(完整版)辅助角公式公开课优质课
辅助角公式_教案
辅助角公式一、教学目标1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取三、教学过程1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα2、辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ+==+其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
辅助角公式(高一必修四新授课)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标：
知识与技能：熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。
过程与方法：讲练结合法
情感、态度及价值观：会用联系变化的观点看待事物，增强解决问题的能力。
教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。
教学难点：在应用辅助角公式进行化归求值的过程中，涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。
教学过程：
一、讲解新知：
课本6、化简
解：原式
解：原式
解：原式
知识点讲解：
辅助角公式：
有原式
或原式
其中，叫辅助角。
或
二、当堂训练：
课本6、化简
课本13、化简
答案：课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业。
辅助角公式及应用课件
利用代数方法推导
总结词
通过代数方法，我们可以将三角函数问 题转化为代数问题，从而推导出辅助角 公式。
VS
详细描述
利用代数方法，我们可以将三角函数问题 转化为代数问题。通过设置方程并求解， 我们可以得到辅助角公式的一般形式。这 种方法需要一定的代数基础和技巧，但适 用范围较广，可以处理各种复杂的三角函 数问题。
等。
在三角函数求值中的应用
辅助角公式可以用于求解某些特定类型的三角函数值，例如求正弦、余弦或正切值 。
通过使用辅助角公式，可以将复杂的三角函数问题转化为更易于解决的形式，从而 快速准确地找到答案。
辅助角公式还可以用于求解一些特殊角度的三角函数值，例如30度、45度或60度等 。
在三角函数图像变换中的应用
辅助角公式及应用课 件
汇报人：
202X-01-04
目录
CONTENTS
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的注意事项 • 辅助角公式的扩展 • 习题与解答
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于将一个复杂的三角函数式转化 为易于处理的形式的公式。它通过引入一个辅助角，将原函 数表示为简单三角函数的组合。
辅助角公式可以用于对三角函 数图像进行平移、伸缩或翻转 等变换操作。
通过使用辅助角公式，可以将 图像变换问题转化为数学表达 式，从而更方便地进行图像处 理和操作。
辅助角公式还可以用于研究三 角函数图像的性质和特点，例 如周期性、对称性或极值点等 。
04
辅助角公式的注意 事项
公式的适用范围
适用角度范围
公式的误差分析
近似误差
辅助角公式在应用过程中会产生近似误差，主要来源于将复杂的 三角函数转化为简单的三角函数。
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
(完整版)辅助角公式公开课优质课
•
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
例3：试将以下各式化为 Asin(x ),(A 0, )
的形式
⑴ 3 sin 1 cos ⑵ 2 sin 6 cos
2
2
⑶ 3 sin cos ⑷ 2 sin( ) 6 cos( )
63
63
答案：
⑴ sin( ) 6
⑶ 2sin( 5 ) 6
⑵ 2 2 sin( ) 3
⑷ 2 sin(7 ) 36
2
2
sin cos cos sin
6
6
辅助角公式的推导及简单应用
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin cos cos sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
[ 感谢观看 ]
辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
金典教案-辅助角公式（精编文档）.doc
⾦典教案-辅助⾓公式（精编⽂档）.doc【最新整理，下载后即可编辑】辅助⾓公式sin cos )a b θθθ?+=+教学应注意的的⼏个问题在三⾓函数中，有⼀种常见⽽重要的题型，即化sin cos a b θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式，进⽽求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学⽣记忆和掌握这种题型的解答⽅法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θ?+或sin cos a b θθ+cos()θ?-,让学⽣在⼤量的训练和考试中加以记忆和活⽤.但事与愿违,半个学期不到,⼤部分学⽣都忘了,教师不得不重推⼀遍.到了⾼三⼀轮复习,再次忘记,教师还得重推!