高一数学 221对数与对数运算
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证明：①设 loagMp, loga Nq, 由对数的定义可以得：
M ap, N aq ∴MN= a p a q apq
loaM g N pq
即证得 lo g aM N lo g aM lo g aN
对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
lo g aM N lo g aM lo g aN⑴
x
1 m
log a
N
n
n m
log a
N
换底公式的证明
log a
b
log c log c
b a
证明：lo g c b p , lo g c a q , lo g a b k
b cP,a cq,b ak
log a b
log cq
cp
p q
log c b log c a
lo g a b
•
2 计算：
1）. 2log52log53 log51012log50.3613log58
2 ） . (lo g 43 lo g 83 )(lo g 32 lo g 92 ) lo g 143 2
2
作业：
P68练习：1, 2，3. P74习题2.2A组：3,4,5.
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有： lo g aM N lo g aM lo g aN⑴
logaM NlogaMlogaN⑵ logaM nnlogaM (n R )⑶
说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,＋∞)
2.2.1对数与对数运算(2)
知识回顾
1. 对数与指数是怎样互化的？
当a0,a1时,ax N xloga N
课前练习:
⑴给出四个等式:
1) lg(lg 10) 0; 2) lg(ln e) 0; 3)若 lgx=10,则 x=10; 4)若 lnx=e,则 x=e2
其中正确的是___1)_,_2_) __
1
1
2loag x2loagy3loag z
讲解范例 例2 计算
（1） lo2g(2547) 解 : lo2g(2547)
log2 25log2 47 log2 25log2 214
=5+14=19
（2） lg 5 1 0 0
解
:
lg
5 100
1 lg 10 2 5
2 lg 10 5
2 5
课堂小结: 对数的运算性质
M loga NlogaMlogaN logaM nnlogaM (n R )
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
证明: logaM NlogaMlogaN
证明：②设 loagMp, loga Nq,
⑵ log3 1 log3 3 log3 27 4 ⑶ ln e lg100 3 ⑷ lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 ?
3
知识回顾
2.指数与对数都是一种运算，而且它 们互为逆运算，指数运算有哪些性质？
3.对数运算有那些性质呢？
对数的运算性质
证明: lo g aM N lo g aM lo g aN
探究：
loagm
Nn
nl m
oagN
loga
N
logc N logc a
(a ,c (0 ,1 ) ( 1 ,)N , 0 )
loagb•lobga1a,b(0,1)(1, )
lo g am
证明：
N
n
n m
log a
N
lo g a m N n x a m x N n
a mx N n lo g a N n m x
lo g b
a
1
a,b(0,1)(1, )
证明：l o g a b
lo g c b lo g c a
lo g b a
lo g c a lo g c b
lo g a b • lo g b a 1
巩固练习（备用）
1.(1)设x log 2 3,
求
23x 2x
23x 2x
的值.
wenku.baidu.com
(2)已知 lo7g [lo3(glo2xg)]0, 求 x的.值
讲解范例
例1 用 log a x, loga y, log a z 表示下列各式：
(1)alxzo;yg
x2 y (2)loag3z
解（1）loagxzyloag (x)yloagz
loax g loay g loazg
1
1
解（2）lo g a
x2
3
y z
loga(x2y2)loga z3
1
1
loax g2loay g2loazg3
由对数的定义可以得：M ap, N aq
∴ M ap N aq
apq loga M Npq
即证得
M lo g a N
lo g aM
lo g aN
证明:
logaMnnlogaM
证明：设 loagMp,
由对数的定义可以得：M ap, ∴ Mn anp loagMnnp
即证得
lo g aM n n lo g aM (n R )
4)注意 loga (MN) ≠ logaMlogaN loga(MN) ≠ logaMlogaN
巩固练习: p751.2.3
提高练习:
ab2
1 ⑴ 若 lgxlga2lgb 3lgc,则 x__c _ 3 ___
1
⑵ 12log612log6 2 的值为__2____
⑶ log2 84 3log2 84 3 __2___________
M ap, N aq ∴MN= a p a q apq
loaM g N pq
即证得 lo g aM N lo g aM lo g aN
对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
lo g aM N lo g aM lo g aN⑴
x
1 m
log a
N
n
n m
log a
N
换底公式的证明
log a
b
log c log c
b a
证明：lo g c b p , lo g c a q , lo g a b k
b cP,a cq,b ak
log a b
log cq
cp
p q
log c b log c a
lo g a b
•
2 计算：
1）. 2log52log53 log51012log50.3613log58
2 ） . (lo g 43 lo g 83 )(lo g 32 lo g 92 ) lo g 143 2
2
作业：
P68练习：1, 2，3. P74习题2.2A组：3,4,5.
