋6，a 2}，B ＝{2a ＋1，a ＋b }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝________，b ＝________. 答案 2 2解析 由题意知，4∈A ，所以a ＋6＝4或a 2＝4， 当a ＋6＝4时，则a ＝－2，得A ＝{1,4,4}，故应舍去； 当a 2＝4时，则a ＝2或a ＝－2(舍去)， 当a ＝2时，A ＝{1,4,8}，B ＝{5,2＋b }， 又4∈B ，所以2＋b ＝4，得b ＝2. 所以a ＝2，b ＝2.题型四 集合的新定义问题例5 (1)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．21 答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝2x，x ∈[1，4]，其中是“互倒集”的序号是________． 答案 ②③解析 ①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意； ②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}， 即{x |3－22≤x ≤3＋22}， 显然0∉A ， 又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x ≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意； ③中，⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝2x，x ∈[1，4]， 易得⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪12≤y ≤2，0∉A ， 又12≤1y ≤2，故1y 也在集合A 中，符合题意． 教师备选对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝____________. 答案 {x |－3≤x ＜0或x >3}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}， ∴A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x ＜0}． ∴A *B ＝{x |－3≤x ＜0或x >3}． 思维升华 解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．课时精练1．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于()A．{5} B．{1,2}C．{3,4} D．{1,2,3,4}答案 A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＋3>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于() A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案 C解析 A ＝{x |x ＋3>2}＝(1，＋∞)，B ＝{y |y ＝x 2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁U B ＝(－∞，2)，∴A ∩(∁U B )＝(1,2)．3．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{(x ，y )|x ∈M ，y ∈M ，x ＋y ∈M }，则集合N 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．8D ．9答案 B解析 由题意知，集合N ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N 的元素个数为3.4．(2022·青岛模拟)已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a 1＋a 2＋a 3等于( )A ．1B ．2C ．3D ．6 答案 C解析 集合A ＝{a 1，a 2，a 3}的所有非空真子集为{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 2，a 3}，则所有非空真子集的元素之和为a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＋a 1＋a 3＋a 2＋a 3＝3(a 1＋a 2＋a 3)＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3.5．(2022·浙江名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．a ≤－2C ．a >－4D ．a ≤－4 答案 D解析 集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2，由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图．可知－a 2≥2，即a ≤－4.6．(多选)已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是( )A ．P ∪Q ＝RB ．P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}C ．P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}D ．P ∩Q 的真子集有3个答案 BD解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}，故B 正确，C 错误；又P ，Q 为点集，∴A 错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集，∴D 正确．7．(多选)(2022·重庆北碚区模拟)已知全集U ＝{x ∈N |log 2x <3}，A ＝{1,2,3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B 可能为( )A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．{4,5,6}D ．{3,5,6} 答案 BD解析 由log 2x <3得0<x <23，即0<x <8，于是得全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，则有A ∩B ＝{3},3∈B ，C 不正确；对于A 选项，若B ＝{2,3,4}，则A ∩B ＝{2,3}，∁U (A ∩B )＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A 不正确；对于B 选项，若B ＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；对于D选项，若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的是()A．