本⽂旨在通过辅助⾓公式的另⼀种⾃然的推导,体现⼀种解决问题的过程与⽅法,减轻学⽣的记忆负担;同时说明“辅助⾓”的范围和常见的取⾓⽅法,帮助学⽣澄清⼀些认识;另外通过例⼦说明辅助⾓公式的灵活应⽤,优化解题过程与⽅法;最后通过例⼦说明辅助公式在实际中的应⽤,让学⽣把握辅助⾓与原⽣⾓的范围关系,以更好地掌握和使⽤公式.⼀.教学中常见的的推导⽅法教学中常见的推导过程与⽅法如下1.引例例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见, α+cos α可以化为⼀个⾓的三⾓函数形式.⼀般地,asin θ+bcos θ是否可以化为⼀个⾓的三⾓函数形式呢?2.辅助⾓公式的推导例2 化sin cos a b θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①则asin θ+bcos θθcos ?+cos θsin ?)θ+?),(其中tan ?=b a ) ②=sin ?,则asin θ+bcos θθsin ?+cos θcos ?s(θ-?),(其中tan ?=a b ) 其中?的⼤⼩可以由sin ?、cos ?的符号确定?的象限,再由tan ?的值求出.或由tan ?=b a 和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和⼤量的练习.但是这种推导⽅法有两个问题:⼀是为什么要令=cos ?=sin ??让学⽣费解.⼆是这种 “规定”式的推导,学⽣难记易忘、易错!⼆.让辅助⾓公式sin cos a b θθ+)θ?+来得更⾃然能否让让辅助⾓公式来得更⾃然些?这是我多少年来⼀直思考的问题.2009年春.我⼜⼀次代2008级学⽣时,终于想出⼀种与三⾓函数的定义衔接⼜通俗易懂的教学推导⽅法.⾸先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式，⽆需化简.故有ab ≠0. 1.在平⾯直⾓坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描⼀点P(a,b)如图1所⽰,则总有⼀个⾓?,它的终边经过点P.设由cos ?=a r =. 所以asin θ+bcos θsin θcos θ)θ?+.(其中tan ?=b a ) 2.若在平⾯直⾓坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所⽰,则总有⼀个⾓?的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=.由三⾓函数的定义知sin ?=a r, cos ?=b rasin θ+bcos θsin cos ?θ?θ+s()θ?-. (其中tan ?=a b) 例3cos θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式. 解:在坐标系中描点P(设⾓?的终边过点P,则OP∴cos θθ+=2cos ?sin θ+2sin ?cos θ=2sin(θ?+).tan ?=3. 26k π?π=+,cos θθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运⽤,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助⾓公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θ?+,(其中tan?=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=))我想这样的推导,学⽣理解起来会容易得多,⽽且也更容易理解asinθ+bcosθ凑成sinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式.解法⼀:点(1,-)在第四象限.OP=2.设⾓?过P点.则sin2=-,1cos2=.满⾜条件的最⼩正⾓为53π,52,.1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=+=++=+解法⼆:点P(-,1)在第⼆象限,OP=2,设⾓?过P点.则1sin2=,cos2=-.满⾜条件的最⼩正⾓为56π,52,.6k k Z1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助⾓的范围问题由sin cos)a bθθθ?+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的⾓可能有四种情况(第⼀象限、第⼆象限、第三象限、第四象限).设满⾜条件的最⼩正⾓为1?,则12k ??π=+.由诱导公式(⼀)知1sin cos ))a b θθθ?θ?+=+=+．其中1(0,2)?π∈，1tan b a ?=，1?的具体位置由1sin ?与1cos ?决定，1?的⼤⼩由1tan b a=决定．类似地，sin cos )a b θθθ?+=-，?的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满⾜条件的最⼩正⾓为2?，则22.k ??π=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθ?θ?+=-=-，其中2(0,2)?π∈，2tan a b ?=，2?的位置由2sin ?和2cos ?确定，2?的⼤⼩由2tan a b ?=确定．注意：①⼀般地，12??≠；②以后没有特别说明时，⾓1?（或2?）是所求的辅助⾓．题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθ?+=+的形式或2sin cos )a b θθθ?+=-的形式．