2020年奥鹏东北师大考核试题标准答案

离线考核

《线性代数》

满分100分

一、计算及证明题（每小题20分，共100分。）

1. 设向量组321 , , ααα是线性无关的，且3211αααβ++=，32122αααβ++=，321332αααβ++=，证明：向量组321 , , βββ也是线性无关的。

解：定义法：

K1(a1+a2+a3)+K2(a1+a2+2a3)+K3(a1+2a2+3a3)=0

(K1+K2+K3)a1+(K1+k2+2k3)a2+(K1+2K2+3K3)a3=0

a1 , a2 ,a3 是一项量组的极大线性无关组。

因此（K1+K2+K3）= 0

(K1+K2+K3) = 0 , (K1+2K2+3K3) = 0 . 推出K1 = K2 = K3 = 0

∴321 , , βββ也是该向量组的极大线性无关组。

2. 对于任一矩阵A ，证明：T AA 及A A T

都是对称矩阵。

解： 1. A 是对称矩阵<=> A^T = A.

2.(A^T)^T = A

3.(AB)^T - B^TA^T

证明:

因为 (AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T

所以 AA^T 是对称矩阵.

同理, 因为 (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA

所以 A^TA 是对称矩阵.

2. 用基础解系表示线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-3

3771334342431321

4314321x x x x x x x x x x x x x 的全部解。 解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换，有

()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛------=00000610008021030

10133707101133110143412b A 所以方程组有无穷多解，其一般解为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=62834

3231x x x x x

令03=x ，得特解()T

u 6 , 0 , 8 , 3-=，其导出组的一般解为 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=024

3231x x x x x

令13=x ，得()T

v 0 , 1 , 2 , 1-=，则原方程组的全部解为cv u +，c 为任意常数。

4. 给定向量组

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11212α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11103α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12314α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=14625α， 求：(1)向量组的秩；

(2)向量组的一个极大无关组；

(3)将其余向量用极大无关组线性表示。

解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----00000232110025230102121001

11110421106312121011，则向量组的秩为3，1α，2α，3α为极大无关组，

3214212321αααα++=，32152

32521αααα++=。

5. 给定矩阵=A ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛201021113，如果A 能与对角矩阵相似，请求出相似对角矩阵Λ及可逆矩阵P 。 解：()()()04212

0102

1113

=---=-------=-λλλλλλλA I ，所以A 的全部特征值为 11=λ，22=λ，43=λ

对于11=λ，解齐次线性方程组()o x A I =-，其基础解系为()T

1 , 1 , 11-=ξ。 对于22=λ，解齐次线性方程组()o x A I =-2，其基础解系为()T

1 , 1 , 02-=ξ。 对于43=λ，解齐次线性方程组()o x A I =-，其基础解系为()T

1 , 1 , 23=ξ。 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==111111

201 , , 321ξξξP ，满足⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-4000200011AP P ，