A∩B＝∅B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(∁U B)∪A＝A答案CD解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知∁U A⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故C，D均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，所以m＝－3.10．(2022·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为________．答案 {－1,2,3}解析 集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}＝{x ∈Z |－3<x －1<3}＝{x ∈Z |－2<x <4}＝{－1,0,1,2,3}， Venn 图中阴影部分表示的集合是M ∩(∁R N )＝{－1,2,3}．11．已知集合A ＝{m 2，－2}，B ＝{m ，m －3}，若A ∩B ＝{－2}，则A ∪B ＝________. 答案 {－5，－2,4}解析 ∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈B ，若m ＝－2，则A ＝{4，－2}，B ＝{－2，－5}，∴A ∩B ＝{－2}，A ∪B ＝{－5，－2,4}；若m －3＝－2，则m ＝1，∴A ＝{1，－2}，B ＝{1，－2}，∴A ∩B ＝{1，－2}(舍去)，综上，有A ∪B ＝{－5，－2,4}．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(a －x )}，B ＝{x |1<x <2}，且(∁R B )∪A ＝R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 由已知可得A ＝(－∞，a )，∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁R B )∪A ＝R ，∴a ≥2.13．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．32D ．256答案 A解析 由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15. 14．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，92解析 当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}，符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92，所以B ≠∅时，1<a ≤92，综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92.15．(多选)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，x 1x 2∈A ，则运算可能是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法答案 AC解析 由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n1＝n2时，x1－x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋3(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；x1 x2＝m1＋3n1m2＋3n2，当m1m2＝n1n2＝λ(λ>0)时，x1x2∉A，所以除法不满足条件，D错误．16．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人．答案18解析赞成A的人数为40×35＝24，赞成B的人数为24＋3＝27，设对A，B都赞成的学生有x人，则13x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.。
高中数学集合的知识点总结与常考题(附经典例题与解析)
集合的知识点与常考题 【知识点分析】： 一、一元二次不等式及其解法1．形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式．如：x 2﹣8x +7≧0。
2．如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24b ac b ax bx c a x a a -++=++，结合完全平方式为非负数的性质求解．二、分式不等式的解法类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．0>ab 等价于：0b >•a 0<ab 等价于：0b <•a 如：解011x ≥-+x 等价于：解011x ≥-•+）（）（x 三、绝对值不等式的解法利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论：“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解。
如：|1﹣3x |＜3，得到﹣3＜1﹣3x ＜3两个绝对值不等式的解法：法一：利用分界点分类讨论，例：解不等式 2|x ﹣3|+|x ﹣4|＜2，①若x ≥4，则3x ﹣10＜2，x ＜4，∴舍去．②若3＜x ＜4，则x ﹣2＜2，∴3＜x ＜4．③若x ≤3，则10﹣3x ＜2，∴＜x ≤3．综上，不等式的解集为．法二：利用数形结合去掉绝对值符号利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。
高一数学集合知识点归纳及典型例题(供参考)
高一数学集合知识点归纳及典型例题一、、知识点：本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。
在进行集合间的运算时要注意使用Venn 图。
本 章 知 识 结 构1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。
理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N 、N*、N ＋、Z 、Q 、R 要记牢。
3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100)③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n ，…}●注意a 与{a}的区别●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。
但关键点也是难点。
学习时多加练习就可以了。
另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。
如{x|y ＝x 2}， {y|y ＝x 2}， {（x ，y ）|y ＝x 2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系●注意区分“从属”关系与“包含”关系“从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。