可以利⽤两⾓和与差的正、余弦公式灵活处理．例５化下列三⾓函数式为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-．解：1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）⼩题中，a =1b =-，我们并没有取点．也就是说，当a 、b 中⾄少有⼀个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的⾓1?（或2?）是锐⾓，就更加⽅便．例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+,1(cos(),)32=+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最⼤值及相应的x 的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++ =21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)2323xx ππ+-++=22cos(2)sin(2)]22323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++ max ()2.2h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两⾓和与差的正弦公式不仅⿇繁,⽽且易错,请读者⼀试.五.与辅助⾓有关的应⽤题与辅助⾓有关的应⽤题在实际中也⽐较常见,⽽且涉及辅⾓的范围,在相应范围内求三⾓函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中⼼⾓为45?,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对⾓线l 的最⼩值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin (cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)2θθ-+ =13sin(2)22θ?-+,其中11tan 2?=,1(0,)2π?∈,11arctan 2?=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθ?∴<+<+ 2min322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对⾓线l 的最⼩值为12-.θ N B M A Q P O 图3。
辅助角公式通用课件
随着数学与其他学科的交叉融合 ，辅助角公式将会在更多领域发
挥其重要的作用。
未来研究的方向与展望
对于辅助角公式的深入研究，可以进一步探索其与其他数学知识的联系 和区别，促进数学知识的系统化。
可以尝试推广辅助角公式，将其应用于更广泛的数学问题中，以拓展数 学的应用领域。
可以结合现代数学技术和方法，研究辅助角公式的计算方法和算法，提 高其计算效率和精度。
角）的三角函数值。
辅助角公式在解决三角函数问题 时具有广泛的应用，可以简化计
算过程，提高解题效率。Fra bibliotek辅助角公式的推导过程涉及到三 角函数的诱导公式和和差公式等 基础知识，需要学生熟练掌握。
辅助角公式的应用前景展望
随着数学教育的普及和提高，辅 助角公式将会被更广泛地应用于
解决实际问题中。
在物理、工程、经济等领域，辅 助角公式也有着广泛的应用前景 ，可以用于解决各种涉及三角函
实际应用案例
通过实际应用案例，可以深入理解辅助角公式的应用场景和优势，如物理、工 程、经济等领域的问题解决。
05 辅助角公式的习题与解答
辅助角公式的常见习题
习题1
01
已知角α的终边在第二象限，求α的集合。
习题2
02
已知sinα=-√3/2，求α在哪个象限。
习题3
03
已知cosα=1/2，求α的值。
02 辅助角公式的推导与证明
三角函数的和差化积公式
三角函数的和差化积公式是三角函数 中非常重要的公式之一，它可以将两 个三角函数的和差形式转化为积的形 式，从而简化计算。
这个公式在解决三角函数问题时非常 有用，可以大大简化计算过程。
具体来说，对于任意两个角度α和β， 三角函数的和差化积公式为： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
3.1辅助角公式及应用的公开课比赛课件
②从三角函数的定义出发进行推导
2019/10/10
小池中学 方国华
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b2 ,由三角函数 的定义知
小池中学 方国华
辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
2019/10/10
小池中学 方国华
注意问题
①由点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角 可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三
2019/10/10
小池中学 方国华
课后作业
P.132 练习6
2019/10/10
小池中学 方国华
谢谢指导！
2019/10/10
小池中学 方国华
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
2019/10/10
小池中学 方国华
公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
过怎样的平移和伸缩变换得到?
