五章 优选法

第五章 优选法
(optimum seeking method)
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教学内容与要求
（1）理解一些常用的单因素优选法：来回调试
方法、黄金分割法、分数法、对分法、抛物线
法、分批试验法、逐步提高法；
（2）理解一些常用的双因素优选法：对开法、
平行线法、旋升法、按格上升法、翻筋斗法。
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什么是优选法？
优选法是根据生产和科研中的不同问题，利用
F1 1, F2 2, Fn Fn 1 Fn 2 , n 3
并且
Fn Fn 1
是连分数
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 , , , , , , , , , , 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
后一个分数的分母等于前一个分数的分子与分母之和， 而分子就是前一个分数的分母．当 n 时，数列中的项 趋向于0.618．
式可以表示为： 第一点＝小＋0.618（大－小） 第二点＝大＋小－第一点
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
15Hale Waihona Puke Baidu
1、如果f(x1)比f(x2)好， x1是好点，于是把试验范围（a，
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无论出现上述三种情况的哪一种，在新的搜索区间
内，又有两次试验可以比较．根据试验结果，再去掉 一段或两段试验范围，在留下的试验范围中再找“好 点”的对称点，安排新的试验．这个过程重复进行， 直到找出满意的试验点，得出比较好的结果；或留下
的试验范围已很小，再作下去，试验结果差别不大，
则可就此中止。
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分数法试验次数：
表5-1
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当试验范围分成的份数恰好是这串分数中的
某一个的分母时，用这分数找第一个试验点比用0.618
法的计算简便一些．当试验范围的长度虽然不是恰好
等于而是接近某个分数的分母时，我们可以把试验范
围扩大来达到这个要求．
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四 对分法

优选方法：
20 40 50 60

特点：

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第一节 单因素优选法
如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素， 其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题。 一般步骤： （1）首先应估计包含最优点的试验范围 如果用a表示下限，b表示上限，试验范围为[a，b] （2）然后将试验结果和因素取值的关系写成数学表达 式，当不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏的 方法。 方便起见，仅讨论目标函数为f（x）的情况。
1.85%

2.28%
2.7%
乳化仍然良好，乳化时间减少1小时，结果满意，试验停 止。
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五 抛物线法

( x x2 )( x x3 ) ( x x3 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y y1 y2 y3 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x3 )( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 )
设二次函数在x4取得最大值：
在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1， y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：
1 y1 ( x x ) y2 ( x x ) y3 ( x x ) x4 2 y1 ( x2 x3 ) y2 ( x3 x1 ) y3 ( x1 x2 )
2 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2
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在x ＝x4处做试验，得试验结果y4 假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由xi’给出

除xi’之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近xi’的左
右两点，将这三点记为 x1’，x2’，x3’

此处x1’＜x2’＜x3, ，若在处的函数值分别为 y1’，

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基本命题

试验指标f(x)是定义区间(a，b)的单峰函数

用尽量少的试验次数，来确定f(x)的最大值的近似位置
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常用的单因素优选法

1、来回调试方法、 2、黄金分割法、
3、分数法、
4、对分法、 5、抛物线法、 6、分批试验法、 7、逐步提高法
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一.来回调试法

如图5-1所示，选取一点x1做试验得y1= f(x1),再选取一点
2、如果f(x1)比f(x2)差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，
如果 x1 是“好点”，把试验范围[a, x2] 掉，保留 好点” x1 所在区间，得到新的搜索区间[x2, b] ，得
x 3 x 2 b x1
x2 b x3 x1 比较 x1 x3处试验结果，找出“好点”，保留“好点” 所在区间，依次进行下去…
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黄金分割法适用
对于一般的单峰函数，我们可以采用此法
f(x)
a
b
单峰函数
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黄金分割法定义
黄金分割法指把长为L的线段分为两部分，使其中 一部分对于全部之比等于另一部分对于该部分之 比。

5 1 0.6180339..... 2
0.618
a
x1
b
ax1/ab=x1b/ax1
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黄金分割法的作法
外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的
试验范围，……如此反复，直到得到较好的试验结果为止
可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，
随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到 所需精度即可。
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三、分数法（斐波那契法）
斐波那契数列： 1， 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，… 有下述递推关系：
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若 x2 为“好点”，则得新搜索区间 [a, x1] ，令
依次进行下去…
x 3 x1 a x 2
a
x3
x2
x1
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如果在 x1 和 x2试验点得到的结果一样，则应 具体分析，看最优点在哪一边，再决定取舍。在
一般情况下，可以同时划掉 [a, x2] 和 [x1,b]，仅保
留中间一段[ x2 , x1 ]作为新的搜索区间，然后把 x2 看成新的 a ，把 x1 看成新的 b ，在范围 [ x2 , x1 ] 中 再重新安排两个试验点．
1% 2.7% 4.4%

第一次加碱量（试验点）：2.7%=(1%+4.4%)/2 有皂化，说明碱加多了，于是划去2.7%以上的范围
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第二次试验加碱量（试验点）：1.85%=(1%+2.7%)/2 乳化良好
1% 1.85% 2.7%