高一集合主要知识点和题型
高一集合主要知识点和题型一、知识点概述在高中一年级数学教学中，集合是一个重要的基础知识点。
集合理论是数学的基础之一，通过研究集合，可以帮助学生形成良好的逻辑思维和分析问题的能力。
本文将介绍高一集合的主要知识点和常见的题型，并提供相应的解题思路。
二、集合的定义和表示方法1. 集合的定义：集合是由若干个确定的对象组成的整体。
2. 集合的表示方法：①列举法：逐个列举集合中的元素。
②描述法：通过描述集合的特点来表示。
③统计法：表示集合中元素的个数。
三、集合的基本运算1. 交集：表示两个或多个集合共有的元素构成的新集合。
2. 并集：表示两个或多个集合的所有元素构成的新集合。
3. 差集：表示一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合。
4. 补集：表示全集中除了该集合中元素之外的所有元素构成的新集合。
四、集合的性质1. 互斥性：两个集合没有共同元素，则称两个集合互斥。
2. 相等性：如果两个集合具有完全相同的元素，则称这两个集合相等。
3. 包含关系：集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含在集合B中。
五、常见的集合题型及解题思路1. 集合的交集与并集的计算：例如：已知A={1, 2, 3, 4, 5}，B={3, 4, 5, 6, 7}，求A∩B和A∪B。
解题思路：A∩B为两个集合共有的元素{3, 4, 5}，A∪B为两个集合的所有元素{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
2. 集合的差集和补集的计算：例如：已知A={1, 2, 3, 4, 5}，B={3, 4, 5, 6, 7}，求A-B和B的补集。
解题思路：A-B为集合A中去掉集合B中的元素，即{1, 2}；B的补集为全集中除了集合B中元素之外的所有元素，即B的补集为{1, 2, 6, 7}。
3. 集合的相等性与包含关系判断：例如：已知A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，判断A和B是否相等，以及A是否包含于B。
解题思路：A和B不相等，因为A中没有元素4；A包含于B，因为A中所有元素都属于B。
(完整word版)高中数学集合总结+题型分类+完美解析
集合知识清单】1. 性质：确定性、互易性、无序性.2. 元素和集合的关系：属于“”、不属于“” .3. 集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“ ”）4. 集合子集个数= 2n；真子集个数= 2n1.5.交集：A B x| x A且x B并集：A B x|x A或x B补集：C U A x| x U且x A6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集【No.1 定义& 性质】1. 下列命题中正确的个数是（）①方程x 2 y 2 0 的解集为2, 2②集合y | y x2 1,x R与y| y x1,x R 的公共元素所组成的集合是0,1③集合x| x 1 0 与集合x|x a,a R 没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构成的集合，而是 x 和 y 的值的集合，也就是一个点 .答案：Ax 2 0 x 2 详解 ：在①中方程 x 2 y 2 0等价于，即 。
因此解集应为y 2 0 y 22, 2 ，错误；在②中，由于集合 y | y x 2 1,x R 的元素是 y ，所以当 x R 时， y x 2 1 1.同 理， y | y x 1,x R 中 y R ，错误；在③中，集合 x|x 1 0 即 x 1，而 x|x a,a R ，画出数轴便可知这两个集合可能 有公共的元素，错误 .故选 A.2.下列命题中，1）如果集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 B 中至少有一个元素； 错误的命题的个数是（ ） 分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合 M 是集合 N 的子集，那 么M 中的元素个数要小于或等于 N 中元素的个数；如果集合 M 是集合N 的真子 集，那么 M 中的元素个数要小于 N 中元素的个数 .答案：C详解：（ 1）如果集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 B 中至少有一个元素，故（ 1）正确；（2）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 的元素少于或等于集合的 B 元素，故（ 2）不 正确；（3）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 的元素不多于集合 B 的元素，故（ 3）正确； （4）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 和B 可能相等，故（ 4）不正确．故选 C ．3. 设 P 、 Q 为两个非空实数集， P 中含有 0，2，5 三个元素， Q 中含有 1，2， 6三个元素，2）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 3）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 4）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 的元素少于集合 B 的元素； A 的元素不多于集合 B 的元素； A 和B 不可能相等．A ．0B ．1C ．2D ．3定义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 a P ,b Q ，则 P Q 中元素的个数是()A.9B.8C.7D.6分析：因为a P ，b Q ，所以P Q 中的元素a b 是P 中的元素和 Q 中元素两 两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性 .答案：B详解：当 a 0时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别为 1,2,6； 当 a 2时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别 3,4,8；当 a 5 时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别 6,7,11 ； 由集合的互异性得 P Q 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个，故选 B. 4. 设数集 M 同时满足条件1a① M 中不含元素 1,0,1，②若 a M ，则1 a M .1a 则下列结论正确的是 ( )A ．集合 M 中至多有 2 个元素；B ．集合 M 中至多有 3 个元素；C ．集合 M 中有且仅有 4 个元素；D ．集合 M 中有无穷多个元素1a分析：已知a M 时，1 a M .那么我们可以根据条件多求出几个 M 集合的元 1a素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数 .