2019/10/10
辅助角公式教案
高一数学教案课题：辅助角公式课型：新授课课时： 1学习目标：1、能推导出辅助角公式的一般形式2．运用公式灵活解决综合题目重点：辅助角公式的掌握．难点：辅助角公式的熟练运用教学过程教学内容设计意图一、复习引入两角和与差的正弦公式sin=_________________________________sin=_________________________________二、新课探究利用公式展开sin=_____________________4反之 ,若要将2sin2cos 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是222sin 2cos =_____________________________22尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为 A sin() A 0 的形式（ 1）3sin1cos（ 2）sin 3 cos 22练习：试将以下各式化为Asin() （ A 0,[ , ) ）的形式.（ 1）sincos（ 2）cos sin（ 3）3sincos 一般地 ,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢?合作探究：化 a sin b cos为一个角的一个三角函数的形式.三、典例示范例 1、化3sin cos 为一个角的一个三角函数的形式.例 2、化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．（１） 3 sin cos；（２）2sin(3)6cos() ．663变式训练 y3sin x cos x 的值域___________________四、巩固练习1. 试将以下各式化为 A sin()（A0,[0,2)或[ , ) ）的形式：（ 1）sin cos ；（ 2）sin cos；（ 3）sin cos；（ 4）3sin1cos；33（） 3sin4cos；（）2(sin cos )；56（ 7） 2 sin 6 cos ；（8）5sin12cos2. 若 3 sin( x) cos( x)2cos x 的值。
辅助角公式教案
§5.4(5) 辅助角公式执教者：万兆云班 级：建平中学高一数学B7班时 间：2010年3月19日下午第二节一、教学内容分析一般地，三角式sin cos a b αα±(0)ab ≠可通过添设辅助角，利用三角变换知识转化为)αϕ±，即本课所要讲解的辅助角公式．辅助角公式的作用是把两个同角的正弦、余弦三角式化为一个三角式的形式，从而起到化简三角式的作用．这个公式为日后继续研究三角比的问题提供了一个强有力的工具，是教材三角比章节的重要拓展内容．逆推和构造是数学的重要思想方法，理解和掌握辅助角公式的来龙去脉是为后续其他三角公式的研究奠定基础．二、教学目标1． 掌握辅助角公式的推导和辅助角的意义；2． 应用辅助角公式和其他三角恒等式解决某些三角问题；3． 经历辅助角公式的发生、发展的过程，培养学生的逻辑思维和推理能力；4． 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；5． 通过构造应用，培养思维的创造性、激发学习兴趣．【教学重点】辅助角公式的推导．【教学难点】辅助角公式的应用．三、教学过程【问题引入】在前面的学习中，我们已经掌握了和角的正弦公式，那么如果我们逆向应用这一公式会得到什么启示？能否对形如sin cos a b αα±(0)ab ≠的三角式进行变换？能否推导出一般化的公式呢？如何应用这一公式？这是我们今天所要探究的内容．【解决问题】1. 特殊情形：根据公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±，将下列各式化为()sin A αϕ±的形式：（1αα+； （2）sin αα．2. 一般情形：将三角式()sin cos 0a b ab αα±≠化为()sin A αϕ±的形式：sin cos )a b x x αααϕ⎛⎫±±⎪⎭， 其中辅助角ϕ（通常取02ϕπ≤<）由cos sin ϕϕ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定． 3. 小结（强调公式的形式、特点、作用、如何应用）：辅助角公式的实质是和（差）角正弦公式的逆应用，它可以把两个同角的正弦、余弦三角式化为一个正弦三角式的形式，从而对三角式的化简、求值、证明等起到积极的作用．【例题选讲】例1：把下列各式化为()sin A αϕ±的形式（其中,02A R πϕ∈<<）：（1）5sin 2αα； （2）αα--．例2：求满足sin cos 2θθ-=︒︒的θ，其中()0,2θπ∈． 例3：求5sin 12cos y x x =+的取值范围．【课堂练习】1. 把下列各式化为()sin A αϕ+的形式（其中,02A R πϕ∈<<）：（13cos αα+；（23cos αα-；（3）3cos αα+；（4）3cos αα-；（51cos 2αα-； （6）sin cos αα+．2. cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. 计算：1sin10-︒．4. 已知sin cos y a x x =+a 的值．【课堂总结】1. 结合公式的产生、推导过程，引导学生体会逆用公式从而开拓出新的解题思路的数学方法；2. 关注公式中辅助角的确定，通过三角恒等变换体会辅助角公式的作用；3. 阐明辅助角公式是和（差）角正弦公式的变形，为后续研究奠定基础．【课后作业】1. 作业：完成有效作业．2. 思考：将式子()sin cos 0a b ab αα±≠化为()cos A αϕ的形式．四、教学设计说明1. 关于公式的发生：由“如何利用和角的正弦公式，把两个同角的正弦、余弦三角式化为一个三角式的形式？”来引起学生探索的欲望，并进一步引导研究辅助角公式．2. 关于公式的推导：从学生的最近发展区构建新知，逆用已学公式，架构认知的桥梁．3. 关于辅助角公式的教学：反复运用辅助角公式进行单纯的三角恒等变换，使课堂教学中心突出，同时引发学生课后进一步思考．