函数的零点和二分法

[自 主 预 习· 探 新 知一]
函数的零点 1．定义
f(α)＝0 ，则α叫做这个函数 等于零 ，即_______ 如果函数 y＝f(x)在实数α处的值_________
零点 ． 的_______ 2.数形理解：
方程f (x)＝0的实数根
函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标
函数y＝f (x)的零点
解 : 令y 0 x 2x x 2 0
3 2
x ( x 2) ( x 2) 0 ( x 2)(x 1)(x 1) 0
2
函数的零点为 1 ， 1,2
例 2:若函数 y＝ax2－x－1 只有一个零点.求实数 a 的取值范围.
解:
①a 0时，y x 1只有一个零点 ②a 0时， 0 ( 1) 4a (1) 0
(a 0) 的根
2 函数 y ax bx c
两个不相 等的实数 根x1,x2
两个不相 等的实数 根x1=x2
(a 0) 的图像
函数
两个变号零点
b 2a b x2 2a x1
y ax bx c
2
(a 0) 的零点
一个不变号 零点 b 2a

判断下列函数是否存在零点
y 3x 6x 1
5
x y -2 -1.5 109 44.17 0 1 1 -8 2 107
由零点存在定理可知：区间（0，1） 和（1，2）上均至少存在一个零点
问题：如何求该函数零点的近似解？
3：二分法
我们把每次将函数y=f(x)的零点所在区间收缩一
半的方法，使区间的两端点逐步逼近函数的零 点，以求得零点的近似值，这种方法叫二分法。
函数f(x)图像
函数h(x)图像
变号零点 穿过x轴 3. 零点 不变号零点 不穿过x轴
4.性质：
（1）函数图象过变号零点时，函数值变号，
过不变号零点时，函数值不变号
（2）相邻的两零点间，函数值保持同号
5. 二次函数零点的判定
判别式
0
0
0
没有实数 根
方程 ax2 bx c 0
本课小结：
知识点： 1.函数零点定义 题型： 1.会求函数零点
2.二次函数的零点问题
3.零点存在性定理 4.二分法求零点近似值
2.解决二次函数的零点问题
3.利用零点存在性定理判断 零点个数情况 4.二分法求零点近似值
本课作业：学案中课后作业
无零点
[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)所有的函数都有零点．( )
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)， (x2,0)．( ) )
1 (3)f(x)＝x－x只有一个零点．(
[ 答案]
(1)× (2)× (3)×
【典例分析】
例 1．求函数 y＝x3－2x2－x＋2 的零点.
二分法求零点近似解的步骤：
1）定初始区间 2）取区间的中点，并判断函数值
若函数值为0，则得到零点，否则
3）根据异号定区间
4）重复2）3）直到区间满足精确度的要求
思考：用二分法求得的零点是什么类型的零点？
例3.下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函 数零点的是（ ）
完成学案巩固训练（5分钟）
2
1 4a 0 1 a 4 1 综上所述： a 0或 a 4
[自 主 预 习· 探 新 知二]

判断下列函数是否存在零点
y 3x 6x 1
2源自文库
x y -2 -1.5 109 44.17 0 1 1 -8 2 107
由上表，你得到的猜想是？
零点存在定理 ：
函数的零点和二分法
做好上课准备：端正坐姿
1.笔记本、练习本
2.学案课题（15） 3.打开课本P70
学习目标： 1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的情况 2.了解函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标之间的关系． 3.理解零点存在性定理，并且会用二分法求函数零点近似值
如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断
的, 并且f(a) · f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a, b)
上至少有一个零点，即存在c∈(a, b),使得
f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根
对零点存在性定理巩固理解：
• • • • • 1）至少 2）连续 3） f(a) · f(b)>0,不确定有无零点 4）反之不成立 5）存在定理可确定存在的是变号零点