答案：C详解 ：由题意，若1 a111则1 aM ，则 1 a1 M ， a a 1 M ，1a1 1 a a 11 a 11 aaa1 1 则a 1a11 a1 任意两个元素不相等，故集合2a 2M ，1 a 2若 a，则 a 21，无解，同理可证明这四个元素中，1aM ，【 No2. 表达方式】5. 下列集合表示空集的是( A. x R|x 5 5 B. x R|x 5 5 2C. x R|x 2 02D. x R|x 2x 1 0分析： 本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合答案：D详解： x 2 x 1 0，1 4 1 1 3 0 方程无实数解，故选 D.6. 用描述法表示下列集合： 0,2,4,6,8 ； 3,9,27,81, ；1,3,5,7, ； 2,4,6,8,(4)被 5 除余 2 的所有整数的全体构成的集合．分析： 描述法就是将文字或数字用式子表示出来 .但是要注意题中给出的元素的 范围详解：(1) x N |0 x 10 ,且x 是偶数 ；(2) x|x 3n,n N ；2n 1(3) x|x ,n N 2n(1) (2) (3)(4) x| x 5n 2,n Z题型二、不含参数⑴⑴中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分，，的区别；②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③A B A ABA B A BAA B从A 和B 两方面讨论【No.1 判断元素/ 集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①0 0 ；② 0 0 ；③ ；④ a a ；⑤ 0 ；⑥ 0 ；⑦ 0 ；⑧0其中正确的是（）A. ②③④⑧B.①②④⑤C.②③④⑥D. ②③④⑦分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：-- “属于”，用于表示元素和集合的关系；，-- “包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A详解：①错误，应为0 0 ；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为0 ；2.若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若A B,则C U A C U B UC U B（2）若A B U , 则C U A，则 A B（3）若A BA．0个B．1个C．2个D．3个分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比答案：D详解：（1）C U A C U B C U A B C U U ；（2）C U A C U B C U A B C U U ；（3）证明：∵AA B , 即A，而A ，∴ A同理B，∴ A B ；【No.2 子集、真子集】3.从集合U a, b, c, d 的子集中选出 4 个不同的子集，须同时满足以下两个条件：①，U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B 或B A.那么共有种不同的选法.分析：由①可以知道选出的子集中一定有和U ，我们要求得只剩两个集合。
高中数学《集合》知识点归纳及题型练习
高中数学《集合》知识点归纳及题型练习【知识点】1.集合的三个特性：确定性，互异性，无序性2.自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。
3.集合的三种表示方法：列举法，描述法，文氏图。
4.集合的分类：有限集，无限集，空集5.子集：若a A ∈，则a B ∈，称为A 是B 的子集，记作：A B ⊆或B A ⊇， 读作：“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。
6.真子集：若A B ⊆且B A ⊆，则称集合A 与集合B 相等，记作：A B =； 若A B ⊆且A B ≠,则称集合A 是集合B 的真子集，记作：【注意】空集φ是任何集合的真子集。
一个集合的子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -。
7.补集：已知A U ⊆，由所有属于U 但不属于A 中的元素组成的集合称为A 的补集，记作:U A , 读作：A 在U 中的补集。
即：{|,}U A x x U x A =∈∉且8.交集：由两个集合中的公共元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，且9.并集：由两个集合中的所有元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，或10.集合的包含关系：A B ⊆⇔A B A A B B =⇔=题型1.集合性质的应用1.判断能否构成集合：【根据集合的确定性】（1）我国的所有直辖市； （2）我校的所有大树；（3）深圳机场学校的所有优秀学生； （4）深圳市的全体中学生；（5）不等式220x x ->的所有实数解； （6）所有的正三角形。
2.用,∈∉填空：2 N ， ， -3 Z ， ， 2- R ； 已知2{|20}A x x x =--=，则1 A ，2 A ，-1 A ，-2 A 。
3.集合{(0,1),(1,2)}A =中有 个元素；{,{0},{1,2}}B φ=中有 个元素。
3.已知集合{0,1,2}M x =+，则x 不能取哪些值？4.（1）2{1,0,}x x ∈，则x = ； （2）若2{,1}{1,}x x =，则x = 。
高中数学基础知识点梳理(理)
高中数学基础知识归类——献给20XX 年高三(理科)考生一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|l g }x y y x =—函数图象上的点集.2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆. ②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况 如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R +=∅,求a 的取值.(答：0a ≤)④()U U U C A B C A C B =,()U U U C AB C A C B =；A B C A B C =（）（）；A B C A B C =（）（）.⑤A B A AB B =⇔=U U A BC B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=∅U C AB R ⇔=.⑥AB 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+-.⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使 0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：32(3,)-)4.