第三次，为了进一步减少乳化时间，不考虑少于1.85%的 加碱量，而取2.28%=(1.85%+2.7%)/2
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利用这组分数进行安排试验，进行优选的方法， 称为分数法。 分数法也是适合单峰函数的方法，该方法要求预先 知道试验总数,适用于试验点只能取整数的情况。
f(x)
a
单峰函数
b
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例:在配制某种清洗液时,要优选某材料的加入量,其加入 量用150ml的量杯来计算,该量杯的量程分为15格,每格 代表10ml. 由于量杯是锥形的,所以每格的高度不等,很难量出几 毫升或几点几毫升,因些不便使用0.618法.这时可将试验 范围定为0-130ml,以8/13代替0.618,第一个点在8/13处, 即80ml处，第二个点在5/13处，即50ml处，这样作几 次试验后，就能找到满意结果。
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黄金分割法优选步骤
0.382 0.618
a
x2
x1
b
0.382
0.618
x2
x1
x3 ……
b
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例5－1 为了达到某种产品质量指标,需要加入一种材
料.已知其最佳加入量在1000－2000克之间的某一点， 求最佳加入量
小
1000 1100
大
1900 2000
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第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克 第二步 第（2）个试验点由公式（5－2）’计算 x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克
第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在 假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉[1000, 1382]那一段范围。留下[1382,2000]
小 1382 1618 (1) 中点 1764 (3) 大 2000
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x3=大＋小－第一点=1383+2000-1618=1764克
第四步 比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3）处的 试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以
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二、黄金分割法（ 0.618法）
0.618法的要点是先在试验范围的0.618分点和 它的对称点0.382分点处作试验，比较两个点的结 果，去掉“坏点”部分，保留“好点”所在的区 间；然后在留下区间内再找到上一次“好点”的 对称点，作第二次试验，比较结果，决定取舍， 逐步缩小试验范围。这种方法每次可以去掉试验 范围的0.382倍，而且从第二次试验后每次只须做 一次试验，因此可以用较少的试验次数，迅速找 到最佳点．
数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以 求迅速地找到最佳点的一类科学方法。

优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我国 数学家华罗庚等推广并大量应用. 优选法也叫最优化方法
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优选法适用范围
试验指标与因素间不能用数学形式表达 表达式很复杂


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优选法的步骤：


要明确优选目标． 要确定影响目标的主要因素． 要根据问题的性质，确定主要因素的合理范 围． 选择适当的优选法，找出最佳方案．
x2做试验得y2= f(x2),假定x2> x1，如果y2 > y1，则最大值 肯定不在区间（a, x1 ）内，因此只考虑在（ x1 ，b）内 求最大值的问题。再在（ x1 ，b）内取一点x3，做试验 得y3= f(x3),如果x3> x2，而y3 < y2，则去掉（ x3 ，b）内 取一点x4，…，不断做下去，通过来回调试，范围越 缩越小，总可以找到f(x)的做大值。
y2’，y3’,……
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例1 某厂在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率，作了如下初 步实验，结果是： X： 电解温度 （℃） 65 74 80 Ｙ：电解率（％） 94.3 98.9 81.5
其中，74℃效果最好，但是最佳温度是不是就在 74℃？还有没有改 进的余地？这就要在 74℃附近安排实验。第一种方案是在 70、71、72、 73、75、76℃……逐个进行实验，这样工作量太大，第二种方案是对这 批数据进行分析，找出科学的设计方法。 分析这三个数据，可以看出，y 值中间高两边低，形成一条抛物线。 可以用求出抛物线方程，再求导数找出极大值的方法寻找最佳温度，抛 物线方程式是： y=ax2+bx+c 有了这三组数据，就可以解出 a、b、c 三个数据，然后找出极大点，从 而得到对应的温度是： 70.5℃。 再用这个温度作实验,电解率高达 99.5℃, 一次成功！
第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上（距左端 点a），第二个试验点x2取成x1的对称点，即：
a
x2
x2 a b x1
x1
b
x1 a 0.618(b a ) 也可 x2 a 0.382(b a )
(5 1) (5 2) (5 3)
b x11 a x12 称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，上述公
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分数法优选方法：
3/8 5/8
x2 x2
x1
2/5 3/5
x1 x1
x3
1/3 2/3
x3
x4

适用于 ：

试验值只能取整数的情况
试验次数有限时
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分数法的好处不仅在于此，例如，由于某种条件的 限制，仅能作若干次试验，在这种情况下，采用分数法 也比较好．如果只能做一次试验就用 1/2 ，其精确度 1/2 ，即这一点与实际最佳点的最大可能距离为试验范 的 1/2 ．如果只能作2次试验，则用 2/3 ，第一次在 2/3 处作试验；第二次在 1/3 处作试验，其精确度为 试验范围的 1/3 ．如果能作3次试验，则可用 3/5 ， 其精确度为试验范围的1/5 ……作 n次试验就用 Fn /Fn+1 ，其精确度为试验范围的 1/ Fn+1 。 。
每次只做1次试验
每次试验区间可以缩小一半，方法简单，迅速逼近最好点
要有一个标准（鉴别结果好坏,如天平是否平衡就是标准） 要预知该因素对指标的影响规律 （判断x值大了还是小了）
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适用条件：


例： 乳化油加碱量的优选（用循序试验法） 高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳化 需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1％，需加热 处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又 会皂化，所以加碱量优选范围为1－4.4％