高中数学必修2立体几何专题资料

专题一浅析中心投影与平行投影

中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影．

例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？

解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影.

方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置.

点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等.

例2 如图所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①.

答案：①②③

点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．

专题二不规则几何体体积的求法

当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考．

一、等积转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，

可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P

分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M = 1

2A1B1，

A1N=2ND1，A1P= 3

4A1A（如图1），试求三棱锥A1—MNP的体

积．

分析：若用公式V= 1

3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积，

则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，

但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积，从而代入公式求解．

解：V A

1-MNP =V A1—MNP =

1

3·S△A1MN

·h =

1

3×

1

2·A1M1·A1N·A1P=

1

3×

1

2×

1

2a·

2

3a·

3

4a=

1

24a

3．

评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．

二、分割法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

例2如图2，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F

将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．

分析：截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF—A1B1C1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．

解：设棱柱的底面积为S，高为h，其体积V=Sh．

则三角形AEF

的面积为1 4S

．

由于V AEF-A1B1C1=

1

3·h·(

s

4+S+

s

2)=

7

12Sh,

则剩余不规则几何体的体积为V ́́′=V-V AEF-A1B1C1=Sh -

7

12Sh =

5

12Sh，

所以两部分的体积之比为V AEF-A1B1C1：V ́́′=7：5.

评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．

三、补形法

某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．

例3 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.

分析：由三视图画出直观图，补一个大小相同的几何体，构成一个圆柱即可求其体积.

解：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝3

4

×π×12×4＝3π.

评注：“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．

专题三 处理球的内切与外接问题

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题

例1 已知正四面体的棱长为a ，外接球半径为R ,内接球半径为r ,则R 和r 的关系为_______．

解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．

正四面体的表面积S 表=4×

3 4

a 2

= 3 a 2． 体积V A -BCD = 13 ×3 4 a 2×AE = 3 12 a 2

AB 2-BE 2

= 3 12

a 2

a 2-13 a 2 = 2

12

a 3. ∵1

3 S 表·

r =V A -BCD , ∴r = 3V A -BCD S 表 =3×2

12 a 3

3 a 2= 6

12 a .

在Rt △BEO 中，BO 2 =BE 2+EO 2，即R 2=( 3 3 a )2+r 2，解得R = 6

4 a .

∴R=3r .

图1