原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若p q ⇒且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).6.注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝. 命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 7.常见结论的否定形式二.函数 1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ⊆).②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象. 2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴 的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0> 且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义 域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。
高一数学集合经典题型归纳总结
高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念 1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。
元素与集合之间的关系：属于-- 不属于-- 常有集合 N Z R Q 加星号或者+号表示对应集合的正的集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
◆ 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1） 列举法：{a,b,c ……}2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用venn 图来表示。
4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重要，特别是在集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。
例：{x|x 2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。
集合知识点及常见题型解析
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集合知识点及常见题型解析
作者：王国平
来源：《中学生数理化·高一版》2013年第07期
集合是同学们在高中所接触的第一个数学概念，是高中数学的基本知识，是现代数学的基本语言，是每年高考必考内容之一。
集合可与函数、方程和不等式等知识结合起来进行考查。
下面介绍集合的知识点及常见题型，以供同学们学习与提高。
一、集合的概念
（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。
（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示。
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法。
（4）常用数集：自然数集N，正整数集N*（或N+），整数集Z，有理数集Q，实数集R。
（5）集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集。
二、集合的基本运算。
高一集合题型知识点总结
高一集合题型知识点总结高一阶段是学生进行知识学习和技能培养的关键时期，数学作为一门重要的学科，对于学生来说是一个挑战，也是一个机遇。
集合论作为数学的基础概念，是高一数学必修内容之一。
通过对高一集合题型的知识点总结，可以帮助同学们更好地理解和掌握集合论的相关知识。
一、集合的基本概念集合是指一堆确定的、互不相同的对象的总体。
常用大写字母表示集合，小写字母表示集合的元素。
集合间的关系常用符号表示，如∈表示属于，∉表示不属于。
二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合的元素逐个写出来。
2. 描述法：通过描述集合元素的特点或规则来表示集合。
三、集合的运算1. 并集：将两个或多个集合的元素放在一起，去除重复元素。
2. 交集：两个集合共有的元素构成的集合。
3. 差集：将一个集合中有，而另一个集合中没有的元素所构成的集合。
4. 补集：在全集中减去一个集合的元素所得到的集合。
四、集合的性质和定理1. 子集和真子集：若一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合是另一个集合的子集；若一个集合是另一个集合的子集，且两个集合不相等，则这个集合是另一个集合的真子集。
2. 互补律：A ∪ Ac = U，A ∩ Ac = φ。
3. 幂集：一个集合所有子集构成的集合。
4. 集合的基本运算定律：结合律、交换律、分配律等。
五、集合的应用1. 判定问题：通过集合的运算来判定某个元素是否属于某个集合。
2. 概率问题：使用集合的概念和运算来解决概率问题。
六、解答集合题的思路1. 清晰分类：根据题目要求，将集合、元素、关系等进行分类和整理，明确所给信息。
2. 表示清楚：使用符合规范的集合表示方法，注意符号的使用。
3. 运用定律：根据集合的运算法则，利用相应的定律进行推理和计算。
4. 可视化辅助：通过绘制集合的形状、用图像表示等方式，帮助理解和解答题目。
5. 验证答案：将计算结果代入原题验证是否符合题意，确认解答的正确性。
七、常见错误及解决办法1. 符号混淆：不同符号代表不同含义，注意在解答过程中的符号使用准确。
高一数学集合知识点及练习题
高一数学集合知识点及练习题由一个或多个元素所构成的叫做集合，集合是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象。
这次小编给大家整理了高一数学集合知识点及练习题，供大家阅读参考。
高一数学集合知识点(一)1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作d?A。
有一些特殊的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N正整数集N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：{a,b,c……}②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。
如{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。
集合A中是数组元素(x，y)，集合B中只有元素y。
3、集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。
例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。
解：，A=B注意：该题有两组解。
(2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}(3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。
