初中数学有趣的平行线专题辅导
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学有趣的平行线
在《平行线》这一章的学习中，我们会碰到这道经典的例题：
例题 如图所示，已知AB ∥CD ，分别探索下列四个图形中∠P 与∠A 、∠C 的关系，并说明理由。
解析 图1中，∠P+∠A+∠C=360°；
图2中∠P=∠A+∠C 。
证明 如图3，过点P 作PF ∥AB ，
∴∠A+∠APF=180°。
又AB ∥CD ，PF ∥AB ，
∴PF ∥CD ，∴∠FPC+∠C=180°。
∴∠A+∠APC+∠C=∠A+∠APF+∠FPC+∠C=180°+180°=360°。
如图4，过点P 作PG ∥AB ，∴∠A=∠APG 。
又AB ∥CD ，PG ∥AB ，∴PG ∥CD ，∴∠GPC=∠C 。
∴∠APC=∠APG+∠GPC=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C ，
我们把这个例题加以拓展引申，可以得到许多有趣的问题：
例1 （1）如图（1），AB ∥CD ，则∠B+∠E 1+∠D= ；
（2）如图（2），AB ∥CD ，则∠B+∠E 1+∠E 2+∠D= ；
（3）如图（3），AB ∥CD ，则∠B+∠E 1+∠E 2+∠E 3+∠D= ；
（4）按照上面的规律，如图（4），AB ∥CD ，则∠B+∠E 1+∠E 2+∠E 3+…+n E ∠ +D ∠= 。
解析 （1）由问题中的图1可过E 1作AB 的平行线，得∠B+∠E 1+∠D=360°；
（2）根据图3，再过E 2作AB 的平行线，得
∠B+∠E 1+∠E 2+∠D=360°+180°=540°；
（3）依次类推，得∠B+∠E1+∠E2+∠E3+∠D=540°+180°=720°；
（4）∠B+∠E1+∠E2+∠E3+…+∠E n+∠D=（n+1）·180。
例2（1）如图（1），AB∥CD，则∠E1与∠B、∠D的关系是；
（2）如图（2），AB∥CD，则∠E1+∠E2与∠B、∠D的关系是；
（3）如图（3），AB∥CD，则∠E1+∠E2+∠E3与∠B、∠D的关系是；
（4）按照上面的规律，如图（4），AB∥CD，则
∠E1+∠E2+∠E3+…+∠E n与∠B、∠D的关系是。
解析（1）由问题中的图4可证得
∠E1=∠B+∠D；
（2）根据图4，再过E2作AB的平行线，得
∠E1+∠E2=∠B+∠D+180°；
（3）依次类推，得
∠E1+∠E2+∠E3=∠B+∠D+360°；
（4）∠E1+∠E2+∠E3+…+∠E n=∠B+∠D+（n－1）·180°。
例3（1）如图（1），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，∠BED=150°。那么∠E1= ；
（2）如图（2），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，则∠E2= ；
（3）如图（3），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2，则∠E3= ；
（4）按照上面的规律，如图（4），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2…，则∠E n= 。
解析（1）由问题中的图2可得∠E=∠ABE+∠EDC，∠BED=150°，
∴∠ABE+∠EDC=150°；同理∠E 1=∠ABE 1+∠E 1DC==︒⨯=∠+∠1502
1)EDC ABE (21 .75︒
（2）∠E 2=︒⨯=∠+∠752
1)DC E ABE (2111 =37.5°。
（3）∠E 3=︒⨯=∠+∠5.372
1)DC E ABE (2122 =18.25°。
（4）∠E n =︒⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛15021n
。 例4 （1）如图（1），若AB ∥CD ，则∠B+∠C=∠E ，你能说明理由吗？
（2）反之，若∠B+∠D=∠E ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请说明理由；
（3）若将点E 移至图（2）所示位置，此时∠B 、∠D 、∠E 之间有什么关系？请说明理由；
（4）若将点E 移至图（3）所示位置，情况又如何？
（5）在图（4）中，AB ∥CD ，∠E+∠G 与∠B+∠F+∠D 又有何关系？
解析 （1）由问题中的图4可证得
∠E=∠B+∠D 。
（2）当∠B+∠D=∠E 时，直线AB 与CD 平行。
证明如下：过点E 作EF ∥AB ，则∠B=∠BEF 。
又∠B+∠D=∠BED ，∴∠D=∠DEF ，
∴EF ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD 即AB ∥CD 。
（3）∠B+∠D+∠E=360°（过点E 作EF ∥AB ，方法同上）。
（4）∠B=∠D+∠E 。
（5）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D 。