§5.4(5) 辅助角公式(讲义)执教者：万兆云班 级：建平中学高一数学B7班时 间：2010年3月19日下午第二节【教学目标】1． 掌握辅助角公式的推导和辅助角的意义；2． 应用辅助角公式和其他三角恒等式解决某些三角问题；3． 经历辅助角公式的发生、发展的过程，培养学生的逻辑思维和推理能力；4． 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；5． 通过构造应用，培养思维的创造性、激发学习兴趣．【教学重点】辅助角公式的推导．【教学难点】辅助角公式的应用．【问题引入】在前面的学习中，我们已经掌握了和角的正弦公式，那么如果我们逆向应用这一公式会得到什么启示？能否对形如sin cos a b αα±(0)ab ≠的三角式进行变换？能否推导出一般化的公式呢？如何应用这一公式？这是我们今天所要探究的内容．【解决问题】1. 根据公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±，将下列各式化为()sin A αϕ±的形式：（1αα+； （2）sin αα．2. 将三角式()sin cos 0a b ab αα±≠化为()sin A αϕ±的形式：【例题选讲】例1：把下列各式化为()sin A αϕ±的形式（其中,02A R πϕ∈<<）：（1）5sin 2αα； （2）αα--．例2：求满足sin cos θθ-=︒︒的θ，其中()0,2θπ∈．例3：求5sin 12cos y x x =+的取值范围．【课堂练习】1. 把下列各式化为()sin A αϕ+的形式（其中,02A R πϕ∈<<）：（13cos αα+；（23cos αα-；（3）3cos αα+；（4）3cos αα-；（51cos 2αα-； （6）sin cos αα+．2. cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. 计算：1sin10-︒．4. 已知sin cos y a x x =+a 的值．。
辅助角公式_教案
辅助角公式1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα 2、例题例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
4、思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定?（2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的一个三角比的形式？5、练习(1)3cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。
(3)、已知46sin 4m x x m-=-，求实数m 的取值范围。
(4)、利用辅助角公式化简：()sin801cos50︒︒︒ （1）1sin cos 22αα+； （2cos αα+；（3）5sin 12cos αα+二、公式sin cos ))a xb x x x x ϕ+=+=+其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ϕ的终边经过点(,)a b 三、公式应用1. 试将以下各式化为sin()A αϕ+（ 0,[0,2)[,)A ϕπϕππ>∈∈-或 ）的形式：（1）sin cos αα+； （2）sin cos αα-+；（3）sin cos αα--； （4）sin cos αα-；（5）3sin 4cos αα+； （6）3sin 4cos αα-；（7）3sin 4cos αα-+； （8）3sin 4cos αα--2. 2)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
辅助角公式_教案
辅助角公式1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin a b +=_________________________________ ()sin a b -=_________________________________ 利用公式展开s in 4p a æö+ç÷èø=_____________________ 反之,若要将22s in c o s 22a a +化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是22s in c o s 22a a +=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(b a +A ()0A >的形式的形式（1）31s in c o s 22a a + （2）s in 3c o s a a -2、例题例１、试将以下各式化为)sin(b a +A ()0A >的形式. （1）31s in c o s 22a a - （2）a a cos sin + （3）2s in 6c o s a a + （4）a a cos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(b a +A （),[,0p p b -Î>A ）的形式. （1）sin cos a a -（2）a a sin cos - （3）3s in c o s a a --例3、若s in (50)c o s (20)3x x +++=o o ，且0360x £<o o ，求角x 的值。
例4、若23s in ()c o s ()12123x x p p +++=，且 02x p -<<，求sin c o s x x -的值。
4、思考 （1）公式()22sin c o s sin a b a b a a a b +=++中角b 如何确定? （2）能否会将a a cos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的一个三角比的形式？、3s p p 53、利用辅助角公式化简：(s in 803ta c o s 50°）3s c ）3s 22222222(s c s a b a b a b a b ++++2222aa bba b ++确定，即辅助角若23sin ))，且，且 -<3，且。