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A．|a+b|≤3 B．|a+b|≥3 C．|a﹣b|≤3 D．|a﹣b|≥3
17．若集合 A={x|
x≥ }，则∁RA=
A． ﹣∞，0]∪ ，+∞ B． ，+∞ C． ﹣∞，0]∪[ ，+∞
D．[ ，+∞
Байду номын сангаас18．定 A﹣B={x|x∈A x∉B}，若 P={1，2，3，4}，Q={2，5}，则 Q﹣P=
3．已知全集 U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U A∪B = A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0 x 1}
4．已知集合
，B={1，m}，A∪B=A，则 m=
A．0 或
B．0 或 3 C．1 或
D．1 或 3
5．设集合 A={ x1，x2，x3，x4，x5 |xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那 集合 A 中满足条件 “1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数 A．60 B．90 C．120 D．130 6．设集合 S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则 ∁RS ∪T= A． ﹣2，1] B． ﹣∞，﹣4] C． ﹣∞，1] D．[1，+∞ 7．设常数 a∈R，集合 A={x| x﹣1 x﹣a ≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若 A∪B=R，则 a 的取值范围
A．3 B．6 C．8 D．10 10．设 a，b，c 实数，f x = x+a x2+bx+c ，g x = ax+1 cx2+bx+1 ．记集合 S={x|f x =0，
x∈R}，T={x|g x =0，x∈R}．若{S}，{T}分别 集合 S，T 的元素个数，则 列结论 能的是
A．{S}=1 {T}=0 B．{S}=1 {T}=1 C．{S}=2 {T}=2 11．设集合 M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的
成立的是
A．T，V 中至少有一个关于乘法是封 的
B．T，V 中至多有一个关于乘法是封 的
C．T，V 中有 只有一个关于乘法是封 的
D．T，V 中 一个关于乘法都是封 的 13．已知集合 P={x|x2≤1}，M={a}．若 P∪M=P，则 a 的取值范围是 A． ﹣∞，﹣1] B．[1，+∞ C．[﹣1，1] D． ﹣∞，﹣1]∪[1，+∞
14．设集合 A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足 S⊆A S∩B≠∅的集合 S 的个数是
A．57 B．56 C．49 D．8 15．设 P={x|x 4}，Q={x|x2 4}，则
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆CRQ D．Q⊆CRP 16．设集合 A={x||x﹣a| 1，x∈R}，B={x||x﹣b|＞2，x∈R}．若 A⊆B，则实数 a，b 必满足
D．{S}=2 {T}=3
A．充分 必要条件 B．必要 充分条件
C．充分必要条件 D．既 充分又 必要条件
12．设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果∀a，b∈S 有 ab∈S，则称 S 关于数的乘法是封 的，若 T，V 是 Z
的两个 相交的非空子集，T∪V=Z， ∀a，b，c∈T，有 abc∈T ∀x，y，z∈V，有 xyz∈V，则 列结论恒
高中数学 心知识点常考题型精析 集合 理
一、选择题 共 20 小题
1．设全集 U={x∈N|x≥2}，集合 A={x∈N|x2≥5}，则∁UA= A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5} 2．设集合 M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2 1，x∈R}，则 M∩N=
A．[0，1] B．[0，1 C． 0，1] D． 0，1
A．P B．{5} C．{1，3，4} D．Q
19．设集合 A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则 M 中元素的个数
A．3 B．4 C．5 D．6
20．已知集合 A={x|x2﹣2x＞0}，
，则
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
、填空题 共 9 小题
21．设全集 U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则 ∁UA ∩B= _________ ． 22．已知互异的复数 a，b 满足 ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则 a+b= _________ ． 23．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}， 列四个关系 ①a=1 ②b≠1 ③c=2 ④d≠4 有 只有一个是 确的，则符合条件的有序数 a，b，c，d 的个数 是 _________ ． 24．已知集合 A={x∈R||x+2| 3}，集合 B={x∈R| x﹣m x﹣2 0}， A∩B= ﹣1，n ，则 m= _________ ， n= _________ ．
A． ﹣∞，2 B． ﹣∞，2] C． 2，+∞
D．[2，+∞
8．若集合 A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数
A．5 B．4 C．3 D．2
9．已知集合 A={1，2，3，4，5}，B={ x，y |x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则 B 中所含元素的个数
25．设全集 U={a，b，c，d}，集合 A={a，b}，B={b，c，d}，则 ∁UA ∪ ∁UB = _________ ．
26．已知集合 A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=
，则集合 A∩B=
_________ ．
27．已知集合 A={x|x≤1}，B={x|x≥a}， A∪B=R，则实数 a 的取值范围是 _________ ．
28．某班有 36 学参加数学、物理、化学课外探究小 ，
学至多参加两个小 ，已知参加数学、
物理、化学小 的人数分别 26，15，13， 时参加数学和物理小 的有 6 人， 时参加物理和化学小
的有 4 人，则 时参加数学和化学小 的有 _________ 人．
29．某班共 30 人， 中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱 球运动，8 人对 两项运动都 喜爱，则喜爱
篮球运动但 喜爱 球运动的人数 _________ ．
、解答题 共 1 小题
30．对 整数 n，记 In={1，2，3…，n}，Pn={ |m∈In，k∈In}．