第53讲 立体几何的综合应用
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第53讲 立体几何的综合应用
1.(2016·新课标卷Ⅰ)如图,已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面P AB 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . (1)证明:G 是AB 的中点; (2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.
(1)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,
所以AB ⊥PD .
因为D 在平面P AB 内的正投影为E ,所以AB ⊥DE .
因为PD ∩DE =D ,所以AB ⊥平面PED ,故AB ⊥PG .
又由已知可得,P A =PB ,所以G 是AB 的中点.
(2)在平面P AB 内,过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ,F 即为E 在平面P AC 内的正投影.
理由如下:由已知可得PB ⊥P A ,PB ⊥PC ,又EF ∥PB ,所以EF ⊥P A ,EF ⊥PC .又P A ∩PC =P ,因此EF ⊥平面P AC ,即点F 为E 在平面P AC 内的正投影.
连接CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,
所以D 是正三角形ABC 的中心.
由(1)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,
故CD =23
CG . 由题设可得PC ⊥平面P AB ,DE ⊥平面P AB ,
所以DE ∥PC ,因此PE =23PG ,DE =13
PC . 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且P A =6,
可得DE =2,PE =2 2.
在等腰直角三角形EFP 中,可得EF =PF =2,
所以四面体PDEF 的体积V =13×12×2×2×2=43
. 2.(2017·新课标卷Ⅱ)如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD ,AB =BC =12AD, ∠BAD =∠ABC =90°. (1)证明:直线BC ∥平面P AD ;
(2)若△PCD 的面积为27,求四棱锥P -ABCD 的体积.
(1)在平面ABCD 内,因为∠BAD =∠ABC =90°,所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ,
AD ⊂平面P AD ,故BC ∥平面P AD .
(2)如图,取AD 的中点M ,连接PM ,CM .
由AB =BC =12
AD 及BC ∥AD ,∠ABC =90°得四边形ABCM 为正方形,则CM ⊥AD . 因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,所以PM ⊥AD ,PM ⊥底面ABCD .
因为CM ⊂底面ABCD ,所以PM ⊥CM .
设BC =x ,则CM =x ,CD =2x ,PM =3x ,PC =PD =2x .如图,取CD 的中点N ,连接PN ,则PN ⊥CD ,
所以PN =142
x . 因为△PCD 的面积为27,所以12×2x ×142
x =27, 解得x =-2(舍去)或x =2.
于是AB =BC =2,AD =4,PM =2 3.
所以四棱锥P -ABCD 的体积V =13×2(2+4)2
×23=4 3. 3.(2014·新课标卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,B 1C 的中点为O ,且AO ⊥平面BB 1C 1C .
(1)证明:B 1C ⊥AB ;
(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1=60°,BC =1,求三棱柱ABC -A B 1C 1的高.
(1)证明:连接BC 111因为侧面BB 1C 1C 为菱形,所以B 1C ⊥BC 1.
又AO ⊥平面BB 1C 1C ,所以B 1C ⊥AO ,
故B 1C ⊥平面ABO .
由于AB ⊂平面ABO ,故B 1 (2)作OD ⊥BC ,垂足为D .
由于BC ⊥AO ,BC ⊥OD ,故BC ⊥平面AOD,0.n 所以OH ⊥BC .
又OH ⊥AD ,所以OH ⊥平面ABC .
因为∠CBB 1=60°,所以△CBB 1为等边三角形,
又BC =1,可得OD =34
. 由于AC ⊥AB 1,所以OA =12B 1C =12
.
由OH ·AD =OD ·OA ,且AD =OD 2+OA 2=
74, 得OH =
2114
. 又O 为B 1C 的中点, 所以点B 1到平面ABC 的距离为
217. 故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为217
. 4.(2017·新课标卷Ⅲ)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .
(1)证明:AC ⊥BD ;
(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD ,若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.
(1)如图,取AC 的中点O ,连接DO ,BO .
因为AD =CD ,所以AC ⊥DO .
又由于△ABC 是正三角形,所以AC ⊥BO .
BO ∩DO =O ,从而AC ⊥平面DOB ,BD ⊂平面DOB ,
故AC ⊥BD . (2)连接EO .
由(1)及题设知∠ADC =90°,所以DO =AO .
在Rt △AOB 中,BO 2+AO 2=AB 2.
又AB =BD ,所以BO 2+DO 2=BO 2+AO 2=AB 2=BD 2,
故∠DOB =90°.
由题设知△AEC 为直角三角形,所以EO =12
AC . 又△ABC 是正三角形,所以AC =AB ,
又AB =BD ,所以EO =12
BD . 故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12
,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12
,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.