8.2.2辅助角公式教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
§8.2.2 辅助角公式一、教学内容分析一般地，三角式sin cos a b αα±(0)ab ≠可通过添设辅助角，利用三角变换知识转化为22)a b αϕ+±，即本课所要讲解的辅助角公式．辅助角公式的作用是把两个同角的正弦、余弦三角式化为一个三角式的形式，从而起到化简三角式的作用．这个公式为日后继续研究三角比的问题提供了一个强有力的工具，是教材三角章节的重要拓展内容．逆推和构造是数学的重要思想方法，理解和掌握辅助角公式的来龙去脉是为后续其他三角公式的研究奠定基础．二、教学目标1． 掌握辅助角公式的推导和辅助角的意义；2． 应用辅助角公式和其他三角恒等式解决某些三角问题；3． 通过构造应用，培养思维的创造性、激发学习兴趣．【教学重点】辅助角公式的推导．【教学难点】辅助角公式的应用．三、教学方式PPT,小组讨论探究式学习.四、教学过程【问题探究】在前面的学习中，我们已经掌握了两角和角的正、余弦公式，那么如果我们逆向应用这一公式会得到什么启示？探究一、证明：√32sin x +12cos x =sin(x +π6)，并思考是否任意的asinx +bcosx 都可转化为Asin(x +φ)形式？【设计意图】探究一以小组讨论展开，三分钟左右时间讨论，并请同学展示小组探究结果。
通过这个简单的证明题，将学生的思路打开，有对公式进行逆向应用的思路，从而对探究二做好铺垫。
当然，这个题的证明方式是多样的。
总结：通过探究一让同学们意识到一个复杂的具有两种三角函数的计算式子可以转化为只有一种三角函数（sin x 或cos x ）的更为简洁的式子计算，从而减少了计算难度，更重要的是转化为只有一种三角函数式子又回归到前面学习过的重要的正弦型、余弦型函数（Asin(ωx +φ)、Acos(ωx +φ)），从而研究其性质。
探究二、√22sin 75°+√22cos 75°= √2 2sin 75°−√22cos 75°= 那么sin 75°+cos 75° = sin 75°−cos 75° = 猜想sin α+cos α = sin α−cos α=【设计意图】探究二对于前四个空，大部分同学都能算出来，用前面学习的两角和差的正、余弦公式即可，但对于后两空过渡到任意角，难度增大，大部分同学可能一脸茫然无从下手。
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2
2
思考：
以上四例，从右往左，把异名的函数化
为单名函数，会吗？
（1）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos cos sin
6
6
（2） 3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（3） 3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
例3：试将以下各式化为 Asin(x ),(A 0, )
的形式
⑴ 3 sin 1 cos ⑵ 2 sin 6 cos
2
2
⑶ 3 sin cos ⑷ 2 sin( ) 6 cos( )
63
63
答案：
⑴ sin( ) 6
⑶ 2sin( 5 ) 6
⑵ 2 2 sin( ) 3
⑷ 2 sin(7 ) 36
例4：求函数y = sinx + 3cosx的周期，最大值和最小值。
解：y = sinx + 3cosx
= 2( 1 sinx + 3 cosx)
2
2
= 2(sinxcos π + cosxsin π)
= 2sin(x + π3)
3
3
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为- 2。
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
a
辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
练习与巩固
1.把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos (2)-sin cos
(3)-2sin
2
cos
(4)-3sin( ) 3 cos( )
6
6
2已知函数 y＝ 3sinx＋cosx，x R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
过怎样的平移和伸缩变换得到?
课堂小结
一个公式：
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题 ⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5
ห้องสมุดไป่ตู้
6
6
sin cos cos sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
辅助角公式—— 和、差角公式的逆用
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
上节要点再回首
1.两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2.两角和与差的正弦公式的应用
sin
6
sin
5
6
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
•
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
6
6
（4） 3 sin 1 cos
2
2
sin cos cos sin
6
6
辅助角公式的推导及简单应用
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右