函数与导数知识点

函数与导数知识点 【重点知识整合】

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相

应地有增量)

()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x

y

∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作

x x y ='，即

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆.

注意：在定义式中，设x

x x ∆+=0，则

x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于

x ，因此，导数的定义式可写

成

000000

()()()()

()lim

lim x o

x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-.

2.导数的几何意义：

导数

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处

变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x

可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-

注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.

3.导数的物理意义：

函数()s s t =在点

t 处的导数

0(),

s t '就是物体的运动方程()s s t =在点

t 时刻的瞬时速度v ，即

0().

v s t '=

4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1

)'(-=n n nx x (Q n ∈)；

x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；

1(ln )x x '=

； 1

(log )log a a x e x '=； ()x x e e '= ；

()ln x x

a a a '=. 5.求导法则：

法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'；

法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=；

法则3： '

2

''

(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.

6.复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数

()

x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数

()

u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'

7.导数与函数的单调性

1.函数()y f x =在某个区间内有导数，如果()0f x '>，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的增区间；

若()0f x '<，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间. 2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:

()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;

()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在

(),a b 上是减函数

8. 导数与函数的极（最）值

1.极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()

f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.

2.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点.

3.极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs 大值或极小值可以不止一个.

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，

4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f .

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

4.当()f x 在点0x 连续时，判别0()

f x 是极大、极小值的方法:

若0x 满足

)(0='x f ，且在

x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)

(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则

x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，

则

x 是)(x f 的极小值点，)

(0x f 是极小值.

5.求可导函数()f x 的极值的步骤:

()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '；()2求方程()0f x '=的根；

()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值

的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .

9.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．

注意：

()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数

x x f 1

)(=

在),0(+∞内连续，但没

有最大值与最小值；

()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． ()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

10.利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；

()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p.

【应试技巧点拨】

1.利用导数求切线问题中的“在”与“过”

在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处