第四讲 有限元分析解析
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• 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力 ，热梯度）。
• 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到 导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。
单元形函数
遵循原则:
• 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接 受该种单元类型所假定的单元形函数。
节点和单元
每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”
），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未 知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。
历史典故 早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS 最早是在1970年发布的，运行在价格为＄1，000，000的 CDC、由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远 远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解 5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。
延伸网格划分：作业
截面宽度：10mm 手柄长度： 20cm 导角半径： 1cm
截面形状：正六变形 杆长 ： 7.5cm 弹性模量： 2.07E11pa
映射网格划分
▪ 有两种主要的网格划分方法: 自由划分和映射划分. ▪ 自由划分
无单元形状限制. 网格无固定的模式. 适用于复杂形状的面和体.
❖ 指定单元属性 ❖ 拖拉，完成体网格划分。
❖ 4.释放已选的平面单元
举例：飞机模型机翼
y x
z
斜度=0.25
10
弹性模量
Ex=38E03 psi 泊松比：0.3 密度： D=1.033e-3 slugs/in3
2
机翼沿着长度方向轮廓一致，且它的横截面由直线和样条曲线 定义。机翼的一端固定在机体上，另一端为悬空的自由端。 采样点:A(0,0,0) B(2,0,0) C(2.3,0.2,0) D(1.9,0.45,0) E(1,0.25,0)
▪ 映射划分
面的单元形状限制为四边形,体的单元限制为六面 体 (方块).
通常有规则的形式,单元明显成行. 仅适用于 “规则的” 面和体, 如 矩形和方块.
映射网格划分
网格划分的优缺点：
自由网格 + 易于生成; 不须将复杂形状的
体分解为规则形状的体. – 体单元仅包含四面体网格, 致
使单元数量较多. – 仅高阶 (10-节点) 四面体单元
结构 DOFs
方向
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
载荷 载荷
节点和单元
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。
DOF值二次分布
.
.
1
节点
单元
二次曲线的线性近 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
2
节点
单元
线性近似 (更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
3
节点
单元
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.
.
4
节点
单元
单元形函数
遵循:
• DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平 均值与实际情况吻合得很好。
• FEA仅仅求解节点处的DOF值。
• 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点 处DOF值的计算方法。
• 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。 • 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 • 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。
单元形函数(续)
较满意, 因此DOF(自由度)数 目可能很多.
映射网格
+ 通常包含较少的单元数量.
+ 低阶单元也可能得到满意的结 果,因此DOF(自由度)数目较少.
– 面和体必须形状 “规则”, 划 分的网格必须满足一定的准则.
– 难于实现, 尤其是对形状复杂 的体.
...映射网格划分
自由网格
❖ 自由网格是面和体网格划分时的缺省设置. ❖ 生成自由网格比较容易:
第四讲 有限元分析 (FEA)
定义
有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和
载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即 单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实 系统。
历史典故
• 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究 者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。
L
K
二维或轴对称实体单元
UX, UY
I P
M L
I
J
O 三维实体结构单元
N
UX, UY, UZ
K
J
J 三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
I
L
K
I
P M
L I
三维四边形壳单元 J UX, UY, UZ,
ROTX, ROTY, ROTZ
O
三维实体wenku.baidu.com单元
N
TEMP
K
J
单元形函数
节点和单元
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
A
B
.. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
1 node
...
A
B
...
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
节点和单元
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ I
导出 MeshTool 工具, 划分方式设为自由 划分.