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有： lo g aM N lo g aM lo g aN⑴
logaM NlogaMlogaN⑵ logaM nnlogaM (n R )⑶
说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,＋∞)
2.2.1对数与对数运算(2)
知识回顾
1. 对数与指数是怎样互化的？
当a0,a1时,ax N xloga N
课前练习:
⑴给出四个等式:
1) lg(lg 10) 0; 2) lg(ln e) 0; 3)若 lgx=10,则 x=10; 4)若 lnx=e,则 x=e2
其中正确的是___1)_,_2_) __
1
1
2loag x2loagy3loag z
讲解范例 例2 计算
（1） lo2g(2547) 解 : lo2g(2547)
log2 25log2 47 log2 25log2 214
=5+14=19
（2） lg 5 1 0 0
解
:
lg
5 100
1 lg 10 2 5
2 lg 10 5
2 5
课堂小结: 对数的运算性质
M loga NlogaMlogaN logaM nnlogaM (n R )
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
证明: logaM NlogaMlogaN
证明：②设 loagMp, loga Nq,
⑵ log3 1 log3 3 log3 27 4 ⑶ ln e lg100 3 ⑷ lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 ?
3
知识回顾
2.指数与对数都是一种运算，而且它 们互为逆运算，指数运算有哪些性质？
3.对数运算有那些性质呢？
对数的运算性质
证明: lo g aM N lo g aM lo g aN
探究：
loagm
Nn
nl m
oagN
loga
N
logc N logc a
(a ,c (0 ,1 ) ( 1 ,)N , 0 )
loagb•lobga1a,b(0,1)(1, )
lo g am
证明：
N
n
n m
log a
N
lo g a m N n x a m x N n
a mx N n lo g a N n m x
lo g b
a
1
a,b(0,1)(1, )
证明：l o g a b
lo g c b lo g c a
lo g b a
lo g c a lo g c b
lo g a b • lo g b a 1
巩固练习（备用）
1.(1)设x log 2 3,
求
23x 2x
23x 2x
的值.
wenku.baidu.com
(2)已知 lo7g [lo3(glo2xg)]0, 求 x的.值
讲解范例
例1 用 log a x, loga y, log a z 表示下列各式：
(1)alxzo;yg
x2 y (2)loag3z
解（1）loagxzyloag (x)yloagz
loax g loay g loazg
1
1
解（2）lo g a
x2
3
y z
loga(x2y2)loga z3
1
1
loax g2loay g2loazg3
由对数的定义可以得：M ap, N aq
∴ M ap N aq
apq loga M Npq
即证得
M lo g a N
lo g aM
lo g aN
证明:
logaMnnlogaM
证明：设 loagMp,
由对数的定义可以得：M ap, ∴ Mn anp loagMnnp
即证得
lo g aM n n lo g aM (n R )
4)注意 loga (MN) ≠ logaMlogaN loga(MN) ≠ logaMlogaN
巩固练习: p751.2.3
提高练习:
ab2
1 ⑴ 若 lgxlga2lgb 3lgc,则 x__c _ 3 ___
1
⑵ 12log612log6 2 的值为__2____
⑶ log2 84 3log2 84 3 __2___________