矩形波导中电磁波的传播模式

矩形波导中电磁波的传播模式

[摘要] 人类进入21世纪的信息时代，电子与信息科学技术在飞速发

展，要求人们制造各种高科技的仪器。在电磁学领域，能约束或引导电磁波能量定向传输的传输线或装置是导波系统。．矩形波导适用于频率较高的频段，但当频率足够高的时候，可以使多个波导模式同时工作， 所以我们有必要对波导中的电磁波传播模式参数进行研究

关键词：矩形波导 TM 波 TE 波

矩形波导由良导体制作而成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁镀上一层高电导率的金或银，

它是最常见的波导，许多波导元件都是由矩形波导构成的。为了简化分析，在讨论中我们将波导的良导电体壁近似为理想导电壁。由前面的讨论我们知道，矩形波导中不能传输TEM 波，只能传输TE 波和TM 波。设矩形波导宽为a,高为b,（a>b ）沿Z 轴放置，如图（1）所示。下面分别求解矩形波导中传输的TE 波和TM 波。

1TM 波

对于TM 波，z z E H ,0=可以表示为;

z jk z z e y x E z y x E -=),(),,(0 (1)

式中),(0y x E 满足齐次亥姆霍兹方程，故有

0),(),(02

02

=+∇y x E k y x E c (2) 采用分离变量法解此方程，在直角坐标系中，令

)

()(),(0y Y x X y x E = (3)

0)()(2

''=+x X k x X x 将（3）式代入（2）式中，并在等式两边同除以)()(y Y x X 得：

0)

()()()(2

''''=++c k y Y y Y x X x X (4) 上式中第一项仅是X 的函数，第二项仅是Y 的函数，第三项是与X 、Y 无关的常数，要使上式对任何X 、Y 都成立，第一和第二项也应分别是常数，记为：

2

''2

'')

()()()(y x

k y Y y Y k x X x X -=-=

这样就得到两个常微分议程和3个常数所满足的方程：

(5) 0)()(2

''=+y Y k y Y y

(6)

222y x c k k k += (7)

常微分方程（5）和（6）的通解为

)sin()cos()(21x k C x k C x Y x x += (8) )sin()cos()(43y k C y k C y Y y y += (9)

将（8）式和（9）式代入（3）式，再代入（1）式，就得到z E 的通解为

[][]

z jk y y x x z z e y k C y k C x k C x k C z y x E -++=)sin()cos()sin()cos(),,(4321 由矩形波导理想导电壁的边界条件0=E ，确定上式中的几个常数，在4个理想导电壁上，z E 是切向分量，因此有：

（1） 在0=X 的波导壁上，由0),,0(==z y x E z 得01=C ； （2） 在0=Y 的波导壁上，由0),0,(==z y x E z 得03=C ；

（3） 在a X =的波导壁上，要使0),,(==z y a x E z 有0)sin(=a k x ，从而必须有

πm a k x =，其中 3,2.,1=m 为整数，由此得

a

m k x π

=

（10） （4）在b X =的波导壁上，要使0),,(==z b y x E z 有，0)sin(=b k y 从而必定有πn b k y =，其中 3,2.,1=n 也为整数，由此得

b

n k y π

= (11)

将以上利用边界条件求出的常数代入后，波导中TM 波的电场纵向分量为

)sin()sin(

),,(0b

n a m E z y x E z π

π= （12）

420C C E =，由电磁波源确定。

在无源区，麦克斯韦方程组中的两个旋度方程为：

z jk z e y x E z y x E -=),,(),,(0

z jk z e y x H z y x H -=),(),,(0

将3个矢量方程分解为6个标量方程：

x y z z

E j H jk y

H ωε=+∂∂ （13——a ） y z

x z E j x

H H jk ωε=∂∂-

- (13——b) z x y

E j y

H x H ωε=∂∂-∂∂ （13——c) x y z z

H j E jk y E ωμ-=+∂∂ (13——d) y z

x z H j x

E E jk ωμ-=∂∂-

- （13——e ） z x y

H j y

E x E ωε-=∂∂-∂∂ (13——f) 由（13——a ）和（13——e ）以及（13——b ）和（13——d ）可得:

)(1

2y H j x E jk k E z z z c

x ∂∂-∂∂-=ωμ （14——a)

H j E E

j H ωμωε-=⨯∇=⨯∇

)(12

x H j y E jk k E z z z c

y ∂∂+∂∂-=

ωμ (14——b)

)(1

2x H jk y E j k H z z z c

x ∂∂-∂∂=ωε (14——c)

)(12

y H jk x E j k H z z z c

y ∂∂-∂∂-=

ωε (14——d) 将（18）式代入（20）式中，就可以得到波导中ＴＭ波的其他场分量

z jk c z x z e y b n x a m E a

m k k j z y x E --=)sin()cos()(),,(02π

ππ （14——a ）

z

jk c z y z e x b

n y a m E b n k k j

z y x E --=)cos()sin()(),,(02πππ (14——b) z

jk c x z e b n y a m E b

n k j z y x H -=)cos()sin()(),,(02πππ

ωε (14——c)

z jk c y z e y b

n x a m E a

m k j

z y x H --=)sin()cos(

)(

),,(02

πππ

ωε （14——d) 其中

2

2

2⎪

⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b n a m k c

ππ （15）

2

2

2c z

k

k k -= （15）

从式（13）式中可以看出：

（1） 矩形波导中的TM 波n m ,至少一个从零开始，否则全部的场分量为零，

当 ,3,2,1,=n m 对应有无限多组解；

（2） 对于给定n m ,值的每一组解，如果z k 为实数，其场为沿Z 方向传播的非

均匀平面波，在X 、Y 方向为驻波分布，n m ,分别表示在宽边和窄边上驻波的波腹个数；

（3） 对于不同n m ,值的场，有两方面不同：一是横截面的场分布不同：二是

沿传播方向的z k 不同。我们将波导中一对n m ,值对应的一个TM 模式，记作mn TM 。