• 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅 炉进行手算评核的基础。
物理系统举例
几何体
载荷
物理系统
结构
热
电磁
有限元模型
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
• 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须 确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要 求解的问题。
高级网格划分技术
▪ 延伸网格划分 ▪ 映射网格划分 ▪ 层状网格划分
延伸网格划分 & 举例
❖ 将一个二维网格延伸生成一个三维网格；三维网格生成后 去掉二维网格
❖ 步骤： ❖ 1.先生成横截面 ❖ 2.指定网格密度并对面进行网格划分 ❖ 3.拖拉面网格生成体网格
• 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到 导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。
单元形函数
遵循原则:
• 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接 受该种单元类型所假定的单元形函数。
节点和单元
每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”
），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未 知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。
历史典故 早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS 最早是在1970年发布的，运行在价格为＄1，000，000的 CDC、由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远 远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解 5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。
延伸网格划分：作业
截面宽度：10mm 手柄长度： 20cm 导角半径： 1cm
截面形状：正六变形 杆长 ： 7.5cm 弹性模量： 2.07E11pa
映射网格划分
▪ 有两种主要的网格划分方法: 自由划分和映射划分. ▪ 自由划分
无单元形状限制. 网格无固定的模式. 适用于复杂形状的面和体.
❖ 指定单元属性 ❖ 拖拉，完成体网格划分。
❖ 4.释放已选的平面单元
举例：飞机模型机翼
y x
z
斜度=0.25
10
弹性模量
Ex=38E03 psi 泊松比：0.3 密度： D=1.033e-3 slugs/in3
2
机翼沿着长度方向轮廓一致，且它的横截面由直线和样条曲线 定义。机翼的一端固定在机体上，另一端为悬空的自由端。 采样点:A(0,0,0) B(2,0,0) C(2.3,0.2,0) D(1.9,0.45,0) E(1,0.25,0)
▪ 映射划分
面的单元形状限制为四边形,体的单元限制为六面 体 (方块).
通常有规则的形式,单元明显成行. 仅适用于 “规则的” 面和体, 如 矩形和方块.
映射网格划分
网格划分的优缺点：
自由网格 + 易于生成; 不须将复杂形状的
体分解为规则形状的体. – 体单元仅包含四面体网格, 致
使单元数量较多. – 仅高阶 (10-节点) 四面体单元
结构 DOFs
方向
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
载荷 载荷
节点和单元
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。
DOF值二次分布
.
.
1
节点
单元
二次曲线的线性近 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
2
节点
单元
线性近似 (更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
3
节点
单元
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.
.
4
节点
单元
单元形函数
遵循:
• DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平 均值与实际情况吻合得很好。
• FEA仅仅求解节点处的DOF值。
• 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点 处DOF值的计算方法。
• 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。 • 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 • 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。
单元形函数(续)
较满意, 因此DOF(自由度)数 目可能很多.
映射网格
+ 通常包含较少的单元数量.
+ 低阶单元也可能得到满意的结 果,因此DOF(自由度)数目较少.
– 面和体必须形状 “规则”, 划 分的网格必须满足一定的准则.
– 难于实现, 尤其是对形状复杂 的体.
...映射网格划分
自由网格
❖ 自由网格是面和体网格划分时的缺省设置. ❖ 生成自由网格比较容易:
第四讲 有限元分析 (FEA)
定义
有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和
载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即 单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实 系统。
历史典故
• 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究 者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。
L
K
二维或轴对称实体单元
UX, UY
I P
M L
I
J
O 三维实体结构单元
N
UX, UY, UZ
K
J
J 三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
I
L
K
I
P M
L I
三维四边形壳单元 J UX, UY, UZ,
ROTX, ROTY, ROTZ
O
三维实体wenku.baidu.com单元
N
TEMP
K
J
单元形函数
节点和单元
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
A
B
.. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
1 node
...
A
B
...
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
节点和单元
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ I
导出 MeshTool 工具, 划分方式设为自由 划分.
• 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅 炉进行手算评核的基础。
物理系统举例
几何体
载荷
物理系统
结构
热
电磁
有限元模型
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
• 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须 确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要 求解的问题。
高级网格划分技术
▪ 延伸网格划分 ▪ 映射网格划分 ▪ 层状网格划分
延伸网格划分 & 举例
❖ 将一个二维网格延伸生成一个三维网格；三维网格生成后 去掉二维网格
❖ 步骤： ❖ 1.先生成横截面 ❖ 2.指定网格密度并对面进行网格划分 ❖ 3.拖拉面网格生成体网格