2014-2015数值分析考试试题卷

太原科技大学硕士研究生

2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷

一、填空题（每空4分，共32分）

1、设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++<≤+=2

1,1321

0,)(2

323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组12312312388

92688

x x x x x x x x x -++=-⎧⎪

-+=⎨⎪-+-=⎩ 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为

⎪⎩

⎪⎨⎧+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3)

(3)(1)1(2)

(3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0812/102/9810。 3、方程03

=-a x 的牛顿法的迭代格式为__3

12

3k

k k k

x a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。

4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-⨯

解：x 1≈0.937， 31102

1

)(-⨯≤

x ε 3

31111

10(x )2

(x )0.53410x 0.937

r εε--⨯=≤=⨯

5、用列主元高斯消去法解线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=--=++=++2333220221

321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为⎩

⎨

⎧=+--=-5.35.125

.15.03232x x x x

6、设⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____.

二、（本题满分15分）证明方程350x x --=在区间[1,2]有唯一实根，构造一种收敛的迭代格式1(),0,1,2,

k k x x k φ+==使对任何初值0x ∈[1,2]都收敛，并说明收敛理由

和收敛的阶。

解：（1）证明方程350x x --=在区间[1,2]有唯一实根.------5分

设3()5f x x x =--，(1)(2)50f f =-<，而且2'()310f x x =->，所以

3()5f x x x =--在区间[1,2]有唯一实根。

（2）构造迭代格式1(),0,1,2,

k k x x k φ+==----------5分

改写原方程为等价方程x =

10,1,2,k x k +==…

（3）说明收敛理由------4分

由于()x ϕ=1<()x ϕ<2,而且'()x ϕ=2/3(5)/31/31x -+<<，故对

0x ∈[1,2]都收敛。

（4）说明收敛的阶。------1分

'()a ϕ=2/3(5)/30a -+≠，故为线性收敛。或者说收敛的阶为1.

三、（本题满分15分）构造过节点(2,17),(0,1),(1,2),(2,19)-的牛顿差商表，并选取合适的节点分别构造二次、三次牛顿插值多项式)(),(32x P x P 以计算2(0.9)P 和

3(0.9)p 。

--------------------- 5分

把(2)17f -=，(2,0)8f -=-，(2,0,1)3f -=代入二阶牛顿插值多项式

2001001201()()[,]()[,,]()()P x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--

得:

2()178(2)3(2)p x x x x =-+++----------------------------------------------4分

故 2(0.9)178(0.92)3(0.92)0.9 1.63p =-+++=----------------------------1分 由三阶牛顿插值多项式：

320123012()()[,,,]()()()p x p x f x x x x x x x x x x =+---

将01232,0,1,2x x x x =-===和01235

[,,,]4

f x x x x =

代入上式，得： 35

178(2)3(2)4

()(2)(1)x x x p x x x x -+++=++--------------------------------------4分

故325

0.924(0.9)(0.9)()(0.90)(0.91) 1.30p p +=+--≈-------------------------------1分

四、（本题满分15分）设],[)(4b a C x f ∈，

⎰

--++-≈b

a

b f a f a b b f a f a b dx x f )]()([12

)()]()([2)(''

2

求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算⎰b a

dx x f )(的一个复化求积公式。

考查知识点：根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 解：1)(=x f 时，左边=a b -=右边; ----------------------1

x x f =)(时，左边=)(21

22a b -=右边

2)(x x f =时，左边=)(31

33a b -=右边；

3)(x x f =时，左边=)(41

44a b -=右边

4)(x x f =时，左边=≠-)(5

1

55a b 右边;

故而所给求积公式具有3次代数精度。------------------2

2）将],[b a 作n 等分，记.0,,n i ih a x n

a

b h i ≤≤+=-=-----------------------1分

∑⎰

⎰

-=+=1

1

,)()(n i x x b

a

i i

dx x f dx x f ------------------------------1分

而,)]()([12

)]()([2)(1

1''

21⎰

+++-++≈i i

x x i i i i x f x f h x f x f h dx x f --------------------2分

由此可得复化公式21

''110()[()()][()()]2

12n b

i i i i a

i h

h f x dx f x f x f x f x -++=⎧≈++-⎨⎩∑⎰

）

=21

'

'10[()())][()()]2

12n i i i h h f x f x f a f b -+=+-∑+----------------4